2024年廣東省中考數(shù)學試卷含答案

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2024年廣東省初中學業(yè)水平考試

數(shù)學

滿分120分考試用時120分鐘

注意事項：

1.答題前，考生務(wù)必用黑色字跡的簽字筆或鋼筆將自己的準考證號、姓名、考場號和座位

號填寫在答題卡上.用2B鉛筆在“考場號”和“座位號”欄相應位置填涂自己的考場號和

座位號，將條形碼粘貼在答題卡“條形碼粘貼處”.

2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂

黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上.

3.非選擇題必須用黑色字跡的簽字筆或鋼筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)

相應位置上：如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用鉛筆和涂改

液,不按以上要求作答的答案無效.

4.考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本大題共10小題，每小題3分，共30分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.

1.計算一5+3的結(jié)果是（）

A2B.-2C.8D.-8

2.下列幾何圖形中，既是中心對稱圖形也是軸對稱圖形的是（）

3.2024年6月6日，嫦娥六號在距離地球約384000千米外上演“太空牽手"，完成月球軌道的交會對

接.數(shù)據(jù)384000用科學記數(shù)法表示為（）

A.3.84x10"B.3.84x10、C.3.84xlO6D.38.4xlO5

4.如圖，一把直尺、兩個含30。的三角尺拼接在一起，則NACE的度數(shù)為（）

A.120°B.90°C.60°D.30°

5.下列計算正確的是（）

A.B.a^a2=a4C.-2a+5a=7aD.=aw

6.長江是中華民族的母親河，長江流域孕育出藏羌文化、巴蜀文化、荊楚文化、吳越文化等區(qū)域文化.若

從上述四種區(qū)域文化中隨機選一種文化開展專題學習，則選中“巴蜀文化”的概率是（）

A11

B.-

43□1

7.完仝相同的4個正方形面積之和是100,則正方形的邊長是（）

A.2B.5C.10D.20

8.若點（0,凹）,（1,%），（2,兄）都在二次函數(shù)丁二/的圖象上，則（)

A.B.必＞y＞必C.D.%＞必＞%

23

9.方程KF的解為（）

A.A=3B.A=-9C.A=9

二、填空題:本大題共5小題，每小題3分，共15分.

11.數(shù)據(jù)2,3,5,5,4的眾數(shù)是

12.關(guān)于x的不等式組中，兩個不等式的解集如圖所示，則這個不等式組的解集是

13.若關(guān)于3的一元二次方程了2+2%+0=0有兩個相等的實數(shù)根，則c二

14.計算：----------

a-3a-3

15.如圖，菱形A8CO的面積為24,點E是AB的中點，點尸是3。上的動點.若△班尸的面積為4,則

圖中陰影部分的面積為.

A

三、解答題（一）：本大題共3小題，每小題7分，共21分.

16.計算：2°、一；+/-3-1

17.如圖，在一ABC中，ZC=90°.

（1）實踐與操作：用尺規(guī)作圖法作NA的平分線AD交8c于點D；（保留作圖痕跡，不要求寫作法）

（2）應用與證明：在（1）的條件下，以點。為圓心，0c長為半徑作G。.求證：A3與0。相切.

18.中國新能源汽車為全球應對氣候變化和綠色低碳轉(zhuǎn)型作出了巨大貢獻.為滿足新能源汽車的充電需求,

某小區(qū)增設(shè)了充電站，如圖是矩形尸QMN充電站的平面示意圖，矩形ABC。是其中一個停車位.經(jīng)測量,

4BQ=60。，AB=5Am,CE=1.6m,GHLCD,GH是另一個車位的寬，所有車位的長寬相同,

按圖示并列劃定.

根據(jù)以上信息回答下列問題：（結(jié)果精確到0.1m,參考數(shù)據(jù)1.73）

（1）求PQ長；

（2）該充電站有20個停車位，求PN的長.

四、解答題（二）：本大題共3小題，每小題9分，共27分.

19.端午假期，王先生計劃與家人一同前往景區(qū)游玩，為了選擇一個域合適景區(qū)，王先生對A、8、。三個

景區(qū)進行了調(diào)查與評估.他依據(jù)特色美食、自然風光、鄉(xiāng)村民宿及科普基地四個方面，為每個景區(qū)評分（10

分制）.三個景區(qū)的得分如下表所示：

景特色美自然風鄉(xiāng)村民科普基

區(qū)食光宿地

A6879

B7787

C8866

（1）在四項所占百分比如圖所示，逋過計算回答：土先生會選擇哪個景區(qū)去游玩？

（2）如果王先生認為四項同等重要，通過計算回答：王先生將會選擇哪個景區(qū)去游玩?

（3）如果你是王先生，請按你認為的各項“重要程度”設(shè)計四項得分的百分比，選擇最合適的景區(qū)，并

說明理由.

20.廣東省全力實施“百縣千鎮(zhèn)萬村高質(zhì)量發(fā)展工程”，2023年農(nóng)產(chǎn)品進出口總額居全國首位，其中荔枝鮮

果遠銷歐美.某果商以每噸2萬元的價格收購早熟荔枝，銷往國外.若按每噸5萬元出售，平均每天可售出

10。噸.市場調(diào)查反映：如果每噸降價1萬元，每天銷售量相應增加50噸.該果商如何定價才能使每天的

“利潤”或“銷售收入”最大？并求出其最大值.（題中“元”為人民幣）

21綜合與實踐

【主題】濾紙與漏斗

【素材】如圖1所示：

①一張直徑為10cm的圓形濾紙；

②一只漏斗口直徑與母線均為7cm的圓錐形過濾漏斗.

圖1

【實踐操作】

步驟I:取一張濾紙；

步驟2：按如圖2所示步驟折疊好濾紙；

步驟3：將其中?層撐開，圍成圓錐形；

步驟4：將圍成圓錐形的濾紙放入如圖1所示漏斗中.

圖2

【實踐探索】

（1）濾紙是否能緊貼此漏斗內(nèi)壁（忽略漏斗管口處）？用你所學的數(shù)學知識說明.

（2）當濾紙緊貼漏斗內(nèi)壁時，求濾紙圍成圓錐形的體積.（結(jié)果保留兀）

五、解答題（三）：本大題共2小題，第22題13分，第23題14分，共27分.

22.知識技能】

（1）如圖1，在“8C中，。石是/8C的中位線.連接CO,將△AOC繞點。按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，

得到“TOC.當點石的對應點￡與點人重合時，求證：AB=BC.

【數(shù)學理解】

（2）如圖2,在“5C中（A8<8C）,。七是一ABC的中位線,連接CO,將A4DC繞點。按逆時針

方向旋轉(zhuǎn)，得到c/VZX:’,連接A8，CC?作工4瓦）的中線DF.求證；2DFCD=BDCC.

【拓展探索】

432

（3）如圖3,在“3C中，tan/?=-,點。在A8上，AD=—.過點。作。E_L3C,垂足為E,

35

32

BE=3,CE=—.在四邊形4OEC內(nèi)是否存在點G,使得乙4GZ）+NCG￡=180。？若存在，請給出

3

證明；若不存在，請說明理由.

23.【問題背景】

如圖1,在平面直角坐標系中，點B,。是直線〉=4丫(。>0)上第一象限內(nèi)的兩個動點(O3>O3),以線

段BO為對角線作矩形ABC。，AO〃x軸.反比例函數(shù)y=K的圖象經(jīng)過點A.

x

【構(gòu)建聯(lián)系】

(I)求證：函數(shù))，=公的圖象必經(jīng)過點C.

x

(2)如圖2,把矩形A3c。沿。。折疊，點C的對應點為E當點E落在y軸上，且點臺的坐標為(1,2)

時，求A的值.

【深入探究】

(3)如圖3,把矩形A3CO沿80折疊，點。的對應點為￡當點E,A重合時，連接4c交BD于點P.以

點。為圓心，AC長為半徑作。。.若0P=3及，當。。與的邊有交點時，求Z的取值范圍.

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2024年廣東省初中學業(yè)水平考試

數(shù)學

滿分120分考試用時120分鐘

注意事項：

1.答題前，考生務(wù)必用黑色字跡的簽字筆或鋼筆將自己的準考證號、姓名、考場號和座位

號填寫在答題卡上.用2B鉛筆在“考場號”和“座位號”欄相應位置填涂自己的考場號和

座位號，將條形碼粘貼在答題卡“條形碼粘貼處”.

2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂

黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上.

3.非選擇題必須用黑色字跡的簽字筆或鋼筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)

相應位置上：如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用鉛筆和涂改

液,不按以上要求作答的答案無效.

4.考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本大題共10小題，每小題3分，共30分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.

1.計算一5+3的結(jié)果是（）

A.2B.-2C.8D.-8

答案：B

解析:

根據(jù)有理數(shù)的加法法則，即可求解.

V-5+3=-（5-3）=-2,

故答案是：B.

【點睛】本題主要考查有理數(shù)的加法法則，掌握“異號兩數(shù)相加，取絕對值較大的數(shù)的符號，并把較大數(shù)

的絕對值減去較小數(shù)的絕對值”是解題的關(guān)鍵.

2.下列幾何圖形中，既是中心對稱圖形也是軸對稱圖形的是（）

c

'△BOO

答案：c

解析：

本題主要考查了中心對稱圖形和軸對稱圖形的定義，如果一個立面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分

能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形；中心對稱圖形的定義：把一個圖形繞著某一個點旋轉(zhuǎn)180。，

如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點就是它的對稱中心.根

據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義進行逐一判斷即可.

解.：A.是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故不符合題意：

B.不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故不符合題意：

C.既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故不符合題意；

D.是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故不符合題意；

故選：C.

3.2024年6月6日，嫦娥六號在距離地球約384000千米外上演“太空牽手”，完成月球軌道的交會對

接.數(shù)據(jù)384000用科學記數(shù)法表示為（）

A.3.84xlO4B.3.84x105C.3.84xlO6D.38.4x10'

答案：B

解析：

本題考查了絕對值大于1的科學記數(shù)法的表示，解題的關(guān)鍵在于確定。，〃的值.

根據(jù)絕對值大于I的數(shù)，用科學記數(shù)法表示為axlO〃，其中1工〃<10,〃的值為整數(shù)位數(shù)少1.

解：384000大于1,用科學記數(shù)法表示為axlO",其中。=3用4,〃=5,

???384000用科學記數(shù)法表示為3.84x10、，

故選：B.

解析：

本題考查了平行線的性質(zhì).熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

由題意知，AC//DE,根據(jù)NACE=NE,求解作答即可.

解：由題意如，AC//DE,

???ZACE=ZE=60°,

故選：C.

5.下列計算正確的是（）

A.a2-a5=a]<}B.an^a2=a4C.-2a+5a=7aD.卜/丫="。

答案:D

解析:

本題主要考查了同底數(shù)導乘除法計算，棄的乘方計算，合并同類項，熟知相關(guān)計算法則是解題的關(guān)鍵.

解：A、。2./=。7,原式計算錯誤，不符合題意；

B、原式計算錯誤，不符合題意；

C、一2。+5。=3。，原式計算錯誤，不符合題意；

D、,2）'="。,原式計算正確，符合題意：

故選：D.

6.長江是中華民族的母親河，長江流域孕育出藏羌文化、巴蜀文化、荊楚文化、吳越文化等區(qū)域文化.若

從上述四種區(qū)域文化中隨機選一種文化開展專題學習，則選中“巴蜀文化”的概率是（）

答案：A

解析：

本題考查了概率公式，用到的知識點為：概率二所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.宜接根據(jù)概率公式求解即

可.

解：根據(jù)題意，選中“巴蜀文化”的概率是,，

4

故選：A.

7.完全相同的4個正方形面積之和是100,則正方形的邊長是（）

A.2B.5C.1（）D.20

答案:B

解析:

本題主要考查了算術(shù)平方根的應用，先求出一個正方形的面積，再根據(jù)正方形的面積計算公式求出對應的

邊K即可.

解：???完全相同的4個正方形面積之和是100,

???一個正方形的面積為100+4=25,

，正方形的邊長為后=5，

故選：B.

8.若點（0,凹）,（1,必），（2,兄）都在二次函數(shù)曠二/的圖象上，則（）

A.%>%>JiB.%>y>必C.y,>%>%D.%>y>）’2

答案：A

解析：

本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、二次函數(shù)圖象上點的坐標特征等知識點，根據(jù)二次函數(shù)的解析式得出

函數(shù)圖象的對稱軸是），軸（直線x=（））,圖象的開口向上，在對稱軸的右側(cè)，），隨X的增大而增大，再比較

即可.

解：二次函數(shù)y=Y的對稱軸為y軸，開口向上，

???當x>0時，y隨x的增大而增大，

???點（0,凹）,（1,必）,（2,%）都在二次函數(shù)），=/的圖象上，且0<1<2,

???丫3>%>另,

故選：A.

9.方程三2二巳3的解為（）

x-3x

A.x=3B.x=-9C.x=9D.x=—3

答案：C

解析：

把分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗即可得到分式方程的解.

M23

解：----=-

x-3x

去分母得：2A=3（A-3）,

去括號得：2x=3x—9,

移項、合并同類項得：一x=—9,

解得：x=9,

經(jīng)檢驗：-9是原分式方程的解，

故選：C.

【點睛】本題考杳了解分式方程，利用了轉(zhuǎn)化的思想，解題的關(guān)鍵是解分式方程注意要檢驗，避免出現(xiàn)增

根.

10.已知不等式"+〃<0的解集是x<2,則一次函數(shù)曠=履+。的圖象大致是（）

解析：

本題考查一次函數(shù)與一元一次不等式，解不等式的方法：從函數(shù)的角度看，就是尋求使一次函數(shù)、=去+。

的值大于（或小于）0的自變量工的取值范圍.找到當XV2函數(shù)圖象位于X軸的下方的圖象即可.

解：???不等式依+〃<0的解集是x<2,

???當x<2時，y<0,

觀察各個選項，只有選項8符合題意，

故選:B.

二、填空題：本大題共5小題，每小題3分，共15分.

H.數(shù)據(jù)2,3,5,5,4的眾數(shù)是.

答案：5

解析：

由F眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)，注意眾數(shù)可以不止一個，由此即可確定這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).

解：???5是這組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)，

???這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為5.

故答案為：5.

【點睛】本題屬丁基礎(chǔ)題，考查了確定組數(shù)據(jù)的眾數(shù)的能力，解題關(guān)鍵是要明確定義，讀懂題意.

12.關(guān)于x的不等式組中，兩個不等式的解集如圖所示，則這個不等式組的解集是.

-2-101234

答案：x>3##3<x

解析:

本題主要考宜了求不等式組的解集，在數(shù)軸上表示不等式組的解集，根據(jù)“同大取大，同小取小，大小小大

中間找，大大小小找不到（無解）”求出不等式組的解集即可.

解：由數(shù)軸可知，兩個不等式的解集分別為工23,x>2,

???不等式組的解集為

故答案為：x>3.

13.若關(guān)于x的一元二次方程Y+2x+c=o有兩個相等的實數(shù)根，則c=.

答案：1

解析：

由爐+2x+c=0有兩個相等的實數(shù)根，可得△=從一4逐'=0進而可解答.

解：???產(chǎn)+2工+。=0有兩個相等的實數(shù)根，

**?A=Z?2—4ac=4-4c=0?

故答案為：1.

【點睛】本題主要考查根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù)，掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵.

14.計算：------=_______.

a-3a-3

答案：1

解析：

本題主要考查了同分母分式減法計算，根據(jù)同分母分式減法計算法則求解即可.

板a3a-3

解：——T-----=——=二1，

ci-3ci—3。―3

故答案為：1.

15.如圖，菱形A3CO的面積為24,點E是4B的中點，點產(chǎn)是BC上的動點.若48所的面枳為4,則

圖中陰影部分的面積為.

答案：10

解析：

本題考查了菱形的性質(zhì)，三角形中線的性質(zhì)，利用菱形的性質(zhì)、三角形中線的性質(zhì)求出SR)E=6,

BF2BF

sABF=3，根據(jù)AAB/和菱形的面積求出力;=彳，k=2,則可求出cCO尸的面積，然后利用

BC3CF

S陰影=S菱形A8C。—S.AAE—S8EF—S.CAF求解即可?

解：連接ARBD,

???菱形AZ7CO的面積為2%點K是A6的中點，ZX8石尸的面積為%

,e,S.ADE=5S,ABD=3X3S爰形BAC。=6，SABF=2S=8,

設(shè)菱形ABCD中3c邊上的高為從

，即8-JB」

S菱形ABC/)BCh24BC

.BF2

??麗=針

—=2,

CF

SBFBF

?八、打_士g____s—___=2

S.CDF1~CFhCF

2

'△CDF~4，

嬖形S

???S陰影=SABCD-ADEBEF-SCDF=10,

故答案為：10.

三、解答題（一）：本大題共3小題，每小題7分，共21分.

16.計算：2°x+5/4-3-'.

3

答案:2

解析:

本題主要考查了實數(shù)的運算，零指數(shù)塞，負整數(shù)指數(shù)塞，先計算零指數(shù)累，負整數(shù)指數(shù)塞和算術(shù)平方根，再

計算乘法，最后計算加減法即可.

解：2°x-1+5/4-3-'

3

=1x—+2-i

33

r24

17?如圖，在jBC中，ZC=90°.

c

（1）實踐與操作：用尺規(guī)作圖法作NA的平分線40交8C于點。；（保留作圖痕跡，不要求寫作法）

（2）應用與證明：在（1）的條件下，以點D為圓心，。。長為半徑作G。.求證：A〃與0。相切.

答案：（1）見解析（2）證明見解析

解析：

本題考查了尺規(guī)作角平分線，角平分線的性質(zhì)定理，切線的判定等知識.熟練上述知識是解題的關(guān)鍵.

（1）利用尺規(guī)作角平分線的方法解答即可；

（2）如圖2,作。于￡,由角平分線的性質(zhì)定理可得OE=OC,由。七是半徑，DEJ.AB，

可證A3與。。相切.

（1）解：如圖1，AO即為所作；

（2）證明：如圖2,作力于E，

???A。是NC4力的平分線，DC.LAC,DE工AB，

DE—DC,

TDE是半徑，DEJ.AB,

???AB與O。相切.

18.中國新能源汽車為全球應對氣候變化和綠色低碳轉(zhuǎn)型作出了巨大貢獻.為滿足新能源汽車的充電需求,

某小區(qū)增設(shè)了充電站，如圖是矩形PQMN充電站的平面示意圖，矩形A8CO是其中一個停車位.經(jīng)測量，

45Q=60。，AB=5Am,CE=1.6m,GHLCD,GH是另一個車位的寬，所有車位的長寬相同,

按圖示并列劃定.

根據(jù)以上信息【可答下列問題：(結(jié)果精確到0.1m,參考數(shù)據(jù)6^1.73)

(1)求PQ的長:

(2)該充電站有20個停車位，求/W的長.

答案:(1)6.1m

(2)66.7m

解析:

本題主要考查了矩形的性質(zhì)，解直角三角形的實際應用:

(1)先由矩形的性質(zhì)得到NQ=/P=90。，再解Rt4AB。得到A。二彳fm，接著解直角三角形得到

BC=—m^進而求出AP=遞m，據(jù)此可得答案;

55

(2)解RjBCE得到BE=3.2m,解RhABQ得到BQ=2.7m,再根據(jù)有20個停車位計算出QM的

長即可得到答案.

(1)解：：四邊形PQMN是矩形,

??.Z(?=ZP=90°,

在RtAABQ中，Z4Z?e=60°,AB=5Am,

AAQ=AB-sinZABQ=m>NQA8=30。,

???四邊形48co是矩形,

/.AD=BC,ZBAD=ZBCD=ZABC=ZBCE=90°，

???ZCBE=30%

.?gCE

tanZCBE5

5

???ZPAD=180°-30°-90°=60°，

4G

AAP=ADcosZPAD=^—m

5

???PQ=AP+AQ=^^^6Am

CE

（2）解：在RLBCE中，BE=3.2m,

sin/CBE

在RtqABQ中，BQ=AB-cosZABQ=2.7m,

???該充電站有20個停車位，

??.QM=QB+20BE=66.7m,

???四邊形A8C3是矩形，

??.PN=QM=66.7m.

四、解答題（二）：本大題共3小題，每小題9分，共27分.

19.端午假期，王先生計劃與家人一同前往景區(qū)游玩，為了選擇一個最合適的景區(qū)，王先生對機B、C三個

景區(qū)進行了調(diào)查勺評估.他依據(jù)特色美食、自然風光、鄉(xiāng)村民宿及科普基地四個方面，為每個景區(qū)評分（10

分制）.三個景區(qū)的得分如下表所示：

景特色美自然風鄉(xiāng)村民科普基

區(qū)食光宿地

A6879

B7787

C8866

（1）若四項所占百分比如圖所示，通過計算回答：王先生會選擇哪個景區(qū)去游玩？

（2）如果王先生認為四項同等重:要，通過計算回答：王先生將會選擇哪個景區(qū)去游玩？

（3）如果你是王先生，請按你認為的各項“重要程度”設(shè)計四項得分的百分比，選擇最合適的景區(qū)，并

說明理由.

答案：（1）王先生會選擇8景區(qū)云游玩

（2）王先生會選擇4景區(qū)去游玩

（3）最合適的景區(qū)是8景區(qū)，理由見解析（不唯一）

解析：

本題主要考查了求平均數(shù)和求加權(quán)平均數(shù)：

（I）根據(jù)加權(quán)平均數(shù)的計算方法分別計算出三個景區(qū)的得分即可得到答案；

（2）根據(jù)平均數(shù)的計算方法分別計算出三個景區(qū)的得分即可得到答案；

（3）設(shè)計對應的權(quán)重，仿照（1）求解即可.

（1）解：A景區(qū)得分為6x30%+8xl5%+7x40%+9xl5%=7.15分，

8景區(qū)得分為7乂30%+7*15%+8*40%+7乂15%=7.4分，

C景區(qū)得分為8x3（）%+8xl5%+6x40%+6xl5%=6.9分，

???6.9<7.15<7.4,

???王先生會選擇8景區(qū)去游玩；

⑵解：A景區(qū)得分如A=7.5分,

7+7+8+7

8景區(qū)得分~1~=7.25分,

6+6+8+8

C景區(qū)得分~7~=7分,

V7<7.25<7.5,

???工先生會選擇A景區(qū)去游玩;

(3)解：最合適的景區(qū)是3景區(qū)，理由如下：

設(shè)特色美食、自然風光、鄉(xiāng)村民宿及科普基地四個方面的占比分別為30%,20%4()%,10%,

A景區(qū)得分為6乂30%+8乂20%+7乂40%+9乂10%=7.1分，

B景區(qū)得分為7乂30%+7><20%+8乂40%+7乂10%=7.4分，

。景區(qū)得分為8x30%+8x20%+6x40%+6xl0%=7分，

V7<7.1<7.4,

???王先生會選擇B景區(qū)去游玩.

20.廣東省全力實施“百縣千鎮(zhèn)萬村高質(zhì)量發(fā)展工程”，2023年農(nóng)產(chǎn)品進出口總額居全國首位，其中荔枝鮮

果遠銷歐美.某果商以每噸2萬元的價格收購早熟荔枝，銷往國外.若按每噸5萬元出售，平均每天可售出

100噸.市場調(diào)查反映：如果每噸降價1萬元，每天銷售量相應增加50噸.該果商如何定價才能使每天的

“利潤”或“銷售收入”最大？并求出其最大值.(題中“元”為人民幣)

答案：當定價為4.5萬元每噸時，利潤最大，最大值為312.5萬元

解析：

本題主要考查了二次函數(shù)的實際應用，設(shè)每噸降價工萬元，每天的利潤為卬萬元，根據(jù)利潤=每噸的利潤

x銷售量列出叩關(guān)于x的二次函數(shù)關(guān)系式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.

解：設(shè)每噸降價x萬元，每天的利潤為卬萬元，

由題意得，vv=(5-x-2)(100+50x)

=-50x2+50x4-300

=-5ofx--l+312.5,

I2j

???-50v0，

.?.當x=L時，卬有最大值，最大值為312.5,

2

5-x=4.5,

答：當定價為4.5萬元每噸時，利澗最大，最大值為312.5萬元.

21.綜合與實踐

【主題】濾紙與漏斗

【素?材】如圖1所示：

①一張直徑為l()cm的圓形謔紙；

②一只漏斗口直徑與母線均為7cm的圓錐形過濾漏斗.

圖1

【實踐操作】

步驟I:取一張濾紙；

步驟2：按如圖2所示步驟折登好濾紙；

步驟3：將其中?層撐開，圍成圓錐形；

步驟4：將鬧成圓錐形的濾紙放入如圖1所示漏斗中.

【實踐探索】

（1）濾紙是否能緊貼此漏斗內(nèi)壁（忽略漏斗管口處）?用你所學的數(shù)學知識說明.

（2）當濾紙緊貼漏斗內(nèi)壁時，求濾紙圍成圓錐形的體積.（結(jié)果保留兀）

答案：（1）能，見解析

(2)

24

解析：

本題考查了圓錐，解題的關(guān)鍵是：

（I）利用圓錐的底面周長=側(cè)面展開扇形的弧長求出圓錐展開圖的扇形圓心角，即可判斷；

（2）利用圓錐的底面周長=側(cè)面展開扇形的弧長，求出濾紙圍成圓錐形底面圓的半徑，利用勾股定理求出

圓錐的高，然后利用圓錐體積公式求解即可.

⑴解:能，

理由：設(shè)圓錐展開圖的扇形圓心角為〃。，

一r

根據(jù)題意，得竺一二7兀，

180

解得〃=18（）?,

???將圓形濾紙對折，將其中一層撐開，圍成圓錐形，此時濾紙能緊貼此漏斗內(nèi)壁;

（2）解：設(shè)濾紙圍成圓錐形底面圓的半徑為em,高為/zcm,

根據(jù)題意，得2〃J8（上<5

解得r=2,

2

??/I==|5

5]

圓錐的體積為一7tr~h=—4xx沔喈"

332

五、解答題（三）：本大題共2小題，第22題13分，第23題14分，共27分.

22.【知識技能】

（1）如圖1,在/8C中，OE是/8C的中位線.連接8,將△4OC繞點。按逆時針方向旋轉(zhuǎn),

得到，HOC.當點石的對應點￡與點人重合時，求證：AB=BC.

【數(shù)學理解】

（2）如圖2,在中（A3<3C）,D石是的中位線.連接CD,將八!。。繞點。按逆時針

方向旋轉(zhuǎn)，得到，A0C,連接*8，C'C，作二A3。的中線。產(chǎn).求證：2DFCD=BDCC.

【拓展探索】

432

（3）如圖3,在y3C中，tan/?=-,點。在A8上，AD=—.過點。作OE_L3C,垂足為E,

35

32

BE=3,CE=—.在四邊形ADEC內(nèi)是否存在點G,使得NAG。+NCGE=180。？若存在，請給出

3

證明；若不存在，請說明埋由.

答案：（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）存在，證明見解析

解析:

（1）根據(jù)中位線的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可證明;

（2）利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、外角定理、中位線的性質(zhì)證明△AFDS/XOGC后即可證明;

（3）通過解直角三角形得到。E=4，BD=5,過點。作CV1AB于點、M,易證一BDEs￡BCM,

得到處二匹=匹，即可求得8M二2，進而0M=3=，4。，從而點加是人。的中點，過點

BCCMBM552

。作OP〃8C,交CM于點、P,連接AP,CP,EP，根據(jù)三線合一得

??八

/DPM=/APM=—/APD,證明...PDMS、DBE，即可求的二一，過點P作PNLBC于點

23

N,則四邊形力EA9是矩形，得到EN=3=，EC,因此點N是EC的中點，進而

32

ZEPN=ZCPN=-ZEPC,再證△PENs^DPM,得到NEPN=NPZW,根據(jù)

2

ZMPD+NPDM=90。，即可推出NEPC+NAPD=180。，因此當點G與點。重合時，滿足

ZAGD+ZCGE=\80°.

證明：(1)是二48C的中位線，

22

又AADC繞點。按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到.ADC'

-DE=AD

AB=BC.

(2)由題意可知：DC=DC,DA=DAf，NCDC=ZADA'.

作DG_LCC,則CG=CG=-CC且ZCDG=/C'DG=-ZCDC,

22

又BD=DA=DAl,

??ZA,BD=ZBA,D.

根據(jù)外角定理

ZADA=ZABD—ZBA'D，

ABA,D=-ZA,DA

2f

??.ABAD=ZCCG.

又O8=D4'，0b是AABO的中位線,

???OP_LA8，

ZA'FD=90。,

??△ATZXADGC'，

,DFAA

~CG~~CD，

DFBD

2

，1DFCD=BDCC.

(3)存在點G使得NAGD+NCGE=180。.

DEIBC,

:./DEB=90。,

4

???在七中，DE=BEtanB=3x-=4,

3

BD=yjBE2+DE2=V32+42=5

過點C作1AB于點M,

:，乙CMB=/DEB=90°，

???4B=/B，

：?_BDES_BCM

543

BDDEBE

?_______________即3+%一而一的,

'BC~CM~BM

~3

??.DM=BM-BD=—-5=—,

55

32

AD=—

5

：.DM=-AD,

2

???點M是A。的中點,

???CM是AO的垂直平分線，

過點。作。F〃BC,交CM于點P,連接人。，CP,EP

??PA=PD,

??根據(jù)三線合一得/DPM=ZAPM，

:DP〃BC,

??,DP=/B，

：/PMD=/DEB，

??.PDMSQBE，

16

PDDM

,即尸Q二5,

DBBE

??一

過點、P作PNLBC于點N,則四邊形。ENP是矩形,

?.EN=DP=—,PN=DE=4

3

32

：EC=—,

3

\EN=-EC,

2

??點N是反?的中點,

??PN垂直平分EC,

??PE=PC,

??乙EPN=4CPN=-NEPC,

2

PN43

DMBE_3

?，

?EN164~PM~~DE~^

T

PNDM

,~EN~~PM

又ZPNE-ZDMP-90。，

???△PENS^DPM,

:.4EPN=4PDM,

???AMPD+/PDM=180°-ZPMD=90°,

???4MPD+/EPN=90。

即；/EPC+gZAPD=90°,

，ZEPC+ZAPD=180°,

???當點G與點。重合時，滿足NAGD+NCG石=180。.

【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、中位線的性質(zhì)、外角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、解直

角三角形，熱練掌握知識點以及靈活運用是解題的關(guān)鍵.

23.【問題背景】

如圖1,在平面直角坐標系中，點B,。是直線y=ar（a>0）上第一象限內(nèi)兩個動點（OO>O8）,以線

k

段BO為對角線作矩形ABC。，AO〃x軸.反比例函數(shù)），:一的圖象經(jīng)過點A.

x

【構(gòu)建聯(lián)系】

（1）求證：函數(shù)y=&的圖象必經(jīng)過點C.

x

（2）如圖2,把矩形A3CO沿8。折疊，點C的對應點為￡當點￡落在y軸上，且點8的坐標為（1,2）

時，求A的值.

【深入探究】

（3）如圖3,把矩形ABCO沿8。折疊，點。的對應點為E.當點E,A重合時，連接4c交于點P.以

點。為圓心，AC長為半徑作OO.若OP=3五，當。O與一A3C的邊有交點時，求A的取值范圍.

答案：（1）證明見解析；（2）%=—；（3）6<X:<8

3

解析：

（（b\L

（1）設(shè)必加,"以），則A〃?,一，用含〃2,%的代數(shù)式表示出。一"〃〃，再代入），二一驗證即可得解;

km）\amJx

DE

（2）先由點B的坐標和上表示出OC=&—2,再由折疊性質(zhì)得出2=轉(zhuǎn)，如圖，過點。作y軸,

BE

k

過點B作Bb_L），軸，證出ADHES^EFB，由比值關(guān)系可求出HF=2+二，最后由HF=DC即可得解;

4

（3）當。。過點B時，如圖所示，過點D作D"|x軸交y軸于點H,求出出的值，當。。過點人時，根

據(jù)A,。關(guān)于直線。。對軸知，GO必過點C如圖所示，連A。，CO,過點。作軸交），軸于點

H,求出k的值，進而即