2025高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)講義第10講卡根思想在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用(高階拓展、競(jìng)賽適用)(學(xué)生版+解析)

根思想在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用（高階拓展、競(jìng)賽適用）（核心考點(diǎn)精講精練）1.5年真題考點(diǎn)分布5年考情考題示例考點(diǎn)分析關(guān)聯(lián)考點(diǎn)2023年全國(guó)甲卷理數(shù)，第21題,12分卡根思想在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用.求在曲線上一點(diǎn)處的切線方程用導(dǎo)數(shù)判斷或證明已知函數(shù)的單調(diào)性根據(jù)極值求參數(shù)由函數(shù)對(duì)稱性求函數(shù)值或參數(shù)2023年全國(guó)乙卷理數(shù)，第21題,12分卡根思想在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(不含參)利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問(wèn)題2022年新I卷，第22題,12分卡根思想在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(含參)2022年全國(guó)乙卷理數(shù)，第21題,12分卡根思想在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用求在曲線上一點(diǎn)處的切線方程(斜率利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)2021年全國(guó)甲卷理數(shù)，第21題,12分卡根思想在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(不含參)利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的載體內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度較大，分值為15-17分【備考策略】1能用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)基本問(wèn)題2能用卡根思想結(jié)合零點(diǎn)存在性定理綜合解題【命題預(yù)測(cè)】在零點(diǎn)個(gè)數(shù)及方程的根等綜合問(wèn)題研究中，參變分離和數(shù)形結(jié)合都是解題的方法，但也都有局限性，同時(shí)對(duì)函數(shù)圖像畫(huà)法要求較高；包括在零點(diǎn)個(gè)數(shù)研究中還有放縮方法，但是放縮的不等式變化較多，這樣對(duì)學(xué)生又提出了比較嚴(yán)苛能力要求。此時(shí)卡根法是此類題型的另一方法。同時(shí)卡根法也常應(yīng)用于導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的過(guò)程中，其本質(zhì)是虛設(shè)零點(diǎn)（設(shè)而不求），利用零點(diǎn)滿足的關(guān)系式化簡(jiǎn)，從而得到范圍或符號(hào)。高考中常用的解題方法，需要學(xué)生復(fù)習(xí)中綜合掌握知識(shí)講解“卡根”問(wèn)題的一般方法，其具體步驟如下根據(jù)函數(shù)的增長(zhǎng)速度判斷函數(shù)值變化的趨勢(shì)，以便確定是否存在零點(diǎn);根據(jù)函數(shù)表達(dá)式的特點(diǎn)進(jìn)行拆分，一般拆分成和或乘積形式;根據(jù)函數(shù)的增長(zhǎng)速度，將指、對(duì)數(shù)函數(shù)放縮成冪函數(shù)及其和的形式;根據(jù)相關(guān)不等式的解集，利用零點(diǎn)存在定理來(lái)確定零點(diǎn)存在的區(qū)間零點(diǎn)存在性定理：如果函數(shù)在區(qū)間上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有，那么函數(shù)在區(qū)間內(nèi)必有零點(diǎn)，即，使得注：零點(diǎn)存在性定理使用的前提是在區(qū)間連續(xù)，如果是分段的，那么零點(diǎn)不一定存在考點(diǎn)一、卡根思想在導(dǎo)數(shù)中的綜合應(yīng)用1．（2023·全國(guó)·高考真題）已知函數(shù)(1)當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；(2)若恒成立，求a的取值范圍．2．（2023·全國(guó)·高考真題）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)是否存在a，b，使得曲線關(guān)于直線對(duì)稱，若存在，求a，b的值，若不存在，說(shuō)明理由.(3)若在存在極值，求a的取值范圍.3．（2022·全國(guó)·高考真題）已知函數(shù)(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若在區(qū)間各恰有一個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．4．（2022·全國(guó)·高考真題）已知函數(shù)和有相同的最小值．(1)求a；(2)證明：存在直線，其與兩條曲線和共有三個(gè)不同的交點(diǎn)，并且從左到右的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列．1．已知函數(shù)，．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）令，若在恒成立，求整數(shù)a的最大值．參考數(shù)據(jù)：，2．已知函數(shù)，．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若關(guān)于的不等式恒成立，求整數(shù)的最小值．3．已知函數(shù)，．(1)函數(shù)的圖象與的圖象無(wú)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)是否存在實(shí)數(shù)m，使得對(duì)任意的，都有函數(shù)的圖象在的圖象的下方？若存在，求出整數(shù)m的最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．1．（2024·福建福州·三模）已知函數(shù)．(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若恒成立，求的值2．（2024·山東日照·三模）已知函數(shù)，，.(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，對(duì)，，求正整數(shù)的最大值.3．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)當(dāng)a＝0時(shí)，若存在使得關(guān)于x的不等式成立，求k的最小整數(shù)值．（參考數(shù)據(jù)：）4．（2023·江西上饒·一模）已知，．(1)討論的單調(diào)性；(2)若，，試討論在內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．（參考數(shù)據(jù)：）5．（2024·浙江紹興·二模）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)當(dāng)時(shí)，，求實(shí)數(shù)的取值范圍.6．（2024·河南信陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，．(1)試比較與的大小；(2)若恒成立，求的取值范圍．7．（2024·安徽安慶·三模）已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線平行于直線．(1)若對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若是函數(shù)的極值點(diǎn)，求證：．8．（2024·四川綿陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；(2)若關(guān)于的不等式在上恒成立，求的取值范圍.9．（2022·河北唐山·二模）已知函數(shù)，，曲線和在原點(diǎn)處有相同的切線l．(1)求b的值以及l(fā)的方程；(2)判斷函數(shù)在上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由．10．（2023·海南?？凇ざ＃┮阎?(1)若在處取到極值，求的值；(2)直接寫(xiě)出零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，結(jié)論不要求證明；(3)當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)，證明：函數(shù)存在唯一的極小值點(diǎn)且極小值大于.11．（2021·四川南充·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，，，令．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值；（2）若關(guān)于的不等式恒成立，求整數(shù)的最小值．12．（2024·四川遂寧·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，其中.(1)當(dāng)時(shí)，，求a的取值范圍.(2)若，證明：有三個(gè)零點(diǎn)，，（），且，，成等比數(shù)列.1．（2021·全國(guó)·高考真題）已知且，函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若曲線與直線有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，求a的取值范圍．2．（2020·全國(guó)·高考真題）設(shè)函數(shù)，曲線在點(diǎn)(，f())處的切線與y軸垂直．（1）求b．（2）若有一個(gè)絕對(duì)值不大于1的零點(diǎn)，證明：所有零點(diǎn)的絕對(duì)值都不大于1．3．（2017·全國(guó)·高考真題）已知函數(shù)且.（1）求a；（2）證明：存在唯一的極大值點(diǎn)，且卡根思想在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用（高階拓展、競(jìng)賽適用）（核心考點(diǎn)精講精練）1.5年真題考點(diǎn)分布5年考情考題示例考點(diǎn)分析關(guān)聯(lián)考點(diǎn)2023年全國(guó)甲卷理數(shù)，第21題,12分卡根思想在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用.求在曲線上一點(diǎn)處的切線方程用導(dǎo)數(shù)判斷或證明已知函數(shù)的單調(diào)性根據(jù)極值求參數(shù)由函數(shù)對(duì)稱性求函數(shù)值或參數(shù)2023年全國(guó)乙卷理數(shù)，第21題,12分卡根思想在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(不含參)利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問(wèn)題2022年新I卷，第22題,12分卡根思想在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(含參)2022年全國(guó)乙卷理數(shù)，第21題,12分卡根思想在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用求在曲線上一點(diǎn)處的切線方程(斜率利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)2021年全國(guó)甲卷理數(shù)，第21題,12分卡根思想在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(不含參)利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的載體內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度較大，分值為15-17分【備考策略】1能用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)基本問(wèn)題2能用卡根思想結(jié)合零點(diǎn)存在性定理綜合解題【命題預(yù)測(cè)】在零點(diǎn)個(gè)數(shù)及方程的根等綜合問(wèn)題研究中，參變分離和數(shù)形結(jié)合都是解題的方法，但也都有局限性，同時(shí)對(duì)函數(shù)圖像畫(huà)法要求較高；包括在零點(diǎn)個(gè)數(shù)研究中還有放縮方法，但是放縮的不等式變化較多，這樣對(duì)學(xué)生又提出了比較嚴(yán)苛能力要求。此時(shí)卡根法是此類題型的另一方法。同時(shí)卡根法也常應(yīng)用于導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的過(guò)程中，其本質(zhì)是虛設(shè)零點(diǎn)（設(shè)而不求），利用零點(diǎn)滿足的關(guān)系式化簡(jiǎn)，從而得到范圍或符號(hào)。高考中常用的解題方法，需要學(xué)生復(fù)習(xí)中綜合掌握知識(shí)講解“卡根”問(wèn)題的一般方法，其具體步驟如下根據(jù)函數(shù)的增長(zhǎng)速度判斷函數(shù)值變化的趨勢(shì)，以便確定是否存在零點(diǎn);根據(jù)函數(shù)表達(dá)式的特點(diǎn)進(jìn)行拆分，一般拆分成和或乘積形式;根據(jù)函數(shù)的增長(zhǎng)速度，將指、對(duì)數(shù)函數(shù)放縮成冪函數(shù)及其和的形式;根據(jù)相關(guān)不等式的解集，利用零點(diǎn)存在定理來(lái)確定零點(diǎn)存在的區(qū)間零點(diǎn)存在性定理：如果函數(shù)在區(qū)間上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有，那么函數(shù)在區(qū)間內(nèi)必有零點(diǎn)，即，使得注：零點(diǎn)存在性定理使用的前提是在區(qū)間連續(xù)，如果是分段的，那么零點(diǎn)不一定存在考點(diǎn)一、卡根思想在導(dǎo)數(shù)中的綜合應(yīng)用1．（2023·全國(guó)·高考真題）已知函數(shù)(1)當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；(2)若恒成立，求a的取值范圍．【答案】(1)答案見(jiàn)解析.(2)【分析】（1）求導(dǎo),然后令,討論導(dǎo)數(shù)的符號(hào)即可;（2）構(gòu)造,計(jì)算的最大值,然后與0比較大小,得出的分界點(diǎn),再對(duì)討論即可.【詳解】（1）令,則則當(dāng)當(dāng),即.當(dāng),即.所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減（2）設(shè)設(shè)所以.若,即在上單調(diào)遞減,所以.所以當(dāng),符合題意.若當(dāng),所以..所以,使得,即,使得.當(dāng),即當(dāng)單調(diào)遞增.所以當(dāng),不合題意.綜上,的取值范圍為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:本題采取了換元,注意復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性在定義域內(nèi)是減函數(shù),若,當(dāng),對(duì)應(yīng)當(dāng).2．（2023·全國(guó)·高考真題）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)是否存在a，b，使得曲線關(guān)于直線對(duì)稱，若存在，求a，b的值，若不存在，說(shuō)明理由.(3)若在存在極值，求a的取值范圍.【答案】(1)；(2)存在滿足題意，理由見(jiàn)解析.(3).【分析】(1)由題意首先求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后由導(dǎo)數(shù)的幾何意義確定切線的斜率和切點(diǎn)坐標(biāo)，最后求解切線方程即可；(2)首先求得函數(shù)的定義域，由函數(shù)的定義域可確定實(shí)數(shù)的值，進(jìn)一步結(jié)合函數(shù)的對(duì)稱性利用特殊值法可得關(guān)于實(shí)數(shù)的方程，解方程可得實(shí)數(shù)的值，最后檢驗(yàn)所得的是否正確即可；(3)原問(wèn)題等價(jià)于導(dǎo)函數(shù)有變號(hào)的零點(diǎn)，據(jù)此構(gòu)造新函數(shù)，然后對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，利用切線放縮研究導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)，分類討論，和三中情況即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，據(jù)此可得，函數(shù)在處的切線方程為，即.（2）令，函數(shù)的定義域滿足，即函數(shù)的定義域?yàn)?，定義域關(guān)于直線對(duì)稱，由題意可得，由對(duì)稱性可知，取可得，即，則，解得，經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意，故.即存在滿足題意.（3）由函數(shù)的解析式可得，由在區(qū)間存在極值點(diǎn)，則在區(qū)間上存在變號(hào)零點(diǎn);令，則，令，在區(qū)間存在極值點(diǎn)，等價(jià)于在區(qū)間上存在變號(hào)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，此時(shí)，在區(qū)間上無(wú)零點(diǎn)，不合題意;當(dāng)，時(shí)，由于，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，在區(qū)間上單調(diào)遞增，，所以在區(qū)間上無(wú)零點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，由可得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，故的最小值為，令，則，函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，，據(jù)此可得恒成立，則，由一次函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得，當(dāng)時(shí)，，且注意到，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理可知:在區(qū)間上存在唯一零點(diǎn).當(dāng)時(shí)，，單調(diào)減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以.令，則，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以，所以，所以函數(shù)在區(qū)間上存在變號(hào)零點(diǎn)，符合題意.綜合上面可知:實(shí)數(shù)得取值范圍是.【點(diǎn)睛】(1)求切線方程的核心是利用導(dǎo)函數(shù)求切線的斜率，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要準(zhǔn)確地把函數(shù)拆分成基本初等函數(shù)的和、差、積、商，再利用運(yùn)算法則求導(dǎo)，合函數(shù)求導(dǎo)，應(yīng)由外到內(nèi)逐層求導(dǎo)，必要時(shí)要進(jìn)行換元.(2)根據(jù)函數(shù)的極值(點(diǎn))求參數(shù)的兩個(gè)要領(lǐng)：①列式:根據(jù)極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為0和極值這兩個(gè)條件列方程組，利用待定系數(shù)法求解;②驗(yàn)證:求解后驗(yàn)證根的合理性.本題中第二問(wèn)利用對(duì)稱性求參數(shù)值之后也需要進(jìn)行驗(yàn)證.3．（2022·全國(guó)·高考真題）已知函數(shù)(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若在區(qū)間各恰有一個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）先算出切點(diǎn),再求導(dǎo)算出斜率即可（2）求導(dǎo),對(duì)分類討論,對(duì)分兩部分研究【詳解】（1）的定義域?yàn)楫?dāng)時(shí),,所以切點(diǎn)為,所以切線斜率為2所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為（2）設(shè)若,當(dāng),即所以在上單調(diào)遞增,故在上沒(méi)有零點(diǎn),不合題意若,當(dāng),則所以在上單調(diào)遞增所以,即所以在上單調(diào)遞增,故在上沒(méi)有零點(diǎn),不合題意若(1)當(dāng),則,所以在上單調(diào)遞增所以存在,使得,即當(dāng)單調(diào)遞減當(dāng)單調(diào)遞增所以當(dāng),令則所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，又，，所以在上有唯一零點(diǎn)又沒(méi)有零點(diǎn),即在上有唯一零點(diǎn)(2)當(dāng)設(shè)所以在單調(diào)遞增所以存在,使得當(dāng)單調(diào)遞減當(dāng)單調(diào)遞增,又所以存在,使得,即當(dāng)單調(diào)遞增,當(dāng)單調(diào)遞減，當(dāng)，，又，而,所以當(dāng)所以在上有唯一零點(diǎn),上無(wú)零點(diǎn)即在上有唯一零點(diǎn)所以,符合題意所以若在區(qū)間各恰有一個(gè)零點(diǎn),求的取值范圍為【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是對(duì)的范圍進(jìn)行合理分類，否定和肯定并用，否定只需要說(shuō)明一邊不滿足即可，肯定要兩方面都說(shuō)明.4．（2022·全國(guó)·高考真題）已知函數(shù)和有相同的最小值．(1)求a；(2)證明：存在直線，其與兩條曲線和共有三個(gè)不同的交點(diǎn)，并且從左到右的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列．【答案】(1)(2)見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)的單調(diào)性，從而可得相應(yīng)的最小值，根據(jù)最小值相等可求a.注意分類討論.（2）根據(jù)（1）可得當(dāng)時(shí)，的解的個(gè)數(shù)、的解的個(gè)數(shù)均為2，構(gòu)建新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可得該函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)且可得的大小關(guān)系，根據(jù)存在直線與曲線、有三個(gè)不同的交點(diǎn)可得的取值，再根據(jù)兩類方程的根的關(guān)系可證明三根成等差數(shù)列.【詳解】（1）的定義域?yàn)?，而，若，則，此時(shí)無(wú)最小值，故.的定義域?yàn)?，?當(dāng)時(shí)，，故在上為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，故在上為增函數(shù)，故.當(dāng)時(shí)，，故在上為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，故在上為增函數(shù)，故.因?yàn)楹陀邢嗤淖钚≈?，故，整理得到，其中，設(shè)，則，故為上的減函數(shù)，而，故的唯一解為，故的解為.綜上，.（2）[方法一]：由（1）可得和的最小值為.當(dāng)時(shí)，考慮的解的個(gè)數(shù)、的解的個(gè)數(shù).設(shè)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以，而，，設(shè)，其中，則，故在上為增函數(shù)，故，故，故有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，即的解的個(gè)數(shù)為2.設(shè)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以，而，，有兩個(gè)不同的零點(diǎn)即的解的個(gè)數(shù)為2.當(dāng)，由（1）討論可得、僅有一個(gè)解，當(dāng)時(shí)，由（1）討論可得、均無(wú)根，故若存在直線與曲線、有三個(gè)不同的交點(diǎn)，則.設(shè)，其中，故，設(shè)，，則，故在上為增函數(shù)，故即，所以，所以在上為增函數(shù)，而，，故上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，且：當(dāng)時(shí)，即即，當(dāng)時(shí)，即即，因此若存在直線與曲線、有三個(gè)不同的交點(diǎn)，故，此時(shí)有兩個(gè)不同的根，此時(shí)有兩個(gè)不同的根，故，，，所以即即，故為方程的解，同理也為方程的解又可化為即即，故為方程的解，同理也為方程的解，所以，而，故即.[方法二]：由知，，，且在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且①時(shí)，此時(shí)，顯然與兩條曲線和共有0個(gè)交點(diǎn)，不符合題意；②時(shí)，此時(shí)，故與兩條曲線和共有2個(gè)交點(diǎn)，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為0和1；③時(shí)，首先，證明與曲線有2個(gè)交點(diǎn)，即證明有2個(gè)零點(diǎn)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又因?yàn)椋?，，令，則，所以在上存在且只存在1個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為，在上存在且只存在1個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為其次，證明與曲線和有2個(gè)交點(diǎn)，即證明有2個(gè)零點(diǎn)，，所以上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又因?yàn)?，，，令，則，所以在上存在且只存在1個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為，在上存在且只存在1個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為再次，證明存在b，使得因?yàn)?，所以，若，則，即，所以只需證明在上有解即可，即在上有零點(diǎn)，因?yàn)?，，所以在上存在零點(diǎn)，取一零點(diǎn)為，令即可，此時(shí)取則此時(shí)存在直線，其與兩條曲線和共有三個(gè)不同的交點(diǎn)，最后證明，即從左到右的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列，因?yàn)樗裕忠驗(yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，，即，所以，同理，因?yàn)?，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，即，，所以，又因?yàn)?，所以，即直線與兩條曲線和從左到右的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：函數(shù)的最值問(wèn)題，往往需要利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，此時(shí)注意對(duì)參數(shù)的分類討論，而不同方程的根的性質(zhì)，注意利用方程的特征找到兩類根之間的關(guān)系.1．已知函數(shù)，．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）令，若在恒成立，求整數(shù)a的最大值．參考數(shù)據(jù)：，【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）3.【分析】求得，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)對(duì)a進(jìn)行討論求解單調(diào)性；由題設(shè)可得，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為恒成立，構(gòu)造并應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究最小值，由即可求整數(shù)a的最大值．【詳解】的定義域?yàn)榍?，①?dāng)時(shí)，由得：，∴時(shí)，的增區(qū)間為，減區(qū)間為，②當(dāng)時(shí)，令得：或，∴的增區(qū)間為和減區(qū)間為③當(dāng)時(shí)，恒成立，此時(shí)的增區(qū)間為，無(wú)遞減區(qū)間：④當(dāng)時(shí)，令得：或，∴的遞增區(qū)間為和，減區(qū)間為．，則恒成立．令，則，令，，知在上遞增且，，∴，使，即在遞減，在遞增，∴，∴由知：整數(shù)a的最大值為3．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問(wèn)，將題設(shè)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為恒成立，構(gòu)造函數(shù)并應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究最值，求參數(shù).2．已知函數(shù)，．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若關(guān)于的不等式恒成立，求整數(shù)的最小值．【答案】（1）具體見(jiàn)解析；（2）.【分析】（1）先確定函數(shù)的定義域，求導(dǎo)后得，根據(jù)正負(fù)進(jìn)行討論，可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）中可通過(guò)分離參數(shù)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成在區(qū)間內(nèi)恒成立求解，令，結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)存在定理可求得的最值．【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋深}意得，當(dāng)時(shí)，，則在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，由，得或（舍去），當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減．所以當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．（2）由，得，因?yàn)?，所以原命題等價(jià)于在區(qū)間內(nèi)恒成立．令，則，令，則在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，又，所以存在唯一的，使得，且當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，，所以當(dāng)時(shí)，有極大值，也為最大值，且，所以，又，所以,所以，因?yàn)?，故整?shù)的最小值為2．【點(diǎn)睛】本題屬于導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用題．第一問(wèn)中要合理確定對(duì)進(jìn)行分類的標(biāo)準(zhǔn)；第二問(wèn)利用分離參數(shù)的方法解題，但在求函數(shù)的最值時(shí)遇到了導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)存在但不可求的問(wèn)題，此時(shí)的解法一般要用到整體代換，即由可得，在解題時(shí)將進(jìn)行代換以使問(wèn)題得以求解．3．已知函數(shù)，．(1)函數(shù)的圖象與的圖象無(wú)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)是否存在實(shí)數(shù)m，使得對(duì)任意的，都有函數(shù)的圖象在的圖象的下方？若存在，求出整數(shù)m的最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)存在，1【分析】（1）將函數(shù)與無(wú)公共點(diǎn)，等價(jià)于方程在無(wú)解，根據(jù)導(dǎo)數(shù)求最值即可求解.（2）將圖像位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為對(duì)恒成立,構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)處理單調(diào)型即可求解.【詳解】（1）函數(shù)與無(wú)公共點(diǎn)，等價(jià)于方程在無(wú)解，令，則，令，得，因?yàn)槭俏ㄒ坏臉O大值點(diǎn)，故xe+0-增極大值減故要使方程在無(wú)解，當(dāng)且僅當(dāng)，故實(shí)數(shù)a的取值范圍為；（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)m滿足題意，則不等式對(duì)恒成立．即對(duì)恒成立．令，則，令，則，∵在上單調(diào)遞增，，，且的圖象在上連續(xù)，∴存在，使得，即，則，∴當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，則取到最小值，∴，即在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增．，∴存在實(shí)數(shù)m滿足題意，且最大整數(shù)m的值為1．1．（2024·福建福州·三模）已知函數(shù)．(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若恒成立，求的值【答案】(1)；(2)【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可；（2）由，得，當(dāng)時(shí)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，最小值為，若恒成立，則，設(shè)．根據(jù)導(dǎo)數(shù)研究的最大值，即可求出的值.【詳解】（1）定義域?yàn)?，由，得，因?yàn)?，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為；（2）定義域?yàn)?，，①?dāng)時(shí)，，不符合題意．②當(dāng)時(shí)，令，解得，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值；若恒成立，則，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，即的解為．所以.2．（2024·山東日照·三模）已知函數(shù)，，.(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，對(duì)，，求正整數(shù)的最大值.【答案】(1)答案見(jiàn)解析；(2)3.【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再按與分類討論求出函數(shù)的單調(diào)性.（2）把代入，再等價(jià)變形給定的不等式，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出最小值的范圍得解.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，求?dǎo)得，①當(dāng)時(shí)，有，此時(shí)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減；②當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.（2）當(dāng)，時(shí)，恒成立，等價(jià)于恒成立，設(shè)，，則，當(dāng)時(shí)，有，函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，，則存在唯一的，使得，即，當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，設(shè)，則當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，又因?yàn)?，所?所以正整數(shù)的最大值是3.3．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)當(dāng)a＝0時(shí)，若存在使得關(guān)于x的不等式成立，求k的最小整數(shù)值．（參考數(shù)據(jù)：）【答案】(1)答案見(jiàn)解析；(2)0.【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分，，三種情況討論的符號(hào)求解作答.（2）構(gòu)造函數(shù)，求出的最小值取值范圍，再由不等式成立求整數(shù)k的最小值作答.【詳解】（1）函數(shù)的定義域R，求導(dǎo)得：，若，由，得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，若，則對(duì)任意都有，則在R上單調(diào)遞增，若，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在R上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．（2）當(dāng)a=0時(shí)，令，則，令，則，則當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，因，，則存在，使得，即，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，又當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，因此在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，于是，，．若存在使得關(guān)于x的不等式成立，且k為整數(shù)，得，所以k的最小整數(shù)值為0.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：函數(shù)的定義區(qū)間為，若，使得成立，則；若，使得成立，則.4．（2023·江西上饒·一模）已知，．(1)討論的單調(diào)性；(2)若，，試討論在內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．（參考數(shù)據(jù)：）【答案】(1)答案見(jiàn)解析.(2)當(dāng)時(shí)，在上僅有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，在上有2個(gè)零點(diǎn).【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，討論a的范圍，判斷導(dǎo)數(shù)正負(fù)，可得答案；（2）求出的導(dǎo)數(shù)，再次求導(dǎo)，分和討論的正負(fù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而結(jié)合零點(diǎn)存在定理判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).【詳解】（1）由已知可知,當(dāng)時(shí)，，在R上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令，則，當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí)，,在單調(diào)遞增.綜上，當(dāng)時(shí)，在R上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.（2）由已知，，令,則,當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，，，，①當(dāng)時(shí)，，，存在唯一的，使得，當(dāng)時(shí)，在上遞增；當(dāng)時(shí)，在上遞減，因?yàn)椋?，又因?yàn)?，由零點(diǎn)存在性定理可得，在上僅有一個(gè)零點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，，，使得，當(dāng)和時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，而，由零點(diǎn)存在性定理可得，在和上各有一個(gè)零點(diǎn)，即在上有2個(gè)零點(diǎn)，綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上僅有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，在上有2個(gè)零點(diǎn)．【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：解答在內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，難點(diǎn)在于設(shè)出,求導(dǎo)后,要進(jìn)行分類討論，判斷函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在定理，判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù).5．（2024·浙江紹興·二模）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)當(dāng)時(shí)，，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，進(jìn)而求出切線方程；（2）分和討論，利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合不等式放縮判斷導(dǎo)數(shù)正負(fù)，結(jié)合單調(diào)性驗(yàn)證恒成立是否滿足.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，所以切線斜率為，又，所以，切線方程是.（2）①當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，所?記，則，令，則.因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，，所以，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，，所以.②當(dāng)時(shí)，，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，令，則，若，則，即在區(qū)間上單調(diào)遞增.若，則，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增.所以當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增.因?yàn)?，，所以，存在，使得，所以，?dāng)時(shí)，，即在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，不滿足題意.綜上可知，實(shí)數(shù)的取值范圍為.6．（2024·河南信陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，．(1)試比較與的大??；(2)若恒成立，求的取值范圍．【答案】(1)答案見(jiàn)詳解(2)【分析】（1）因?yàn)?，?gòu)建，利用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性，結(jié)合分析判斷；（2）構(gòu)建，原題意等價(jià)于在內(nèi)恒成立，利用導(dǎo)數(shù)分類討論的單調(diào)性和最值，結(jié)合恒成立問(wèn)題分析求解.【詳解】（1）因?yàn)?，?gòu)建，則在內(nèi)恒成立，可知在內(nèi)單調(diào)遞減，且，則有：若，則，即；若，則，即；若，則，即.（2）若恒成立，則，構(gòu)建，原題意等價(jià)于在內(nèi)恒成立，則，1.若，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；可知在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，則，不符合題意；2.若，則有：（ⅰ）若，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，則，符合題意；（ⅱ）若時(shí)，令，解得或，①若，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，，可知在內(nèi)單調(diào)遞減，此時(shí)，不合題意；②若，即時(shí)，則，可知在內(nèi)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，不合題意；③若，即時(shí)，則，由（1）可知：當(dāng)時(shí)，，則，可得，不合題意；綜上所述：的取值范圍為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：兩招破解不等式的恒成立問(wèn)題（1）分離參數(shù)法第一步：將原不等式分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問(wèn)題；第二步：利用導(dǎo)數(shù)求該函數(shù)的最值；第三步：根據(jù)要求得所求范圍．（2）函數(shù)思想法第一步：將不等式轉(zhuǎn)化為含待求參數(shù)的函數(shù)的最值問(wèn)題；第二步：利用導(dǎo)數(shù)求該函數(shù)的極值；第三步：構(gòu)建不等式求解．7．（2024·安徽安慶·三模）已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線平行于直線．(1)若對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若是函數(shù)的極值點(diǎn)，求證：．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)等于直線的斜率可得，然后參變分離，將恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求的最小值問(wèn)題，利用導(dǎo)數(shù)求解即可；（2）求導(dǎo)，利用零點(diǎn)存在性定理判斷存在隱零點(diǎn)，利用隱零點(diǎn)方程代入化簡(jiǎn)，結(jié)合隱零點(diǎn)范圍即可得證.【詳解】（1）的定義域?yàn)?，，由題知，解得．由題意可知對(duì)任意的恒成立，即對(duì)任意的恒成立，只需，令，則，所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增．所以，于是，因此實(shí)數(shù)的取值范圍是．（2）由條件知，對(duì)其求導(dǎo)得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，所以存在，使，即，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，于是是函數(shù)的極值點(diǎn)，所以，即得證．8．（2024·四川綿陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；(2)若關(guān)于的不等式在上恒成立，求的取值范圍.【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2).【分析】（1）求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)，對(duì)于a分來(lái)討論，確定函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性以及極值情況，即可求得答案；（2）不等式在上恒成立等價(jià)于在上恒成立，從而構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性求解即可.【詳解】（1）因?yàn)榈亩x域?yàn)?，?dāng)時(shí)，，所以1是的一個(gè)零點(diǎn)，，令，則，當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，則，故，在上單調(diào)遞增，結(jié)合，可知此時(shí)有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)，即時(shí)，若，則時(shí)，，故，在上單調(diào)遞增，結(jié)合，可知此時(shí)有1個(gè)零點(diǎn)；若，則時(shí)，則的判別式，不妨設(shè)兩根為，則，即有2個(gè)正數(shù)根，且不妨設(shè)，則當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即；則可知在上單調(diào)遞減，則，在上單調(diào)遞減，則，由當(dāng)x無(wú)限趨近于0時(shí)，的變化幅度要大于的變化幅度，故趨近于負(fù)無(wú)窮，當(dāng)x趨近于正無(wú)窮時(shí)，x的變化幅度要大于的變化幅度，故趨近于正無(wú)窮，此時(shí)函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，綜上：當(dāng)時(shí)，有3個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn)（2）不等式在上恒成立等價(jià)于在上恒成立，令，則.對(duì)于函數(shù)，，所以其必有兩個(gè)零點(diǎn).又兩個(gè)零點(diǎn)之積為，所以兩個(gè)零點(diǎn)一正一負(fù)，設(shè)其中一個(gè)零點(diǎn)，則，即.此時(shí)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故需，即.設(shè)函數(shù)，則.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.又，所以.由在上單調(diào)遞增，得.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，一般兩種思路：（1）分離參數(shù)法，此時(shí)要注意參數(shù)的系數(shù)正負(fù)確定，便于分離才可應(yīng)用這種方法，不過(guò)這種方法有可能要用到洛必達(dá)法則；（2）當(dāng)參變分離不容易進(jìn)行時(shí)，可構(gòu)造函數(shù)，求解函數(shù)的最值，來(lái)討論確定答案.9．（2022·河北唐山·二模）已知函數(shù)，，曲線和在原點(diǎn)處有相同的切線l．(1)求b的值以及l(fā)的方程；(2)判斷函數(shù)在上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由．【答案】(1)，的方程：.(2)在上有1個(gè)零點(diǎn)，理由見(jiàn)解析.【分析】（1）根據(jù)曲線和在原點(diǎn)處有相同的切線l，則可知斜率相等，進(jìn)一步求出b的值以及l(fā)的方程；（2）函數(shù)零點(diǎn)即是圖象與軸的交點(diǎn)，需要用導(dǎo)數(shù)的方法研究函數(shù)，其中要進(jìn)行二次求導(dǎo)，運(yùn)用零點(diǎn)存在性定理說(shuō)明函數(shù)的零點(diǎn)情況.【詳解】（1）依題意得：，.，，的方程：.（2）當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)無(wú)零點(diǎn).當(dāng)時(shí)，令則，顯然在上單調(diào)遞增，又，，所以存在使得，因此可得時(shí)，，單調(diào)遞減；時(shí)，，單調(diào)遞增；又，所以存在，使得，即時(shí)，，，單調(diào)遞減；時(shí)，，，單調(diào)遞增；又，，所以在上有一個(gè)零點(diǎn).綜上，在上有1個(gè)零點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)幾何意義、函數(shù)的零點(diǎn)、用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及零點(diǎn)存在性定理，知識(shí)考查較為綜合，對(duì)學(xué)生是一個(gè)挑戰(zhàn)，屬于難題.10．（2023·海南?？凇ざ＃┮阎?(1)若在處取到極值，求的值；(2)直接寫(xiě)出零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，結(jié)論不要求證明；(3)當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)，證明：函數(shù)存在唯一的極小值點(diǎn)且極小值大于.【答案】(1)1；(2)且有一個(gè)零點(diǎn)；且有兩個(gè)零點(diǎn)；(3)證明見(jiàn)解析.【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由求出a并驗(yàn)證作答.（2）由已知可得1是的一個(gè)零點(diǎn)，按分段討論，利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合零點(diǎn)存在性定理判斷作答.（3）求出函數(shù)及導(dǎo)數(shù)，探討極值點(diǎn)，再結(jié)合隱形零點(diǎn)確定極小值大于作答.【詳解】（1）的定義域?yàn)?，，，所以，又時(shí)，，，得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，即在處取到極大值，所以符合要求.（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，而，則有唯一零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，令，，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，因此當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，于是當(dāng)時(shí)，有唯一零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，在內(nèi)有唯一零點(diǎn)1，當(dāng)時(shí)，，令，，令，則，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，，于是函數(shù)在上單調(diào)遞增，，即當(dāng)時(shí)，，因此，有，即，從而函數(shù)在上有唯一零點(diǎn)，即函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上有唯一零點(diǎn)1，由，得，即有，而，從而函數(shù)在上有唯一零點(diǎn)，即函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，綜上得當(dāng)或時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn)；且時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn).（3）依題意，，函數(shù)的定義為，求導(dǎo)得，顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，則存在，使得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值，無(wú)極大值，由，得，因此，令，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，因?yàn)?，所以，函?shù)的極小值所以函數(shù)存在唯一的極小值點(diǎn)且極小值大于.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：涉及含參的函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題，利用導(dǎo)數(shù)分類討論，研究函數(shù)的單調(diào)性、最值等，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理，借助數(shù)形結(jié)合思想分析解決問(wèn)題.11．（2021·四川南充·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，，，令．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值；（2）若關(guān)于的不等式恒成立，求整數(shù)的最小值．【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)遞減區(qū)間為；的極大值為，無(wú)極小值；（2）2．【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性和極值的關(guān)系求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值；（2）設(shè)，求函數(shù)的最大值，由此可得整數(shù)的最小值．【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，，所以．令得．由得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為．由得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為．所以的極大值為，即，無(wú)極小值．（2）令，所以，當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋?，所以在上是增函?shù)，又因?yàn)?，所以關(guān)于的不等式不能恒成立．當(dāng)時(shí)，．令，得，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，因此函數(shù)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)．故函數(shù)的最大值為．令，因?yàn)椋?，且在上是減函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，．所以整數(shù)的最小值為．【點(diǎn)睛】對(duì)于不等式恒成立問(wèn)題，常用到以下兩個(gè)結(jié)論：(1)a≥f(x)恒成立?a≥f(x)max；(2)a≤f(x)恒成立?a≤f(x)min.12．（2024·四川遂寧·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，其中.(1)當(dāng)時(shí)，，求a的取值范圍.(2)若，證明：有三個(gè)零點(diǎn)，，（），且，，成等比數(shù)列.【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）利用，且（），結(jié)合，解得，然后再證明滿足題意，時(shí)不符題意即可；（2）結(jié)合（1），，從而取特殊值以及，繼而判斷和的正負(fù)情況，推出的零點(diǎn)情況，結(jié)合等比數(shù)列的定義，即可證明結(jié)論.【詳解】（1）由題意可知的定義域?yàn)?，，因?yàn)?，（），所以必有，解得，以下證明滿足題意.由可知，，所以當(dāng)時(shí)，，設(shè)（），，所以在為遞增函數(shù)，所以，所以，當(dāng)時(shí)，對(duì)于函數(shù)，，易知有兩個(gè)正根，不妨設(shè)為，則，則當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因?yàn)?，所以，，與時(shí)，，不符合；綜上，a的取值范圍是.（2）由（1）可知，當(dāng)時(shí)，對(duì)于函數(shù)，，易知有兩個(gè)正根，不妨設(shè)為，則，則當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因?yàn)?，所以，，取，則，（），設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，故，即，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，即得，即，則；取，則，.（其中，所以，即），所以在上存在唯一零點(diǎn)，即在上存在唯一零點(diǎn)，在上存在唯一零點(diǎn)，即在上存在唯一零點(diǎn)，結(jié)合，取；所以，又，所以也是函數(shù)的零點(diǎn)，顯然且，所以，即，所以，所以，，成等比數(shù)列.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解答第二問(wèn)的關(guān)鍵在于利用函數(shù)的單調(diào)性并結(jié)合零點(diǎn)存在定理，證明函數(shù)在上存在唯一零點(diǎn)，即在上存在唯一零點(diǎn)，在上存在唯一零點(diǎn)，即在上存在唯一零點(diǎn)，并且結(jié)合，取，即可證明結(jié)論.1．（2021·全國(guó)·高考真題）已知且，函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若曲線與直線有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，求a的取值范圍．【答案】（1）上單調(diào)遞增；上單調(diào)遞減；（2）.【分析】（1）求得函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系即可得到函數(shù)的單調(diào)性；（2）方法一：利用指數(shù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，可以將曲線與直線有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)等價(jià)轉(zhuǎn)化為方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，即曲線與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，利用導(dǎo)函數(shù)研究的單調(diào)性，并結(jié)合的正負(fù)，零點(diǎn)和極限值分析的圖象，進(jìn)而得到，發(fā)現(xiàn)這正好是，然后根據(jù)的圖象和單調(diào)性得到的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，,令得,當(dāng)時(shí)，,當(dāng)時(shí)，,∴函數(shù)在上單調(diào)遞增；上單調(diào)遞減；（2）[方法一]【最優(yōu)解】：分離參數(shù),設(shè)函數(shù),則,令，得,在內(nèi),單調(diào)遞增；在上,單調(diào)遞減；,又，當(dāng)趨近于時(shí)，趨近于0，所以曲線與直線有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，即曲線與直線有兩個(gè)交點(diǎn)的充分必要條件是,這即是,所以的取值范圍是.[方法二]：構(gòu)造差函數(shù)由與直線有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)知，即在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)解，取對(duì)數(shù)得方程在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)解．構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)數(shù)得．當(dāng)時(shí)，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，所以，在內(nèi)最多只有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，令得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以，函數(shù)的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為．由于，當(dāng)時(shí)，有，即，由函數(shù)在內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)知，所以，即．構(gòu)造函數(shù)，則，所以的遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故的解為且．所以，實(shí)數(shù)a的取值范圍為．[方法三]分離法：一曲一直曲線與有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)等價(jià)為在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)不相同的解．因?yàn)?，所以兩邊取?duì)數(shù)得，即，問(wèn)題等價(jià)為與有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)．①當(dāng)時(shí)，與只有一個(gè)交點(diǎn)，不符合題意．②當(dāng)時(shí)，取上一點(diǎn)在點(diǎn)的切線方程為，即．當(dāng)與為同一直線時(shí)有得直線的斜率滿足：時(shí)，與有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)．記，令，有．在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減；時(shí)，最大值為，所以當(dāng)且時(shí)有．綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍為．[方法四]：直接法．因?yàn)椋傻茫?dāng)時(shí)，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，，由得在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，由得在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．因?yàn)?，且，所以，即，即，兩邊取?duì)數(shù)，得，即．令，則，令，則，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，所以，所以，則的解為，所以，即．故實(shí)數(shù)a的范圍為．]【整體點(diǎn)評(píng)】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)曲線和直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍問(wèn)題，屬較難試題，方法一：將問(wèn)題進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，圖象，利用數(shù)形結(jié)合思想求解.方法二：將問(wèn)題取對(duì)，構(gòu)造差函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值.方法三：將問(wèn)題取對(duì)，分成與兩個(gè)函數(shù)，研究對(duì)數(shù)函數(shù)過(guò)原點(diǎn)的切線問(wèn)題，將切線斜率與一次函數(shù)的斜率比較得到結(jié)論．方法四：直接求導(dǎo)研究極值，單調(diào)性，最值，得到結(jié)論.2．（2020·全國(guó)·高考真題）設(shè)函數(shù)，曲線在點(diǎn)(，f())處的切線與y軸垂直．（1）求b．（2）若有一個(gè)絕對(duì)值不大于1的零點(diǎn)，證明：所有零點(diǎn)的絕對(duì)值都不大于1．【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到，解方程即可；（2）方法一：由（1）可得，易知在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，且，采用反證法，推出矛盾即可.【詳解】（1）因?yàn)?，由題意，，即：，則．（2）［方法一］：通性通法由（1）可得，，令，得或；令，得，所以在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，且，若所有零點(diǎn)中存在一個(gè)絕對(duì)值大于1的零點(diǎn)，則或，即或.當(dāng)時(shí)，，又，由零點(diǎn)存在性定理知在上存在唯一一個(gè)零點(diǎn)，即在上存在唯一一個(gè)零點(diǎn)，在上不存在零點(diǎn)，此時(shí)不存在絕對(duì)值不大于1的零點(diǎn)，與題設(shè)矛盾；當(dāng)時(shí)，，又，由零點(diǎn)存在性定理知在上存在唯一一個(gè)零點(diǎn)，即在上存在唯一一個(gè)零點(diǎn)，在上不存在零點(diǎn)，此時(shí)不存在絕對(duì)值不大于1的零點(diǎn)，與題設(shè)矛盾；綜上，所有零點(diǎn)的絕對(duì)值都不大于1.［方法二］【最優(yōu)解】：設(shè)是的一個(gè)零點(diǎn)，且，則．從而．令，由判別式，可知在R上有解，的對(duì)稱軸是，所以在區(qū)間上有一根為，在區(qū)間上有一根為（當(dāng)時(shí)，），進(jìn)而有，所以的所有零點(diǎn)的絕對(duì)值均不大于1．［方法三］：設(shè)是