2024-2025學(xué)年河北省石家莊市高二上冊10月月考數(shù)學(xué)學(xué)情檢測試題（附解析）

2024-2025學(xué)年河北省石家莊市高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)學(xué)情檢測試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一個選項(xiàng)是正確的.請把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.1.設(shè)集合，且，則（）A. B.C. D.【正確答案】C【分析】首先解不等式得到，，再求集合C即可.詳解】對于，則，解得，即，對于，可得，即，所以且.故選：C.2.已知直線：，：，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【正確答案】C【分析】根據(jù)兩直線平行與斜率的關(guān)系即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，解得，所以“”是“”的充要條件，故選：C.3.設(shè)為空間中兩條不同直線，為空間中兩個不同平面，下列命題正確的是（）A.若，則B.若不垂直于，則必不垂直于C.若,，則D.若是異面直線，，則【正確答案】D【分析】A中，可能平行、相交或異面；B中有可能垂直于；C中或；D中結(jié)合線面平行的性質(zhì)定理與面面平行的判定定理即可得.【詳解】對于A，若，，，則，可能平行、相交或異面，故A錯誤；對于B，若不垂直于，且，則有可能垂直于，故B錯誤；對于C，若且，則或，故C錯誤；對于D，若、是異面直線，，，，，則直線上任取一點(diǎn)，過直線與點(diǎn)確定平面，設(shè)，又，則，，，所以，又，，，，所以，故D正確.故選：D.4.已知向量，且，則與夾角的最大值為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】先得到的夾角為，設(shè)，，故，設(shè)，由得到，設(shè)，設(shè)夾角為，表達(dá)出，換元后得到，由對勾函數(shù)性質(zhì)得到其值域，從而確定，得到夾角最大值.【詳解】因?yàn)椋?，解得，故，設(shè)，，則，設(shè)，則，則，即，設(shè)，設(shè)夾角為，則，令，則，則，令，則，則，其中在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，取得最小值，最小值為，當(dāng)或3時，取得最大值，最大值為1，故，由于在上單調(diào)遞減，故，與夾角的最大值為.故選：A平面向量解決幾何最值問題，通常有兩種思路：①形化，即用平面向量的幾何意義將問題轉(zhuǎn)化為平面幾何中的最值或取值范圍問題，然后根據(jù)平面圖形的特征直接進(jìn)行求解；②數(shù)化，即利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，把問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的函數(shù)最值與值域，不等式的解集，方程有解等問題，然后利用函數(shù)，不等式，方程的有關(guān)知識進(jìn)行求解.5.已知函數(shù)，把函數(shù)的圖象沿軸向左平移個單位，得到函數(shù)的圖象，關(guān)于函數(shù)，下列說法正確的是（）A.在上是增函數(shù) B.其圖象關(guān)于直線對稱C.函數(shù)是奇函數(shù) D.在區(qū)間上的值域?yàn)椤菊_答案】D【分析】根據(jù)輔助角公式化簡三角函數(shù)式，由函數(shù)圖象平移變換可求得函數(shù)，結(jié)合余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可判斷各選項(xiàng).【詳解】，沿軸向左平移個單位，得．對于A，當(dāng)，單調(diào)遞減，所以選項(xiàng)A錯誤；對于B，，則圖象關(guān)于對稱，所以選項(xiàng)B錯誤；對于C，是偶函數(shù)．所以選項(xiàng)C錯誤；對于D，當(dāng)，則，所以D正確，綜上可知，正確的為D.故選：D．本題考查了輔助角公式化簡三角函數(shù)式的應(yīng)用，三角函數(shù)平移變換及余弦函數(shù)圖象與性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.6.已知，則的最小值為（）A. B. C.1 D.【正確答案】A【分析】根據(jù)“1”技巧，利用均值不等式求解即可.【詳解】，，，，，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時等號成立.故選：A.7.已知四棱錐的各頂點(diǎn)在同一球面上，四邊形為等腰梯形，若，為正三角形，且面面，則該球的表面積為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】作如圖所示輔助線，由線面垂直和面面垂直找到球心的位置，在證明到四棱錐的所有點(diǎn)的距離相等，再根據(jù)勾股定理求出半徑，進(jìn)而求出表面積；【詳解】如圖，取的中點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接，在線段上取一點(diǎn)，使，過點(diǎn)作平面的垂線，使，連接，易知四邊形是等腰梯形，均為等邊三角形，所以，因?yàn)槠矫妫?，所以，因?yàn)闉檎切危闹悬c(diǎn)，所以，又面面，面面，面，所以面，因?yàn)槠矫?，所以，即，又，所以四邊形為平行四邊形，則，因?yàn)闉檎切危闹悬c(diǎn)，所以，又面面，面面，面，所以面，所以面，又是的外心，所以，所以，所以為四棱錐外接球的球心，因?yàn)?，所以，所以，故選：C8.在直角梯形中，，，，點(diǎn)為梯形四條邊上的一個動點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】此題可以先證明一下極化恒等式，再使用，輕松解決此題.【詳解】如圖中，O為AB中點(diǎn)，（極化恒等式）共起點(diǎn)的數(shù)量積問題可以使用.如圖，取中點(diǎn)，則由極化恒等式知，，要求取值范圍，只需要求最大，最小即可.由圖，可知最大時，P在D點(diǎn)，即，此時，最小時，P在O點(diǎn)，即，此時.綜上所得，取值范圍為:.故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知復(fù)數(shù)，，則下列結(jié)論正確的有（）A. B. C. D.【正確答案】BC【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)以及模的運(yùn)算公式對應(yīng)各個選項(xiàng)逐個判斷即可求解．【詳解】設(shè)，，其中.對于選項(xiàng)A:，所以與不一定相等，故選項(xiàng)A錯誤；對于選項(xiàng)B:因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所?故選項(xiàng)B正確；對于選項(xiàng)C:因?yàn)?所有因?yàn)?，所?故選項(xiàng)C正確；對于選項(xiàng)D:因?yàn)?，所以，而與不一定相等,故選項(xiàng)D錯誤；故選：BC.10.下列說法正確的是（）A.直線的傾斜角的取值范圍是B.函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)镃.已知函數(shù)在上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是D.若事件A與事件B相互獨(dú)立，且，，則【正確答案】ABD【分析】由直線斜率與傾斜角的關(guān)系以及正切函數(shù)的值域可得A正確；由抽象函數(shù)的定義域關(guān)系可得B正確；由分段函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合二次函數(shù)和反比例函數(shù)可得C錯誤；由對立事件和相互獨(dú)立事件的積事件公式可得D正確；【詳解】對于A，由題意可得，所以，故A正確；對于B，因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，所以，所以，所以，解得，故B正確；對于C，因?yàn)樵谏鲜窃龊瘮?shù)，所以當(dāng)，，即，且時，要恒增，由二次函數(shù)的對稱軸可知，且時，要恒增，由反比例函數(shù)的性質(zhì)可得，綜上實(shí)數(shù)a的取值范圍是，故C錯誤；對于D，因?yàn)?，所以，又事件A與事件B相互獨(dú)立，所以，故D正確；故選：ABD.11.已知正方體的棱長為2，點(diǎn)P是的中點(diǎn)，點(diǎn)M是正方體內(nèi)（含表面）的動點(diǎn)，且滿足，下列選項(xiàng)正確的是（）A.動點(diǎn)M在側(cè)面內(nèi)軌跡的長度是B.三角形在正方體內(nèi)運(yùn)動形成幾何體的體積是2C.直線與所成的角為，則的最小值是D.存在某個位置M，使得直線與平面所成的角為【正確答案】ABC【分析】根據(jù)空間中的線面垂直關(guān)系分析可得動點(diǎn)的軌跡為截面，對于A，動點(diǎn)在側(cè)面的軌跡為線段；對于B，三角形在正方體內(nèi)運(yùn)動形成幾何體為四棱錐，計(jì)算四棱錐即可；對于C，直線與直線所成角即為直線與直線所成角，當(dāng)時，所成角正切值最?。粚τ贒，當(dāng)與或重合時，直線與平面所成角最大，并與比較即可.【詳解】如圖所示，取中點(diǎn)，連接，取中點(diǎn)，連接.在立方體中，因?yàn)?，為中點(diǎn)，所以，所以，，，四點(diǎn)共面.又因?yàn)槠矫?，且平面，所以，又因?yàn)椋移矫?，所以平面，又因?yàn)槠矫?所以.因?yàn)?，且，且均為銳角，所以，又因平面，且平面，所以，又因?yàn)槠矫?，且，所以平?又因?yàn)槠矫?，所?又因?yàn)槠矫?，且，所以平?又因?yàn)?，則平面，所以的軌跡為截面.對于A，因?yàn)槠矫?，且平面平面，所以動點(diǎn)在平面內(nèi)的軌跡長度為的長，且，故A正確；對于B，三角形在正方體內(nèi)運(yùn)動形成幾何體為四棱錐.且.又因?yàn)椋?，，所以四棱錐的體積為，故B正確；對于C，因?yàn)椋灾本€與直線所成角為，在直角三角形中，當(dāng)時，，所以，故C正確；對于D，易知與或重合時，直線與平面所成角最大，且為或，因?yàn)?，所以，所以不存在某個位置，使得直線與平面所成角為，故D錯誤.故選：ABC.思路點(diǎn)睛：本題可從以下方面解題.（1）計(jì)算出動點(diǎn)的運(yùn)動軌跡為截面；（2）四棱錐的體積計(jì)算，注意拆分；（3）線線角、線面角要結(jié)合勾股定理.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.將一張坐標(biāo)紙對折，如果點(diǎn)與點(diǎn)重合，則點(diǎn)與點(diǎn)______重合.【正確答案】【分析】先求線段的中垂線方程，再根據(jù)點(diǎn)關(guān)于直線對稱列式求解即可.【詳解】已知點(diǎn)與點(diǎn)，可知線段的中點(diǎn)為，且，則線段的中垂線的斜率，則線段的中垂線方程為，即，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，則，解得，所以所求點(diǎn)為.故答案為.13.已知角，為銳角，，，則的值為______．【正確答案】【分析】先由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得，再由兩角和的正切公式結(jié)合即可得解.【詳解】因?yàn)榻?、為銳角，所以，又，所以，所以，又，所以.故答案為.14.已知函數(shù)若存在實(shí)數(shù)，使得方程有4個不同的實(shí)數(shù)根，且.則的取值范圍為______，的取值范圍為______.【正確答案】①.②.【分析】結(jié)合函數(shù)圖像，即可求出的取值范圍；利用，將表示成關(guān)于的表達(dá)式，借助，利用單調(diào)性即可解決.【詳解】畫出函數(shù)的圖象如圖所示：要使得方程有4個不同的實(shí)數(shù)根，只需有4個不同的實(shí)數(shù)根，即的圖象有四個交點(diǎn)，結(jié)合圖象可知.因?yàn)?，所以，所以，即，所以，即，而是的兩根，即，因?yàn)?，滿足所以，，令，因?yàn)椋瑒t在單調(diào)遞增，所以，故.故；.方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)（方程有根）求參數(shù)值（取值范圍）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知點(diǎn)，直線和（1）過點(diǎn)作的垂線，求垂足的坐標(biāo)；（2）過點(diǎn)作分別于交于點(diǎn)，若恰為線段的中點(diǎn)，求直線的方程．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）由直線的位置關(guān)系求方程，再聯(lián)立求解交點(diǎn)坐標(biāo)，（2）設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，由中點(diǎn)表示點(diǎn)坐標(biāo)，分別代入直線方程聯(lián)立求解．【小問1詳解】，即，則，直線為，即，聯(lián)立方程，解得，故．【小問2詳解】不妨設(shè)，則，則，解得，故直線過點(diǎn)和點(diǎn)，故直線方程為，即．16.已知中，角，，對邊分別是，，，.（1）若，求的值；（2）若的平分線交于點(diǎn)，且，求周長的最小值.【正確答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用正弦定理得到，消去B后進(jìn)行弦化切即可得到；（2）利用面積公式求出，利用基本不等式求出的最小值，利用余弦定理求出，即可求出周長的最小值.【詳解】（1）已知中，角，，的對邊分別是，，，.若，所以，整理得：，整理得：，解得.（2）的平分線交于點(diǎn)，且，利用三角形的面積：所以，整理得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.所以，解得，所以周長的最小值為.17.為增強(qiáng)市民的節(jié)能環(huán)保意識，某市面向全市征召義務(wù)宣傳志愿者.從符合條件的500名志愿者中隨機(jī)抽取100名志愿者，其年齡頻率分布直方圖如圖所示，其中年齡的分組區(qū)間是：第1組、第2組、第3組、第4組、第5組.（1）求圖中的值并根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)這500名志愿者中年齡在的人數(shù)；（2）估計(jì)抽出的100名志愿者年齡的第75百分位數(shù)；（3）若在抽出的第2組、第4組和第5組志愿者中，采用按比例分配分層抽樣的方法抽取6名志愿者參加中心廣場的宣傳活動，再從這6名中采用簡單隨機(jī)抽樣方法選取2名志愿者擔(dān)任主要負(fù)責(zé)人.求抽取的2名志愿者中恰好來自同一組的概率.【正確答案】（1）（2）（3）【分析】（1）由直方圖頻率和為1，列方程求，再根據(jù)直方圖求500名志愿者中年齡在的人數(shù)；（2）由第75百分位數(shù)分直方圖左側(cè)面積為0.75，列方程求第75百分位數(shù).（3）由分層抽樣等比例抽取的性質(zhì)求出6名志愿者的分布，再應(yīng)用古典概型的概率求法求抽取的2名志愿者中恰好來自同一組的概率.【小問1詳解】由直方圖知：，可得，∴500名志愿者中年齡在的人數(shù)為人.【小問2詳解】因?yàn)?，，所以第百分位?shù)在區(qū)間內(nèi)，若該數(shù)為，∴，解得.【小問3詳解】由題設(shè)，第2組、第4組和第5組的頻率之比為，知6名志愿者有2名來自，3名來自，1名來自，不妨設(shè)第2組、第4組和第5組抽取的志愿者為，則抽取兩人的基本事件有，，共15個，∴抽取的2名志愿者中恰好來自同一組的概率.18.如圖，在四棱錐中，底面ABCD是正方形，，，E為BC的中點(diǎn)．（1）證明：．（2）若二面角的平面角為，G是線段PC上的一個動點(diǎn)，求直線DG與平面PAB所成角的最大值．【正確答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）取AD的中點(diǎn)F，可證得，，從而平面PEF，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可得結(jié)論；（2）過點(diǎn)P作PO垂直于直線EF，垂足為O，可得平面，以O(shè)為原點(diǎn)，OE，OP所在的直線分別為y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系．寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，求出平面PAB的法向量，可得直線DG與平面PAB所成的角的正弦值的表達(dá)式，結(jié)合換元法及二次函數(shù)的性質(zhì)得出答案.【小問1詳解】如圖，取AD的中點(diǎn)F，連接PF，EF．∵底面ABCD是正方形，，∴，．∵，平面PEF，∴平面PEF．又∵平面PEF，∴．【小問2詳解】由（1）可知，二面角的平面角為，且為，過點(diǎn)P作PO垂直于直線EF，垂足為O，∵平面PEF，平面PEF，∴，∵平面，∴平面，以O(shè)為原點(diǎn)，OE，OP所在的直線分別為y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．易得，，，，則，，，，，，，，，設(shè)平面PAB的法向量為