2023年高考全國甲卷理科數(shù)學(xué)+答案解析

2023年高考理科數(shù)學(xué)(全國甲卷)一、選擇題1.設(shè)集合A{x∣x3k1,kZ},B{x∣x3k2,kZ}，U為整數(shù)集，eU(AB)（）A.{x|x3k,kZ}B.{x∣x3k1,kZ}C.{x∣x3k2,kZ}D.）2若復(fù)數(shù)ai1ai2,aR，則a（.A.-1B.0·C.1D.23.執(zhí)行下面的程序框遇，輸出的B（）A.21B.34C.55D.894.向量|a||b|1,|c|2，且abc0，則cosac,bc（）A.1B.5224D.C.5555.已知正項等比數(shù)列an中，a11,Sn為an前n項和，S55S34，則S4（）A.7B.9C.15D.306.有60人報名足球俱樂部，60人報名乒乓球俱樂部，70人報名足球或乒乓球俱樂部，若已知某人報足球俱樂部，則其報乒乓球俱樂部的概率為（）A.0.8B.0.4C.0.2D.0.17.“sin2sin21”是“sincos0”的（）A.充分條件但不是必要條件C.充要條件B.必要條件但不是充分條件D.既不是充分條件也不是必要條件8.已知雙曲線x2by21(a0,b0)的離心率為5，其中一條漸近線與圓22a(x2)2(y3)21交于A，B兩點，則|AB|（）1A.525455B.C.D.5559.有五名志愿者參加社區(qū)服務(wù)，共服務(wù)星期六、星期天兩天，每天從中任選兩人參加服務(wù)，則恰有1人連續(xù)參加兩天服務(wù)的選擇種數(shù)為（）A.120B.60C.40D.3010.已知fx為函數(shù)ycos2xπ向左平移個單位所得函數(shù)，則yfx與π66y1x1的交點個數(shù)為（）22A.1B.2C.3D.411.在四棱錐PABCD中，底面ABCD為正方形，AB4,PCPD3,PCA45，則PBC的面積為（）A.22B.32C.42D.5212.己知橢圓xy1，F(xiàn)1,F2為兩個焦點，O為原點，P為橢圓上一點，cosF1PF23，22965則|PO|（）235302352A.5B.C.D.二、填空題πaxsinx為偶函數(shù)，則a________．213.若y(x1)22x3y314.設(shè)x，y滿足約束條件3x2y3，設(shè)z3x2y，則z的最大值為____________．xy115.在正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為CD，A1B1的中點，則以EF為直徑的球面與正方體每條棱的交點總數(shù)為____________．16.在ABC中，AB2，BAC60,BC6，D為BC上一點，AD為BAC的平分線，則AD_________．三、解答題17.已知數(shù)列an中，a21（1）求an的通項公式；（2）求數(shù)列an1，設(shè)Sn為an前n項和，2Snnan．的前n項和Tn．2n18.在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA12，A1C底面的距離為1．ABC，ACB90，A1到平面BCC1B1（1）求證：ACA1C；（2）若直線AA1與BB1距離為2，求AB1與平面BCC1B1所成角的正弦值．19.為探究某藥物對小鼠的生長抑制作用，將40只小鼠均分為兩組，分別為對照組（不加藥物）和實驗組（加藥物）．（1）設(shè)其中兩只小鼠中對照組小鼠數(shù)目為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）測得40只小鼠體重如下（單位：g）：（已按從小到大排好）對照組：17.318.420.120.421.523.224.624.825.025.426.126.326.426.526.827.027.427.527.628.3實驗組：5.46.66.86.97.88.29.410.010.411.214.417.319.220.223.623.824.525.125.226.0（i）求40只小鼠體重的中位數(shù)m，并完成下面2×2列聯(lián)表：mm對照組實驗組（ii）根據(jù)2×2列聯(lián)表，能否有95%的把握認為藥物對小鼠生長有抑制作用．參考數(shù)據(jù)：k00.100.050.0106.635Pk2k02.7063.84120.設(shè)拋物線C:y（1）求p；22px(p0)，直線x2y10與C交于A，B兩點，且|AB|415．（2）設(shè)C的焦點為F，M，N為C上兩點，MFNF0，求MNF面積的最小值．sinxπ21.已知f(x)axcos,x0,3x2（1）若a8，討論f(x)的單調(diào)性；（2）若f(x)sin2x恒成立，求a的取值范圍．四、選做題22.已知P(2,1)，直線l:x2tcosy1tsin（t為參數(shù)），l與x軸，y軸正半軸交于A，B兩點，|PA||PB|4．（1）求的值；（2）以原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，求l的極坐標方程．23.已知f(x)2|xa|a,a0．（1）解不等式f(x)x（2）若yf(x)與坐標軸圍成的面積為2，求a．2023年高考理科數(shù)學(xué)(全國甲卷)答案解析一、選擇題1.A因為整數(shù)集Zx|x3k,kZx|x3k1,kZx|x3k2,kZ，UZ，所以，eUABx|x3k,kZ．故選：A．2a22.C因為ai1aiaa2iia2a1a2i2，所以1a0，解得：a1．2故選：C.3.B當n1時，判斷框條件滿足，第一次執(zhí)行循環(huán)體，A123，B325，n112；當n2時，判斷框條件滿足，第二次執(zhí)行循環(huán)體，A358，B8513，n213；當n3時，判斷框條件滿足，第三次執(zhí)行循環(huán)體，A81321，B211334，n314；當n4時，判斷框條件不滿足，跳出循環(huán)體，輸出B34．故選：B.r4.D因為abc0，所以ar+b=-cr，即a2abc，即112arb2，b222r所以ab0.如圖，設(shè)OAa,OBb,OCc,由題知，OAOB1,OC2,OAB是等腰直角三角形,AB邊上的高OD2,AD2,22所以CDCOOD2232,22tanACDAD1,cosACD310,CD3cosac,bccosACBcos2ACD2cos2ACD12314.2105故選:D.5.C由題知1qq即qq4q4q,即q由題知q0,所以q=2.2q3q451qq24,3423q24q40,即(q2)(q1)(q2)0.所以S4124815.故選:C.6.A報名兩個俱樂部的人數(shù)為50607040，記“某人報足球俱樂部”為事件A,記“某人報兵乓球俱樂部”為事件B，則P(A)505,P(AB)404，7077074所以P(B∣A)P(AB)750.8.P(A)7故選:A.1時，例如π,0但sincos0，7.B當sin即sinsin當sincos0時，sin即sincos0能推出sin2sin22221推不出sincos0；sin(cos)sin1.綜上可知，sinsin221是sincos0成立的必要不充分條件.故選：B22sin1，22228.D由e5，則c2a22b21ba25，2aa2解得b2，a所以雙曲線的一條漸近線不妨取y2x，則圓心(2,3)到漸近線的距離d|223|5，522121145.5所以弦長|AB|2r故選：D2d259.B記五名志愿者為a,b,c,d,e，假設(shè)a連續(xù)參加了兩天社區(qū)服務(wù)，再從剩余的4人抽取2人各參加星期六與星期天的社區(qū)服務(wù)，共有A2412種方法，同理：b,c,d,e連續(xù)參加了兩天社區(qū)服務(wù)，也各有12種方法，所以恰有1人連續(xù)參加了兩天社區(qū)服務(wù)的選擇種數(shù)有51260種.故選：B.10.C因為ycos2xπ6向左平移個單位所得函數(shù)為π6ππcos2xπsin2x，所以fxsin2x，ycos2x662而y1x1顯然過0,12與1,0兩點，22作出fx與y1x1的部分大致圖像如下，223π3π7π23π3π，即x,x,x447π4處fx與y1x1的大小考慮2x,2x,2x2222關(guān)系，3π3πsin13π13π41；1，y24283π當x時，f442當x3π4時，fsin3π21，y3π13π13π41；47π2428當x7π4時，fsin7π21，y17π17π41；42428所以由圖可知，fx與y1x1的交點個數(shù)為3.22故選：C.11.C法一：連結(jié)AC,BD交于O，連結(jié)PO，則O為AC,BD的中點，如圖，因為底面ABCD為正方形，AB4，所以ACBD42，則DOCO22又PCPD3，POOP，所以PDOPCO，則PDOPCO，又PCPD3，ACBD42，所以PDBPCA，則PAPB，，在△PAC中，PC3,AC42,PCA45，則由余弦定理可得PAACPC2222ACPCcosPCA3292423217，2故PA17，則PB17，故在PBC中，PC3,PB17,BC4，所以cosPCBPC2BC2PB2916171，23432PCBCPCB22，2又0PCBπ，所以sinPCB1cos3所以PBC的面積為S1PCBCsinPCB1342242.322法二：連結(jié)AC,BD交于O，連結(jié)PO，則O為AC,BD的中點，如圖，因為底面ABCD為正方形，AB4，所以ACBD42在△PAC中，PC3,PCA45，，則由余弦定理可得PA故PA17，2AC2PC22ACPCcosPCA3292423217，2所以cosAPCPA2PC2AC21793217，則2PAPC21731717PAPCPAPCcosAPC1733，17不妨記PBm,BPD，2因為PO1PAPCPBPD，所以PAPCPBPD，1222222，2即PAPC2PAPCPBPD2PBPD則17923m2923mcos，整理得m26mcos110①，PBPD又在△PBD中，BD2PBPDcosBPD，即32m96mcos，則2222m26mcos230②，兩式相加得2m340，故PBm17，故在PBC中，PC3,PB17,BC4，2所以cosPCBPC2BC2PB2916171，23432PCBCPCB22，2又0PCBπ，所以sinPCB1cos3所以PBC的面積為S1PCBCsinPCB1342242.322故選：C.12.B方法一：設(shè)F1PF22,0π，所以SbtanF1PF2btan，22PF1F222由cosF1PF2cos2cos2sin21tan3，解得：tan1，2cos2+sin21tan252由橢圓方程可知，a9,b6,cab3，22222所以，SPF1F21F1F2yp123yp61，解得：y2p3，22239，因此OPxp3930．2即x2p912py2622故選：B．方法二：因為PF1PF22a6①，PF12PF222PF1PF2F1PF2F1F22，即PF12PF226PF1PF212②，聯(lián)立①②，515解得：PF1PF2,PF12PF2221，2而POPFPF，所以O(shè)PPO1PFPF2，1121222即PO1PFPF21PF2PFPFPF213152125230．211122222故選：B．方法三：因為PF1PF22a6①，PF12PF222PF1PF2F1PF2F1F22，即PF12PF226PF1PF212②，聯(lián)立①②，解得：PF12PF2221，5由中線定理可知，2OPF1F222PF12PF242，易知F1F223，解得：22OP30．2故選：B．二、填空題13.【答案】2π【解析】因為yfxx12axsinxx12axcosx為偶函數(shù)，定義域2為R，22πfπ，即ππasπππaπ，2所以f222222222則πaπ1π12π，故a2，22此時fxx122xcosxx1cosx，1cosxfx，2所以fxx21cosxx2又定義域為R，故fx為偶函數(shù)，所以a2.故答案為：2.14.【答案】15【解析】作出可行域，如圖，由圖可知，當目標函數(shù)y3xz過點A時，z有最大值，222x3y3由3x2y3x3可得y3，即A(3,3),所以zmax332315.故答案為：1515.【答案】12【解析】設(shè)正方體棱長為2，EF中點為O，取AB，BB1中點G,M，側(cè)面BB1C1C的中心為N，連接FG,EG,OM,ON,MN，如圖，由題意可知，O為球心，在正方體中，EFFG2EG2222222，即R2，則球心O到BB1的距離為OMON2MN212122，所以球O與棱BB1相切，球面與棱BB1只有1個交點，同理，根據(jù)正方體的對稱性知，其余各棱和球面也只有1個交點，所以以EF為直徑的球面與正方體每條棱的交點總數(shù)為12.故答案為：1216.【答案】2【解析】如圖所示：記ABc,ACb,BCa，b22bcos60方法一：由余弦定理可得，26，22因為b0，解得：b13，由SABCSABDSACD可得，12bsin6012ADsin301ADbsin30，2222．23133bb解得：AD3312故答案為：2．方法二：由余弦定理可得，22b222bcos606，因為b0，解得：b13，6b262，sinC2，2由正弦定理可得，，解得：sinBsin60sinBsinC4604575因為1362，所以C45，B180，又BAD30，所以ADB75故答案為：2．o，即ADAB2．三、解答題17.【答案】（1）ann11n（2）Tn22n2【解析】（1）因為2Snnan，當n1時，2a1a1，即a10；當n3時，21a33a3，即a32，當n2時，2Sn1n1an1，所以2SnSn1nann1an12an，n1，當n3時，a化簡得：n2ann1aan1a31，即ann1，nn1n22當n1,2,3時都滿足上式，所以ann1nN（2）*．123nan1n21111，所以T123n因為，2nnn222212213(n1)1n1nn112Tn12，222兩式相減得，1n11123nn122n11n，11111n12Tn222222112n1n11，即Tn22nn1，nN*．22218.【答案】（1）證明見解析13（2）13【解析】（1）如圖，A1C底面ABC，BC面ABC，A1CBC，又BCAC，A1C,AC平面ACC1A1，A1CACC,BC平面ACC1A1，又BC平面BCC1B1，平面ACC1A1平面BCC1B1，過A1作A1OCC1交CC1于O，又平面ACC1A平面BCC1B1CC1，AO平面ACC1A1，11A1O平面BCC1B1A1到平面BCC1B1的距離為1，A1O1，在Rt△A1CC1中，A1CA1C1,CC1AA12，設(shè)COx，則C1O2x，△A1OC,△A1OC1,△A1CC1為直角三角形，且CC12，CO2A1O2A1C2，A1OOC1C1A1，A1CA1C1C1C222222，4，解得x1，1x21(2x)2ACA1CA1C12，ACA1C（2）ACA1C1,BCA1C,BCAC，Rt△ACB≌Rt△A1CBBABA1，過B作BDAA1，交AA1于D，則D為AA1中點，由直線AA1與BB1距離為2，所以BD2A1D1，BD2，ABAB5，1在Rt△ABC，BCAB2AC23，延長AC，使ACCM，連接C1M，由CM∥A1C1,CMA1C1知四邊形A1CMC1為平行四邊形，C1M∥A1C，C1M平面ABC，又AM平面ABC，C1MAM則在Rt△AC1M中，AM2AC,C1MA1C，AC1(2AC)22，A1C在Rt△AB1C1中，AC1(2AC)AB1(22)(2)(3)又A到平面BCC1B1距離也為1，22，B1C1BC3，A1C22213,113.13所以AB1與平面BCC1B1所成角的正弦值為1319.【答案】（1）分布列見解析，E(X)1（2）（i）m23.4；列聯(lián)表見解析，（ii）能【解析】（1）依題意，X的可能取值為0,1,2，則P(X0)C020C222019，P(X1)C120C212020，P(X2)C2C02019，78C78C39C2404040X012197820391978P所以X的分布列為：故E(X)0191202191.783978（2）（i）依題意，可知這40只小鼠體重的中位數(shù)是將兩組數(shù)據(jù)合在一起，從小到大排后第20位與第21位數(shù)據(jù)的平均數(shù)，由于原數(shù)據(jù)已經(jīng)排好，所以我們只需要觀察對照組第一排數(shù)據(jù)與實驗組第二排數(shù)據(jù)即可，可得第11位數(shù)據(jù)為14.4，后續(xù)依次為17.3,17.3,18.4,19.2,20.1,20.2,20.4,21.5,23.2,23.6,，故第20位為23.2，第21位數(shù)據(jù)為23.6，所以m23.223.623.4，2故列聯(lián)表為：mm146合計20對照組實驗組合計61420202040（ii）由（i）可得，K40(661414)6.4003.841，220202020所以能有95%的把握認為藥物對小鼠生長有抑制作用.20.【答案】（1）p2（2）1282【解析】（1）設(shè)AxA,yA,BxB,yB，x2y10由可得，y24py2p0，所以yAyB4p,yAyB2p，y22px所以ABxAxB2yAyB25yAyB5yAyB24yAyB415，即2p2p60，因為p0，解得：p2．（2）因為F1,0，顯然直線MN的斜率不可能為零，設(shè)直線MN：xmyn，Mx1,y1,Nx2,y2，y24x由xmyn可得，y24my4n0，所以，y1y24m,y1y24n，16m16n0m22n0，因為MFNF0，所以x11x21y1y20，即my1n1my2n1y1y20，1y1y2mn1y1y2n120，亦即m2將y1y24m,y1y24n代入得，nn120，6n1，4m24m2n2所以n1，且n26n10，解得n322或n322．n1設(shè)點F到直線MN的距離為d，所以d，21mMNx1x22y1y221m21m4n6n116n21m所以MNF的面積S1MNd1y1y21m16m16n222222n1，n121m2n1n12，221m2而n322或n322，所以，2當n322時，MNF的面積Smin2221282．21.【答案】（1）答案見解析.（2）(,3]【解析】(x)acosxcos3x3sinxcosxsinx2cos（1）f6xacos2x3sincos2xa32cosx2cosx44x令cos2xt,則t(0,1)(x)g(t)a32tat22t3則ft2t2(x)g(t)8t22t3(2t1)(4t3)tt22當a8,f當t0,12,即xππ,,f(