2025高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)-拉檔提分解析幾何121-130-專項(xiàng)訓(xùn)練【含答案】

【評注】本問題的背景實(shí)質(zhì)也是以點(diǎn)為圓心的圓與橢圓恰有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，圓心位置的范圍是.【例24】如圖5，已知一個(gè)圓的圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為2，從這個(gè)圓上任意一點(diǎn)向軸作垂線段.(1)求線段的中點(diǎn)的軌跡方程；(2)若點(diǎn)分之比為，求點(diǎn)的軌跡方程.【解析】(1)當(dāng)M是線段的中點(diǎn)時(shí)，設(shè)動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為.因?yàn)辄c(diǎn)在圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為2的圓上，所以有即所以，點(diǎn)的軌跡是橢圓，方程是.(2)如圖6，當(dāng)點(diǎn)分之比為時(shí)，設(shè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為則的坐標(biāo)為因?yàn)辄c(diǎn)在圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為2的圓上，所以有即.所以點(diǎn)的軌跡是橢圓，方程是【變式訓(xùn)練】已知軸上的一定點(diǎn)為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，求AQ中點(diǎn)的軌跡方程.【例25】已知定圓動(dòng)圓和已知圓內(nèi)切且過點(diǎn)求圓心的軌跡及其方程.【解析】已知圓圓心所以，點(diǎn)在定圓內(nèi).如圖7，兩圓內(nèi)切，圓心距等于半徑之差的絕對值，用數(shù)學(xué)符號表示此結(jié)論:.上式可以變形為又因?yàn)樗詧A心的軌跡是以P，Q為焦點(diǎn)的橢圓.又PQ中點(diǎn)為原點(diǎn)，所以故動(dòng)圓圓心的軌跡方程是【變式訓(xùn)練】長度為2的線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)A，B分別在軸、軸上滑動(dòng)，點(diǎn)分AB的比為求點(diǎn)的軌跡方程.十、兩類對稱點(diǎn)之存在【例26】試確定的取值范圍，使得橢圓上有不同的兩點(diǎn)A，B關(guān)于直線對稱.【解析】設(shè)中點(diǎn).則可得即，即，即，.因?yàn)樗约此杂捎谥?，點(diǎn)必在橢圓內(nèi)，故有，解得【拓展提升】已知橢圓上兩個(gè)不同的點(diǎn)A，B關(guān)于直線對稱.(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)求面積的最大值為坐標(biāo)原點(diǎn)).【解析】(1)由題意知，可設(shè)直線AB的方程為.由消去y，得因?yàn)橹本€與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以.①將AB中點(diǎn)代入直線方程解得，②由①②得或.(2)令，則且到直線AB的距離為.設(shè)的面積為所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，故面積的最大值為.十一、正交中心角系列【例27】已知直線過橢圓的右焦點(diǎn)，交橢圓于A，B兩點(diǎn)，是否存在以AB為直徑的圓恰過原點(diǎn)？請說明理由.【解析】由得設(shè)直線，聯(lián)立方程得整理得.由于即整理得從而得矛盾.所以，不存在以AB為直徑的圓恰過原點(diǎn).【變式訓(xùn)練】已知直線過橢圓的右焦點(diǎn)，交橢圓于A，B兩點(diǎn)，且以AB為直徑的圓恰過原點(diǎn)，求弦AB的長和直線AB的方程.【例28】已知直線過橢圓的右焦點(diǎn)，交橢圓于A，B兩點(diǎn)，若存在以AB為直徑的圓恰過原點(diǎn)，求的取值范圍，離心率的取值范圍.【解析】設(shè)直線，聯(lián)立方程得，整理得由于故即可得，故得解得.【規(guī)律探索】（1）在橢圓中，若離心率，則稱此橢圓為黃金橢圓；若離心率的平方，則稱此橢圓為準(zhǔn)黃金橢圓.準(zhǔn)黃金橢圓中的證明如下:兩邊平方化簡得即.(2)黃金橢圓面積與焦點(diǎn)圓(以焦距為直徑的圓)面積相等.【變式訓(xùn)練】1.已知直線過橢圓的右焦點(diǎn)，交橢圓于A，B兩點(diǎn)，若存在以AB為直徑的圓恰過原點(diǎn)，求離心率的取值范圍.2.已知直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，且以AB為直徑的圓恰過原點(diǎn)，求的取值范圍.【拓展提升】1.已知橢圓上任意兩點(diǎn)P，Q，若則的最小值為.【答案】【解析】設(shè)，由點(diǎn)P，Q在橢圓上，得①②由①+②得于是當(dāng)時(shí)，達(dá)到最小值.2.橢圓與直線交于P，Q兩點(diǎn)，且其中為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)求的值；(2)若橢圓的離心率e滿足求橢圓長軸的取值范圍.【解析】設(shè)由得因?yàn)榇肷鲜降芒儆謱⒋氲靡驗(yàn)樗?代入①化簡得.(2)因?yàn)樗约?又由(1)知所以得，所以長軸【規(guī)律探索】定理：直角三角形的直角頂點(diǎn)在中心，斜邊的端點(diǎn)在圓錐曲線上，則中心在斜邊上的射影軌跡是圓.【例29】若的直角頂點(diǎn)為橢圓的中心，OA，OB交橢圓于A，B兩點(diǎn)，求證:點(diǎn)在斜邊上的射影的軌跡是圓.【解析】解法1設(shè)則點(diǎn).如圖1，由于點(diǎn)A，B在橢圓上，則有由此可得，在中，設(shè)，所以.可見是一個(gè)定值，所以中心在斜邊上的射影，點(diǎn)的軌跡是圓.解法2化齊次型.聯(lián)立方程，即，得，整理得令，得即.因?yàn)樗?，所?設(shè)中心到直線AB的距離為d，則十二、斜率積定值之奇妙【例30】設(shè)橢圓的一條弦AB的斜率為k，弦AB的中點(diǎn)為M，原點(diǎn)為O，MO的斜率為，求證：.【解析】解法1設(shè)AB的方程為，①又已知，②由①②消去y，得.此一元二次方程的兩根是A，B的橫坐標(biāo)，即，所以AB中點(diǎn)滿足，所以，即.解法2設(shè)則，③，④③-④，得化為⑤把代入⑤，得.【評注】對于橢圓為橢圓上的兩點(diǎn)，為AB中點(diǎn)，直線AB與OM的斜率之積為定值，即此性質(zhì)在解有關(guān)選擇、填空題時(shí)，快速準(zhǔn)確，應(yīng)予重視.【變式訓(xùn)練】1.過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，設(shè)直線的斜率為直線OP的斜率為則的值為（）A.2B.-2C.D.2.北京奧運(yùn)會主體育場“鳥巢”的鋼結(jié)構(gòu)簡化后的俯視圖如圖1所示，內(nèi)外兩圈的鋼骨架是離心率相同的橢圓，外層橢圓頂點(diǎn)向內(nèi)層橢圓引切線AC，BD.設(shè)內(nèi)層橢圓方程為則外層橢圓方程可設(shè)為.若直線AC與直線BD的斜率之積為則橢圓的離心率為（）A.B.C.D.【例31】如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中為橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)，為其右焦點(diǎn)，直線與直線相交于點(diǎn)T，線段OT與橢圓的交點(diǎn)恰為線段OT的中點(diǎn)，則該橢圓的離心率為.【答案】【解析】設(shè)則，即故，解得又解得.故即，代入得即，即通分化簡并整理得解得(舍去【規(guī)律探索】如圖3，過圓錐曲線上一點(diǎn)作直線PM，PN分別交曲線于點(diǎn)M，N，且，則過MN的直線必過定點(diǎn)特別地，當(dāng)時(shí)，定點(diǎn)在原點(diǎn)，此時(shí)M，N關(guān)于原點(diǎn)對稱.【解析】設(shè)已知?jiǎng)t將坐標(biāo)原點(diǎn)平移到點(diǎn)的位置，則即，從而故.整理得令則因?yàn)椋?，所以，所以，所以直線MN過定點(diǎn).還原坐標(biāo)得定點(diǎn)為，即定點(diǎn)為.【變式訓(xùn)練】1.設(shè)橢圓的方程為點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)，，點(diǎn)在線段AB上..且滿足，直線OM的斜率為.(1)求的離心率；(2)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為為線段AC的中點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于直線AB的對稱點(diǎn)的縱坐標(biāo)為求的方程.2.橢圓與直線相交于A，B兩點(diǎn)，若，且AB的中點(diǎn)與橢圓中心連線的斜率為，求a，b的值.【拓展提升】1.如圖4，已知橢圓點(diǎn)為其長軸AB的6等分點(diǎn)，分別過這五點(diǎn)作斜率為的一組平行線，交橢圓于，則直線這10條直線的斜率乘積為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】由于是等分點(diǎn)，故恰有5對點(diǎn)連線過原點(diǎn)，而過原點(diǎn)的點(diǎn)對與點(diǎn)的連線斜率積為.則這10條直線的斜率乘積為故選.2.如圖5，過圓錐曲線上一點(diǎn)作直線PA，PB交曲線于點(diǎn)A，B，且，且，求面積的取值范圍.【解析】由上題知過原，點(diǎn)，又，所以，證明:設(shè)則點(diǎn).由于點(diǎn)P，B在橢圓上，則有由此可得，.在中，設(shè)，所以，由得.當(dāng)時(shí)，達(dá)最大值.所以.十三、動(dòng)弦定長相關(guān)問題【例32】已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，直線與該橢圓交于P，Q兩點(diǎn)，且求橢圓的方程.【解析】設(shè)所求橢圓方程為由題意，點(diǎn)P，Q的坐標(biāo)滿足方程組將②代入①并整理，得.③設(shè)方程③的兩根為則直線與