山西省晉中市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期1月期末調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)試卷（解析版）

第1頁(yè)/共1頁(yè)晉中市2025年1月高二年級(jí)期末調(diào)研測(cè)試試卷數(shù)學(xué)考生注意：1、答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將考生號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先將直線方程化成斜截式，求出其斜率，再求直線的傾斜角.【詳解】由，可得，故直線的斜率為，設(shè)直線的傾斜角為，則，因，故.故選：D.2.2022年2月，第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)在北京隆重舉行，中國(guó)代表團(tuán)獲得了9金4銀2銅的優(yōu)異成績(jī)，彰顯了我國(guó)體育強(qiáng)國(guó)的底蘊(yùn)和綜合國(guó)力.設(shè)某高山滑雪運(yùn)動(dòng)員在一次滑雪訓(xùn)練中滑行的路程（單位：）與時(shí)間（單位：）之間的關(guān)系為，則當(dāng)時(shí)，該運(yùn)動(dòng)員的滑雪速度為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的實(shí)際意義，對(duì)求導(dǎo)再代入求解即可.【詳解】由題意，，故當(dāng)時(shí)，該運(yùn)動(dòng)員的滑雪速度為.故選：B3.“”是“方程表示橢圓”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)方程表示橢圓可得出的取值范圍，再根據(jù)范圍大小可得結(jié)果.【詳解】若方程表示橢圓，則需滿足，解得，顯然是的真子集，所以“”是“方程表示橢圓”的必要不充分條件.故選：B4.在三棱柱中，，，，為平行四邊形對(duì)角線的交點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)空間向量的加減運(yùn)算法則計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】如下圖所示：易知.故選：C5.設(shè)等比數(shù)列滿足，，則公比（）A.8 B. C. D.2【答案】D【解析】【分析】借助等比數(shù)列性質(zhì)計(jì)算即可得.【詳解】由題意可得，即.故選：D.6.在長(zhǎng)方體中，，，點(diǎn)滿足，則點(diǎn)到直線的距離為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，利用空間向量的方法求點(diǎn)到直線的距離即可.【詳解】如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以、、分別為、、軸空間直角坐標(biāo)系，，，，設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，所以，，根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式有：，所以.故選：C7.已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，且的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，的導(dǎo)函數(shù)為f′x，若函數(shù)的圖象如圖所示，則（）A.的單調(diào)遞減區(qū)間是B.的單調(diào)遞增區(qū)間是?1,1，C.當(dāng)時(shí)，有極值D.當(dāng)時(shí)，f′【答案】A【解析】【分析】利用函數(shù)圖象解不等式可得的單調(diào)性，即可判斷A正確，B錯(cuò)誤，再根據(jù)極值定義可得C錯(cuò)誤，根據(jù)不等式結(jié)果可得D錯(cuò)誤.【詳解】根據(jù)圖象可知當(dāng)時(shí)，，可得；當(dāng)時(shí)，，可得；當(dāng)時(shí)，，可得，且；對(duì)于AB，易知時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增，因此的單調(diào)遞減區(qū)間是，的單調(diào)遞增區(qū)間是，即A正確，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，易知當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即在處左右函數(shù)的單調(diào)性不改變，因此C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)闀r(shí)，，可得，因此，即D錯(cuò)誤.故選：A8.已知，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)，分別在的左、右兩支上，且滿足，，，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)平行關(guān)系利用對(duì)稱性并結(jié)合雙曲線定義，利用勾股定理構(gòu)造方程可解得，可得其離心率.【詳解】連接，延長(zhǎng)與雙曲線交于點(diǎn)，連接，如下圖所示：由，根據(jù)對(duì)稱性可知，又，所以四邊形為矩形；由可設(shè)，則;由雙曲線定義可知，所以，所以；又，所以；因?yàn)?，在中，，且，所以，解得；即，所以；在中，，即，解得，?故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于根據(jù)平行關(guān)系利用對(duì)稱性，由雙曲線定義和勾股定理計(jì)算得出的關(guān)系式，即可求解.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，，則（）A.B.異面直線與所成的角為C.點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為D.直線與平面所成角的正弦值為【答案】ACD【解析】【分析】利用空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可判斷A選項(xiàng)；利用空間中點(diǎn)的對(duì)稱性可判斷C選項(xiàng)；利用空間向量法可判斷BD選項(xiàng).詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，，，所以，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，，所以異面直線與所成的角余弦值為，故異面直線與所成的角不是，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，易知平面為坐標(biāo)平面，則平面的一個(gè)法向量為，所以，則直線與平面所成角正弦值為，D對(duì).故選：ACD.10.若函數(shù)在上具有單調(diào)性，則函數(shù)可以是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】由題意可得或在上恒成立，逐個(gè)選項(xiàng)計(jì)算并判斷即可得.【詳解】，若函數(shù)在上具有單調(diào)性，由恒成立，則或在上恒成立，對(duì)A：，不滿足題意，故A錯(cuò)誤；對(duì)B：恒成立，故B正確；對(duì)C：，由，，不符，故C錯(cuò)誤；對(duì)D：，由，故恒成立，故D正確.故選：BD.11.設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若是等差數(shù)列，且，則B.若是等差數(shù)列，則是與的等差中項(xiàng)C.若是等比數(shù)列，則是與的等比中項(xiàng)D.若是等比數(shù)列，且，則【答案】ABD【解析】【分析】對(duì)于A由得即可判斷，對(duì)于B等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，所以數(shù)列為等差數(shù)列即可判斷，對(duì)于C當(dāng)公比時(shí)即可判斷，對(duì)于D由即可得公比，計(jì)算建立方程即可求解.【詳解】對(duì)于A：設(shè)數(shù)列的公差為，由有：，因?yàn)?，所以，故A正確；對(duì)于B：因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，是數(shù)列的前項(xiàng)和，所以，，所以數(shù)列為等差數(shù)列，，所以是與的等差中項(xiàng)，故B正確；對(duì)于C：若是等比數(shù)列，當(dāng)公比時(shí)，，所以不是與的等比中項(xiàng)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，且，所以公比為，所以，解得，故D正確，故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，則_____.【答案】【解析】【分析】利用導(dǎo)函數(shù)的幾何意義以及兩直線的位置關(guān)系與斜率的關(guān)系求解.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所以，直線的斜率為，因?yàn)?，所以，故答案為?13.已知直線與拋物線（）交于、兩點(diǎn)，且，于點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則______．【答案】【解析】【分析】由題知，直線的斜率為，從而求得直線方程，由知，聯(lián)立直線與拋物線的方程，利用根與系數(shù)關(guān)系代入計(jì)算求出值.【詳解】，，，，則直線的方程為：，即，設(shè)，聯(lián)立，消去得：，，，，.故答案為：.14.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，且，則_____.【答案】4【解析】【分析】由題意利用遞推關(guān)系式確定數(shù)列為隔項(xiàng)等差數(shù)列，然后結(jié)合的值可得的值.【詳解】由題意可得：，，兩式作差可得：①，進(jìn)一步有：②，由①—②有：，故數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)為等差數(shù)列，且公差為2，據(jù)此可得：，即：，故答案為：4.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知圓的圓心在直線上，且直線被圓截得的弦長(zhǎng)為.（1）求圓的方程；（2）過(guò)點(diǎn)作圓的切線，求切線的方程.【答案】（1）（2）或.【解析】【分析】（1）根據(jù)圓心坐標(biāo)以及弦長(zhǎng)公式計(jì)算可得結(jié)果；（2）分別討論直線斜率是否存在，再由圓心到切線的距離等于半徑可得結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】圓的圓心為，由圓心在直線上可得，即圓心；易知圓心到直線的距離為，由弦長(zhǎng)公式可得，解得；所以圓的方程為；【小問(wèn)2詳解】當(dāng)切線斜率不存在時(shí)，過(guò)點(diǎn)的直線方程為，顯然到的距離等于3，符合題意；當(dāng)切線斜率存在時(shí)，可設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線方程為，則圓心到的距離為，解得；此時(shí)切線方程為，即；綜上可知，切線的方程為或.16.如圖，在底面為矩形的四棱錐中，平面，，分別為棱，的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上，且滿足，，.（1）判斷，，，四點(diǎn)是否共面，若是，請(qǐng)用和表示，否則，請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）求平面與平面夾角的余弦值.【答案】（1）,,,四點(diǎn)共面；（2）【解析】【分析】（1）通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系，只需要驗(yàn)證，，之間的關(guān)系即可判斷四點(diǎn)是否共面；（2）分別求出兩個(gè)平面的法向量，平面的夾角即為兩個(gè)法向量所在直線的夾角.【小問(wèn)1詳解】由已知，底面是矩形，且底面，可得，，兩兩垂直，可以為坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系：各點(diǎn)坐標(biāo)如下：，，，，，由坐標(biāo)計(jì)算可知，.故，，，四點(diǎn)共面，且.【小問(wèn)2詳解】由（1）中建立坐標(biāo)系過(guò)程，易知平面，，另設(shè)平面的一個(gè)法向量為，可得，代入坐標(biāo)得，令可得，則，設(shè)平面與平面的夾角為，.17.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）記，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）借助與的關(guān)系結(jié)合等比數(shù)列定義計(jì)算即可得；（2）借助錯(cuò)位相減法計(jì)算即可得.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，則，即，當(dāng)時(shí)，，則，故數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，即；【小問(wèn)2詳解】，則，，則，故，故.18.已知函數(shù).（1）若，且函數(shù)y=fx有極值2，求的值；（2）若，且不等式在0,+∞上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）或；（2）【解析】【分析】（1）代入求導(dǎo)，得出其單調(diào)性并求得極值表達(dá)式解方程可得的值；（2）分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)并求得的最大值，可求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】若，則，所以；當(dāng)時(shí)，，因此在單調(diào)遞減，當(dāng)或時(shí)，，因此在，單調(diào)遞增；即在處取得極大值，在處取得極小值；若函數(shù)的極大值為2，即，此時(shí)；若函數(shù)的極小值為2，即，此時(shí)；綜上可得，或；小問(wèn)2詳解】若，則，所以不等式為在上恒成立，即在上恒成立，令，則；當(dāng)時(shí)，，因此在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，因此在單調(diào)遞減；因此在處取得極大值，也是最大值，即，即滿足題意，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.19.在直角坐標(biāo)系中，，兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，直線，相交于點(diǎn)，它們的斜率之積為，點(diǎn)的軌跡為曲線.（1）求的方程；（2）若斜率為且不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)直線與交于，兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，直線的斜率記為，求的值；（3）在（2）的條件下，點(diǎn)為上一點(diǎn)，且不與的頂點(diǎn)重合，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，若直線與關(guān)于直線對(duì)稱，求證：，，三點(diǎn)共線.【答案】（1）；（2）；（3）證明見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）利用斜率的坐標(biāo)公式列式化簡(jiǎn)即得.（2）根據(jù)給定條件，利用點(diǎn)差法列式，結(jié)合斜率的坐標(biāo)公式求得答案.（3）設(shè)點(diǎn)及直線的斜率，直線與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理及斜率坐標(biāo)公式，結(jié)合（2）證得的斜率相等即可.