線性回歸分析與獨立性檢驗講義-高三數(shù)學二輪復習

線性回歸分析與獨立性檢驗一．基本原理一．相關(guān)性檢驗1.相關(guān)系數(shù)：2.相關(guān)系數(shù)r的性質(zhì)（1）當r>0時，稱成對樣本數(shù)據(jù)正相關(guān)；當r<0時，成對樣本數(shù)據(jù)負相關(guān)；當r＝0時，成對樣本數(shù)據(jù)間沒有線性相關(guān)關(guān)系．（2）樣本相關(guān)系數(shù)r的取值范圍為[－1，1]．當|r|越接近1時，成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強；當|r|越接近0時，成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越弱．二．線性回歸與最小二乘法1回歸直線方程過樣本點的中心，是回歸直線方程最常用的一個特征2我們將稱為關(guān)于的線性回歸方程，也稱經(jīng)驗回歸函數(shù)或經(jīng)驗回歸公式，其圖形稱為經(jīng)驗回歸直線．這種求經(jīng)驗回歸方程的方法叫做最小二乘法，求得的叫做b，a的最小二乘估計，其中3殘差的概念對于響應變量，通過觀測得到的數(shù)據(jù)稱為觀測值，通過經(jīng)驗回歸方程得到的稱為預測值，觀測值減去預測值稱為殘差．殘差是隨機誤差的估計結(jié)果，通過殘差的分析可以判斷模型刻畫數(shù)據(jù)的效果，以及判斷原始數(shù)據(jù)中是否存在可疑數(shù)據(jù)等，這方面工作稱為殘差分析．4刻畫回歸效果的方式（i）殘差圖法：作圖時縱坐標為殘差，橫坐標可以選為樣本編號，或身高數(shù)據(jù)，或體重估計值等，這樣作出的圖形稱為殘差圖．若殘差點比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域內(nèi)，帶狀區(qū)域越窄，則說明擬合效果越好．（ii）殘差平方和法：殘差平方和，殘差平方和越小，模型擬合效果越好，殘差平方和越大，模型擬合效果越差．（iii）利用刻畫回歸效果：決定系數(shù)是度量模型擬合效果的一種指標，在線性模型中，它代表解釋變量客立預報變量的能力．，越大，即擬合效果越好，越小，模型擬合效果越差．三．獨立性檢驗1．2×2列聯(lián)表一般地，假設(shè)有兩個分類變量X和Y，它們的取值分別為{x1，x2}和{y1，y2}，其2×2列聯(lián)表為y1y2合計x1aba＋bx2cdc＋d合計a＋cb＋da＋b＋c＋d2.獨立性檢驗（1）統(tǒng)計量也可以用來作相關(guān)性的度量．越小說明變量之間越獨立，越大說明變量之間越相關(guān).忽略的實際分布與該近似分布的誤差后，對于任何小概率值，可以找到相應的正實數(shù)，使得成立．我們稱為的臨界值，這個臨界值就可作為判斷大小的標準．（2）獨立性檢驗基于小概率值α的檢驗規(guī)則是：當時，我們就推斷H0不成立，即認為X和Y不獨立，該推斷犯錯誤的概率不超過α；當時，我們沒有充分證據(jù)推斷H0不成立，可以認為X和Y獨立．這種利用的取值推斷分類變量X和Y是否獨立的方法稱為獨立性檢驗，讀作“卡方獨立性檢驗”，簡稱獨立性檢驗(testofindependence)．3.應用獨立性檢驗解決實際問題的大致步驟（1）提出零假設(shè)H0：X和Y相互獨立，并給出在問題中的解釋；（2）根據(jù)抽樣數(shù)據(jù)整理出2×2列聯(lián)表，計算的值，并與臨界值比較；（3）根據(jù)檢驗規(guī)則得出推斷結(jié)論；（4）在X和Y不獨立的情況下，根據(jù)需要，通過比較相應的頻率，分析X和Y間的影響規(guī)律．二．典例分析例1.（2022年全國乙卷）某地經(jīng)過多年的環(huán)境治理，已將荒山改造成了綠水青山，為估計一林區(qū)某種樹木的總材積量，隨機選取了10棵這種樹木，測量每棵樹的根部橫截面積（單位：）和材積量（單位：），得到如下數(shù)據(jù)：樣本號12345678910總和根部橫截面積0．040．060．040．080．080．050．050．070．070．060．6材積量0．250．400．220．540．510．340．360．460．420．403．9并計算得，，．（1）估計該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積量；（2）求該林區(qū)這種樹木的根部橫截面積與材積量的樣本相關(guān)系數(shù)（精確到0．01）；（3）現(xiàn)測量了該林區(qū)所有這種樹木的根部橫截面積，并得到所有這種樹木的根部橫截面積總和為．已知樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比．利用以上數(shù)據(jù)給出該林區(qū)這種樹木的總材積量的估計值．附：相關(guān)系數(shù)，．解析：（1）樣本中10棵這種樹木的根部橫截面積的平均值，樣本中10棵這種樹木的材積量的平均值據(jù)此可估計該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積為，平均一棵的材積量為（2）則（3）設(shè)該林區(qū)這種樹木的總材積量的估計值為，又已知樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比，可得，解之得．則該林區(qū)這種樹木的總材積量估計為例2（2022年新高考1卷）一醫(yī)療團隊為研究某地的一種地方性疾病與當?shù)鼐用竦男l(wèi)生習慣（衛(wèi)生習慣分為良好和不夠良好兩類）的關(guān)系，在已患該疾病的病例中隨機調(diào)查了100例（稱為病例組），同時在未患該疾病的人群中隨機調(diào)査了100人（稱為對照組），得到如下數(shù)據(jù)：不夠良好良好病例組60對照組1090（1）能否有99%的把握認為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習慣有差異？附：，解析：（1）假設(shè)患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習慣沒有差異，則，所以有99%的把握認為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習慣有差異.例3．2023年3月5日，國務(wù)院總理李克強在政府工作報告中指出“著力擴大消費和有效投資．面對需求不足甚至出現(xiàn)收縮，推動消費盡快恢復．幫扶旅游業(yè)發(fā)展．圍繞補短板、調(diào)結(jié)構(gòu)、增后勁擴大有效投資．”某旅游公司為確定接下來五年的發(fā)展規(guī)劃，對2013~2022這十年的國內(nèi)旅客人數(shù)作了初步處理，用和分別表示第年的年份代號和國內(nèi)游客人數(shù)（單位：百萬人次），得到下面的表格與散點圖．年份2013201420152016201720182019202020212022年份代碼x12345678910國內(nèi)游客數(shù)y3262361139904432500055426006287932462530（1）2020年~2022年疫情特殊時期，旅游業(yè)受到重挫，現(xiàn)剔除這三年的數(shù)據(jù)，再根據(jù)剩余樣本數(shù)據(jù)（，2，3，…，7）建立國內(nèi)游客人數(shù)關(guān)于年份代號的一元線性回歸模型；（2）2023年春節(jié)期間旅游市場繁榮火爆，預計2023年國內(nèi)旅游人數(shù)約4550百萬人次，假若2024年～2027年能延續(xù)2013年～2019年的增長勢頭，請結(jié)合以上信息預測2027年國內(nèi)游客人數(shù)．附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：，參考數(shù)據(jù)：，解析：（1）由題可得，，，所以，，所以根據(jù)樣本數(shù)據(jù)（，2，3，…，7）建立一元線性回歸模型為；（2）由可知，年份每增加1年國內(nèi)旅游人數(shù)將增加468百萬人次，所以預測2027年國內(nèi)游客人數(shù)為百萬人次.習題演練1．某興趣小組研究光照時長x（h）和向日葵種子發(fā)芽數(shù)量y（顆）之間的關(guān)系，采集5組數(shù)據(jù)，作如圖所示的散點圖．若去掉后，下列說法正確的是（

）A．相關(guān)系數(shù)r變小 B．決定系數(shù)變小C．殘差平方和變大 D．解釋變量x與預報變量y的相關(guān)性變強解析：從圖中可以看出較其他點，偏離直線遠，故去掉后，回歸效果更好，對于A，相關(guān)系數(shù)越接近于1，模型的擬合效果越好，若去掉后，相關(guān)系數(shù)r變大，故A錯誤；對于B，決定系數(shù)越接近于1，模型的擬合效果越好，若去掉后，決定系數(shù)變大，故B錯誤；對于C，殘差平方和越小，模型的擬合效果越好，若去掉后，殘差平方和變小，故C錯誤；對于D，若去掉后，解釋變量x與預報變量y的相關(guān)性變強，且是正相關(guān)，故D正確．故選：D．2．為了研究y關(guān)于x的線性相關(guān)關(guān)系，收集了5組樣本數(shù)據(jù)(見下表)：x12345y0.50.811.21.5假設(shè)經(jīng)驗回歸方程為，則（

）A．B．當時，y的預測值為2.2C．樣本數(shù)據(jù)y的40%分位數(shù)為0.8D．去掉樣本點后，x與y的樣本相關(guān)系數(shù)r不變解析：對于A選項：線性回歸方程必過點，，，解得，所以選項A正確；對于B選項：當時，可以的出y的預測值為2.2,所以B選項正確；對于C選項：從小到大排列共有5個數(shù)據(jù)，則是整數(shù)，則第40百分位數(shù)為從小到大排列的第3個數(shù)據(jù)，即第40百分位數(shù)為3，所以C選項錯誤；對于D選項：因為相關(guān)系數(shù)為,5組樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)為：，去掉樣本中心點后相關(guān)系數(shù)為，所以相關(guān)系數(shù)r不變,所以D選項正確；故選：ABD.3.隨著科技發(fā)展的日新月異，人工智能融入了各個行業(yè)，促進了社會的快速發(fā)展．其中利用人工智能生成的虛擬角色因為擁有更低的人工成本，正逐步取代傳統(tǒng)的真人直播帶貨．某公司使用虛擬角色直播帶貨銷售金額得到逐步提升，以下為該公司自2023年8月使用虛擬角色直播帶貨后的銷售金額情況統(tǒng)計．年月2023年8月2023年9月2023年10月2023年11月2023年12月2024年1月月份編號123456銷售金額／萬元15.425.435.485.4155.4195.4若與的相關(guān)關(guān)系擬用線性回歸模型表示，回答如下問題：（1）試求變量與的樣本相關(guān)系數(shù)（結(jié)果精確到0.01）；（2）試求關(guān)于的經(jīng)驗回歸方程，并據(jù)此預測2024年2月份該公司的銷售金額．附：經(jīng)驗回歸方程，其中，，樣本相關(guān)系數(shù)；參考數(shù)據(jù)：，．解析：（1），，所以.（2）由題意，所以，所以關(guān)于的經(jīng)驗回歸方程為，所以預測2024年2月份該公司的銷售金額為萬元.

非線性回歸中常見的幾個模型一．基本原理模型1，其中為常數(shù).將兩邊取對數(shù)，得，令，從而得到與的線性經(jīng)驗回歸方程，用公式求即可，這樣就建立了與非線性經(jīng)驗回歸方程.模型2，其中為常數(shù).令，則變換后得到與的線性經(jīng)驗回歸方程，用公式求即可，這樣就建立了與非線性經(jīng)驗回歸方程.模型3，其中為常數(shù).，則變換后得到與的線性經(jīng)驗回歸方程，用公式求即可，這樣就建立了與非線性經(jīng)驗回歸方程.模型4反比例函數(shù)模型：令，則變換后得到與的線性經(jīng)驗回歸方程，用公式求即可，這樣就建立了與非線性經(jīng)驗回歸方程.模型5.三角函數(shù)模型：令，則變換后得到與的線性經(jīng)驗回歸方程，用公式求即可，這樣就建立了與非線性經(jīng)驗回歸方程.二．典例分析例1．用模型擬合一組數(shù)據(jù)組，其中；設(shè)，得變換后的線性回歸方程為，則（

）A． B．70 C． D．35【解析】因為，所以，，即，所以.故選：C例2．一只紅鈴蟲產(chǎn)卵數(shù)和溫度有關(guān)，現(xiàn)測得一組數(shù)據(jù)，可用模型擬合，設(shè)，其變換后的線性回歸方程為，若，，為自然常數(shù)，則________.【解析】經(jīng)過變換后，得到，根據(jù)題意，故，又，故，，故，于是回歸方程為一定經(jīng)過，故，解得，即，于是.故答案為：.例3．數(shù)據(jù)顯示，中國在線直播用戶規(guī)模及在線直播購物規(guī)模近幾年都保持高速增長態(tài)勢，下表為2017－2021年中國在線直播用戶規(guī)模（單位：億人），其中2017年－2021年對應的代碼依次為1－5．年份代碼x12345市場規(guī)模y3.984.565.045.866.36（1）由上表數(shù)據(jù)可知，可用函數(shù)模型擬合y與x的關(guān)系，請建立y關(guān)于x的回歸方程（，的值精確到0.01）；（2）已知中國在線直播購物用戶選擇在品牌官方直播間購物的概率為p，現(xiàn)從中國在線直播購物用戶中隨機抽取4人，記這4人中選擇在品牌官方直播間購物的人數(shù)為X，若，求X的數(shù)學期望．參考數(shù)據(jù)：，，，其中．參考公式：對于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為，．【解析】（1）設(shè)，則，因為，，，所以．把代入，得．即關(guān)于的回歸方程為．（2）由題意知，，，由得，故.例4．下表是從2013年至2022年，德陽三星堆景點的旅游人數(shù)（萬人）與年份的數(shù)據(jù)：第年12345678910旅游人數(shù)（萬人）300283321345372435486527622800該景點為了預測2023年的旅游人數(shù)，建立了與的兩個回歸模型：模型①：由最小二乘法公式求得與的線性回歸方程；模型②：由散點圖的樣本點分布，可以認為樣本點集中在曲線的附近．（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，求模型②的回歸方程．（精確到個位，精確到0．01）．（2）根據(jù)下列表中的數(shù)據(jù)，比較兩種模型的相關(guān)指數(shù)，并選擇擬合精度更高、更可靠的模型，預測2023年該景區(qū)的旅游人數(shù)（單位：萬人，精確到個位）．回歸方程①②3040714607參考公式、參考數(shù)據(jù)及說明：①對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計分別為．②刻畫回歸效果的相關(guān)指數(shù)；③參考數(shù)據(jù)：，．5．54496．058341959．00表中．【解析】（1）對取對數(shù)，得，設(shè)，，先建立關(guān)于的線性回歸方程.，，，模型②的回歸方程為.（2）由表格中的數(shù)據(jù)，有30407>14607，即，即，，模型①的相關(guān)指數(shù)小于模型②的，說明回歸模型②的擬合效果更好.2021年時，，預測旅游人數(shù)為（萬人）.例5．中國共產(chǎn)黨第二十次全國代表大會上的報告中提到，新時代十年我國經(jīng)濟實力實現(xiàn)歷史性躍升，國內(nèi)生產(chǎn)總值從54萬億元增長到114萬億元，我國經(jīng)濟總量穩(wěn)居世界第二位.建立年份編號為解釋變量，地區(qū)生產(chǎn)總值為響應變量的一元線性回歸模型，現(xiàn)就20122016某市的地區(qū)生產(chǎn)總值統(tǒng)計如下：年份20122013201420152016年份編號12345地區(qū)生產(chǎn)總值（億元）2.83.13.94.65.6（1）求出回歸方程，并計算2016年地區(qū)生產(chǎn)總值的殘差；（2）隨著我國打贏了人類歷史上規(guī)模最大的脫貧攻堅戰(zhàn)，該市20172022的地區(qū)生產(chǎn)總值持續(xù)增長，現(xiàn)對這11年的數(shù)據(jù)有三種經(jīng)驗回歸模型、、，它們的分別為0.976、0.880和0.985，請根據(jù)的數(shù)值選擇最好的回歸模型預測一下2023年該市的地區(qū)生產(chǎn)總值；（3）若20122022該市的人口數(shù)（單位：百萬）與年份編號的回歸模型為，結(jié)合（2）問中的最佳模型，預測一下在2023年以后，該市人均地區(qū)生產(chǎn)總值的變化趨勢．參考公式：，.【解析】（1）由數(shù)據(jù)，，，而，，所以，則，綜上，回歸方程為，當時，，故2016年地區(qū)生產(chǎn)總值殘差為.（2）根據(jù)相關(guān)指數(shù)越大擬合越好，由于，故模型較好，因2023年對應，則億元.（3）由（2）及題設(shè)知：該市人均地區(qū)生產(chǎn)總值，令，且，若，所以在上遞增，則在上遞增，所以該市人均地區(qū)生產(chǎn)總值逐年遞增