正弦定理（4個(gè)知識(shí)點(diǎn)6類熱點(diǎn)題型講練習(xí)題鞏固）

11．2正弦定理課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)（1）學(xué)生能證明正弦定理，能掌握正弦定理；（2）能初步運(yùn)用正弦定理及其推論解三角形，能解決三角形的計(jì)算問(wèn)題；（3）提高運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，會(huì)從數(shù)學(xué)角度對(duì)某些日常生活中和其他學(xué)科中出現(xiàn)的問(wèn)題進(jìn)行研究探索．（1）能借助向量的運(yùn)算，探索三角形邊長(zhǎng)與角度的關(guān)系.（2）掌握正弦定理，并能利用正弦定理解三角形、判斷三角形解的個(gè)數(shù)問(wèn)題．（3）了解正弦定理及其變式的結(jié)構(gòu)特征和功能.（4）理解三角形面積公式及解三角形的含義.知識(shí)點(diǎn)01正弦定理正弦定理：在一個(gè)三角形中各邊和它所對(duì)角的正弦比相等，即：知識(shí)點(diǎn)詮釋：（1）正弦定理適合于任何三角形；（2）可以證明（為的外接圓半徑）；（3）每個(gè)等式可視為一個(gè)方程：知三求一．（4）利用正弦定理可以解決下列兩類三角形的問(wèn)題：=1\*GB3①已知兩個(gè)角及任意—邊，求其他兩邊和另一角；=2\*GB3②已知兩邊和其中—邊的對(duì)角，求其他兩個(gè)角及另一邊．【即學(xué)即練1】已知，，，解三角形．【解析】因?yàn)?，且，，所以，，而，所?知識(shí)點(diǎn)02正弦定理在解三角形中的應(yīng)用利用正弦定理，可以解決以下兩類有關(guān)三角形的問(wèn)題：（1）已知兩角和任一邊，求其他兩邊和一角；（2）已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角；【即學(xué)即練2】（2024·河北邯鄲·高一統(tǒng)考期末）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由正弦定理知：得.故選：B知識(shí)點(diǎn)03三角形面積公式在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，則的面積．【即學(xué)即練3】（2024·上海寶山·高一上海交大附中?？计谀┰谥?，角A，B，C所對(duì)邊的邊長(zhǎng)分別為a，b，c，且.(1)求；(2)若，的周長(zhǎng)為3，求的面積S.【解析】（1）因?yàn)椋瑒t，即，解得.（2）由（1）可知：，且，可得，由題意可知，即，由余弦定理可得，即，解得，所以的面積.知識(shí)點(diǎn)04仰角與俯角與目標(biāo)視線在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角．目標(biāo)視線在水平視線上方時(shí)叫仰角，目標(biāo)視線在水平視線下方時(shí)叫俯角，如圖所示．【即學(xué)即練4】（2024·河南商丘·高一校聯(lián)考期末）地面上一名觀測(cè)工作人員，觀測(cè)到一架飛機(jī)以的速度在某一高度向正東方向飛行，在觀測(cè)點(diǎn)上第一次觀測(cè)到飛機(jī)在北偏西方向，1分鐘后第二次觀測(cè)到飛機(jī)在北偏東方向，仰角為，則飛機(jī)的飛行高度為（結(jié)果保留根號(hào)）.【答案】/【解析】設(shè)點(diǎn)C是觀測(cè)點(diǎn)，點(diǎn)A，B是飛機(jī)被觀測(cè)的起止位置，點(diǎn)E，F(xiàn)是飛機(jī)在地面上的射影，已知（km），，設(shè)CD是正北方向，則，，，則，.在△CEF中，由正弦定理知，，即，解得.在直角三角形BFC中，.故答案為：

題型一：已知兩角及任意一邊解三角形【典例11】在中，內(nèi)角、、所對(duì)的邊分別為、、，，，若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)闉榈膬?nèi)角，則，由二倍角的余弦公式可得，解得，由正弦定理可得，所以，.故選：A.【典例12】在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知，則（

）A． B．5 C． D．【答案】B【解析】由于，故為銳角，故,故故選：B【方法技巧與總結(jié)】（1）正弦定理實(shí)際上是三個(gè)等式：，每個(gè)等式涉及四個(gè)元素，所以只要知道其中的三個(gè)就可以求另外一個(gè)．（2）因?yàn)槿切蔚膬?nèi)角和為180°，所以已知兩角一定可以求出第三個(gè)角．【變式11】在中，若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由于，所以為鈍角，所以，由正弦定理得.故選：D【變式12】在中，，，最短邊的長(zhǎng)為，則最長(zhǎng)邊的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．5【答案】D【解析】由，，所以，所以，又，所以，所以，所以，故，為最長(zhǎng)的邊，由，得，則，所以（舍去），由正弦定理得，所以.即最長(zhǎng)邊的長(zhǎng)為.故選：D.【變式13】記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)?，，所以，由正弦定理可得，又，所以，故選：A.題型二：已知兩邊及其中一邊的對(duì)角解三角形【典例21】在中，若，則B為（

）A． B．或 C． D．或【答案】B【解析】由，又且，所以或.故選：B【典例22】在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，則a的值為（

）A．2 B．3 C．1 D．4【答案】C【解析】由正弦定理得:.則.又因?yàn)?，所以，所以，在中由余弦定理?.代入得:.解得:或，又因?yàn)椋瑒t.故，故選：C.【方法技巧與總結(jié)】已知兩邊及其中一邊的對(duì)角，利用正弦定理解三角形的步驟（1）用正弦定理求出另一邊所對(duì)角的正弦值，進(jìn)而求出這個(gè)角．（2）用三角形內(nèi)角和定理求出第三個(gè)角．（3）根據(jù)正弦定理求出第三條邊．其中進(jìn)行（1）時(shí)要注意討論該角是否可能有兩個(gè)值．【變式21】在中，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵，∴由余弦定理，則得，∴解得：，或（舍去），∴由正弦定理可得：．故選：B.【變式22】在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，若，，，則（

）A．或 B．或3 C．或3 D．3【答案】A【解析】由題意及正弦定理，得，解得.又，故，于是或，均符合題意.當(dāng)時(shí)，，由正弦定理，得，解得；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)是等腰三角形，.故選：A【變式23】在中，若，，，則角的大小為（

）A． B． C． D．或【答案】D【解析】由正弦定理得，即，又因?yàn)椋瑒t，所以或.故選：D題型三：三角形形狀的判斷【典例31】在中，角，，分別為，，三邊所對(duì)的角，，則的形狀是（

）A．等腰三角形但一定不是直角三角形B．等腰直角三角形C．直角三角形但一定不是等腰三角形D．等腰三角形或直角三角形【答案】C【解析】由得：，且，，且，，，化簡(jiǎn)整理得：，即，或，又，是直角三角形但一定不是等腰三角形．故選：．【典例32】在中，角的對(duì)邊分別是，若，則的形狀是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形【答案】C【解析】由正弦定理得，，解得或，即或，所以為等腰三角形或直角三角形，故選：C.【方法技巧與總結(jié)】判斷三角形的形狀，就是根據(jù)題目條件，分析其是不是等腰三角形、直角三角形、等邊三角形、等腰直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形等．利用正弦定理判斷三角形形狀的方法如下：（1）化邊為角，走三角變形之路，常用的轉(zhuǎn)化方式有：①（為外接圓的半徑）；②；（2）化角為邊，走代數(shù)變形之路，常用的轉(zhuǎn)化方式有：①（為外接圓的半徑）；②．【變式31】在中，已知，則的形狀一定為（

）A．等腰三角形 B．銳角三角形C．直角三角形 D．鈍角三角形【答案】C【解析】因?yàn)椋?，所以，由正弦定理可得，所以為直角三角?故選：C【變式32】中，角的對(duì)邊分別為，且，則的形狀是（

）A．等腰三角形B．等腰三角形或直角三角形C．等腰直角三角形D．直角三角形【答案】B【解析】由正弦定理得，因?yàn)樵谥校瑒t，則，即，即，因?yàn)椋瑒t當(dāng)時(shí)，即時(shí)，上式成立，此時(shí)為直角三角形；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，則有，因?yàn)?，則，此時(shí)為等腰三角形；綜上，為等腰三角形或直角三角形.故選：B.【變式33】在中，角的對(duì)邊分別是，若，則的形狀為（

）A．等腰三角形 B．銳角三角形 C．直角三角形 D．鈍角三角形【答案】C【解析】由正弦定理可得，所以，即，所以，又因?yàn)?，所以，則，又因?yàn)?，所?故選：C.題型四：三角形面積公式及其應(yīng)用【典例41】已知，，分別為三個(gè)內(nèi)角，，的對(duì)邊，且．(1)求角；(2)若，且，求的面積．【解析】（1）因?yàn)?，所以，所以，由正弦定理可得，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，又因?yàn)?，所以；?）因?yàn)?，且，所以由余弦定理，可得，所以，，所以的面積為．【典例42】記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知(1)求(2)若的面積為，求【解析】（1）由正弦定理得，因?yàn)?，所以，解得，?）由，得，再由面積，得，根據(jù)余弦定理得，解得【方法技巧與總結(jié)】對(duì)于面積公式，總的概括為兩邊與夾角正弦乘積的一半．一般是已知角A就選，但也要結(jié)合具體條件，要根據(jù)解題目標(biāo)和其他條【變式41】在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，且．(1)求的值；(2)若，，求的面積．【解析】（1）由，得，因?yàn)?，所?則有：移項(xiàng)可得：因?yàn)?，所?（2）因?yàn)?，所以，由?）知，且，則：，即，整理得，即，解得或因?yàn)?，，則角是銳角．由知，，C為銳角，則，所以，則，那么，根據(jù)以及，可得：由正弦定理以及已知可得：，的面積.【變式42】記的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，已知.(1)求；(2)若，求的面積.【解析】（1）由，及正弦定理得，因?yàn)闉槿切蝺?nèi)角，故，故得，又為三角形內(nèi)角，或.（2）由得，又，所以.由（1）得，故，而為三角形內(nèi)角，.由正弦定理，得，故的面積.【變式43】記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．(1)求A；(2)若的角平分線AD與BC交于點(diǎn)D，且，．求的面積，【解析】（1）因?yàn)?，由正弦定理得，整理得，所以，因?yàn)?，所以；?）因?yàn)榈慕瞧椒志€為AD，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，，所以，化?jiǎn)可得，解得，所以題型五：判斷三角形解的個(gè)數(shù)【典例51】在中，，，若滿足上述條件的恰有一解，則邊長(zhǎng)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】若滿足條件的恰有一解，如圖則，或，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以AC的取值范圍是.故選：D【典例52】在中，已知角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，，，，若三角形有兩個(gè)解，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】依題意，，即，由，得，所以的取值范圍是.故選：C【方法技巧與總結(jié)】（1）已知兩邊及其中一邊的對(duì)角判斷三角形解的個(gè)數(shù)的方法①應(yīng)用三角形中大邊對(duì)大角的性質(zhì)以及正弦函數(shù)的值域判斷解的個(gè)數(shù)；②在△ABC中，已知a，b和A，以點(diǎn)C為圓心，以邊長(zhǎng)a為半徑畫(huà)弧，此弧與除去頂點(diǎn)A的射線AB的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)即為三角形解的個(gè)數(shù)，解的個(gè)數(shù)見(jiàn)下表：A為鈍角A為直角A為銳角一解一解一解無(wú)解無(wú)解一解無(wú)解無(wú)解兩解一解無(wú)解（2）通過(guò)正弦定理和三角形中大邊對(duì)大角的原理，判斷三角形的解的個(gè)數(shù)，提升了邏輯推理和直觀想象素養(yǎng)．【變式51】已知中，，，有兩解，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖，要使有兩解，則，即，即．故選：D．【變式52】在中，內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，根據(jù)下列條件解三角形，其中有兩個(gè)解的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】A【解析】對(duì)于A，若，，，由正弦定理可得，得，得，再根據(jù)，可得，得可能是銳角也可能是鈍角，即角有個(gè)值，故有兩解；對(duì)于B，若，，，由正弦定理可得，得，得，再根據(jù)，可得，只能是銳角，故有一個(gè)解；對(duì)于C，若，，，由正弦定理可得，得，得，再根據(jù)，則只能是銳角，故有一解；對(duì)于D，若，，，則由正弦定理可得，得，求得，故無(wú)解，得不存在.故選：A．【變式53】已知的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，，下面可使得有兩組解的的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】要使得有兩組解，則，又，得到，故選：D.題型六：用正弦定理解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題【典例61】圣·索菲亞教堂是哈爾濱的標(biāo)志性建筑，其中央主體建筑集球、圓柱、棱柱于一體，極具對(duì)稱之美．為了估算圣．索菲亞教堂的高度，某人在教堂的正東方向找到一座建筑物AB，高約為36m，在它們之間的地面上的點(diǎn)M（B，M，D三點(diǎn)共線）處測(cè)得建筑物頂A、教堂頂C的仰角分別是45°和60°，在建筑物頂A處測(cè)得教堂頂C的仰角為15°，則可估算圣．索菲亞教堂的高度CD約為．【答案】54m【解析】由題可得在直角中，，，所以，在中，，，所以，所以由正弦定理可得，所以，則在直角中，，即圣·索菲亞教堂的高度約為54m.故答案為：54m.【典例62】魯洛克斯三角形（又稱勒洛三角形）是一種特殊三角形，具有神奇的性質(zhì)，在機(jī)械加工業(yè)上有廣泛的應(yīng)用，它可以用來(lái)制作車(chē)輪、鉆出方形孔等，分別以正三角形的頂點(diǎn)為圓心，邊長(zhǎng)為半徑作圓弧，由這三段圓弧組成的曲邊三角形就是魯洛克斯三角形.如圖是一個(gè)魯洛克斯三角形，其中的長(zhǎng)度為，則中間正三角形的面積為.【答案】【解析】設(shè)中間正三角形的邊長(zhǎng)為，則有，解得，所以.故答案為：【方法技巧與總結(jié)】在運(yùn)用正弦定理解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，通常都根據(jù)題意，從實(shí)際問(wèn)題中抽象出一個(gè)或幾個(gè)三角形，然后通過(guò)解這些三角形，得出實(shí)際問(wèn)題的解．和高度有關(guān)的問(wèn)題往往涉及直角三角形的求解．【變式61】?jī)筛鶡o(wú)彈性的繩子把物體吊在水平桿子上，．已知物體的重力大小為20，且，則當(dāng)時(shí)，繩承受的拉力最?。敬鸢浮俊窘馕觥孔鞒鍪疽鈭D如圖所示，設(shè)與物體的重力平衡的力對(duì)應(yīng)的向量為，則，以為對(duì)角線作平行四邊形，其中，分別在上，則是繩承受的拉力大?。?，得，所以．在中，由正弦定理得，即，可得，又，所以當(dāng)承受的拉力最小時(shí)，.故答案為：.【變式62】將一副三角板按如圖所示的位置拼接：含30°角的三角板（）的長(zhǎng)直角邊與含45°角的三角板（）的斜邊恰好重合.與相交于點(diǎn)，若，則.【答案】【解析】由題可知，設(shè)，則，，由余弦定理，則，解得，∴，，則，，.由可得：，則，解得，則，所以.故答案為：【變式63】克羅狄·托勒密是希臘數(shù)學(xué)家，他博學(xué)多才，既是天文學(xué)權(quán)威，也是地理學(xué)大師，托勒密定理是平面幾何中非常著名的定理，它揭示了圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角線與邊長(zhǎng)的內(nèi)在聯(lián)系，該定理的內(nèi)容為:圓的內(nèi)接四邊形中，兩條對(duì)角線長(zhǎng)的乘積等于兩組對(duì)邊長(zhǎng)的乘積之和.已知四邊形是圓的內(nèi)接四邊形，且，若，則（1）圓的半徑是，（2）四邊形面積的取值范圍是.【答案】2【解析】由托勒密定理，得．因?yàn)椋裕O(shè)圓的半徑為，由正弦定理，得．又，所以．因?yàn)椋?，因?yàn)椋?，所以，所以，則，故．因?yàn)椋芍c(diǎn)到直線的距離，可知直線為以為圓心，半徑為1的圓的切線，在中，可知，結(jié)合圓的性質(zhì)可知點(diǎn)在優(yōu)弧上，取，則；取，則；取，則；取，則；可知點(diǎn)A在劣弧或上，且與的夾角，所以四邊形面積.故答案為：2；.

1．中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若已知，則“”是“有且僅有一解”的（

）條件．A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要【答案】D【解析】判斷充分性，由正弦定理可得.已知，即（因?yàn)椋捎?，所?當(dāng)時(shí)，，此時(shí)可能有兩個(gè)值（一個(gè)銳角和一個(gè)鈍角），那么可能有兩解，所以由不能推出有且僅有一解，充分性不成立.

判斷必要性，若有且僅有一解，有兩種情況：情況一：且，此時(shí)由正弦定理，可得，因?yàn)椋?情況二：且或，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.

所以由有且僅有一解不能推出，必要性不成立.

則“”是“有且僅有一解”的既不充分也不必要條件.故選：D.2．在銳角中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，，若，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】銳角中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，由正弦定理可得，所以，整理得，所以，由于，所以，又，利用正弦定理：得：，，又為銳角三角形，故，所以，由于，故，所以.故選：D3．由下列條件解，其中有兩解的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】對(duì)于A，由，,由正弦定理可得,由和可知和只有唯一解，所以只有唯一解，因此A不正確；對(duì)于B，因?yàn)椋捎嘞叶ɡ砜芍挥形ㄒ唤?，所以三角形的三個(gè)邊唯一確定，即只有唯一解，因此B不正確；對(duì)于C，因?yàn)?，由正弦定理得，即，又，所以，所以角只有唯一解，即只有唯一解，因此C不正確；對(duì)于D，因?yàn)?，由正弦定理得，所以，又，所以，所以角有兩個(gè)解，即有兩個(gè)解，因此D正確.故選：D.4．在中，角所對(duì)的邊分別為，若，且，則面積的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)題意，由正弦定理角化邊為：，再由余弦定理得：，因?yàn)?，所以，又，由余弦定理，即，因?yàn)椋?，即，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故的面積，所以面積的最大值為.故選：B.5．在中，，若最大邊的邊長(zhǎng)為，則最小邊的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，若為銳角，則由，所以，此時(shí)，因?yàn)椋?，所以為鈍角，可得，因?yàn)椋詾樽钚〗?，邊長(zhǎng)最小，由正弦定理得，解得；若為鈍角，則由，所以，此時(shí)，因?yàn)?，所以為鈍角，這樣內(nèi)角和大于，故不是鈍角，綜上所述，.故選：A.6．的面積為S.若，，則角B等于（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】根據(jù)題意知，有正弦定理邊角互化可知，，化簡(jiǎn)可得，在中，所以，則，所以得，由，可得，，所以，所以.故選：C7．在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，，，已知，，為鈍角，，則（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【解析】由正弦定理可得，且，即，則，且為鈍角，則，又因?yàn)椋?，由余弦定理可得，即，解?故選：C.8．如圖，是海面上位于東西方向相距海里的兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)，現(xiàn)位于A點(diǎn)北偏東、B點(diǎn)北偏西的D點(diǎn)有一艘船發(fā)出求救信號(hào)，位于B點(diǎn)南偏西且與B點(diǎn)相距海里的C點(diǎn)的救援船立即前往營(yíng)救，其航行速度為30海里/小時(shí)，則該救援船到達(dá)D點(diǎn)最快所需時(shí)間為（

）A．0.2小時(shí) B．0.3小時(shí) C．0.5小時(shí) D．1小時(shí)【答案】A【解析】由題意，在中，，，，所以，由正弦定理可得，，則；又在中，，，由余弦定理可得，，所以，因此救援船到達(dá)點(diǎn)需要的時(shí)間為小時(shí).故選：A.9．（多選題）已知中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，則下列命題中，正確的命題是（

）A．若，則為等腰三角形B．若，則C．若，，則面積最大值為3D．，角B的平分線BD交AC邊于D，且，則的最小值為12【答案】BCD【解析】對(duì)于A：若，根據(jù)正弦定理則，即，因?yàn)?，所以或即或，所以為等腰三角形或直角三角形，A錯(cuò)誤；對(duì)B，因?yàn)?，則，，則根據(jù)正弦定理有，故B正確；對(duì)C，設(shè)，.則，，所以，當(dāng)時(shí)，三角形的面積取得最大值，故C正確；對(duì)D，由題意可知，，由角平分線性質(zhì)和三角形面積公式得，化簡(jiǎn)得，即，因此，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，即的最小值為，則D正確.故選：BCD.10．（多選題）在中，角所對(duì)的邊分別為，若，且，則下列結(jié)論一定成立的是（

）A．B．的面積為C．的周長(zhǎng)為D．外接圓半徑為【答案】BC【解析】，，可得，可得外接圓半徑，故D錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，所以，所以，?dāng)時(shí)，即，所以，，可得；當(dāng)時(shí)，即，由正弦定理得；故A不一定成立；當(dāng)時(shí)，此時(shí)，，，所以，，所以的周長(zhǎng)為：，的面積為：；當(dāng)時(shí)，，，，解得，，所以的周長(zhǎng)為：，的面積為：；故BC一定成立.故選：BC.11．（多選題）在中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且，則下列結(jié)論正確的有（

）A．B．若，則為直角三角形C．若為銳角三角形，則角B的取值范圍是D．若為銳角三角形，則的最小值為1【答案】AB【解析】對(duì)于A，因?yàn)椋裕?，，所以，，又因?yàn)?，所以，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)?，?/p>