2024年高三數(shù)學(xué)重難點(diǎn)專項(xiàng)訓(xùn)練：圓錐曲線定直線、定曲線、定圓問(wèn)題六大題型（原卷版）

重難點(diǎn)專題38圓錐曲線定直線、定曲線、定圓問(wèn)題六大題型匯總

題型1斜率相關(guān)定直線...............................................................1

題型2點(diǎn)在定直線上.................................................................3

題型3兩條直線交點(diǎn)定直線...........................................................5

題型4內(nèi)心定直線問(wèn)題...............................................................7

題型5定圓問(wèn)題......................................................................9

題型6定曲線問(wèn)題..................................................................10

d包上晶舞—m

題型1斜率相關(guān)定直線

【例題1】(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))在平面直角坐標(biāo)系中，已知兩定點(diǎn)4(-4,0),B(4,0),

M是平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，自M作MN垂直于AB，垂足N介于A和B之間，且2|MN|2=\AN\?

IWB|.

(1)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡r；

⑵設(shè)過(guò)P(0,l)的直線交曲線「于C,D兩點(diǎn)，Q為平面上一動(dòng)點(diǎn)，直線QC,QD,QP的斜

率分別為的，七，的，且滿足三+尚=怖.問(wèn)：動(dòng)點(diǎn)Q是否在某一定直線上？若在，求出

K2K。

該定直線的方程；若不在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【變式1-1】1.(2023?河南洛陽(yáng)?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))已知橢圓C：《+《=l(a>6>0)的離

心率為日,右焦點(diǎn)為F(W,0),A,B分別為橢圓C的左、右頂點(diǎn)

⑴求橢圓C的方程；

(2)過(guò)點(diǎn)D(1,0)作斜率不為0的直線1,直線I與橢圓C交于P,Q兩點(diǎn)，記直線4P的斜率為自,

直線BQ的斜率為B，求證：胃為定值；

笈2

(3)在(2)的條件下，直線AP與直線BQ交于點(diǎn)M,求證：點(diǎn)M在定直線上.

【變式1-1]2.(2022上?江蘇徐州?高三期末)已知雙曲線E的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸

為x軸、y軸，漸近線方程為y=±V2x,且過(guò)點(diǎn)（或,a）.

Q）求E的方程；

（2）過(guò)平面上一點(diǎn)M分別作E的兩條漸近線的平行線，分別交E于P、Q兩點(diǎn)，若直線PQ

的斜率為2,證明：點(diǎn)M在定直線上.

【變式1-1】3.（2023?上海金山統(tǒng)考一模）已知橢圓「碎+《=l（a>b>0）的左、右焦

點(diǎn)分別為&、尸2.

Q）以心為圓心的圓經(jīng)過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)&和上頂點(diǎn)8,求橢圓「的離心率；

（2）已知a=5,6=4,設(shè)點(diǎn)P是橢圓「上一點(diǎn)，且位于無(wú)軸的上方,若AP64是等腰三角形，

求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）已知a=2,b=V3,過(guò)點(diǎn)F2且傾斜角為與的直線與橢圓「在X軸上方的交點(diǎn)記作A,若動(dòng)直

線?也過(guò)點(diǎn)尸2目與橢圓「交于M、N兩點(diǎn)（均不同于A）,是否存在定直線仇:x=X。,使得動(dòng)直

線/與仇的交點(diǎn)C滿足直線4M、4C、AN的斜率總是成等差數(shù)列？若存在，求常數(shù)X。的值；若不

存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

22

【變式1-1]4.（2023上?四川成都?高三成都七中校考開(kāi)學(xué)考試）已知G：上+上=

a4-a

22

1（。<a<4）,。2：竟+=l（b>4）.

⑴證明：y=I幻-2總與Ci和。2相切；

⑵在（1）的條件下，若y=㈤-2與G在y軸右側(cè)相切于A點(diǎn)，與Q在y軸右側(cè)相切于B

點(diǎn).直線/與Ci和。2分別交于P,Q,M,N四點(diǎn).是否存在定直線/使得對(duì)任意題干所給a,

b，總有題p+kAQ+kBP+瑪<2為定值？若存在，求出/的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【變式1-1]5.（2022上?河南洛陽(yáng)?高二洛寧縣第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知橢圓C:

與+言=l（a>b>0）的離心率為4，H（1,手）是C上一點(diǎn).

2\2/

（1）求C的方程.

⑵設(shè)a,8分別為橢圓C的左、右頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。(1,0)作斜率不為0的直線1,I與C交于P,Q兩

點(diǎn)，直線4P與直線BQ交于點(diǎn)M,記4P的斜率為七，BQ的斜率為七.證明：①?為定值；②

K2

點(diǎn)M在定直線上.

題型2點(diǎn)在定直線上

1.聯(lián)立方程消去參；

2挖掘圖形的對(duì)稱性，解出動(dòng)點(diǎn)橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)；

3.將橫縱坐標(biāo)分別用參數(shù)表示，再消參；

4.設(shè)點(diǎn)，對(duì)方程變形解得定直線.

【例題2](2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知雙曲線E:攝―?=l(a>0)的中心為原點(diǎn)O,

左、右焦點(diǎn)分別為0,F2,離心率為言.

⑴求實(shí)數(shù)a的值.

(2)若點(diǎn)P坐標(biāo)為(0,4),過(guò)點(diǎn)P作動(dòng)直線I與雙曲線右支交于不同的兩點(diǎn)M,N,在線段

MN上取異于點(diǎn)M,N的點(diǎn)H,滿足緇=黑.證明：點(diǎn)H恒在一條定直線上.

【變式2-1]1.(2023上?安徽?高三宿城一中校聯(lián)考階段練習(xí))在平面直角坐標(biāo)系xOy中,

已知雙曲線C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸是坐標(biāo)軸，右支與x軸的交點(diǎn)為(1,0),其中一條

漸近線的傾斜角為去

(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過(guò)點(diǎn)7(2,0)作直線I與雙曲線C的左右兩支分別交于A,B兩點(diǎn)，在線段4B上取一點(diǎn)E

1^\AE\■\TB\=\EB\■\AT\,證明：點(diǎn)E在一條定直線上.

【變式2-1]2.(2023?江蘇常州?校考一模)已知橢圓C：55=l(a>b>0)的短軸長(zhǎng)

為2企,離心率為f.

(1)求橢圓C的方程；

(2)過(guò)點(diǎn)P(4,l)的動(dòng)直線I與橢圓C相交于不同的4B兩點(diǎn)，在線段A8上取點(diǎn)Q,滿足|AP|?

\QB\=\AQ\■\PB\,證明：點(diǎn)Q總在某定直線上.

【變式2-1]3.(2023?寧夏銀川?校考模擬預(yù)測(cè))已知拋物線G：/=2py(p>0)和圓

。2：(%+IT+V=2,傾斜角為45。的直線4過(guò)G焦點(diǎn)，且乙與相切.

(1)求拋物線G的方程；

(2)動(dòng)點(diǎn)M在G的準(zhǔn)線上，動(dòng)點(diǎn)4在G上,若Ci在點(diǎn)4處的切線1交y軸于點(diǎn)B,設(shè)麗=MA+

MB，證明點(diǎn)N在定直線上，并求該定直線的方程.

【變式2-1J4.(2023?全國(guó)?高三對(duì)口高考/橢圓C：5+^=l(a>b>0)過(guò)點(diǎn)M(魚,1),

且左焦點(diǎn)為&(-夜,0)

(1)求橢圓C的方程；

(2)當(dāng)過(guò)點(diǎn)P(4,l)的動(dòng)直線I與橢圓C相交于兩不同點(diǎn)A,B時(shí)，在線段AB上取點(diǎn)Q,滿足

\AP\?|QB|=I4QHPBI.證明：點(diǎn)Q總在某定直線上.

【變式2-1]5.(2023?湖北襄陽(yáng)?襄陽(yáng)四中?？寄M預(yù)測(cè))過(guò)拋物線/=2py(p>0)內(nèi)部一

點(diǎn)P(zn,n)作任意兩條直線,如圖所示，連接4C,BD延長(zhǎng)交于點(diǎn)Q，當(dāng)P為焦點(diǎn)并且4B1

CD時(shí)，四邊形4CB。面積的最小值為32

(1)求拋物線的方程；

(2)若點(diǎn)P(l,l),證明Q在定直線上運(yùn)動(dòng)，并求出定直線方程.

【變式2-1]6.(2020?陜西西安?西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校考一模)已知拋物線6:%2=

2py(p>0)和圓C2：(x+1尸+V=2,傾斜角為45。的直線"過(guò)的的焦點(diǎn)且與C2相切.

(1)求p的值：

⑵點(diǎn)M在G的準(zhǔn)線上，動(dòng)點(diǎn)A在G上G在A點(diǎn)處的切線12交y軸于點(diǎn)B，設(shè)麗=MA+

麗，求證：點(diǎn)N在定直線上,并求該定直線的方程.

題型3兩條直線交點(diǎn)定直線

型色重點(diǎn)

本題考查直線與圓錐曲線綜合應(yīng)用中的定直線問(wèn)題的求解，求解此類問(wèn)題的基本思路如下：

①假設(shè)直線方程，與圓錐曲線方程聯(lián)立，整理為關(guān)于X或y的一元二次方程的形式；

②利用A>0求得變量的取值范圍，得到韋達(dá)定理的形式；

③利用韋達(dá)定理表示出已知中的等量關(guān)系，代入韋達(dá)定理可整理得到變量間的關(guān)系，消掉變

量后可得定直線方程.

【例題3](2023下?江蘇鎮(zhèn)江?高二江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)?？计谀?如圖，在△ABC中，BC=

2V3,AB+AC=4,若以BC所在直線為x軸,以8C的中垂線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系.

設(shè)動(dòng)頂點(diǎn)2(%,y).

(1)求頂點(diǎn)A的軌跡方程；

⑵記第(1)問(wèn)中所求軌跡曲線為M,設(shè)。1(-2,0),4(2,0),過(guò)點(diǎn)(1,0)作動(dòng)直線/與曲線M交

于P,Q兩點(diǎn)(點(diǎn)P在左軸下方).求證：直線AP與直線4Q的交點(diǎn)E在一條定直線上.

22

【變式3-1]1.(2023上?山西大同?高三統(tǒng)考階段練習(xí))從雙曲線京-a=l(a>0,b>0)

上一點(diǎn)P向x軸作垂線，垂足恰為左焦點(diǎn)&，點(diǎn)4分別是雙曲線的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)B(0,軟)，

且&B〃OP,\F±A2\=2+V3.

(1)求雙曲線的方程；

(2)過(guò)點(diǎn)(2次,0)作直線L分別交雙曲線左右兩支于C,。兩點(diǎn)，直線&C與直線&D交于點(diǎn)M,

證明：點(diǎn)M在定直線上.

【變式3-1]2.(2023?湖南永州統(tǒng)考一模)已知點(diǎn)A為圓C：%2+y2-2^10x-6=0±

任意一點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-同,0),線段4B的垂直平分線與直線4c交于點(diǎn)。.

(1)求點(diǎn)。的軌跡E的方程；

(2)設(shè)軌跡E與x軸分別交于4兩點(diǎn)(4在42的左側(cè))，過(guò)R(3,0)的直線Z與軌跡E交于M,N

兩點(diǎn),直線與直線&N的交于P,證明：P在定直線上.

【變式3-1】3.(2022上廣東惠州?高三統(tǒng)考階段練習(xí))已知點(diǎn)4(-1,0)鳳1,0)動(dòng)點(diǎn)P(x,y)

滿足直線PA與PB的斜率之積為3,記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為曲線C.

(1)求曲線C的方程；

(2)過(guò)點(diǎn)”2,0)的直線與曲線C交于M,N兩點(diǎn)直線4M與2N相交于Q求證點(diǎn)Q在定直線上.

【變式3-1]4.(2023?四川成都?校聯(lián)考二模)已知公(-3,0)和4(3,0)是橢圓7/+5=

l(a>b>0)的左、右頂點(diǎn)，直線1與橢圓滸目交于M,N兩點(diǎn)，直線/不經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)。，目

不與坐標(biāo)軸平行，直線與直線42M的斜率之積為-|.

(1)求橢圓咕勺標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若直線OM與橢圓咕勺另外一個(gè)交點(diǎn)為S,直線&S與直線&N相交于點(diǎn)P,直線PO與直

線I相交于點(diǎn)Q,證明：點(diǎn)Q在一條定直線上，并求出該定直線的方程.

【變式3-1]5.(2023上?江蘇?高三淮陰中學(xué)校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試)已知雙曲線C：/-*=1.

⑴求C的右支與直線x=100圍成的區(qū)域內(nèi)部(不含邊界)整點(diǎn)(橫縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn))

的個(gè)數(shù).

(2)記C的左、右頂點(diǎn)分別為公,4，過(guò)點(diǎn)(-2,0)的直線與C的左支交于M,N兩點(diǎn)，M在

第二象限，直線與N4交于點(diǎn)P,證明：點(diǎn)P在定直線上.

【變式3-1]6.(2021上?廣東深圳?高三紅嶺中學(xué)?？计谀?已知拋物線C：/=2py(p>0)

上的點(diǎn)PQo,1)到焦點(diǎn)F的距離為2.

(1)求點(diǎn)P的坐標(biāo)及拋物線C的方程；

(2)過(guò)點(diǎn)M(2,2)的任意直線[與拋物線C交于點(diǎn)48,過(guò)點(diǎn)4B的拋物線C的兩切線交于點(diǎn)N,

證明：點(diǎn)N在一條定直線上，并求出該定直線的方程.

題型4內(nèi)心定直線問(wèn)題

【例題4】(2023?福建漳州統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))已知R是圓M:(x+V3)+*=8上的動(dòng)點(diǎn)，

點(diǎn)N(V5,0),直線NR與圓M的另一個(gè)交點(diǎn)為S,點(diǎn)L在直線MR上,MSWNL,動(dòng)點(diǎn)L的軌跡為

曲線C.

(1)求曲線C的方程；

⑵若過(guò)點(diǎn)P(-2,0)的直線/與曲線C相交于a,B兩點(diǎn)，目4,B都在久軸上方，問(wèn)：在久軸上是

否存在定點(diǎn)Q，使得△Q4B的內(nèi)心在一條定直線上?請(qǐng)你給出結(jié)論并證明.

【變式4-1]1.(2023?河南?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))已知橢圓C：g+g=l(a>O,b>0)過(guò)點(diǎn)

時(shí)(孚,.),且離心率為手.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若直線1:y=x+爪與橢圓C交y軸右側(cè)于不同的兩點(diǎn)A,B,試問(wèn)：△M4B的內(nèi)心是否

在一條定直線上？若是，請(qǐng)求出該直線方程；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【變式4-1]2.（2022上?江蘇南京?高二南京師大附中?？计谥校┮阎獧E圓C:攝+3=

若點(diǎn)。中恰有三點(diǎn)在橢圓。上.

l（a>6>0）,B（2,2）,P2（0,2）,P3（-2,V2）,4（2,a）

（1）求C的方程；

（2）點(diǎn)尸是C的左焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M（-4,0）且與久軸不重合的直線1與C交于不同的兩點(diǎn)力，8,求證：

△ABF內(nèi)切圓的圓心在定直線上.

【變式4-1]3.（2022上?江蘇南通?高三統(tǒng)考期中）作斜率為司勺直線I與橢圓C：9+9=1

交于4B兩點(diǎn)，且P（VX苧）在直線I的左上方.

（1）當(dāng)直線I與橢圓C有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，證明直線I與橢圓C截得的線段AB的中點(diǎn)在一條直

線上；

（2）證明：△P4B的內(nèi)切圓的圓心在一條定直線上.

【變式4-1]4.（2020上?浙江?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，已知橢圓「：捺+《=

l（a>6>。）的上、右頂點(diǎn)分別為4,B,F是橢圓廠的右焦點(diǎn)，P（VX1）是橢圓廠上的點(diǎn)，且

\OA\=\OF\（。是坐標(biāo)原點(diǎn)）.

（工）求a,b的值；

（n）若不過(guò)點(diǎn)P且斜率為日的直線（交橢圓「于M,N兩點(diǎn)，試問(wèn)：當(dāng)點(diǎn)P在直線珀勺上、下

方時(shí)，△PMN的內(nèi)心是否分別位于某條定直線上？若是，請(qǐng)求出兩條定直線的方程；若不

是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【變式4-1]5.（2023?山東?沂水縣第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知曲線+《=1,直

63

線2:y=x+?n與曲線E交于y軸右側(cè)不同的兩點(diǎn)4B.

Q)求小的取值范圍；

⑵已知點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,1),試問(wèn)：△4PB的內(nèi)心是否恒在一條定直線上？若是，請(qǐng)求出該直

線方程；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

題型5定圓問(wèn)題

【例題5](2023上浙江高三校聯(lián)考階段練習(xí))在平面直角坐標(biāo)系久Oy中，0為坐標(biāo)原點(diǎn)，

動(dòng)點(diǎn)D(x,y)與定點(diǎn)”2,0)的距離和D到定直線％=扣勺距離的比是常數(shù)2,設(shè)動(dòng)點(diǎn)D的軌跡

為曲線C.

(1)求曲線C的方程；

(2)已知定點(diǎn)P(t,0),0<t<1,過(guò)點(diǎn)P作垂直于x軸的直線2,過(guò)點(diǎn)P作斜率大于0的直線

廠與曲線C交于點(diǎn)G,H,其中點(diǎn)G在x軸上方，點(diǎn)H在x軸下方.曲線C與x軸負(fù)半軸

交于點(diǎn)A,直線4G,4H與直線/分別交于點(diǎn)M,N,gA,O,M,N四點(diǎn)共圓，求t的值.

【變式5-1]1.(2023上?河北保定?高三校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試)已知雙曲線C：《-《=

l(a>0,b>0)的離心率為2,其左、右焦點(diǎn)分別為尻，F(xiàn)2，點(diǎn)4為C的漸近線上一點(diǎn)，伏七1

的最小值為遮.

(1)求C的方程；

(2)過(guò)C的左頂點(diǎn)8且斜率為k(k豐0)的直線/交。的右支于點(diǎn)P,與直線x=|交于點(diǎn)Q，過(guò)&且

平行于Q4的直線交直線PF?于點(diǎn)M,證明：點(diǎn)M在定圓上.

22

【變式5-1]2.(2023?浙江?統(tǒng)考二模)已知雙曲線C：■—=l(a>0)的左、右焦點(diǎn)分

別為見(jiàn)尸2,且尸2到。的一條漸近線的距離為舊.

(1)求C的方程；

(2)過(guò)C的左頂點(diǎn)且不與久軸重合的直線交C的右支于點(diǎn)B,交直線久=之于點(diǎn)P,過(guò)&作P4的

平行線，交直線8&于點(diǎn)Q,證明：Q在定圓上.

22

【變式5-1]3.(2023?山東聊城?統(tǒng)考一模)已知雙曲線C噂一義=1(a>0,b>0)

的右焦點(diǎn)為F,一條漸近線的傾斜角為60°,且C上的點(diǎn)到F的距離的最小值為1.

(1)求C的方程；

⑵設(shè)點(diǎn)。(0,0),M(o,2),動(dòng)直線/：y=kx+ni與C的右支相交于不同兩點(diǎn)4,B,S.Z.AFM=

乙BFM,過(guò)點(diǎn)。作。H1I,H為垂足，證明：動(dòng)點(diǎn)H在定圓上,并求該圓的方程.

【變式5-1]4.(2023?全國(guó)模擬預(yù)測(cè))已知橢圓C《+箕=l(a>b>0)，離心率e=芋，

左、右頂點(diǎn)與上頂點(diǎn)圍成的三角形的面積為2夜.

(1)求橢圓C的方程；

為橢圓上不同的四點(diǎn)，且均與橢圓右頂點(diǎn)不重合，

⑵M,N,A,BPkMN-kAB=-1,kPM-

證明：直線和直線的交點(diǎn)在一個(gè)定圓上.

kpN=1,kPA+kPB=2,MNAB

【變式5-1]5.(2020?江蘇南通?江蘇省西亭高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè))已知點(diǎn)F是橢圓E：g+

5=l(a>6>0)的左焦點(diǎn)，橢圓E的離心率為3,點(diǎn)(―1,|)在橢圓E上.

(1)求橢圓E的方程；

(2)過(guò)點(diǎn)尸的直線交橢圓E于P,Q兩點(diǎn)，設(shè)橢圓E的左頂點(diǎn)為A，記直線PA,QA的斜率分

別為心,卜2.

①求七?B的值；

②過(guò)P作垂直于PA的直線I交x軸于點(diǎn)M.則A,P,M,Q四點(diǎn)是否共圓？若共圓，求出

該圓的方程；若不共圓，請(qǐng)說(shuō)明理由.

題型6定曲線問(wèn)題

*

這類問(wèn)題的核心在于確定定點(diǎn)的軌跡，主要方法有：

(1)設(shè)點(diǎn)法：設(shè)點(diǎn)的軌跡，通過(guò)已知點(diǎn)軌跡，消去參數(shù)，從而得到軌跡方程；

(2)待定系數(shù)法：設(shè)出含參數(shù)的直線方程、待定系數(shù)法求解出系數(shù)；

(3)驗(yàn)證法：通過(guò)特殊點(diǎn)位置求出直線方程，對(duì)一般位置再進(jìn)行驗(yàn)證.

【例題6](2022上河北滄州?高三統(tǒng)考期末)已知雙曲線C《-5=l(a>0/>0)的左、

右焦點(diǎn)分別為國(guó)，過(guò)尸2作一條漸近線的垂線交C于點(diǎn)B，垂足為A,|/1F2|=73,|5^|-

由以=2.

(1)求雙曲線C的方程；

(2)已知點(diǎn)P是雙曲線C的右支上異于右頂點(diǎn)D的任意一點(diǎn)點(diǎn)Q在直線x=且。QIIPD

(。為坐標(biāo)原點(diǎn))，M為PD的中點(diǎn)，求證：直線OM與直線QF2的交點(diǎn)在某定曲線上.

【變式6-1]1.(2022上?江西贛州?高三校聯(lián)考階段練習(xí))橢圓C：^+《=l(a>6>0)

的左右焦點(diǎn)分別為&,F2,上頂點(diǎn)為A,且=2,ZXF1F2=60°.

⑵若橢圓E:9+5=2(2>0且力大1),則稱E為C的4倍相似橢圓,如圖，已知E是C

的3倍相似橢圓，直線I:y=-+爪與兩橢圓C,E交于4點(diǎn)(依次為M,N,P,Q,如

圖).且|MN|=|NP|,證明：點(diǎn)T(k,m)在定曲線上.

【變式6-1】2.(2022上?江西贛州?高三校聯(lián)考階段練習(xí))已知橢圓C：《+A=l(a>b>0)

的一個(gè)焦點(diǎn)為&(-1,0),其左頂點(diǎn)為A,上頂點(diǎn)為B,且&到直線4B的距離為?|。切(O為

坐標(biāo)原點(diǎn)).

Q)求c的方程；

22

(2)若橢圓E：9+3=2。>0且％H1)，則稱橢圓E為橢圓C的4倍相似橢圓.已知橢圓E

是橢圓c的3倍相似橢圓，直線Z：y=依+m與橢圓C,E交于四點(diǎn)(依次為M,N,P,

Q,如圖)，且而+PQ=2NQ,證明：點(diǎn)T(k,m)在定曲線上.

【變式6-1]3.(2022上?山西?高三校聯(lián)考階段練習(xí))已知中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)

軸上的橢圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(V5,近)，Ng-l).

(1)求C的方程；

(2)已知點(diǎn)0(3,0),直線=ty+n(jiK3,t力0)與C交于48兩點(diǎn)，且直線。4OB的斜率之

和為^，證明：點(diǎn)(t,n)在一條定拋物線上.

【變式6-1]4.(2022上?廣東廣州?高三統(tǒng)考階段練習(xí))已知雙曲線C：《-《=

l(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)為F(2,0),漸近線方程為y=±V3x.

(1)求雙曲線C的方程；

(2)已知點(diǎn)P是雙曲線C的右支上異于頂點(diǎn)B的任意點(diǎn)，點(diǎn)Q在直線x=j±,S.OQ\\PB,M為PB

的中點(diǎn)，求證：直線。M與直線QF的交點(diǎn)在某定曲線上.

【變式6-1]5.(2022?廣東深圳?深圳市光明區(qū)高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè))已知橢圓C《+《=

l(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F(l,0),且過(guò)點(diǎn)”(1,|).

(1)求橢圓C的方程；

(2)過(guò)橢圓C的左頂點(diǎn)4作直線與橢圓相交，另一交點(diǎn)為P,點(diǎn)M是4P的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在直線x=4

上,且OQIIAP,求證：直線。M與直線QF的交點(diǎn)在某定曲線上.

1.(2023?全國(guó)模擬預(yù)測(cè))已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線M：y=爪/的焦點(diǎn)F與橢

圓C:/+3=l(a>b>0)的一個(gè)頂點(diǎn)重合，拋物線M經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q(1.)，點(diǎn)P是橢圓C上任意

一點(diǎn),橢圓C的左、右焦點(diǎn)分別為&尸2，且N&PF2的最大值為期.

(1)求橢圓C和拋物線M的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過(guò)拋物線M上在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)N作拋物線M的切線，交橢圓C于4B兩點(diǎn)，線段2B的

中點(diǎn)為G,過(guò)點(diǎn)N作垂直于x軸的直線，與直線0G交于點(diǎn)E,求證：點(diǎn)E在定直線上.

2.(2023?江蘇南京?南京市第九中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè))橢圓E的方程為=+1=1,左、右頂

點(diǎn)分別為2(-2,0),5(2,0),點(diǎn)P為橢圓E上的點(diǎn)，且在第一象限，直線I過(guò)點(diǎn)P

⑴若直線I分別交x,y軸于C,D兩點(diǎn)，若PD=2,求PC的長(zhǎng)；

⑵若直線I過(guò)點(diǎn)(-1,0),且交橢圓E于另一點(diǎn)Q(異于點(diǎn)A,B),記直線4P與直線BQ交于

點(diǎn)M,試問(wèn)點(diǎn)M是否在一條定直線上？若是，求出該定直線方程；若不是，說(shuō)明理由.

3.(2023?山東?山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？级?已知拋物線E：y2=2Pxs>。)，過(guò)點(diǎn)(T,。)的

兩條直線4、4分別交石于4B兩點(diǎn)和C、。兩點(diǎn).當(dāng)%的斜率為省寸，|4B|=2V10.

(1)求E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)G為直線TW與BC的交點(diǎn)，證明：點(diǎn)G在定直線上.

4.(2023?江蘇淮安?江蘇省鄭梁梅高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè))已知橢圓C：/+《=

l(a>b>0)右焦點(diǎn)分別為尸2,2(2,1)是C上一點(diǎn)，點(diǎn)B與4關(guān)于原點(diǎn)。對(duì)稱，的面積

為遙.

(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵直線以48,且交C于點(diǎn)。,E,直線4。與BE交于點(diǎn)P.

證明：①直線4。與BE的斜率乘積為定值；

②P點(diǎn)在定直線上.

5.(2023?安徽阜陽(yáng)?安徽省臨泉第一中學(xué)?？既?已知雙曲線C5-9=l(a>0,b>0),

直線I在x軸上方與x軸平行，交雙曲線C于A,B兩點(diǎn)，直線I交y軸于點(diǎn)D.當(dāng)I經(jīng)過(guò)C

的焦點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(6,4).

(1)求C的方程；

(2)設(shè)OD的中點(diǎn)為M,是否存在定直線I,使得經(jīng)過(guò)M的直線與C交于P,Q,與線段AB

交于點(diǎn)N，麗=宜，麗=%而均成立；若存在，求出I的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理

由.

6.(2023?江西校聯(lián)考二模)已知過(guò)曲線C：^+^=l(a,b>0)上一點(diǎn)y°)作橢圓C的切

線I,則切線/的方程為簧+督=1.若P為橢圓華f+y2=1上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作G的切線］。交

圓。2：產(chǎn)+y2=4于M,N,過(guò)M,N分別作Q的切線"，直線交于點(diǎn)Q-

(1)求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡E的方程；

(2)已知R為定直線x=4上一動(dòng)點(diǎn)過(guò)R的動(dòng)直線小與軌跡E交于兩個(gè)不同點(diǎn)4B在線段48上

取一點(diǎn)T,滿足|4R||T8|=\AT\\RB\,試證明動(dòng)點(diǎn)T的軌跡過(guò)定點(diǎn).

7.(2023?遼寧?朝陽(yáng)市第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考三模)已知圓錐曲線E上有兩個(gè)定點(diǎn)M(魚,1)、

W(-V2,-l),P為曲線E上不同于M,N的動(dòng)點(diǎn)，且當(dāng)直線PM和直線PN的斜率%N

都存在時(shí)，有既時(shí)?kPN——1.

⑴求圓錐曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若直線I:x=my+/與圓錐曲線E交于A、B兩點(diǎn)，交x軸于點(diǎn)F,點(diǎn)A,F,B在直

線-：久=2世上的射影依次為點(diǎn)D,K,G

①若直線I交y軸于點(diǎn)T,且方=%前,TB=A2BF,當(dāng)m變化時(shí)，探究及+%的值是否

為定值？若是，求出%+小的值；否則，說(shuō)明理由；

②連接AG,BD,試探究當(dāng)m變化時(shí)，直線AG與BD是否相交于定點(diǎn)？若是，請(qǐng)求出