2025高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)：圓錐曲線的方程與性質(zhì) 專項(xiàng)訓(xùn)練【含答案】

微專題36圓錐曲線的方程與性質(zhì)

［考情分析］圓錐曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)是每年高考必考的內(nèi)容，常以選擇題、

填空題以及解答題第(1)問(wèn)的形式出現(xiàn)，著重考查圓錐曲線的幾何性質(zhì)與標(biāo)準(zhǔn)方程，難度中等.

-思維導(dǎo)圖

一-利用定義法求圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

圓錐曲線的定義1——圓

必備錐需血「一求橢圓、雙曲線的焦點(diǎn)三角形面積、離心率等

圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程一一rz曲里到一一求雙曲線的漸近線

知Tz、線

橢圓、雙曲線、拋物線的幾何性質(zhì)」

的

方一拋物線的焦點(diǎn)弦問(wèn)題

程

在橢圓、雙曲線的已知條件中構(gòu)建關(guān)與

性

于的關(guān)系式，進(jìn)行求解必備質(zhì)常見「雙曲線的定義中忽略“絕對(duì)值”致錯(cuò)

一誤區(qū)一忽略離心率的范圍

利用拋物線構(gòu)造與焦半徑相關(guān)的幾何解法L

圖形來(lái)構(gòu)建已知量與P的關(guān)系，進(jìn)行,

求解

典型例題

考點(diǎn)一圓錐曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程

22

【典例1】(1)(2023?汕頭模擬)已知點(diǎn)P是橢圓$+：=1上一點(diǎn)，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為分,

Fl,且COS/EP/，2=；,則△尸尸1尸2的面積為()

A.6B.12C.也D.2也

答案D

22

解析對(duì)于橢圓j+：=l有Q=3,b=2,C=3，設(shè)修bi|=冽，\PF2\=n,

則根據(jù)橢圓的定義得冽+〃=2q=6,

又cosZFPF~冽(23)2_(m+一2mn_20_36-2冽〃-20_j_

2mn2mn2nm3

2

解得見?=6,SAPF^=1mnsinZF1PF2=1X6X1—(j)=2A/2.

(2)(2023?德陽(yáng)模擬)設(shè)拋物線N=12》的焦點(diǎn)為F,經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸(2,1)的直線I與拋物線相交于/,

2兩點(diǎn)，又知點(diǎn)尸恰為48的中點(diǎn)，則磔尸|+|&q=.

答案8

解析拋物線爐=12了的焦點(diǎn)為網(wǎng)0,3),準(zhǔn)線方程為y=—3,如圖，分別作/M,BN,尸。垂

直于準(zhǔn)線于點(diǎn)N,Q,

根據(jù)拋物線的定義，|NP|=MM，\BF\=\BN],

?拋物線的準(zhǔn)線方程為了=-3,.,.|尸0|=4,根據(jù)梯形中位線的性質(zhì)可得M3+IB尸|=MM+

|即=2|尸。1=8.

跟蹤訓(xùn)練1(1)(2023?鷹潭模擬)3D打印是快速成型技術(shù)的一種，它是一種以數(shù)字模型文件為

基礎(chǔ)，運(yùn)用粉末狀金屬或塑料等可粘合材料，通過(guò)逐層打印的方式來(lái)構(gòu)造物體的技術(shù)，如圖

所示的塔筒為3D打印的雙曲線型塔筒，該塔筒是由離心率為舊的雙曲線的一部分圍繞其旋

轉(zhuǎn)軸逐層旋轉(zhuǎn)打印得到的，已知該塔筒(數(shù)據(jù)均以外壁即塔筒外側(cè)表面計(jì)算)的上底直徑為4cm,

下底直徑為6cm,高為9cm,則喉部(最細(xì)處)的直徑為()

B."m

4

D&m

C.2/cm

3

答案D

解析該塔筒的軸截面如圖所示，以。為喉部對(duì)應(yīng)點(diǎn)，以O(shè)C所在直線為x軸，過(guò)點(diǎn)。且與

0c垂直的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)4與5分別為上、下底面對(duì)應(yīng)點(diǎn).

由題意可知必=2,切=3,刃一沖=9,設(shè)4(2,m),則5(3,m—9),

設(shè)雙曲線的方程為三一M=l(a>0,6>0),

a1b1

因?yàn)殡p曲線的離心率為410=[1+1)

I2,所以6=3〃

所以方程可化簡(jiǎn)為9x2—y=9層，(*)

36—m2==9a2,

將/和3的坐標(biāo)代入(*)式可得

81-(m-9)2=9a2,

解得。=返，

3

則喉部的直徑為2a=^（cm）.

3

（2）（多選）（2020?新高考全國(guó)I）已知曲線C：加x2+秋2=i.（）

A.若加>心0,則C是橢圓，其焦點(diǎn)在y軸上

B.若加=心0,則C是圓，其半徑為由

C.若加〃<0,則C是雙曲線，其漸近線方程為y=上「^x

D.若加=0,〃>0,則C是兩條直線

答案ACD

2

11

解析對(duì)于A,當(dāng)加〉心0時(shí)，有±>±>0,方程化為X7+彳=1,表示焦點(diǎn)在〉軸上的橢圓，故

nm-LA

mn

A正確；

對(duì)于B,當(dāng)7力=心0時(shí)，方程化為/+產(chǎn)=工表示半徑為的圓，故B錯(cuò)誤;

nvn

對(duì)于C,當(dāng)加>0,〃<0時(shí)，方程化為丁一一一[=1,表示焦點(diǎn)在X軸上的雙曲線，其中

mn

b=y^,漸近線方程為y=±\P^x；當(dāng)機(jī)<0,”>0時(shí)，方程化為:一]=1,表示焦點(diǎn)

nm

在y軸上的雙曲線，其中口，6='二1,漸近線方程為y=±'二勺，故C正確;

\]n\]m\in

對(duì)于D,當(dāng)加=0,心0時(shí)，方程化為>=表示兩條平行于x軸的直線,故D正確.

考點(diǎn)二橢圓、雙曲線的幾何性質(zhì)

【典例2】⑴（2023?寧波模擬）設(shè)橢圓：,+，=1（心6>0）的右焦點(diǎn)為/（0,0）,點(diǎn)4360）在橢圓

外，P,。在橢圓上，且尸是線段N。的中點(diǎn).若直線尸0,小的斜率之積為一%則橢圓的

離心率為（）

答案B

解析如圖，取P。的中點(diǎn)為連接0M,PF,

則由題意可得，\PA\=2\PM\,\AF\=2\FO\9

所以所以尸尸〃MO,

因?yàn)橹本€尸。，PF的斜率之積為一；，所以女PQ女QM=一

設(shè)尸(xi,yi)92(X2,J2),

兩式相減可得⑴+切⑺一切+任+”加一玖)=0,

a2扶

即。1+歹2)31一歹2)=上

（X1+X2）（X1-%2）4

即kpQ'koM=-----

6Z22

即￡=；,所以橢圓的離心率為e=\/1*=￡.

a22\la2\]a22

(2)(2023?新高考全國(guó)I)已知雙曲線C：三一匕=1(心0,6>0)的左、右焦點(diǎn)分別為B,F2點(diǎn)A

%

在C上，點(diǎn)3在y軸上，瓦7,瓦方，記1=一：為，則C的離心率為

解析方法一依題意，設(shè)|/五2|=2小，

則|87囹=3刃=|BFi|,\AFi\=2a+2m,

2

在RtA^BFi中，91n2+（2a+2m）=257*

則（。+3%）（。一加）=0,

故a=m或a=-3〃?（舍去），

所以|4Fi|=4a,\AF2\=2a,\BF2\=\BFi\=3a,

則|48|=5a,

所以在LAFiFz中，cosZF1AF2=

整理得5c2=9層,

方法二依題意，得E(—c,0),F2(C,0),

令/(xo,次)，B(0,t),

因?yàn)镕2A=一幺33,

3

57

貝ijxo=；c,次=一/，

33

又瓦瓶

所以京福=鼠-3^-(c,Z)=|c2-|?2=0,

則f=4c2,

又點(diǎn)4在。上，

整理得器一空=1,

9標(biāo)9b2

則法—亟2

949b2

所以25c2b2-16c2a2=9462,

即25c2(c2—a2)—16a2c2=9a2(c2—a2),

整理得25c4—50a2c2+904=0,

則(5。2—9°2)(5°2—02)=0,

解得5c2=9/或5c2=a2,

又e>l,

所以e=E或e=:(舍去)，

故e

5

跟蹤訓(xùn)練2(1)(多選X2023?邯鄲模擬)已知雙曲線C：三一三=1(心0,6>0)的左、右焦點(diǎn)分別

a2-bz

是E，F(xiàn)2,過(guò)產(chǎn)i作圓/+產(chǎn)=層的切線/,切點(diǎn)為〃，且直線/與雙曲線C的左、右兩支分

別交于/,2兩點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是()

A.若°=3,6=4,則出廠1|+田尸21=26

B.若BF2工BFi,則雙曲線C的漸近線方程為了=±2X

C.^\MB\=2\MFr\,則雙曲線。的離心率是V13

D.若M是5Fi的中點(diǎn)，則雙曲線C的離心率是近

答案ABD

解析如圖所示，對(duì)于A,由。=3,6=4,得c=5,所以i|=5,QM=3,\MF\\=4.

設(shè)|班圖=機(jī)，則\BFi\=m+6.

在△3F1尸2中，由余弦定理可得cos/gF2=8+6)2+1。2一怔:4,解得加=]0,

2X10(m+6)5

則|8尸2|=10,|5Fi|=16,從而|3E|+|BB|=26,故A正確；

對(duì)于B,由5F2_L3FI,得OA/〃B尸2,因?yàn)椤锽凡的中點(diǎn)，所以M為8尸1的中點(diǎn).

由題意可知\MFi\=b,貝ij|3尸2尸2。，\BFi\=2b.

由雙曲線的定義可得內(nèi)尸i|一|出囹=26—2a=2a,即b=2a,

則雙曲線C的漸近線方程為了=±2工，故B正確；

對(duì)于C,^\MB\^2\MFx\,得|AFi|=36,貝U|AF2|=3b-2a.

在△BF1F2中,由余弦定理可得cos/時(shí)應(yīng)=(如-3)2—(36—2a)2=2,

2X36X2cc

整理得。=3,則6=\/胃2+1=迤，故c錯(cuò)誤；

a22

對(duì)于D,因?yàn)镸,O分別是3居，BA的中點(diǎn),

所以0M〃比"所以|皮得=2°,\BFi\=2b.

由雙曲線的定義可得出用|一|瓦司=26—2a=2a,

即6=2°,則e=；&2+1=玷，

故D正確.

(2)Fi,尸2是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，尸是橢圓C上異于頂點(diǎn)的一點(diǎn)，/是△刊“尸2的內(nèi)切圓圓心,

若△PR尸2的面積等于△"'1g的面積的3倍，則橢圓C的離心率為

答案!

2

解析由于橢圓關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，不妨設(shè)點(diǎn)P在x軸上方.設(shè)點(diǎn)尸的縱坐標(biāo)為抄，點(diǎn)/的縱坐

標(biāo)為”，內(nèi)切圓半徑為廣，橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2°,焦距為2c,

則△曄=?忸典=

S35A/^F2=3x|FIF2|,

得升=3”,

又S叢PF[F2-S△/尸2+S△0p+

IPF2，

即力|FiF2|=|r-|FiF2|+|r-|PFi|+|r-|PF2|,

又”=r,化簡(jiǎn)得“|尸西|=?（四尸2|+|尸川|+|尸尸2|）,即3X2c=2c+2a,

解得。=2c,可得離心率為，=1

a2

考點(diǎn)三拋物線的幾何性質(zhì)

【典例3】⑴（2023?北京模擬）已知拋物線C：產(chǎn)=2.3>0）的頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)O,焦點(diǎn)為尸，A

是拋物線C上的一點(diǎn)，點(diǎn)N到x軸的距離為2/.過(guò)點(diǎn)/向拋物線C的準(zhǔn)線作垂線，垂足為A

若四邊形/8。尸為等腰梯形，則p的值為（）

A.1B.也C.2D.2也

答案C

解析如圖所示，過(guò)點(diǎn)/（不妨設(shè)為第一象限點(diǎn)）向x軸作垂線，垂足為￡.設(shè)準(zhǔn)線交x軸于點(diǎn)

D.

因?yàn)樗倪呅蜰50尸為等腰梯形，所以|。2|=|4印ZFOB=ZOFA.

所以弘.

又NBDO=N4EF=90。,

所以ABDO咨AAEF,所以|。。=尸?=§

所以|Z)E|=+10F|+閥=券.

所以阿=|郎哼

由拋物線的定義可得|/F|=|N3尸當(dāng).

在直角三角形AEF中，\AF\=^,\EF\=^,\AE\=yA=^.

由勾股定理可得@2+(2/)2=M2,解得p=2.

(2)(多選X2022?新高考全國(guó)II)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)拋物線C：產(chǎn)=2"3>0)焦點(diǎn)廠的直線

與。交于4,2兩點(diǎn)，其中/在第一象限，點(diǎn)”30).若=貝！1()

A.直線的斜率為2#

B.\OB\=\OF\

C.|^5|>4|OF|

D.ZOAM+ZOBM<180°

答案ACD

解析對(duì)于A,由題意，得解’°)因?yàn)閨NF|=MM，且9,0),所以必=包產(chǎn)=》，將其

對(duì)于B,由選項(xiàng)A的分析，知直線的方程為>=2加1—f],代入產(chǎn)=2.，得12日—13"

+302=0,解得尤=》或苫=),所以XB=%,所以期=一；p,所以|。8|=出1后=?^⑹，

故B不正確；

117S

對(duì)于C,由拋物線的定義及選項(xiàng)A,B的分析，得[45]=/+切+,=立P+?=在?>22，即

網(wǎng)>4]。尸故C正確；

對(duì)于D,易知|。/|=個(gè)，\AM\=^p,\OB\=^p,\BM\=^p,

332_1_25o_2

3F+L—|0間_16。+16，P

則CQSAOAM=

2\O3A\L-\AM\―…而5

2XLT

77I107_2

。砰+同仔一?！阂皇?一'―B

cosZOBM>0,

2\OB[\BM\2X4叵pF

33

所以NCMM<90。，ZOBM<90°,所以/O/M+/O3M<180。，故D正確.

綜上所述，選ACD.

跟蹤訓(xùn)練3（1）（2021?新高考全國(guó)I）已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線。：儼=2川g>0）的焦點(diǎn)為尸,

P為C上一點(diǎn)，尸尸與x軸垂直，。為x軸上一點(diǎn)，且尸。，。？若尸0|=6,則C的準(zhǔn)線方程

為.

答案x=-j

2

解析方法一（解直角三角形法）由題易得。尸|=§NOPF=/PQF,所以tanZOPF

2

\OF\\PF\3

=tanZPQF,所以,即2=f,解得p=3,所以。的準(zhǔn)線方程為苫=

\PF\\FQ\n62

方法二（應(yīng)用射影定理法）由題易得|。引=§\PF\=p,\PF^=\OF[\FQ\,即p2=；X6,解得

p=3或p=0（舍去），所以C的準(zhǔn)線方程為x=一；

（2）（多選）（2023?東莞模擬）已知拋物線C：『=4x,。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P為直線x=-2上一點(diǎn),

過(guò)點(diǎn)P作拋物線C的兩條切線，切點(diǎn)分別為/,B,則（）

A.拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-1

B.直線一定過(guò)拋物線的焦點(diǎn)

C.線段A8長(zhǎng)的最小值為4也

D.OPLAB

答案ACD

解析由拋物線C：f=4x可知，焦點(diǎn)為網(wǎng)1,0）,準(zhǔn)線方程為x=-1,故A正確;

設(shè)尸（-2,⑼，顯然直線為斜率存在且不為零，設(shè)為后1,方程為y—m=h（x+2）,

■p2=4x

與拋物線方程聯(lián)立y’

y—m=ki（x-\-2）,

得hy2—4y+8左i+4冽=0,

因?yàn)槲沂窃搾佄锞€的切線，

所以/=（—4）2—4左i（8Ei+4切）=0,即2k4+mki—1=0,

且點(diǎn)工的縱坐標(biāo)為一3=4

2klk\

代入拋物線方程中可得點(diǎn)/的橫坐標(biāo)為

k\

設(shè)直線尸3斜率存在且不為零，設(shè)為左2,

同理可得2杉+%左2—1=0,且點(diǎn)8的縱坐標(biāo)為一3=2,橫坐標(biāo)為

2k2kiki

顯然左i,左2是方程2R+冽左一1=0的兩個(gè)不相等的實(shí)根，

所以左1+左2=一個(gè)，左1左2=—L

22

2_2

因?yàn)槿?=警

1___1_—2左1+左2

ki后

所以O(shè)PLAB,故D正確；

7

由上可知的斜率為二,

m

直線的方程為y—二

k\

即ml^y—2mk\=2A：?x—2,

又2好+冽左i—1=0,所以加左1=1—2后,

所以（魚一2硝》一2（1—2后）=2好x—2,即（1一2后融=2左G—2）,

所以直線45一定過(guò)點(diǎn)（2,0）,顯然該點(diǎn)不是拋物線的焦點(diǎn)，故B不正確；

由題意知，直線45的斜率不為0,設(shè)直線45的方程為、=町+2,4（?,y）,5（X2,J2）,

,|x=my+2,--

由，得產(chǎn)一4冽歹一8=0,

y2=4x,

所以芹+為=4冽，yiy2=18,

所以|48|=7（1+〃?2）?1+詡2—4%方］=寸（1+加2）（16%2+32）

=4^m4+3m2+2=4^^+i）2->4^2,當(dāng)且僅當(dāng)加=0時(shí)，等號(hào)成立，故C正確.

［總結(jié)提升］

求圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，求橢圓與雙曲線的方程、離心率以及漸近線時(shí)，將已知條件中的橢

圓、雙曲線的幾何性質(zhì)和幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為關(guān)于a,b,c的關(guān)系式進(jìn)行求解.在解決拋物線方

程、性質(zhì)及應(yīng)用問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵利用定義構(gòu)造與焦半徑相關(guān)的幾何圖形進(jìn)行求解（如三角形、直

角梯形等）來(lái)溝通已知量與p的關(guān)系.

熱點(diǎn)突破

1.（2023?北京模擬）已知拋物線產(chǎn)=2px（p>0）的準(zhǔn)線過(guò)雙曲線q-y2=l的一個(gè)焦點(diǎn)，則p等于

（）

A.1B.2C.4D.8

答案C

2

解析拋物線產(chǎn)=2尸0>0）的準(zhǔn)線方程為x=-§雙曲線;一產(chǎn)=1的左焦點(diǎn)的坐標(biāo)為（-2,0）,

右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為（2,0）,因?yàn)閽佄锞€f=20x的準(zhǔn)線過(guò)雙曲線三一產(chǎn)=1的一個(gè)焦點(diǎn)，所以彳=2,

解得p=4.

2.（2023?江蘇決勝新高考大聯(lián)考）中國(guó)國(guó)家大劇院是亞洲最大的劇院綜合體，中國(guó)國(guó)家表演藝

術(shù)的最高殿堂，中外文化交流的最大平臺(tái).大劇院的平面投影是橢圓C,其長(zhǎng)軸長(zhǎng)度約為212m,

短軸長(zhǎng)度約為144m.若直線/平行于長(zhǎng)軸且C的中心到/的距離是24m,貝心被C截得的

線段長(zhǎng)度約為（）

A.140mB.143m

C.200mD.209m

答案C

解析設(shè)該橢圓焦點(diǎn)在x軸上，以中心為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，如圖所示,

設(shè)橢圓的方程為1,a>b>0,由題意可得2a=212,26=144,

即。=106,6=72,代入方程，得圣+二=1,

1062722

因?yàn)橹本€/平行于長(zhǎng)軸且C的中心到/的距離是24m,

令y=24,得|2x|=U也"200（m）.

3.（2023?齊齊哈爾模擬）已知拋物線C：爐=8x的焦點(diǎn)為R〃?為C上的動(dòng)點(diǎn)，N為圓N：%2

+V+2x+8y+16=0上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)〃■到y(tǒng)軸的距離為力則也見+”的最小值為（）

A.1B.也C乃D.2

22

答案D

解析根據(jù)已知得到尸(2,0),圓4：(x+l)2+(y+4)2=1,所以4(—1,-4),圓4的半徑為1,

拋物線。的準(zhǔn)線為/：、=-2,過(guò)點(diǎn)M作垂足為點(diǎn)瓦則|Affi|=d+2,

由拋物線的定義可得d+2=|〃E|=|〃F|,

所以L+d=pW|+|MF|一2N|/M+|MF|—l—2NME|—l—2=^FnT^—1—2=2.

當(dāng)且僅當(dāng)N,M分別為線段4F與圓/、拋物線C的交點(diǎn)時(shí)，兩個(gè)等號(hào)成立，因此，\MN\+d

的最小值為2.

4.(2023?張家口模擬)已知b2分別是雙曲線C：三一片=1(心0,6>0)的左、右焦點(diǎn)，P

azb1

為雙曲線。上的動(dòng)點(diǎn)，尸1尸2尸10,|尸尸1|一|尸仍|=6,點(diǎn)尸到雙曲線C的兩條漸近線的距離分

別為di，<h,則47跖等于()

A.5-B.1—2C14.4"D.2

3525

答案B

解析由尸迅2|=2C=10,得C=5.

因?yàn)閨PE|一|尸尸2|=2a=6,所以。=3.

又因?yàn)镃2=/+62,所以6=4,

故雙曲線。的方程為尤一與=1,

916

所以兩條漸近線的方程為y=i|x.

設(shè)尸(xo,yo),則型—四=1,

916

故――同=16.

|xo-,o

不妨設(shè)"1=

+1

卜1rLM

則刈=/「4]

wJ2+i

5。16x47

臣E9》

II=144

所以did2=而X問(wèn)=

W+iytl+iU+i—25

所以々菽=9.

5.（2023?日照模擬）已知橢圓C：氣+，=1（。>6>0）的左、右焦點(diǎn)為尸1,加，點(diǎn)/（—2,2）為橢

圓C內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)。（。，6）在雙曲線瓦：一：=1上，若橢圓上存在一點(diǎn)尸，使得B4|+|尸7囹

=8,則。的取值范圍是（）

A.（-^5+1,5]B.[3,5]

C.（-^5+1,2^51D.[3，A/5]

答案A

解析點(diǎn)。（a,b）在雙曲線E：-—亡=1上，所以a?一爐=4.

44

所以橢圓左焦點(diǎn)Fi的坐標(biāo)為（一2,0）.

因?yàn)橐詜+廠歷|=8,所以|E4|+2a一|尸尸i|=8,

所以||B4|一|尸尸||i=|8-2a|W|ZE|=2,

所以3WaW5.

因?yàn)楹笠弧?4,所以62=次-4.

44

點(diǎn)力（-2,2）為橢圓C內(nèi)一點(diǎn),所以石<1,

a2-b

所以々+.<1

出原一4

所以a4—]24+16>0,

所以a>y/5+1或a<\f5—1.

綜上，m+l<aW5.

6.（2023?湖南名校教研聯(lián)盟聯(lián)考）2023年6月4日，神舟十五號(hào)返回艙順利著陸，人們清楚

全面地看到了神舟十五號(hào)返回艙成功著陸的直播盛況.根據(jù)搜救和直播的需要，在預(yù)設(shè)著陸

場(chǎng)的某個(gè)平面內(nèi)設(shè)置了兩個(gè)固定拍攝機(jī)位42和一個(gè)移動(dòng)拍攝機(jī)位C根據(jù)當(dāng)時(shí)氣候與地理

特征，點(diǎn)C在拋物線：>=42（直線y=0與地平線重合，y軸垂直于水平面.單位：十米，

36

下同.C的橫坐標(biāo)XC>6也）上，/的坐標(biāo)為（-36,2）.設(shè)。（0,-2）,線段/C,DC分別交拋

物線于點(diǎn)M,N,8在線段上.則兩固定機(jī)位43的距離為（）

A.360米B.340米

C.320米D.270米

答案B

解析設(shè)M(xi,yi),Ng,方)，C(xc,yc),4(—36,2),0(0,-2),

根據(jù)條件有元〃??；DC//DN,iC=(xc+36,yc-2)fAM=(Xi+36fyi-2),

DC=(xc,yc+2),DN=(X2,玖+2).

**?(xc+36)(yi—2)—(xi+36)(yc—2)=0,xc(y2+2)—%2(yc+2)=0.

由題意知xc,xi,%2互不相等，把yc=邑分別代入上兩式化簡(jiǎn)得XE+36(XC

363636

+xi)+72=0,xc=運(yùn)，消去xc得xi=一①——.

X2X2~\~2

A/N的方程是〉一P2="——（X—X2）,

Xl-X2

即廣三=E（LX2）,

3636

:.MN的方程為y—迢=[-2+f1]?匚寇，

362+工2

_A_

則?=二±色

2xi2+X2

36

???JW經(jīng)過(guò)定點(diǎn)（一2,2）.

???點(diǎn)B的坐標(biāo)為（一2,2）.|45|=34,即兩固定機(jī)位力,5的距離為340米.

7.（多選）（2023?鞍山模擬）已知居，凡分別是雙曲線C：[一/=1的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)M是該

雙曲線的一條漸近線上的一點(diǎn)，并且以線段E,圾為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)“，則（）

A.雙曲線。的漸近線方程為夕=±5

B.以線段E尸2為直徑的圓的方程為爐+/=3

C.點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為2或一2

D.△板1凡的面積為近

答案CD

解析由雙曲線方程知，a=2,6=1,...C的漸近線方程為＞=±$,A錯(cuò)誤;

c=~\la2-\-b2=yl5,...以為仍為直徑的圓的方程為9+產(chǎn)=5,B錯(cuò)誤；

出卜手彳邛=2，/=—2,

由彳中或，

x2+y2=5,卜一±1卜_±1,

?,?點(diǎn)〃的橫坐標(biāo)為2或一2,C正確；

[wl=1,s△孫馬=3?/1園?囚尸小，D正確.

8.(多選)(2023?湖北省十一校聯(lián)考)已知橢圓C：：+1=1(0助<3)的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為歹1(0,

—c),凡(0,c)(其中c>0),點(diǎn)P在橢圓C上，點(diǎn)0是圓瓦7+任一4)2=1上任意一點(diǎn)，|尸。

十/仍|的最小值為2,則下列說(shuō)法正確的是()

A.橢圓。的焦距為2

B.過(guò)正2作圓￡的切線，所得切線的斜率為±2也

C.若4,2為橢圓C上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱且異于頂點(diǎn)和點(diǎn)尸的兩點(diǎn)，則直線E4與總的斜率之

積為工

5

D.上必一|尸尸2|的最小值為4—2由

答案ABD

解析圓￡：/+①-4)2=1的圓心￡(0,4),半徑，=1,顯然圓￡與橢圓C相離，而點(diǎn)尸在

橢圓。上，點(diǎn)。在圓￡上，

于是|尸0|+尸尸2戶/￡|一r+|巴司引￡尸2|—1=4—c—1=3—c,當(dāng)且僅當(dāng)P,。分別是線段EF2

與橢圓C、圓￡的交點(diǎn)時(shí)取等號(hào)，

因此3—c=2,解得c=l,則橢圓。的焦距為2,且橢圓C的方程為芷+^=1,A正確；

32

得左=±2也，B正確；

設(shè)尸(xo,yo)9A(xi,yi)9有5(一制,—yi),

3xi~\-2yi=6,

3x?+2y?=6,

a

即yi-yl=--(xS-竭),

直線E4,四的斜率分別為后，kpB

因此屆-但="=Y，c錯(cuò)誤;

xo-xixo+xix?2

\PQ\-\PF^\PE\~r~(23-\PFi|)=\PE\+|PFi|-1-2^3\EFx|-1-2^3

=4-(-C)-1-2^3=4-2A/3,

當(dāng)且僅當(dāng)P,。分別是線段與橢圓C、圓￡的交點(diǎn)時(shí)取等號(hào)，D正確.

9.(2023?泉州模擬)在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線C：產(chǎn)=6工的焦點(diǎn)為用過(guò)。［―5'°,

的直線/與C交于43兩點(diǎn).若/的面積等于面積的2倍，則邑H=.

|即|--------

答案

解析如圖所示，過(guò)/作也41垂直準(zhǔn)線于點(diǎn)小，過(guò)8作381垂直準(zhǔn)線于點(diǎn)3,

由拋物線的定義可知，\AF\=\AAx\,\BF\=\BBi\,

因?yàn)閽佄锞€C：/=6②則°],

設(shè)△040的面積為S,則尸的面積也為S,ZUB9的面積為2S,

所以S“DF=SAABF,即AD—AB,即4為BD的中點(diǎn)，

所以四=也匆=回=1

\BF\\BBx\\BD\2

10.(202