2025年北京高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)：集合和常用邏輯用語（講義）（原卷版）

專題01集合和常用邏輯用語

目錄

01考情透視?目標(biāo)導(dǎo)航............................................................1

07軍nt口旦囪.田姓己I白吉q

03知識梳理?方法技巧............................................................4

04真題研析?精準(zhǔn)預(yù)測............................................................6

05核心精講?題型突破............................................................7

題型一：集合間的基本關(guān)系7

題型二：集合的運(yùn)算8

題型三：充分條件與必要條件9

題型四：全稱量詞與存在量詞

重難點(diǎn)突破：以集合為載體的創(chuàng)新題11

0

考情透視?目標(biāo)導(dǎo)航

有關(guān)集合的北京高考試題，考查重點(diǎn)是集合與集合之間的關(guān)系與運(yùn)算，考試形式多以一道選擇題為主,

分值5分.近年來試題以集合的運(yùn)算為主，多與解不等式等內(nèi)容交匯，新定義運(yùn)算也有較小的可能出現(xiàn)，屬于基

礎(chǔ)性題目，在解決這些問題時，要注意運(yùn)用數(shù)軸法和特殊值法解題，應(yīng)加強(qiáng)集合表示方法的轉(zhuǎn)化和化簡的

訓(xùn)練.而常用邏輯用語主要考查充分條件與必要條件,容易與函數(shù)、不等式、數(shù)列、三角函數(shù)、立體幾何內(nèi)

容交匯，基礎(chǔ)性和綜合性題目居多.主要考查考生的邏輯思維能力。提升考生的邏輯推理素養(yǎng)

考點(diǎn)要求目標(biāo)要求考題統(tǒng)計(jì)考情分析

2024年北京卷第1題，5分

2023年北京卷第1題，5分

熟練掌握集合的預(yù)測2025年高考，集

2022年北京卷第1題，5分

集合的運(yùn)算并'交'補(bǔ)集運(yùn)算合與邏輯用語主要以小題

2021年北京卷第1題，5分

方法形式出現(xiàn)，也有可能會將

2020年北京卷第1題，5分其滲透在解答題的表達(dá)之

2018年北京理科第1題，5分中，相對獨(dú)立.具體評估

為：

(1)以選擇題或填空

2023年北京卷第8題，5分題形式出現(xiàn)，考查學(xué)生的

2022年北京卷第6題，5分綜合推理能力.

理解充分必要，掌

2021年北京卷第3題，5分(2)熱點(diǎn)是集合用于

充分條件與必要條件握邏輯判斷，熟練

2020年北京卷第9題，5分創(chuàng)新題中，加強(qiáng)學(xué)生的邏

應(yīng)用題解

2019年北京理科第7題，5分輯推理思維能力。

2018年北京理科第6題，5分

以集合為載體的創(chuàng)新題

㈤3

.n過偏—?—拈工弓

1、集合的運(yùn)算性質(zhì)

(1)AA=A,A\0=0,A?B=B\A.

(2)AA=A,Al,0=A,A.B=BIA.

(3)A(C")=0,A.(C^A)=U,Q(G7A)=A.

2、集合的常用結(jié)論及細(xì)節(jié)

(1)若有限集A中有"個元素，則A的子集有2'個，真子集有2"-1個，非空子集有2"-1個，非空真子

集有2〃—2個.

(2)空集是任何集合A的子集，是任何非空集合3的真子集.

(3)A=BOAB=B=BOCJJBCCUA.

(4)CV(AB)=(QA)l(gB),Cu(AB)=0A)'(C?.

3、集合中涉及的工具

工具1：一元二次不等式

一元二次不等式由？+6x+c〉0(。w0),其中A=Z^-4ac,是方程ar?+6x+c〉0(。w0)的

兩個根，且為<%

(1)當(dāng)a>0時，二次函數(shù)圖象開口向上.(2)①若A>0,解集為｛x|x>w或

②若A=0,解集為且xw—③若A<0,解集為R.

(2)當(dāng)a<0時，二次函數(shù)圖象開口向下.①若A>0,解集為｛尤|玉<]<9｝②若△《()，解集為0

工具2：分式不等式

⑴，)〉0o/(x)?g(x)〉0(2)，<0o/(x)?g(x)<0

gwgw

⑺f(x)[f(x).g(x)>0/(x)：(x)?g(x)W0

g(x)〔g(X)H0g(x)[g(x)Ho

工具3：絕對值不等式

(I)|/(x)|>|g(x)|o"(x)F>[g(x)]2

(2)](刈>g(x)(g(x)>0)of(x)>g(x)或f(x)<—g(x);

|/(x)|<g(x)(g(x)>0)o—g(x)</(x)<g(x);

工具4：解指對不等式

①簡單指數(shù)不等式的解法

(1)形如。小)>:g(x)的不等式，可借助y=ax的單調(diào)性求解；

(2)形如/⑴〉b的不等式，可將人化為。為底數(shù)的指數(shù)幕的形式，再借助y=a*的單調(diào)性求解；

(3)形如優(yōu)〉"的不等式，可借助兩函數(shù)y=優(yōu)，y="的圖象求解.

②簡單指數(shù)不等式的解法：利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解

4、充分條件、必要條件與充要條件的判斷

①從邏輯推理關(guān)系看

命題“若?，則4"，其條件p與結(jié)論q之間的邏輯關(guān)系

①若夕nq,但q小〃，則p是q的充分不必要條件，“是"的必要不充分條件；

②若p今q,但qnp,則p是q的必要不充分條件，q是2的充分不必要條件；

③若p=>q,且qnp,即夕=q,則p、q互為充要條件；

④若豆q書p,則p是q的既不充分也不必要條件.

②從集合與集合間的關(guān)系看

若p：xGA,q-.x^B,

①若則p是q的充分條件，q是p的必要條件；

②若A是8的真子集，則p是4的充分不必要條件；

③若A=B,則p、4互為充要條件；

④若A不是8的子集且8不是A的子集，則p是“的既不充分也不必要條件.

5、全稱量詞與存在量詞

大前提：全稱量詞命題“V尤”的否定是存在量詞命題：.

存在量詞命題“3%eMq(x)”的否定是全稱量詞命題：VxeM,—.

一個命題和它的否定不能同時為真命題，也不能同時為假命題，只能一真一假.

★★會處理參數(shù)問題上的技巧

①在解決求參數(shù)的取值范圍問題上，可以先令兩個命題都為真命題，如果哪個是假命題，去求真命題的補(bǔ)

級即可.

②全稱量詞命題和存在量詞命題的求參數(shù)問題相對較難，要注重端點(diǎn)出點(diǎn)是否可以取到.

0

心真題砒標(biāo)?精御皿\\

1.（2024年北京第1題）已知集合M={x|—3<x<1},N={x\-1<x<4},則MUN=()

A.{x|—1<x<1}B.{x\x>—3}

C.{x|—3<x<4}D.(x\x<4}

2.（2023年北京第1題）已知集合M={%|%+2>0],?V={%|%-1<0},則MClN=(

A.{%I—2<%<1]B.{x|-2<%<1]

C.{x\x>-2}D.{%|%<1]

3.（2023年北京第8題）若孫豐0,則“x+y=0”是"?+j=-2”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.(2022年北京第1題)己知全集U={x|-3<%<3],集合4={x|-2<x<1},則04=()

A.（-2,1]B.（-3,-2）U[l,3）C.[-2,1）D.（-3,-2]U（1,3）

5.（2022年北京第6題）設(shè){斯}是公差不為0的無窮等差數(shù)列，貝為遞增數(shù)列”是“存在正整數(shù)No,當(dāng)幾

>叫）時，an>0”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

6.（2021年北京第1題）已知集合A={x|-l<x<l],B={x\0<xW2},則AUB=（）

A.{%|—1<x<2}B.{x|—1<x<2}

C.{%|0<%<1}D.[%|0<%<2]

7.（2021年北京第3題）已知/（久）是定義在上[0,1]的函數(shù)，那么“函數(shù)f（久）在[0,1]上單調(diào)遞增”是“函數(shù)f（x）

在[0,1]上的最大值為/（I）”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

題型一：集合間的基本關(guān)系

【典例1-1】已知集合4={-1,0,1,2},3={+?！?<3}.若4=3,則。的最大值為（）

A.2B.0C.-1D.-2

【典例1?2】已知集合人={4^0},3={1,2,3,4,5},則()

A.AcBB.B^A

C.AHB—BD.AfB=0

求解此類問題通常是借助于數(shù)軸，利用數(shù)軸分析法，將各個集合在數(shù)軸上表示出來，以形定數(shù)，同時

還要注意驗(yàn)證端點(diǎn)值，做到準(zhǔn)確無誤，一般含“=”用實(shí)心點(diǎn)表示，不含“=”用空心點(diǎn)表示

涉及“口”或“峰5,且瓊?！钡膯栴}，一定要分4=0和4加兩種情況進(jìn)行討論，其中4=0的情況容易

被忽略，應(yīng)引起足夠的重視

【變式1-1】已知集合&={-1,1},B={x+y\x^A,y^A\,C=={x-小eA,yeA},貝l]()

A.B=CB.BCC.B'C=0D.BC=A

【變式1-2】已知集合人={無eN|-l<x<5},8={0,1,2,3,4,5}，則()

A.ABB.A=BC.B￡AD.B^A

【變式1-3】已知集合A={x|T<尤<2},8={0,l},則()

A.ABB.BAC.A=8D.A\B=0

【變式1-4]若全集。=E,A={x\x<l},B={x\x>-l}JiJ()

A.A^BB.B^AC.D.B

命題預(yù)測;?

1.集合A={1,2,3,4,5}的所有三個元素的子集記為旦,不，再「〃$N*).記2為集合區(qū)(i=l,2,3,/)中的最

大元素，則4+62+63+=()

A.10B.40C.45D.50

2.已知集合4={*|%-2<0},B={x\x<a},若AB=A,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A.(-W,-2]B.[-2,+co)C.(-oo,2]D.[2,+oo)

3.已知集合/={1,2,3,4},N={0,1,2,3},則有()

A.MjNB.NjMC.MN=[1,2,3}D.MN={1,2,3}

4.已知集合P={x|0<尤<4},且河三產(chǎn)，則Al可以是

A.{1,2}B.{2,4}C.{-1,2}D.{0,5}

題型二：集合的運(yùn)算

【典例2-1】已知集合l={x|(x+3)(x—1)40},N={x|W<2},則()

A.(-2,1]B.[-3,2)C.(-2,3]D.[-1,2)

【典例2-2】設(shè)集合A={x[x+l<0},B={x\-2<x<1],則集合AB=()

A.(-oo,2]B.[-2,-1)C.(-1,2]D.(-oo,+oo)

求集合的并、交、補(bǔ)是集合間的基本運(yùn)算,運(yùn)算結(jié)果仍然還是集合，區(qū)分交集與并集的關(guān)鍵是“且”與“或”,

在處理有關(guān)交集與并集的問題時，常常從這兩個字眼出發(fā)去揭示、挖掘題設(shè)條件，結(jié)合Venn圖或數(shù)軸進(jìn)而

用集合語言表達(dá)，增強(qiáng)數(shù)形結(jié)合的思想方法

【變式2-1】已知集合〃={0,1,2},^={X|X2-3X<0},則MN=()

A.{0,1,2}B.{1,2}C.何04尤<3}D.{x[0<x<

【變式2-2]已知A={Hlog2(x-l)Vl},2={H|X-3|>2},則AB=()

A.空集B.{上<3或%>5}

C.{尤,<3或%>5且xwl}D.以上都不對

【變式2-3】已知U為整數(shù)集，A={xeZ,|/24},則2A=()

A.{—1,0,1}B.{-1,0,1,2}C.{0,1,2}D.{-2,-1,0,1,2}

【變式2-4】已知集合4=卜皿<1},若A,則?？赡苁?)

A.-B.1C.2D.3

e

【變式2-51［新考法］已知集合&={3,e，，集合8=?！▆,若Ac3={l},貝打〃+〃=()

A.4B.2C.0D.1

命題預(yù)測

1.已知集合［/={一1,0,1,2,3},A={1,2},B={0,2,3},貝。&4)門8=()

A.{3}B.{0,3}C.{1,2,3}D.{0,1,2,3}

2.已知集合4={尤eR|d<10},3={2,3,4,5}則Ac3=()

A.{2}B.{2,3}C.{3,4}D.{2,3,4}

3.已知集合A={T0,l},B={^x>c\.若AB={O,1},貝腿的最小值是()

A.1B.0C.-1D.-2

題型三：充分條件與必要條件

【典例3-1】設(shè)aeR,貝!是“1<1”的()

a

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【典例3-2】已知直線/：履一>+1-4=0和圓O:x2+/=r2(r>0),則“r=忘"是"存在唯一左使得直線/

與相切”的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

(1)判斷充分條件、必要條件的注意點(diǎn).

①明確條件與結(jié)論②判斷若P，則g是否成立時注意利用等價命題③可以用反例說明由P推不出g,但

不能用特例說明由P可以推出g

(2)充分條件、必要條件的兩種判斷方法

定義法：①確定誰是條件，誰是結(jié)論②嘗試從條件推結(jié)論，若條件能推出結(jié)論，則條件為充分條件，

否則就不是充分條件③嘗試從結(jié)論推條件，若結(jié)論能推出條件，則條件為必要條件，否則就不是必要條件

命題判斷法：①如果命題：“若P，則q”為真命題，那么p是q的充分條件，同時0是p的必要條件②

如果命題：“若P，則0”為假命題，那么。不是g的充分條件，同時g也不是P的必要條件

【變式3-1］若｛%｝是無窮數(shù)列，貝上｛%｝為等比數(shù)歹！J”是"｛4｝滿足a"?%+3=/M?a“+2("eN*)”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【變式3-2】設(shè)4>0活>0,貝!]“l(fā)g（a+》）>0”是“1g（而）>0"的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【變式3-3】若°,匕為非零向量，貝『七=’■"是7,b共線”的（）

b

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【變式3-4】設(shè)是三個不同平面，且ey=l,/3=y=m,則""/加”是“a〃夕”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【變式3-5]對于無窮數(shù)列｛叫,定義4=?！?「凡"1,2,3,）,則“｛4｝為遞增數(shù)列”是“｛或｝為遞增數(shù)列”

的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

命題預(yù)測I

1.已知a>0,b>0,貝>2”是“。+/,>2”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條

件

2.“VABC為銳角三角形”是“sinA>cos3,sinB>cosC,sinC>cosA”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

3.已知等差數(shù)列｛%｝的前幾項(xiàng)和為S“，則“邑-2a2<0”是"g用>（〃+1）5,”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

題型四：全稱量詞與存在量詞

【典例4-1】已知命題P：3x>1,x2—1>0,那么是（）

A.Vx>l,x2-l>0B.Vx>l,x2-l<0

C.3x>l,x2-l<0D.3x<l,x2-l<0

【典例4-2】設(shè)命題P：Wx￡（0,+8）,Inj;,x-1,則為）

A.Vxw(0,+co),]nx>x-lB.3.r0e(0,+oo),Inx0?x0-1

G

C.Vxe(0,+8),]nx>x-lD.3%o(°，+8),Inx0>x0-1

Hl

(1)要判斷一個全稱量詞命題是真命題，必須對限定的集合M中的每一個元素X,驗(yàn)證p(x)成立;

要判斷全稱量詞命題是假命題，只要能舉出集合M中的一個x=x0,使p(x0)不成立即可.

(2)要判斷一個存在量詞命題的真假，依據(jù)：只要在限定集合M中，至少能找到一個x=%,使〃(%)

成立，則這個存在量詞命題就是真命題，否則就是假命題

【變式4-1】下列選項(xiàng)中，說法正確的是()

A.“土owRX；-/W0”的否定是"王°wR,x；-x>0”

B.若向量滿足，則a與8的夾角為鈍角

C.若am2<bnr，貝?。?。〈人

D."x?AU3)”是“xe(A耳”的必要條件

【變式4-2】設(shè)命題P：-4<同+同，則力為

A.Va,bGR,|a-Z?|>|o|+|/?|B.3a,R,\a-b\<|a|+|/?|

C.Ba,b&R,|?-&|>|(z|+|&|D.3a,beR,|a-Z?|>|a|+|fo|

【變式4-3】已知。<6,則下列結(jié)論中正確的是

A.Vc(0,a〉6+cB.\/c<O,a<b+c

C.3c>0,a>b+cD.3c>0,a<b+c

命題預(yù)測

1.設(shè)數(shù)歹的前〃項(xiàng)和S“=4"T-1,則％=；使得命題"V”>N°,〃eN*,都有a同一%>1。0”

為真命題的一個時的值為3

2.若命題p：*eR,f+2辦+ago是假命題，則實(shí)數(shù)。的一個值為.

重難點(diǎn)突破：以集合為載體的創(chuàng)新題

【典例5-11有限集合M中元素的個數(shù)記作的力(")，若AB都為有限集合，則“A3=A”是

“card(A)<card(8)”的()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件

【典例5-2】已知平面內(nèi)點(diǎn)集4={用6,…，只}A中任意兩個不同點(diǎn)之間的距離都不相等.設(shè)集合

8={學(xué){1,2,0<網(wǎng)上題,3=1,2,,4，M=[Pj\PiPjeB,i=1,2,,4.給出以下四個

結(jié)論：

①若〃=2,則&=河；

②若〃為奇數(shù)，則AwM;

③若〃為偶數(shù)，則4="；

④若{6力,々%=則上<5.

其中所有正確結(jié)論的序號是.

【典例5-3]記集合◎={(%,%e{0,l},i=l,2,，,〃}(〃>2).對任意a=(%,出,…,a“)eQ

，=(4也，,也)e。，記〃(口,〃)=(|6-4|,|%-41,[％-〃1)，對于非空集合47。，定義集合

r>(A)={d(a,￡)|aeA,/eA}.

⑴當(dāng)〃=2時,寫出集合。；對于A={(0,0),(0,1),(1,0)},寫出。(A)；

⑵當(dāng)〃=3時，如果。(A)=。，求card(A)的最小值；

⑶求證：card(D(A))^card(A).

(注：本題中，card(A)表示有限集合A中的元素的個數(shù).)

1、通過給出一個新的定義，或約定一種新的運(yùn)算，或給出幾個新模型來創(chuàng)設(shè)新問題的情景，要求在閱

讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學(xué)的知識和方法，實(shí)心信息的遷移，達(dá)到靈活解題的目的.

2、遇到新定義問題，應(yīng)耐心讀題，分析新定義的特點(diǎn)，弄清新定義的性質(zhì)，按新定義的要求，“照章辦

事”，逐條分析、運(yùn)算、驗(yàn)證，使得問題得以解決.

3、若新定義與數(shù)列有關(guān)，可得利用數(shù)列的遞推關(guān)系式，結(jié)合數(shù)列的相關(guān)知識進(jìn)行求解，多通過構(gòu)造的

分法轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列問題求解，求解過程靈活運(yùn)用數(shù)列的性質(zhì)，準(zhǔn)確應(yīng)用相關(guān)的數(shù)列知識.

4、若新定義與集合的運(yùn)算有關(guān)，要熟記集合的性質(zhì)以及集合的運(yùn)算法則，必要時可利用集合的韋恩圖，

更加直觀的求解

【變式5-1】設(shè)若非空集合A,民C同時滿足以下4個條件，則稱A,民C是“"-無和劃分”：

①4BC={1,2「,〃}；

②AB=0,BC=0,AC=0.

③leA,且C中的最小元素大于8中的最小元素；

(4)VxGA,Vj；eB,VzeC,必有x+yC,y+z^A,z+x^B.

(1)若4={1,3},3={2,4},。={5,6},判斷A,B,C是否是“6-無和劃分”，并說明理由.

(2)已知ARC是“〃-無和劃分""24).

①證明：對于任意機(jī)，左eC(〃z<￡),都有左

②若存在，，JeC,使得j=，+2,記。=4口3口。，證明：。中的所有奇數(shù)都屬于A.

【變式5-2】設(shè)正整數(shù)"N2,%，4eN*,4={x|x=a,+(左一1)4次=1,2,},這里，?=1,2,,〃.若

uAou4=N*,且4八4=0(14i<,則稱4,演A,具有性質(zhì)p.

⑴當(dāng)〃=3時，若4,4,4具有性質(zhì)P,且4=1,2=2,%=3,令機(jī)=4"2d3，寫出機(jī)的所有可能值；

⑵若4,4，,4具有性質(zhì)產(chǎn)：

①求證：4<4[=1,2,,”)；

②求￡子的值.

；=14

【變式5-3】設(shè)"為正整數(shù)，集合4HalaHq,%,”，a"),qe{0,l},i=l,2,，噸對于/=(%,%,，?！安吩?，

設(shè)集合尸(a)={/eN|04f4”—1,卬+,

(1)若1=(0,1,0,0,1,0),分=(0,1,0,0,1,0,10,0,1,0),寫出集合尸(&),〃(/)；

(2)若戊=且sJeP(c)滿足S<r,令〃=(%,%,,%)W4T，求證：t-s&P(a'Y

(3)若￡=,%”4，且2(a)={瓦,S2，，$}(耳<$2<<sm,m>y),求證:

2鼠”鼠+1+2(笈=1,2,，加―2).

[命題預(yù)測J

1.已知數(shù)列A:qs，L,a“，從A中選取第匕項(xiàng)、第乙項(xiàng)....第一項(xiàng)匕<理<?構(gòu)成數(shù)列B：%，蓬,L,B

稱為A的左項(xiàng)子列.記數(shù)列3的所有項(xiàng)的和為T⑻.當(dāng)人22時，若8滿足：對任意se{1,2,.-1},如r；=1,

則稱3具有性質(zhì)尸.規(guī)定：A的任意一項(xiàng)都是A的1項(xiàng)子列，且具有性質(zhì)P.

(1)當(dāng)〃=4時，比較A的具有性質(zhì)P的子列個數(shù)與不具有性質(zhì)P的子列個數(shù)的大小，并說明理由；

⑵已知數(shù)列A:1,2,3,L(心2).

ri

(i)給定正整數(shù)左4彳，對A的上項(xiàng)子列8,求所有7(8)的算術(shù)平均值；

(ii)若A有機(jī)個不同的具有性質(zhì)P的