2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)22 微專題 相似三角形(含位似) 學(xué)案（含答案）

微專題22相似三角形(含位似)

考點(diǎn)精講

構(gòu)建知識(shí)體系

考點(diǎn)梳理

1.比例

(1)比例線段

在四條線段中，如果其中兩條線段的比等于另外兩條線段的比，即

比例線段?

＝，那么這四條線段a，b，c，d叫做成比例線段，簡(jiǎn)稱比例線段?

?

比例中項(xiàng)如果?a∶b＝b∶c或＝或①，那么b叫做a和c的比例中項(xiàng)

??

(2)比例的性質(zhì)??

性質(zhì)1(基本

如果＝，那么②＝bc(b，d≠0)(反之也成立)

性質(zhì))??

??

性質(zhì)2(合比

如果＝，那么＝③(b，d≠0)

性質(zhì))???±?

???

性質(zhì)等比如果＝＝…＝，且＋＋…＋≠，那么＋＋＋＝

3(b1b2bn0＋＋＋

?1?2???1?2…???1

?1?2???1?2…???1

第1頁(yè)共16頁(yè)

性質(zhì))

2.平行線分線段成比例

(1)定理：兩條直線被一組平行線所截，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例(基本事實(shí)).

(2)推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)，所得的對(duì)應(yīng)線

段成④

3.黃金分割比例(2023.6)

圖示

如圖，點(diǎn)C把線段AB分成兩條線段AC和BC，且＝⑤，那么線

??

定義段AB被點(diǎn)C黃金分割，點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分??割點(diǎn)，AC與AB的比

叫黃金比，即＝－≈.，≈.，簡(jiǎn)記為長(zhǎng)＝短＝－

06180382全長(zhǎng)

??51??51

【滿分技法】一條線?段?上有2兩個(gè)黃金分割??點(diǎn)2

4.相似三角形的性質(zhì)與判定(6年11考)

(1)相似三角形的對(duì)應(yīng)角⑥，對(duì)應(yīng)邊⑦；

(2)相似三角形中的所有對(duì)應(yīng)線段(高、中線、角平分線)成比例，且等于相似

性質(zhì)

比；

(3)相似三角形的周長(zhǎng)比等于⑧，面積比等于⑨

兩角分別相等的兩個(gè)兩邊成比例且⑩相三邊?的兩個(gè)

判定三角形相似等的兩個(gè)三角形相似三角形相似

方法

5.位似

(1)定義：兩個(gè)圖形不僅相似，而且對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)，像這樣的兩個(gè)圖

形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心

(2)性質(zhì)：①位似圖形上任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于相似比；

第2頁(yè)共16頁(yè)

②在平面直角坐標(biāo)系中，如果以原點(diǎn)為位似中心，相似比為k，那么位似圖形上

的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或－k

練考點(diǎn)

.已知＝＝＝，則＋＋＝.

1＋＋

???2???

2.如圖是?五?條?等距3離的?平?行?線，同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)A，B，C都在橫線上，

若線段AB＝4，則線段BC的長(zhǎng)為.

第2題圖

3.如圖，若線段AB＝2，點(diǎn)C為AB的黃金分割點(diǎn)，且AC＞BC，則AC的長(zhǎng)

為.

第3題圖

4.若兩個(gè)相似三角形的邊長(zhǎng)之比為1∶2，則它們的面積比是.

5.如圖，AB與CD交于點(diǎn)O.若＝＝，則＝.

????1??

????2??

第5題圖

6.如圖，△ABC與△DEF是位似圖形，且位似中心為O，OB∶OE＝2∶3，若

△ABC的周長(zhǎng)為4，則△DEF的周長(zhǎng)為.

第6題圖

第3頁(yè)共16頁(yè)

高頻考點(diǎn)

考點(diǎn)1平行線分線段成比例

例1(北師九上習(xí)題改編)如圖，直線a∥b∥c，分別交直線m，n于點(diǎn)A，C，E，

B，D，F(xiàn)，下列結(jié)論正確的是()

A.＝B.＝C.＝D.＝

????????????????

????????????????

例1題圖

變式1(人教九下習(xí)題改編)如圖，直線AD，BC交于點(diǎn)O，AB∥EF∥CD.

若AO＝2，OF＝1，F(xiàn)D＝2，則的值為.

??

??

變式1題圖

考點(diǎn)2相似三角形的性質(zhì)與判定(6年9考)

模型一A字型

[2023.15，2023.22(2)②，2021.21(2)，2020.22(2)，2019.24(3)]

模型分析

類型正“A”字型斜“A”字型

模型展示

模型特點(diǎn)有共用的一組角∠A，并且有另外一組角相等，形似“字母A”

解題思路找同側(cè)的一組相等角找異側(cè)的一組相等角

結(jié)論△ADE∽△ABC＝＝△ADE∽△ACB＝＝

????????????

????????????

?第4頁(yè)共16頁(yè)?

例2(人教九下練習(xí)改編)如圖，D，E分別是△ABC邊AB，AC上的點(diǎn)，∠AED

＝∠ABC，若AD＝2，BD＝4，AE＝3，則CE的長(zhǎng)為.

例2題圖

變式2如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD為斜邊AB上的高，若AC＝6，

BD＝5，則sinB的值為.

變式2題圖

變式3如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DE∥BC

交AB于點(diǎn)E，若BE＝2，BC＝3，則△＝.

?△???

????

變式3題圖

模型二8字型

[2021.23，2019.10③]

模型分析

類型正“8”字型斜“8”字型

模型展示

模型特點(diǎn)有一組角為對(duì)頂角，并且有另外一組角相等，形似“數(shù)字8”

第5頁(yè)共16頁(yè)

解題思路找對(duì)頂角之外的另一組角相等，或?qū)斀堑膬蛇厡?duì)應(yīng)成比例

結(jié)論△AOB∽△DOC＝＝△AOB∽△COD＝＝

????????????

例3如圖，線段AE，BD交?于??點(diǎn)?C?，連??接AB，DE，若AC＝9?，??CE＝??4，?B?C＝

CD＝6，DE＝3，則AB＝.

例3題圖

變式4如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為5，正方形EFGC的邊長(zhǎng)為3，點(diǎn)B，C，

G在一條直線上，連接BF，交CD于點(diǎn)H，則圖中陰影部分的面積為.

變式4題圖

模型三手拉手型

[2024.22(2)]

模型分析

模型展示：

模型特點(diǎn)：1.如圖①，DE∥BC，∠BAC＝∠DAE；

2.如圖②，將△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一定角度后，連接BD，CE，延長(zhǎng)BD交CE

于點(diǎn)F

結(jié)論：①△ADE∽△ABC；②若AD＝AE，AB＝AC，則△ABD≌△ACE

第6頁(yè)共16頁(yè)

例4在△ABC中，D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，連接DE，將△ADE繞點(diǎn)A

逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到如圖所示的位置，連接BD'，CE'，若AD＝AE，BD'＝4，則CE'

2

的長(zhǎng)為.3

例4題圖

變式5如圖，在△ABC和△ADE中，點(diǎn)D在BC邊上，∠B＝∠ADE＝30°，

∠BAC＝∠DAE＝90°，則的值為.

??

??

變式5題圖

模型四一線三垂直型

[2021.23]

模型分析

類型類型一類型二

模型特點(diǎn)∠1，∠2，∠3的頂點(diǎn)在同一條直線上，∠1＝∠2＝∠3＝90°

模型展示

結(jié)論△ABD∽△CEB

例5如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB，BC上，且EF⊥DF.

若CF＝2BE，則BF的長(zhǎng)為.

第7頁(yè)共16頁(yè)

例5題圖

變式6如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0，2)，頂點(diǎn)C在反

比例函數(shù)y＝(x＞0)的圖象上.若AB＝2AC，且OA＝OB，則k的值為.

?

?

變式6題圖

考點(diǎn)3位似

例6如圖，線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(1，2)，B(2，0)，以原點(diǎn)為位似

中心，將線段AB放大得到線段CD，若點(diǎn)D的坐標(biāo)為(5，0)，則點(diǎn)C的坐標(biāo)

為.

例6題圖

真題及變式

命題點(diǎn)1黃金分割數(shù)(2023.6)

1.(2023廣東6題3分)我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾為普及優(yōu)選法作出重要貢獻(xiàn).優(yōu)

選法中有一種0.618法應(yīng)用了()

A.黃金分割數(shù)B.平均數(shù)C.眾數(shù)D.中位數(shù)

拓展訓(xùn)練

第8頁(yè)共16頁(yè)

－

2.(2024東莞一模)寬與長(zhǎng)的比是(約0.618)的矩形叫做黃金矩形，黃金矩形

51

蘊(yùn)藏著豐富的美學(xué)價(jià)值，給我們以2協(xié)調(diào)和勻稱的美感.我們可以用這樣的方法畫

出黃金矩形：作正方形ABCD，分別取AD，BC的中點(diǎn)E，F(xiàn)，連接EF：以點(diǎn)F

為圓心，以FD為半徑畫弧，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G；作GH⊥AD，交AD的延

長(zhǎng)線于點(diǎn)H，則圖中下列矩形是黃金矩形的是()

第2題圖

A.矩形ABFEB.矩形EFCDC.矩形EFGHD.矩形DCGH

命題點(diǎn)2相似三角形的性質(zhì)與判定(6年11考)

拓展訓(xùn)練

3.(2024梅州一模改編)如圖，在△ABC中，CD⊥AB于點(diǎn)D，BE⊥AC于點(diǎn)E，

與CD相交于點(diǎn)F.若∠ABE＝30°，＝，則的值為.

??5??

??4??

第3題圖

4.如圖，在△ABC與△ADE中，∠BAC＝∠DAE，∠ABC＝∠ADE，連接BD，

CE.若S△ADB∶S△AEC＝16∶9，△ADB的周長(zhǎng)為2，求△AEC的周長(zhǎng).

第4題圖

第9頁(yè)共16頁(yè)

5.如圖為兩個(gè)全等的等腰直角△ABC和△ADE，已知∠BAC＝∠AED＝90°，

AD，AE分別交BC邊于點(diǎn)F，G，BC＝5.

(1)求證：AG2＝BG·FG；2

(2)求證：△ABG∽△FCA；

(3)設(shè)BG＝x，CF＝y(tǒng)，求y與x之間的函數(shù)表達(dá)式，并寫出x的取值范圍.

第5題圖

新考法

6.[數(shù)學(xué)文化](2024佛山二模)《墨子·天文志》記載：“執(zhí)規(guī)矩，以度天下之方

圓”.度方知圓，感悟數(shù)學(xué)之美.如圖，以面積為1的正方形ABCD的對(duì)角線的交

點(diǎn)為位似中心，作它的位似圖形A'B'C'D'，若AB∶A'B'＝1∶2，則四邊形A'B'C'D'

的面積為()

A.9B.6C.4D.3

第6題圖

第10頁(yè)共16頁(yè)

7.[數(shù)學(xué)文化]四分儀是一種古老的測(cè)量工具，可以追溯到公元2世紀(jì)的托勒密時(shí)

代.如圖就是一種四分儀在距離測(cè)量上的應(yīng)用，該四分儀是在邊長(zhǎng)為1米的正方

形ABCD的一個(gè)頂點(diǎn)處安裝一根方向桿.若將該四分儀的方向桿對(duì)準(zhǔn)遠(yuǎn)處的目標(biāo)

物E，在四分儀上讀出DF的長(zhǎng)度為20厘米，已知點(diǎn)B，C，E在同一條直線上，

則目標(biāo)物E與點(diǎn)B之間的距離BE為()

第7題圖

A.1米B.4米C.5米D.6米

8.[跨物理學(xué)科](2024山西)黃金分割是漢字結(jié)構(gòu)最基本的規(guī)律.借助如圖的正方

形習(xí)字格書寫的漢字“晉”端莊穩(wěn)重、舒展美觀.已知一條分割線的端點(diǎn)A，B分

別在習(xí)字格的邊MN，PQ上，且AB∥NP，“晉”字的筆畫“”的位置在AB的

－

黃金分割點(diǎn)C處，且＝.若NP＝2cm，則BC的長(zhǎng)為cm(結(jié)果保

??51

留根號(hào)).??2

第8題圖

9.[結(jié)合網(wǎng)格]如圖，若方格紙中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，則陰影部分的面積

為.

第9題圖

第11頁(yè)共16頁(yè)

考點(diǎn)精講

①b2＝ac②ad③④比例⑤⑥相等

?±???

⑦成比例⑧相似比?⑨相似比的平方??⑩夾角

?成比例

練考點(diǎn)

1.2.23.－14.1∶45.6.6

21

高頻3考點(diǎn)52

例1D【解析】∵a∥b∥c，∴＝，＝，＝，∴選項(xiàng)A，B，C錯(cuò)

????????????

誤，不符合題意；D正確，符合題?意?.??????????

＋

變式1【解析】∵AB∥EF∥CD，∴＝＝，∵AO＝2，OF＝1，F(xiàn)D

3????????

＝2，∴2＝＝.??????

??2+13

例21??【解2析】2∵∠AED＝∠ABC，∠DAE＝∠CAB，∴△ADE∽△ACB，∴

??

＝，∴＝，解得CE＝1.??

??23

變式??23+?【?解2+析4】∵∠A＝∠A，∠ADC＝∠ACB＝90°，∴△ADC∽△ACB，

2

3

∴＝，即＝，解得，AD1＝－9(舍去)，AD2＝4，則sin∠B＝＝

??????6??6

＝?.???6??+5??4+5

2

變式33【解析】∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD.∵DE∥BC，∴∠EDB

4

＝∠CBD9＝∠ABD，∴DE＝BE＝2.∵DE∥BC，∴△AED∽△ABC，∴△＝()2

△

??????

???

＝()2＝.???

24

例339【解析】∵AC＝9，CE＝4，BC＝CD＝6，∴＝＝.∵∠ACB＝∠DCE，

9????3

∴△AC2B∽△DCE，∴＝＝，∵DE＝3，∴AB??＝.??2

????39

????22

第12頁(yè)共16頁(yè)

變式4【解析】∵∠FEH＝∠BCH，∠EHF＝∠CHB，∴△EHF∽△CHB，

27

16

∴＝＝，∴EH＝CE＝，∴S△EFH＝EH·EF＝××3＝.

????33911927

例?4?6??【5解析】∵D8，E分8別是AB，A2C的中點(diǎn)，2∴8DE∥B16C，∴＝，由

????

旋轉(zhuǎn)得，∠DAE＝∠D'AE'，AD＝AD'，AE＝AE'，∴＝，∠DAD?'?＋∠??D'AE

??'??'

＝∠D'AE＋∠CAE'，∴∠DAD'＝∠CAE，∴△ABD'∽??△A?C?E'，∴＝＝

??'??'??

＝，∵BD'＝4，∴CE'＝6.??'??'??

2

變式35【解析】∠BAC＝∠DAE＝90°，∴tan∠B＝，tan∠ADE＝，

3????

∠B＝∠A3DE＝30°，∴＝＝tan30°＝.又∵∠BAC＝??∠DAE，∴∠B?A?C－

????3

∠DAC＝∠DAE－∠DAC??，即?∠?BAD＝∠CAE3，∴△ABD∽△ACE，∴＝＝.

????3

例53【解析】∵EF⊥DF，∴∠EFD＝90°，即∠BFE＋∠CFD＝90°??.∵?∠?BF3E

＋∠BEF＝90°，∴∠BEF＝∠CFD，又∵∠B＝∠C＝90°，∴△BEF∽△CFD，

∴＝.∵CF＝2BE，AB＝CD＝6，∴＝，解得BF＝3.

????????

變式??6??3【解析】如解圖，過(guò)點(diǎn)C作2C??H⊥6y軸于點(diǎn)H.∵A(0，2)，OA＝OB，

∴OA＝OB＝2，∵∠BAC＝90°，∴∠OAB＋∠CAH＝90°，∵∠ABO＋∠OAB

＝90°，∴∠ABO＝∠CAH，又∵∠AOB＝∠AHC＝90°，∴△ABO∽△CAH，

∴＝＝＝2，∴CH＝AH＝1，∴OH＝OA＋AH＝3，∴C(1，3)，∵點(diǎn)C在

??????

y＝??的圖??象上??，∴k＝1×3＝3.

?

?

變式6題解圖

第13頁(yè)共16頁(yè)

例6(，5)【解析】由題意得，△OAB與△OCD為位似圖形，∴△OAB∽△

5

OCD，2∵點(diǎn)B(2，0)，D(5，0)，∴OB＝2，OD＝5，∴△OAB與△OCD的相似

比為2∶5，∵點(diǎn)A坐標(biāo)為(1，2)，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1×，2×)，即(，5).

555

真題及變式222

1.A

2.D【解析】設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2，則CD＝2，CF＝1在直角三角形DCF中，

－

DF＝，∴CG＝－1，∴＝，∴短形DCGH為黃金矩形.

??51

3.【5解析】∵CD5⊥AB，B??E⊥AC2，∴∠BDF＝∠CEF＝90°，∴△DFB∽△

5

EFC2，∴∠DBF＝∠ECF＝30°，＝＝，在Rt△ECF中，∠ECF＝30°，

????5

∴EF＝CF，∴＝＝2×＝2?×?＝??.4

1??????55

1

2????42

4.解：∵∠BAC＝∠2?D?AE，∠ABC＝∠ADE，

∴△ABC∽△ADE，

∴＝，即＝.

????????

∵∠??BA?C?＝∠?D?AE?，?

∴∠BAC－∠CAD＝∠DAE－∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，

∴△ADB∽△AEC；

∵S△ADB∶S△AEC＝16∶9，

∴C△ADB∶C△AEC＝4∶3.

∵C△ADB＝2，

∴C△AEC＝.

3

5.(1)證明2：由題意可知，∠FAG＝∠ABG＝45°，

∵∠AGF＝∠BGA，

∴△ABG∽△FAG，