2025版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第十一章統(tǒng)計(jì)統(tǒng)計(jì)案例4第4講概率與統(tǒng)計(jì)的綜合問題新題培優(yōu)練文含解析新人教A版

PAGE1-第4講概率與統(tǒng)計(jì)的綜合問題[基礎(chǔ)題組練]1．為探討女高校生體重和身高的關(guān)系，從某高校隨機(jī)選取8名女高校生，其身高和體重?cái)?shù)據(jù)如下表：身高x/cm165165157170175165155170體重y/kg4857505464614359利用最小二乘法求得身高預(yù)報(bào)體重的回來方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝0.849x－85.712，據(jù)此可求得R2≈0.64，下列說法正確的是()A．兩組變量的相關(guān)系數(shù)為0.64B．R2越趨近于1，表示兩組變量的相關(guān)關(guān)系越強(qiáng)C．女高校生的身高說明了64%的體重改變D．女高校生的身高差異有64%是由體重引起的解析：選C.用最小二乘法求得身高預(yù)報(bào)體重的回來方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝0.849x－85.712，據(jù)此可求得R2≈0.64，即女高校生的身高說明了64%的體重改變，而隨機(jī)誤差貢獻(xiàn)了剩余的36%，故選C.2．為了考察兩個(gè)變量x和y之間的線性相關(guān)狀況，甲、乙兩個(gè)同學(xué)各自獨(dú)立地做了10次和15次試驗(yàn)，并且利用最小二乘法，求得回來直線所對(duì)應(yīng)的方程分別為l1：y＝0.7x－0.5和l2：y＝0.8x－1，則這兩個(gè)人在試驗(yàn)中發(fā)覺對(duì)變量x的觀測(cè)數(shù)據(jù)的平均值s與對(duì)變量y的觀測(cè)數(shù)據(jù)的平均值t的和是()A．8 B．9C．10 D．11解析：選A.因?yàn)閮山M數(shù)據(jù)對(duì)變量x的觀測(cè)數(shù)據(jù)的平均值都是s，對(duì)變量y的觀測(cè)數(shù)據(jù)的平均值都是t，所以兩組數(shù)據(jù)的樣本中心點(diǎn)都是(s，t)．因?yàn)閿?shù)據(jù)的樣本中心點(diǎn)肯定在線性回來直線上，所以回來直線l1和l2都過點(diǎn)(s，t)．由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(t＝0.7s－0.5，,t＝0.8s－1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(s＝5，,t＝3，))所以s＋t＝8.故選A.3．(2024·貴陽(yáng)第一學(xué)期檢測(cè))A市某校學(xué)生社團(tuán)針對(duì)“A市的發(fā)展環(huán)境”對(duì)男、女各10名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，每名學(xué)生給出評(píng)分(滿分100分)，得到如圖所示的莖葉圖．(1)計(jì)算女生打分的平均分，并依據(jù)莖葉圖推斷男生、女生打分誰更分散(不必說明理由)；(2)如圖(2)是按該20名學(xué)生的評(píng)分繪制的頻率分布直方圖(每個(gè)分組包含左端點(diǎn)，不包含右端點(diǎn))，求a的值；(3)從打分在70分以下(不含70分)的學(xué)生中抽取2人，求有女生被抽中的概率．解：(1)女生打分的平均數(shù)為eq\f(1,10)×(68＋69＋76＋75＋70＋78＋79＋82＋87＋96)＝78；男生打分比較分散．(2)由莖葉圖可知，20名學(xué)生中評(píng)分在[70，80)內(nèi)的有9人，則a＝eq\f(9,20)÷10＝0.045.(3)設(shè)“有女生被抽中”為事務(wù)A，由莖葉圖可知，有4名男生，2名女生的打分在70分以下(不含70分)，其中4名男生分別記為a，b，c，d，2名女生分別記為m，n，從中抽取2人的基本領(lǐng)件有ab，ac，ad，am，an，bc，bd，bm，bn，cd，cm，cn，dm，dn，mn，共15種，其中有女生被抽中的事務(wù)有am，an，bm，bn，cm，cn，dm，dn，mn，共9種，所以P(A)＝eq\f(9,15)＝eq\f(3,5).4．(2024·河南鄭州一中入學(xué)測(cè)試)已知某中學(xué)高三文科班學(xué)生共有800人參與了數(shù)學(xué)與地理的測(cè)試，學(xué)校確定利用隨機(jī)數(shù)表法從中抽取100人進(jìn)行成果抽樣調(diào)查，先將800人按001，002，…，800進(jìn)行編號(hào)．(1)假如從第8行第7列的數(shù)起先向右讀，請(qǐng)你依次寫出最先抽取的3個(gè)人的編號(hào)；(下面摘取了第7行到第9行的數(shù)據(jù))eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(84421753315724550688770474,476721763350258392120676))第7行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(63016378591695556719981050,717512867358074439523879))第8行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(33211234297864560782524207,443815510013429966027954))第9行(2)抽取的100人的數(shù)學(xué)與地理的測(cè)試成果如下表：成果分為優(yōu)秀、良好、及格三個(gè)等級(jí)；橫向、縱向分別表示地理成果與數(shù)學(xué)成果，例如：表中數(shù)學(xué)成果為良好的人數(shù)共有20＋18＋4＝42.人數(shù)數(shù)學(xué)優(yōu)秀良好及格地理優(yōu)秀7205良好9186及格a4b①若在該樣本中，數(shù)學(xué)成果的優(yōu)秀率是30%，求a，b的值；②在地理成果及格的學(xué)生中，已知a≥11，b≥7.求數(shù)學(xué)成果優(yōu)秀的人數(shù)比及格的人數(shù)少的概率．解：(1)785，567，199.(2)①eq\f(7＋9＋a,100)×100%＝30%，所以a＝14，b＝100－30－(20＋18＋4)－(5＋6)＝17.②a＋b＝100－(7＋20＋5)－(9＋18＋6)－4＝31.因?yàn)閍≥11，b≥7，所以a，b全部可能的取值為：(11，20)，(12，19)，(13，18)，(14，17)，(15，16)，(16，15)，(17，14)，(18，13)，(19，12)，(20，11)，(21，10)，(22，9)，(23，8)，(24，7)，共14種．當(dāng)a≥11，b≥7時(shí)，設(shè)“數(shù)學(xué)成果優(yōu)秀的人數(shù)比及格的人數(shù)少”為事務(wù)A，則a＋5＜b.事務(wù)A包括：(11，20)，(12，19)，共2個(gè)基本領(lǐng)件．所以P(A)＝eq\f(2,14)＝eq\f(1,7)，故數(shù)學(xué)成果優(yōu)秀的人數(shù)比及格的人數(shù)少的概率為eq\f(1,7).[綜合題組練]1．某班甲、乙兩名同學(xué)參與100米達(dá)標(biāo)訓(xùn)練，在相同條件下兩人10次訓(xùn)練的成果(單位：秒)如下．12345678910甲11.612.213.213.914.011.513.114.511.714.3乙12.313.314.311.712.012.813.213.814.112.5(1)請(qǐng)畫出適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)圖；假如從甲、乙兩名同學(xué)中選一名參與學(xué)校的100米競(jìng)賽，那么從成果的穩(wěn)定性方面考慮，選派誰參與競(jìng)賽更好，并說明理由(不用計(jì)算，可通過統(tǒng)計(jì)圖干脆回答)；(2)經(jīng)過對(duì)甲、乙兩名同學(xué)的若干次成果的統(tǒng)計(jì)，甲、乙的成果都勻稱分布在[11.5，14.5]之間，現(xiàn)甲、乙競(jìng)賽一次，求甲、乙成果之差的肯定值小于0.8的概率．解：(1)莖葉圖(其中莖表示整數(shù)部分，葉表示小數(shù)部分)，或頻率分布直方圖如圖．從統(tǒng)計(jì)圖中可以看出，乙的成果較為集中，差異程度較小，故選派乙同學(xué)參與競(jìng)賽更好．(2)設(shè)甲同學(xué)的成果為x，乙同學(xué)的成果為y，則由|x－y|＜0.8，得－0.8＜x－y＜0.8，如圖，陰影部分的面積為3×3－2.2×2.2＝4.16.故所求概率為P(|x－y|＜0.8)＝P(－0.8＜x－y＜0.8)＝eq\f(4.16,3×3)＝eq\f(104,225).2．(2024·沈陽(yáng)質(zhì)量檢測(cè)(一))為調(diào)查中國(guó)及美國(guó)的中學(xué)生在“家”、“摯友聚集的地方”、“個(gè)人空間”這三個(gè)場(chǎng)所中感到最華蜜的場(chǎng)所是哪個(gè)，從中國(guó)某城市的中學(xué)生中隨機(jī)抽取了55人，從美國(guó)某城市的中學(xué)生中隨機(jī)抽取了45人進(jìn)行答題．中國(guó)中學(xué)生的答題狀況：選擇“家”的中學(xué)生的人數(shù)占eq\f(2,5)，選擇“摯友聚集的地方”的中學(xué)生的人數(shù)占eq\f(3,10)，選擇“個(gè)人空間”的中學(xué)生的人數(shù)占eq\f(3,10)，美國(guó)中學(xué)生的答題狀況：選擇“家”的中學(xué)生的人數(shù)占eq\f(1,5)，選擇“摯友聚集的地方”的中學(xué)生的人數(shù)占eq\f(3,5)，選擇“個(gè)人空間”的中學(xué)生的人數(shù)占eq\f(1,5).(1)請(qǐng)依據(jù)以上調(diào)查結(jié)果將下面的2×2列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并推斷能否有95%的把握認(rèn)為“戀家(在家里感到最華蜜)”與國(guó)別有關(guān)；在家里感到最華蜜在其他場(chǎng)所感到最華蜜總計(jì)中國(guó)中學(xué)生美國(guó)中學(xué)生總計(jì)(2)從被調(diào)查的不“戀家”的美國(guó)中學(xué)生中，用分層抽樣的方法隨機(jī)選出4人接受進(jìn)一步調(diào)查，再?gòu)?人中隨機(jī)選出2人到中國(guó)溝通學(xué)習(xí)，求2人中含有在“個(gè)人空間”感到最華蜜的中學(xué)生的概率．附：K2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)，其中n＝a＋b＋c＋d.P(K2≥k0)0.0500.0250.0100.001k03.8415.0246.63510.828解：(1)補(bǔ)充2×2列聯(lián)表如下：在家里感到最華蜜在其他場(chǎng)所感到最華蜜總計(jì)中國(guó)中學(xué)生223355美國(guó)中學(xué)生93645總計(jì)3169100因?yàn)镵2＝eq\f(100×（22×36－9×33）2,31×69×55×45)≈4.628＞3.841，所以有95%的把握認(rèn)為是否“戀家”與國(guó)別有關(guān)．(2)用分層抽樣的方法選出4人，其中在“摯友聚集的地方”感到最華蜜的有3人，在“個(gè)人空間”感到最華蜜的有1人，分別記為a1，a2，a3，b，則全部的基本領(lǐng)件為(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b)，(a2，a3)，(a2，b)，(a3，b)，共6個(gè)．設(shè)“含有在‘個(gè)人空間’感到最華蜜的中學(xué)生”為事務(wù)A.則A包含的基本領(lǐng)件為(a1，b)，(a2，b)，(a3，b)，共3個(gè)，所以P(A)＝eq\f(3,6)＝eq\f(1,2)，故2人中含有在“個(gè)人空間”感到最華蜜的中學(xué)生的概率為eq\f(1,2).3．(應(yīng)用型)(2024·太原模擬試題(一))某校提倡為特困學(xué)生捐獻(xiàn)，要求在自動(dòng)購(gòu)水機(jī)處每購(gòu)買一瓶礦泉水，便自覺向捐款箱中至少抽入一元錢，現(xiàn)統(tǒng)計(jì)了連續(xù)5天的售出礦泉水箱數(shù)和所得捐款額狀況，列表如下：售出水量x/箱76656所得捐款額y/元165142148125150學(xué)校安排將捐款以獎(jiǎng)學(xué)金的形式嘉獎(jiǎng)給得才兼?zhèn)涞奶乩?guī)定：特困生綜合考核前20名，獲一等獎(jiǎng)學(xué)金500元；綜合考核前21～50名，獲二等獎(jiǎng)學(xué)金300元；綜合考核50名以后的不獲得獎(jiǎng)學(xué)金．(1)若x與y成線性相關(guān)，則某天售出9箱水時(shí)，預(yù)料所得捐款額為多少元？(2)假設(shè)甲、乙、丙三名學(xué)生均獲獎(jiǎng)，且各自獲一等獎(jiǎng)和二等獎(jiǎng)的可能性相同，求三人獲得獎(jiǎng)學(xué)金之和不超過1000元的概率．附：回來方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，其中eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do10(i＝1))（xi－\o(x,\s\up6(－))）（yi－\o(y,\s\up6(－))）,\o(∑,\s\up6(n),\s\do10(i＝1))（xi－\o(x,\s\up6(－))）2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－)).解：(1)eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(7＋6＋6＋5＋6,5)＝6，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(165＋142＋148＋125＋150,5)＝146，eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up6(5),\s\do10(i＝1))（xi－\o(x,\s\up6(－))）（yi－\o(y,\s\up6(－))）,\o(∑,\s\up6(5),\s\do10(i＝1))（xi－\o(x,\s\up6(－))）2)＝eq\f(19＋0＋0＋21＋0,1＋0＋0＋1＋0)＝20，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))＝146－20×6＝26，所以eq\o(y,\s\up6(^))＝20x＋26.當(dāng)x＝9時(shí)，eq\o(y,\s\up6(^))＝20×9＋26＝206.即某天售出9箱水的預(yù)料所得捐款額是206元．(2)設(shè)事務(wù)A1：甲獲一等獎(jiǎng)；事務(wù)A2；甲獲二等獎(jiǎng)；事務(wù)B1：乙獲一等獎(jiǎng)；事務(wù)B2：乙獲二等獎(jiǎng)；事務(wù)C1：丙獲一等獎(jiǎng)；事務(wù)C2：丙獲二等獎(jiǎng)．則總事務(wù)為(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，共8種狀況．甲、乙、丙三人獲得獎(jiǎng)金之和不超過1000元的事務(wù)有(A2，B2，C2)1種狀況，則三人獲得獎(jiǎng)學(xué)金之和不超過1000元的概率為eq\f(1,8).4．某市一中學(xué)課外活動(dòng)小組為了探討經(jīng)濟(jì)走勢(shì)，對(duì)該市1994～2024年的GDP(國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值)相關(guān)數(shù)據(jù)進(jìn)行了初步處理，得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值．其中zi＝lnyi，wi＝lnxi.e6.42≈614.003，e6.63≈757.482，e6.84≈934.489，ln24≈3.18，ln25≈3.22，ln26＝3.26.(1)依據(jù)散點(diǎn)圖推斷，y＝a＋bx，y＝ec＋dx與y＝m＋nlnx哪一個(gè)適合作為該市GDP值y關(guān)于年份代碼x的回來方程類型？(給出推斷即可，不必說明理由)(2)依據(jù)(1)的推斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回來方程；(3)試預(yù)料該市2024年的GDP值．(參考公式：eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do10(i＝1))（xi－\o(x,\s\up6(－))）（yi－\o(y,\s\up6(－))）,\o(∑,\s\up6(n),\s\do10(i＝1))（xi－\o(x,\