2025年新高考數(shù)學(xué)專項復(fù)習(xí)：含參不等式的十大題型（解析版）

專題2-1含參不等式的十大題型匯總

。?？碱}型目錄

題型1含參一元二次不等式已解集問題.............................................5

題型2含參分式不等式已知解集問題...............................................10

題型3含參絕對值不等式已知解集問題.............................................13

題型4一元二次方程根的分布.....................................................17

題型5含參不等式取值范圍問題...................................................23

題型6整數(shù)解問題...............................................................26

題型7恒成立問題...............................................................31

題型8有解問題.................................................................34

題型9與充分，必要條件結(jié)合的問題...............................................39

題型10高次不等式..............................................................44

Q知識梳理

知識點一.一元二次不等式的概念

只含有一個未知數(shù),并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，叫做一元二次不

定義

等式

a/+bx+o0,a"+bx+c<0,a)^+bx+c>0+bx+c<0，其中a/0,

一般形式

a.b,c均為常數(shù)

知識點二.一元二次函數(shù)的零點

一般地，對于二次函數(shù)片aa+bx+c,我們把使a兄+bx+c=0的實數(shù)x叫做二次函數(shù)y

=a/+bx+c的零點.

知識點三.二次函數(shù)與一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的對應(yīng)關(guān)系

判別式/>0/=0/<0

二次函數(shù)y=8解+1LP

即\12/"2XV

bx+4a>0）的圖象X

有兩個相等的實數(shù)

一元二次方程8解十有兩個不相等的實

b沒有實數(shù)根

bx+c=0（3>0）的本艮數(shù)根Xl,X2（X1<X2）根Ai二至二-

2a

+bx+o0(a>0)Ta

,或心及｝R

的解集

a/+bx+c<0(a>0)

及｝00

的解集

知識點四.一元二次不等式的解法

(1)將不等式的右邊化為零，左邊化為二次項系數(shù)大于零的不等式ax2+bx+c>0(a>0)或

ax2+bx+c<0(a>0).

(2)求出相應(yīng)的一元二次方程的根.

(3)利用二次函數(shù)的圖象與x軸的交點確定一元二次不等式的解集.

方程的根一函數(shù)草圖-觀察得解，對于a<0的情況可以化為a>0的情況解決

注：對于二次型一元二次不等式應(yīng)首先考慮二次項系數(shù)的情況，當(dāng)二次項系數(shù)為0時，按

照一次不等式來解決，對于二次項系數(shù)為負(fù)數(shù)的情況一般將二次項系數(shù)變?yōu)檎龜?shù)之后再解。

注：對于含參一元二次不等式內(nèi)容首先考慮能不能因式分解，然后就二次方程根進(jìn)行分類討

論，同時注意判別式韋達(dá)定理的應(yīng)用。

注：三個"二次"之間的關(guān)系

(1).三個"二次"間的關(guān)系

判別式△=b2-4ac△>0△=0△<0

二次函數(shù)y=ax2+bx

+c(a>0)的圖象A

有兩相等實根X1=X

一元二次方程ax2+有兩相異實根Xi,2

沒有實數(shù)根

b

的根()

bx+c=0(a>0)X2X1<X2=-2a

ax2+bx+c>0(a>

伙僅>X2

R

或X<Xi}

0)的解集14:

ax2+bx+c<0(a>

{X[X1<X<X2}00

0)的解集

(2)討論一元二次方程和一元二次不等式又要將其與相應(yīng)的二次函數(shù)相聯(lián)系，通過二次函數(shù)

的圖象及性質(zhì)來解決問題，關(guān)系如下：

|.vO)(a-O)的解集端點|

|方程底+樂+。=03*0)的根H函數(shù)yn2+bx+HaWO)的零點|

特別提醒：由于忽視二次項系數(shù)的符號和不等號的開口易寫錯不等式的解集形式.

知識點五.解含參數(shù)的一元二次不等式的步驟

知識點六.分式不等式的解法

解分式不等式的實質(zhì)是將分式不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式。設(shè)A、B均為含x的多項式

(1)>0>2B>0.(2)|<0Q<0.

⑶公。。方M明w。。窗制

【注意】當(dāng)分式右側(cè)不為0時，可過移項、通分合并的手段將右側(cè)變?yōu)?;當(dāng)分母符號確定

時，可利用不等式的形式直接去分母。

知識點七.絕對值不等式

1.絕對值不等式的解法

(1)含絕對值的不等式|x|<a與|x|>a的解集

不等式a>0a=0a<0

岡<a(-a,a)00

岡“(-8,-a)U(a,+oo)(-8,0)U(0,+8)R

(2)|ax+b|<c(c>0)^|ax+b|>c(c>0)型不等式的解法

①|(zhì)ax+b|<c<^>-c<ax+b<c;

@|ax+b|2c=ax+b"或ax+bw-c.

(3)|x-a|+|x-b|>c(c>0)和|x-a|+|x-b|<c(c>0)型不等式的解法

①利用絕對值不等式的幾何意義求解，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想；

②利用"零點分段法"求解，體現(xiàn)了分類討論的思想；

③通過構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的圖象求解，體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想.

2.含有絕對值的不等式的性質(zhì)

(1)如果a,b是實數(shù)，則|a+b|<|a|+|b|,當(dāng)且僅當(dāng)ab20時,等號成立；

(2)|a|-|b|<|a±b|<|a|+|b|;

⑶如果a,b,c是實數(shù)，那么|a-c|<|a-b|+|b-c|,當(dāng)且僅當(dāng)(a-b)(b-c)>0時，等號

成立.

注意：

1.絕對值不等式的三種常用解法：零點分段法，數(shù)形結(jié)合法，構(gòu)造函數(shù)法.

2.不等式恒成立問題、存在性問題都可以轉(zhuǎn)化為最值問題解決.

3.可以利用絕對值三角不等式定理|a|-|b141a土b|4|a|+|b|求函數(shù)最值，要注意其中等號成

立的條件.

但題型分類

題型1含參一元二次不等式已解集問題

【例題1】(多選)(2022秋?江蘇常州?高一江蘇省前黃高級中學(xué)校考階段練習(xí))若關(guān)于%的

不等式。<ax2+bx+c<l(a>0,b,ceR)的解集為[一1,2],則4a+5b+c的值可以是()

A.-iB.-iC.-D.1

242

【答案】BC

【分析】先根據(jù)0<ax2+bx+c<l(a>0,b,cER)的解集為[一1,2]得到a,dc的關(guān)系和范

圍，利用不等式的性質(zhì)可得4a+5b+c的范圍.

【詳解】由題意仇c滿足：b2-4ac<0,且a/++。=1的兩個根為一1,2,

-b+c=1,4a+2b+c=1,

得b=—a,c=1—2a,

222

b—4ac=a—4a(l—2a)=9a—4a<0z

得0WaW[,因a>0,所以0<a<^,

4a+Sb+c=4a—Set+1—2a=1-3af

故(1—3a)G[-1,I)'

所以/1不滿足題意，,日滿足題意，

故選：BC

【變式1-1]1.(2023?全國?高一專題練習(xí))已知一元二次不等式a/+bx+c>

0(a,b,ceR)的解集為{xI—1<x<3},貝必—c+[的最大值為()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】A

【分析】先根據(jù)一元二次不等式的解集求參，再結(jié)合基本不等式求最值即可.

【詳解】ax2+bx+c>。的解集為（-1,3）,故一1,3為方程a/+fax+c=。的兩個根，

且a<0,[+°=>P~~^a,■-b-c+-=a+-=-（-a--）<-2（當(dāng)且僅當(dāng)

）（-1）X3=（c=-3aaa\aJ

—1時等號成立）.

a=-a,a<0,a=

故選：A.

【變式1-1]2.（2023?全國?高一專題練習(xí)）若不等式/—①+i）x+a§。的解集是-4,3]

的子集，則a的范圍是（）

A.[-4,3]B.[-4,2]

C.[-1,3]D.[-2,2]

【答案】A

【分析】原不等式可化為0-a）（x-1）<0,后通過討論a與1的大小解不等式，結(jié)合解集

是[-4,3]的子集可得答案.

【詳解】原不等式可化為0-a）（%-1）<0.

當(dāng)a<1時，不等式的解集為[a,1],此時只要a>—4即可，即—4<a<l;

當(dāng)a=1時，不等式的解為x=l,此時符合要求；

當(dāng)a>1時，不等式的解集為口,a],此時只要a<3即可，即1<aW3.

綜上可得：—4<a<3.

故選：A

【變式1-1]3.（2022秋?上海普陀?高一曹楊二中?？茧A段練習(xí)）已知關(guān)于%的不等式/—

2ax一8a2<。的解集為（如冷），若比2-/=12,則實數(shù)a的值是（）

A.-2B.2C.±1D.一2或2

【答案】D

22

【分析】由題知+x2=2a,尤62=-8a,再根據(jù)（孫+x^-4xtx2=（x2-/尸解方程

即可得答案.

【詳解】解：因為關(guān)于x的不等式/-2ax-8a2<。的解集為（功冷），

所以，石,“2是方程/-2ax-8a2=。的實數(shù)根，

2

所以,%!+x2—2a,X1*2=—Ba,

因為％2-=12,

所以（%2+如）2—4x62=（x2—%1）2，即144=32a2+4a2，解得a=±2，滿足△=36a2>0

所以，實數(shù)a的值是-2或2.

故選：D

【變式1-U4.（2022秋?海南?高一?？计谥校┮阎坏仁絘/+"+cw。的解集為

[x\x<-3或x>4},求不等式b%2+2ax—c-3b<0的解集.

【答案】{x|-3<x<5}

【分析】由不等式的解集與不等式的關(guān)系可知a<0,且關(guān)于久的方程收+版+c=0的兩

根分別為-3、4,利用韋達(dá)定理可得出Ac與a的等量關(guān)系，然后利用二次不等式的解法解

不等式b/+2ax—c—3b<0,即可得解.

【詳解】解：因為不等式a-+b久+cW0的解集為{x|xW—3或x24},則a<0,

且關(guān)于x的方程a/+bx+c=0的兩根分別為-3、4,

由韋達(dá)定理可得-3+4=--,—3x4=-,所以,b=—a,c=-12a,

aa

所以，不等式b/+2ax—c—3b<。即為-a/_|_2ax+15a<0,

化簡可得％2—2x—15<0z解不等式/—2x—15<?？傻靡?<%<5,

因此，不等式不2+2ax-c—3b<0的解集為{%[-3<x<5].

【變式1-1】5.（2022秋?四川瀘州?高一瀘縣五中?？茧A段練習(xí)）已知關(guān)于％的不等式

ax2+4x-3>0的解集為{久Il<x<b}.

(1)求a力的值；

(2)解關(guān)于x的不等式安<0.

【答案】(l)a=—l,b=3

(2){x|x<1或x>3}

【分析】(1)由一元二次等式與一元二次不等式的關(guān)系可知方程a*2+4%-3=0的解為小=

1,犯=b,再利用韋達(dá)定理即可求出答案；

(2)將a=-13=3代入不等式得答<0，化簡可得(x-1)(%-3)>0,即可解出不等

X—3

式.

【詳解】(1)由題意知一元二次方程a%2+4x—3=0的解為/=l,x2=b,

(1+b---

由韋達(dá)定理有：I,

lxb=不

Ia

解得：a=—1,6=3；

(2)將a=-1,b=3代入不等式得答<0,整理得，

除12<o，化簡得。-1)(%-3)>0,

故所求解集為：W1或X23}

【變式1-U6.(2021?高一課時練習(xí))已知關(guān)于x的不等式。<x2+ax+b<6-x的解

集為［2,3］u{6},求實數(shù)a、b的值.

【答案】a=-9,b=18.

【分析】把給定不等式化成兩個一元二次不等式組成的不等式組，設(shè)出每個一元二次不等式

的解集，結(jié)合給定解集確定對應(yīng)方程的根即可計算作答.

【詳解】原不等式轉(zhuǎn)化為［2甘/*顯然不等式/+ax+b>0解集不是

R,設(shè)其解集為(-8,%1]u[x2,+oo),%1<x2,

不等式%2+(a+l)x+fa—6<0解集不是空集,設(shè)其解集為<%41

2

因不等式0<x+ax+b<6-%的解集為[2,3]U{6},則必有不=%4=6,>汽3，于是

得=[2,3],即%1=3,孫=2,

因此，3,6是方程/+ax+b=0的二根，則有F匹=-a,解得。=_9)h=18；

2,6是方程/+(a+l)x+b—6=0的二根，f[6：+1),解得=_%^=18,

I2X6=8—6

綜上得，a--9,b=18,經(jīng)驗證,當(dāng)a=-9,b=18時,不等式0<x2+ax+b<6-%的

解集為[2,3]U{6},

所以實數(shù)a、b的值是a=—9,b=18.

【變式1-U7.(2020秋?安徽合肥?高一合肥一中?？茧A段練習(xí))關(guān)于久的不等式ax++

c<。的解集為(1,4),則關(guān)于x的不等式c/+版+。>o解集為.

【答案】(一8W)乂1,+8)

【解析】由關(guān)于久的不等式ax+b^+c<。的解集求出a、6、c之間的關(guān)系，代入不等式c/+

bx+a>0中化簡求解即可.

【詳解】關(guān)于%的不等式ax+by[x+c<。的解集為(1,4),令石=y,

則關(guān)于y的不等式ay?+如+c<。的解集為(1,2),

則關(guān)于y的一元二次方程ay2+by+C=。的兩根為1、2,且a>0；

[1+2

a

所以]c,解得b=-3a,c=2a；

1x2=-

a

則關(guān)于x的不等式c/+bx+a>0可化為2/—3x+1>0,

即(2%-l)(x-1)>0,

解得x<1或無>1,

所以不等式的解集為(-8,)U(1,+8),

故答案為：(一8,)U(1,+8).

【點睛】本題考查了求一元二次不等式的解法，是基礎(chǔ)題目.若叼<%2，則(%--%2)<

0的解集是01，不)；(X-的)0-X2)>0的解集是(一8,右)U(久2,+8).

【變式1-1]8.(2021?高一課時練習(xí))已知關(guān)于X的不等式>%+6的解集為(6,9),則

a+b的值為.

【答案】9

【分析】令土=H,根據(jù)題意可得Q和3是方程產(chǎn)—或+6=。的兩個根，根據(jù)韋達(dá)定理可

求

【詳解】令t=y，％20,t20,不等式化為產(chǎn)-at+6<0,

則不等式的解集為(b,9)等價于VF和3是方程t2-at+6=。的兩個根，

書斌7,解得

故答案為：9.

題型2含參分式不等式已知解集問題

【例題2】2020秋?浙江寧波?高一寧波市北侖中學(xué)?？计谥性轮P(guān)于x的不等式^-1>0

的解集為(-2,0),則m的值為()

A.m=—1B.m=-2C.m=2D.m=—4

【答案】B

【解析】將原不等式等價為％(久-小)<0,根據(jù)一元二次不等式的解法，即可求得答案.

【詳解】不等式十~1>0,所以等>0,可等價為x(x-m)<0,

因為解集為(—2,0),所以，-2,0為方程久(％—m)=0的兩個實數(shù)根，

所以爪=-2,

故選：B

【變式2-1]1.（2020秋?寧夏銀JI卜高二銀川唐徐回民中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知關(guān)于x的不

等式蜉<。的解集是（-1彳），貝必的值為（）

A-2B.-2C《D.-j

【答案】A

【解析】由方程與不等式關(guān)系可求得a值.

【詳解】由方程與不等式關(guān)系得：-1和1為方程（ax-1）（%+1）=0的兩根，

■■^-1=0,解得a=2,

故選：A

【點睛】本題主要考查了分式不等式的解集，不等式與方程的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

【變式2-1】2.（多選）（2023秋?江蘇常州?高一常州市北郊高級中學(xué)?？计谀┮阎P(guān)于

x的不等式竺">0的解集為（一8,-2]U（1,+8）,則（）

x~c

A.c=1

B.點（a,6）在第二象限

C.2a+袍勺最小值為2

D.關(guān)于x的不等式a/+ax-b2。的解集為（一8,一2]U[1,+co）

【答案】ACD

【分析】根據(jù)題意，由原不等式的解集可得c=1,-2a+b=0,即可判斷ABD,然后再

由基本不等式即可判斷C.

【詳解】原不等式等價于｛9"2。，因為其解集為（-8,-2]U（l,+8），所以a>

。且

c=1,-2a+b=0,故A正確；

因為a>0,b=2a>0,則點（a,b）在第一象限，故B錯誤；

由b=2a>0可得，2a+[=2a+；2212a=2,當(dāng)且僅當(dāng)卜"一五時，即a=:時,

b2a72aIa>02

等號成立，所以2a+[的最小值為2,故C正確；

由6-2a>0可得，不等式a/+ax-b>0即為a/+ax—2a20,化簡可得

x2+z-2>0^(x+2)(x-1)>0,則其解集為(一8,一2]u[1,+oo),故D正確；

故選：ACD

【變式2-1]3.(2021秋?上海寶山?高一上海交大附中?？奸_學(xué)考試)若集合4=

{"I宗>0]=(-00,-1)U(4,+8),則實數(shù)a=.

【答案】4

【分析】根據(jù)題意，得到(x-a)(x+1)=。的兩根為-1和4,從而可求出結(jié)果.

【詳解】因為關(guān)于“的不等式竄>0的解集為(-8,-1)U(4,+8),

所以不等式(x-a)(x+1)>0的解集為(—8,—1)u(4,+8)

即方程(x-a)(x+1)=。的兩根為-1和4,

即a=4.

故答案為：4.

【變式2-1]4.(2021?上海?高一專題練習(xí))已知關(guān)于x的不等式—<1的解集為{x|x<l

X—1

或X>3},則a的值是.

【答案】|

【分析】把不等式芝<1，轉(zhuǎn)化為(x-l)[(a-1)%+1]<0，結(jié)合不等式的解集，得到三=

X—1CL—1

-3,即可求解.

【詳解】由題意，不等式W<1,可化為人產(chǎn)<0,

X—1X—1

等價于(％-l)[(a-1)%+1]<0,

因為不等式的解集為｛X|X<1或久>3),可得二=-3,解得a=f.

Q—1o

故答案為:|.

【變式2-1]5.(2023秋?寧夏吳忠?高三鹽池高級中學(xué)?？茧A段練習(xí))(1)已知關(guān)于久的不

等式胃<-1的解集是[2,3),求a的值；

(2)若正數(shù)a,b滿足a+2b=1,求2a+；+4b+g的最小值.

【答案】(l)a=5；(2)27

【分析】(1)根據(jù)分式不等式解法求出含參的解集即可求a的值；

(2)用"1"的代換即可構(gòu)造基本不等式求最小值.

【詳解】解：(1)1可化為七誓W0,

X-DX—D

因為不等式竺?<。的解集是[2,3),所以4x-a-3>0,即等<%<3,

X—J4

由誓=2,解得a=5.

4

1p-to

(2)2aH-----F4b4—=2(a+2b)H----1—(a>0,b>0),

abab

因為a+2b=1,所以2(a+2b)=2.

因為工+：=(*)(a+2b)=1.7+萬2b+了8a，而-2-2丁ZJ+1石8a22o

ab

當(dāng)且僅當(dāng)a=]6=|時，等號成立,

所以;+f>25,所以2a+^+4b+l>27,當(dāng)且僅當(dāng)a=]b=|時，等號成立.

題型3含參絕對值不等式已知解集問題

【例題3](2020春?浙江金華?高一?？茧A段練習(xí))若不等式|x-2|<1的解集恰為不等式

ax2+bx+3<0的解集，貝!]a-b=()

A.3B.-3C.5D.-5

【答案】C

【分析】解絕對值不等式|x-2|<1可不等式a/+bx+3<0的解集，由二次方程和二次

a>0

不等式的關(guān)系可得b5=1+3=4,解出口和》，即可求出結(jié)果

I三=3

Va

【詳解】解不等式|X-2|<1可得1<%<3,

所以不等式a%2+坂+3<。的解集為{x[l<x<3},

a>0

-"1+3=4,解得{—=5.

{口一

故選：C.

【點睛】本題考查絕對值不等式和一元二次不等式，屬基礎(chǔ)題

【變式3-1]1.(2023?高一課時練習(xí))已知關(guān)于x的不等式爪-|%|>。的解集是[-1,1],

則實數(shù)m的取值集合為()

A.{1}B.(1,+co)C.[1,+oo)D.(0,1)

【答案】A

【分析】解不等式即可.

【詳解】由已知，易知m>0,由m-\x\>。得：|x|<m,-m<x1；

故選：A.

【變式3-1]2.(2021秋?上海嘉定?高三?？计谥?已知關(guān)于比的不等式柒<。的解集為

M,不等式|2x-1|<1的解集為N.

(1)若M=(-北一2)U(-1,+8),求實數(shù)a的值和解集N.

(2)若"xGN"是"X6M"的充分不必要條件，求實數(shù)a的取值范圍.

【答案】(l)a=-3,解集N為(0,1).

(2)a<1

【分析】(1)由題設(shè)("-l)(x+2)<o,再由解集求a的值，應(yīng)用公式法求絕對值不等式

的解集即可.

(2)討論參數(shù)a求竺J<0的解集，由已知可得NuM,由(1)及所得解集確定a的取值

x+2

范圍.

⑴

由景<0'則3-1)(%+2)<0,要使M=(—8,—2)U(-|,+8),

a<0

-'.{I_可得a=-3.

a3

由|2汽-1|<1z則一1V2%—1V1,可得0<%<1,

，解集N為(0,1).

⑵

由(1)：(ax—1)(%+2)<0,

當(dāng)。>亍>—2,即a<—1時,則x>、或％<—2；

當(dāng):=-2,即a=-1時,則x*-2；

當(dāng)！<-2,即一3<a<0時,則x<(或x>—2；

當(dāng)a=0時，貝！|x>-2；

當(dāng)!>0,即a>。時，則一2<x<：；

二要使"xeN"是"x6M”的充分不必要條件，即NuM,又N為(0,1),

綜上，aW1滿足要求.

【變式3-1]3.(2022秋?遼寧?高一遼寧實驗中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知不等式|2久-3|<x

與不等式/—mx+n<。的解集相同.若a,b,ce(0,1),且a6+be+ac=m—n,則a+

b+c的最小值為.

【答案】V3

【分析】根據(jù)絕對值的性質(zhì)，結(jié)合一元二次不等式解集的性質(zhì)、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)

系、基本不等式進(jìn)行求解即可.

【詳解】由|2%-3|<%=>{產(chǎn)-*=>1<x<3,

(2%—3>—%

因為不等式12%-3|<%與不等式/-+九<0的解集相同，

所以m=1+3=4,71=1x3=3,于是有a力+hc+ac=m—n=l,

(Q+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=a2+h2+c2+2,

(a2+b2>2ab

由b2+c2>2bc=>a2+62+c2>ab+he+ac=1=>a2+&2+c2+2>3，

2

、Q2+C>2ac

因為a,b,cE(0,1),

2

所以當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=/時取等號，即(a4-6+c)>3=?a+/?+c>V3,

故答案為：V3

【變式3-1]4..(2023春?陜西渭南?高二統(tǒng)考期末)已知不等式1%-3|<4的解集為

(x\a<x<b},則不等式(％-2)(x2-ax-b+1)<。的解集為___.

【答案】(―°°,—3]U{2}

【分析】先根據(jù)已知不等式的解集求出Q”，代入所求不等式可求出結(jié)果.

【詳解】由—3|V4，得一4<%—3V4,得—1<%V7,

所以a=-1,b=7.

則不等式(％-2)(x2-ax-b+1)<?；癁?%-2尸(%+3)<0.

所以％=2或%<-3.

所以所求不等式的解集為(-8,-3]U{2}.

故答案為:(—00,—3]U{2}

【變式3-1]5.(2020春?江西上饒?高二統(tǒng)考期末)若關(guān)于%的不等式|a%-2|<3的解集

為{%|—5V2<%<V2]，貝[Ja=___.

【答案】-當(dāng)

【分析】分類討論解絕對值不等式，根據(jù)不等式的解集列方程求解a即可.

【詳解】①若a=。顯然不成立；

②若a>0,不等式|ax—2|<3的解為—(<%<|,

因為不等式|ax-2|<3的解集為｛x|—5位<x<a｝,

(-工=-5企

所以t廣，無解；

(小遮

③若a<0,不等式|ax—2|<3的解為?<x<—1,

因為不等式|ax-2|<3的解集為｛x|—5&<x<魚｝,

f-=-5V2五

所以卜1-，解得a=—率

一工=&2

Ia

綜上所述，a=-日.

故答案為：-日

【點睛】本題考查絕對值不等式，屬于基礎(chǔ)題.

題型4一元二次方程根的分布

【例題4】(2022秋?河南鄭州?高一?？茧A段練習(xí))已知關(guān)于x的方程32+2+1=0有兩個不

同實根巧盟，若|巧『2區(qū)四，則實數(shù)a的取值范圍是

【答案】［2,+8)U(-1,-*

【分析】利用韋達(dá)定理得到兩根之和，兩根之積，進(jìn)而表達(dá)出0<|尤1-2l=g14V5,求

出a的取值范圍.

【詳解】由題意得:"0,

—21

由韋達(dá)定理可知：%1+%2="-/Xi%2=__，

貝!]0<|工廣第21=J01+%2)2-4%1%2二

f44

-+>O①

i-

以

所a

la244②

_<3

l+--

a

a2

2

解

得

解

得

①a>②a>誠a<

--3-

2

綜上：。之2或,

所以a的取值范圍是[2,+8)U(-1,-1].

故答案為：[2,+°o)U(-l,-|].

【變式4-1]1.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知方程2(k+l)x2+4日+3k-2=。有兩

個負(fù)實根，則實數(shù)k的取值范圍是()

A.(-2,-1)u(|,1)B.2,—1)

C?(〉1)。.卜2,—1)U(|,1]

【答案】D

【解析】方程2(/c+l)x2+4kx+3々-2=。有兩個負(fù)實根,則兩根之和小于0.兩根之積

大于0,故可建立不等式組，從而可求實數(shù)k的取值范圍.

【詳解】解：要原方程有兩個負(fù)實根，必須：

/c+1W0’k手一1

2(/c+1)W0fc2+fc-2<0-2<k<l

zl>0

--0=<k>0<—1?

+%2Vo2(fc+l)

-^->0

xrx2>0、k>|班<-1

2(k+l)

?—2<fc<-1或|<fc<1

二實數(shù)k的取值范圍是卜2,-1)u(|z1].

故選：D.

【點睛】本題以方程為載體，考查方程根的研究，解題的關(guān)鍵是利用韋達(dá)定理，構(gòu)建不等式

組

【變式4-1】2.(2023秋?江蘇鎮(zhèn)江?高一揚中市第二高級中學(xué)校考開學(xué)考試)已知關(guān)于久的

方程3乂2—2(3k+l)x+31—1=0,根據(jù)下列條件,分別求出k的值.

(1)有一根為0；

(2)有兩個互為相反數(shù)的實根；

(3)兩根互為倒數(shù).

【答案】(1此=士當(dāng)

⑵”號

⑶k=v

【分析】(1)根據(jù)一元二次方程根的判別式，結(jié)合代入法進(jìn)行求解即可；

(2)利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合(1)的結(jié)論進(jìn)行求解即可；

(3)利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合(1)的結(jié)論進(jìn)行求解即可.

【詳解】(1)依題意原方程有實數(shù)根，

所以A=4(3fc+l)2-12(3k2-1)>。解得k>-|；

將x=。代入方程得3k2一1=o,k=±日；

(2)兩根之和為0,即誓12=0=/.=一]顯然滿足k>-|；

(3)因為兩根互為倒數(shù)，

所以兩根之積為1,即寧=1=/￡=±竽，而卜2-|,所以k=誓.

【變式4-1]3.(2023?全國?高一專題練習(xí))已知二次函數(shù)y=x2-2tx+t2-l(tGR).

(1)若該二次函數(shù)有兩個互為相反數(shù)的零點，解不等式/—2S+/—120；

(2)若關(guān)于x的方程/-2墳+/—1=0的兩個實根均大于-2且小于4,求實數(shù)t的取值范

圍.

【答案】(1){對久21或％W-1}

(2){t|-l<t<3}

【分析X1股二次函數(shù)y=x2-2tx+t2-l(teR)的兩個零點分別為%】*2，由+■=0

求出t,直接解得；

(2)由根的分布情況列不等式組，求出實數(shù)t的取值范圍.

2

【詳解】(1)設(shè)二次函數(shù)y=/—2tx+t-l(teR)的兩個零點分別為右,x2,

由已知得+型=0，

而Xi+x2-2t,所以2t=0,故t=0,

不等式/—2tx+t2—1>。即/-1>0,解得久>1或x<-1,

故不等式的解集為{x|x21或％W-1}.

(2)因為方程/—2以+產(chǎn)—1=o的兩個實根均大于_2且小于4,所以

(△=(-2t)2-4(t2-1)>0(4>0

I-2<t<4即]-2<t<4

)(-2)2-2tx(-2)+t2-1>0'即jt2+4t+3>0'

k42-2tx4+t2-1>0It2-8t+15>0

解得：一1<t<3,即實數(shù)t的取值范圍為{t[—1<t<3}.

【變式4-l】4.(2022秋?全國?高一專題練習(xí)圮知關(guān)于久的方程/—(2爪+l)x+爪+7=。

有兩個不等的實根久1,%2?

(1)兩根一個根大于1,一個根小于1,求參數(shù)小的取值范圍；

(2)1<<3,x2>4,求參數(shù)zn的取值范圍.

【答案】(1)巾>7；(2)三<小<7.

【分析】(1)令/0)=x2-(2m+l)x+m+7,等價于/⑴<0;

〃⑴〉0

(2)由"⑶<0即可求出.

1/(4)<0

【詳解】令=x2—(2m+l)x+m+7,

(1)兩根一個根大于1,一個根小于1,等價于"1)<0,

則1—(2TH+l)+Tn+7<0,解得ni>7；

(2)若1<刀1<3,久2>4,

m</

7(1)>0f1-(2m+1)+m+7>013

則(f(3)<0,即｛9一(2m+1)，3+m+7<0，即m>T,解得?<m<7.

/(4)<0[16-(2m+l)-4+m+7<0

m>—

【變式4-l]5.(2020秋?四川遂寧?高一統(tǒng)考期中)已知二次函數(shù)/⑶=ax2+x+l(a>0).

(1)求函數(shù)人乃在區(qū)間[一4,一2]的最大值MQ)；

(2)若關(guān)于久的方程/⑶=0有兩個實根久】、冷，且衛(wèi)6住,10],求實數(shù)a的最大值.

%2LIUJ

(4a—1,0<a<-1

【答案】(1)/；(2)i

I16(1-3,Q>%

【解析】(1)根據(jù)對稱軸的位置討論兩種情況：-白<7-十>-3,分別根據(jù)二次函數(shù)

2a2a

的單調(diào)性求出最大值即可得結(jié)果；

(2)設(shè)￡=t,t=爭鳥,1。],由韋達(dá)定理可得

a=/而=+，利用函數(shù)的單調(diào)性可得實數(shù)。的最大值?

t+—+2

【詳解】(1)對稱軸％=-/%6[―4,—2],a>0二次函數(shù)開口向上，

①當(dāng)一點4一3!即。<a4‘時：M(a)=f(-2)=4a—1,

②當(dāng)——>—3,即a>々時：M(a)-f(—4)-16a—3,

(1

4a—1,0<a<-

綜上所述，M(a)=/.

16a—3,a>—

I6

(2)由題知：方程a/+汽+i=。的兩個根分別為汽=汽1、x=x2,

由韋達(dá)定理知：與?％2=：①，+%2=-5②，

又已知￡=量七1。]，③

聯(lián)立卜1+X2~~a，得X]=,

(%1=tx2(l+t)a(l+t)a

帶入知：芾京=1

即。=品=點，其中

當(dāng)"1時，分母t+i+2取得最小值4,

所以a得最大值方

【點睛】本題考查二次函數(shù)圖像、對稱軸、最值的基本關(guān)系，清楚一元二次方程根與系數(shù)的

關(guān)系的處理，對"對勾函數(shù)"的單調(diào)性、最值的理解是解題的關(guān)鍵.

【變式4-1】6.(2020?高一課時練習(xí))已知拋物線y=(m-l)x2+(m-2)x-1(%e7?).

(1)當(dāng)m為何值時，拋物線與x軸有兩個交點？

(2)若關(guān)于x的方程(m-1)x2+(m-2)x-1=0的兩個不等實根的倒數(shù)平方和不大于2,

求m的取值范圍.

【答案】(l)m￡R,且m/1,m/0；(2){m|0<m<l或l<m<2}.

【解析】(由題意可知解不等式即可得的范圍.

1)m/lzHA>0zm

(2)可設(shè)方程的兩實根為xl,x2,由根與系數(shù)關(guān)系得/+x2,X1-x2,然后代入吃+吃=

%2

一表即可求解

22

X1X2

【詳解】⑴根據(jù)題意,mwl且A>0,

由△=(□!-2)2-4(m-1)(-1)>0,

得m2>0,所以mwR,且m/1,m/0.

⑵在m/0且m/1的條件下，設(shè)方程的兩實根為xl,x2,由根與系數(shù)關(guān)系得,

m—2

X1+%

21—m

1

?%2=i-------

1—m

則衰+衰=(血+%2)22

22

X1X2

=(m-2)2+2(m-1)<2.

得m2-2m<0,所以04m42.

所以m的取值范圍是{m[0<m<l或1cm42}.

【點睛】本題主要考查了一元二次方程的根的存在與根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是具

備一定的計算及推理的能力.

題型5含參不等式取值范圍問題

【例題5](2023秋?福建寧德?高三福建省寧德第一中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知全集U=R,

非空集合4=={4*<()}?

Q)當(dāng)a=/寸，求QB)CA；

(2)命題p:xeA,命題q:%eB,若q是p的必要條件，求實數(shù)a的取值范圍.

【答案】⑴回注％<3}

⑵(-8,一1]31,2]

【分析】(1)4={x\2<x<3},當(dāng)。=泄，B={*<x<》，再運用交、補(bǔ)集的運

算，計算求解即可；

(2)由已知可得p今q,故4=B,計算求解即可得到結(jié)論.

【詳解】(1)不等式上|<。的解集為{刈2<%<3]

所以/={x\2<x<3},

當(dāng)a制時,8=核|熟<。},化簡得8={4<X<T,

,?,全集U=R,

?1?CuB=卜卜W]或x2[},

■'-CyBn4={x|3WX<3}；

(2)由q是p的必要條件，可得pnq,

所以A￡B,

因為a?+2—ci=(a-J+—>0

所以小+2>a,

所以不等式上史坦<0的解集為{x[a<X<a2+2},

X—Q,

2

所以B=[x\a<x<a+2}z

???{。2枝13，解得a<T或1<a<2,

所以實數(shù)a的取值范圍是（-8,-1]u[1,2].

【變式5-1]1.（2022秋?河南信陽?高一信陽高中?？茧A段練習(xí)）已知全集u=R,非空集

合人=3晨樂<0},B=[|W<。}

（1）當(dāng)a=/寸，求（CuBn4）；

⑵命題p:xeA,命題q:xeB,若q是p的必要條件，求實數(shù)a的取值范圍.

【答案】（1）1加％<|}

（2）叱卜/嗚等]

【分析