蘇科版八年級數(shù)學(xué)上冊解題技巧：共頂點(diǎn)的等腰三角形（解析版）

專題08解題技巧專題：共頂點(diǎn)的等腰三角形

聚焦考點(diǎn)

考點(diǎn)一共頂點(diǎn)的等腰三角形考點(diǎn)二共頂點(diǎn)的等邊三角形

:典型例題:

考點(diǎn)一共頂點(diǎn)的等腰三角形

例題：(2022.湖北黃石.中考真題)如圖，在AABC和AADE中，AB—AC,AD=AE,ABAC=Z.DAE=90°,

且點(diǎn)。在線段BC上，連CE.

⑵若ZEAC=60°,求NCED的度數(shù).

【答案】(1)見解析

(2)30°

【分析】(1)證出N8AO=NC4E,由SAS證明AABO四△ACE即可；

(2)先由全等三角形的性質(zhì)得到NACE=NABD,再由AMC和都是等腰直角三角形，得到

44磔=//曲=45。且44￡0=45。，利用三角形內(nèi)角和定理求出/AEC的度數(shù)，即可求出/CEO的度數(shù).

(1)

證明：VZBAC=ZDAE=90°,

：.ABAC-ADAC=Z.DAE-Z.DAC,即/BAD=ZCAE.

在與AACE中，

AB=AC

■/BAD=ZCAE,

AD=AE

:.AABD咨AACE(SAS)；

(2)

解：由（1）AABD沿AACE得ZACE=ZABD,

又和AADE都是等腰直角三角形,

Z.ZACE=ZABD=45°且ZAED=45°,

在&ACE中ZEAC=60。且ZACE=45°

ZABC=180°-60°-45°=75°,

ZCED=ZAEC-ZAED=75°-45°=30°.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟知全等三

角形的性質(zhì)與判定條件是解題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.(2021?山東?梁山縣第二中學(xué)八年級階段練習(xí))如圖，大小不同的等腰直角二角形AABC和△￡)￡(7直角頂

點(diǎn)重合在點(diǎn)C處，連接AE、BD,點(diǎn)A恰好在線段上.

(1)找出圖中的全等三角形，并說明理由；

⑵猜想AE與8。的位置關(guān)系，并說明理由.

【答案】(DACB/涇AC4E,理由見解析

(2)AE±BD,理由見解析

【分析】(1)根據(jù)S45證明AC4E即可；

(2)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和垂直的定義解答即可.

(1)

解:ACBD^ACAE,理由如下：

QZACB="CE=90。，

ZACB+ZACD=ZDCE+ZACD,

即/BCD=/ACE,

在△CB￡>與AC4E中，

BC=AC

-ZBCD=ZACE,

DC=EC

:.ACBD^ACAE(SAS)；

(2)

解：AE±BD,理由如下：

設(shè)AE與CO相交于點(diǎn)。，在AAO。與ACOE中,

ACBgACAE,

.-.ZADO^ZCEO,

ZAOD=ZCOE,

ZOAD=ZOCE=90°,

:.AE1.BD.

【點(diǎn)睛】此題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)&4S得出AC&3與

AC4E全等的解題的關(guān)鍵.

2.(2022?安徽宿州?七年級期末)已知：AABC和AAEF均為等腰直角三角形，點(diǎn)。與點(diǎn)A重合，

NBAC=/EDF=90°,AB^AC,DE=DF.

圖I圖2圖3

⑴如圖1,判斷BE與CP的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

(2汝口圖2,當(dāng)點(diǎn)2、E、F在一條直線上時，/BFC=°;

(3)如圖3,當(dāng)點(diǎn)E在BC邊上時，試判斷BC與C尸的位置關(guān)系，并說明理由.

【答案】WBE=CF,理由見詳解

(2)90

(3)BC±CF,理由見詳解

【分析】(1)證明VABE蕓VAC產(chǎn)，由全等三角形的性質(zhì)即可確定BE與CF的數(shù)量關(guān)系;

(2)由等腰直角三角的性質(zhì)以及全等三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論;

(3)由等腰直角三角的性質(zhì)以及全等三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論.

(1)

解：BE=CF,理由如下：

「ZSAC=ZEDF=90°,即NR4C=ZE4F=90°,

?.ZBAE+ZEAC^ZEAC+ZCAF,

：.ZBAE=ZCAF,

,：AB=AC,AE=AF,

：.zXAB叫△ACF(SAS),

BE=CF；

(2)

由(1)可知，VASE咨VACF,

?AEB?AFC,

VZE4F=90°,AE=AF,

：.ZAEF+ZAFE=1(180°-NEAF)=45°,

ZAFC=ZAE3=180°—ZA￡F=135°,

NBFC=ZAFC-ZAFE=90°.

故答案為：90；

(3)

BCLCF,理由如下：

VZBAC=90°,AB^AC,

ZABC=ZACB=g(180。-ABAC)=45°,

由(1)可知，VASE咨VACF,

/.ZABE=ZACF=45。,

,/N4cB=45。，

/.Z.BCF=ZACB+ZACF=45°+45°=90°,

：.BC1CF.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，熟練掌握全等三角形

的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

3.(2022?江蘇?八年級專題練習(xí))已知AABC中，AC=BC；中，DC=EC；ZACB=ZDCE=a,

點(diǎn)A.D.E在同一直線上，AE與BC相交于點(diǎn)尸，連接BE.

(1)如圖1,當(dāng)e=60。時，

①請直接寫出AMC和ADEC的形狀；

②求證：AD=BE；

③請求出NAEB的度數(shù).

(2)如圖2,當(dāng)＜z=90，時，^ZCAF=ZBAF,BE=2,求線段AF的長.

【答案】(1)①AABC和AOEC是等邊三角形；②見詳解；③60。；

(2)4

【分析】(1)①根據(jù)44BC中，AC=BC-,ADEC中,DC=EC,ZACB=ZDCE=a=60°,即可得到結(jié)論；

②先證明△ACD咨ABCE,即可得到結(jié)論；③由AAC。之A5CE得/AOC=/BEC,結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)，

即可求解；

(2)延長BE、AC相交于點(diǎn)G,證明AAC。名A8CE,得NC4O=/CBE,推出/ACF=NBEF=90°,證明AACF

出ABCG以及AAEBmAAEG,結(jié)合條件即可求解.

(1)

@VAC=BC,DC=EC,

：.AABC,ADEC為等腰三角形，

又：ZACB=ZDCE=a=60。，

AABC和ADEC是等邊三角形；

@'：ZACB=ZACD+ZDCB,ZDCE=ZBCE+ZDCB,ZACB=ZDCE,

：.NACD=/BCE,

又?.,AC=3C,DC=EC,

AAACD^ABCE(SAS),

：.AD=BE；

③:AACD^ABCE,

:.ZADC=ZBEC,

?.?ZADC=180°-ZCDE=180°-60°=120°,

???NBEC=NCEF+NAEB=T2。。,

?.?ZCEF=60°f

：.ZAEB=120o-60°=60°；

(2)

延長BE、AC相交于點(diǎn)G,

ZACB=ZDCE=a=90°,AC=BC,DC=EC,

：.ZACD=ZBCEf

：./\ACD^/\BCE(SAS),

???NCAD=/CBE,

,?ZAFC=ZBFE,

：.ZACF=ZBEF=90°f

：.ZAEB=ZAEG=90°,

在AAC廠和A5CG中，

ZCAD=ZCBE

?：\AC=BC,

ZACF=/BCG=90°

AAACF^ABCG(ASA),

：.AF=BG,

VZCAF=ZBAFfZAEB=ZAEG=90°fAE=AE,

：.\AEB^\AEG{ASA),

：.BE=GE=2,

：.AF=4.

G

【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形，等腰直角三角形，全等三角形等，熟練掌握等邊三角形的判定和性

質(zhì)，等腰直角三角形的判定性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，“旋轉(zhuǎn)全等”模型，是解題的關(guān)鍵.

考點(diǎn)二共頂點(diǎn)的等邊三角形

例題：(2021?湖北?襄陽市樊城區(qū)青泥灣中學(xué)八年級階段練習(xí))如圖，"BC與ADCE為等邊三角形，B、C、

E在同一條直線上，連接AE、3。相交于點(diǎn)連接CM、GF有如下結(jié)論：⑴AE=BD(2)MG=MD(3)

GF//BE(4)MC平分/BME,其中正確的有.

【答案】⑴(3)(4)

【分析】求出NBCD=NACE,利用SAS證明可得ZCAF=ZCBG,(1)正確；

然后證明△ACPGABCG,可得CT=CG,證明ACG歹是等邊三角形，求出/CGF=60。=NBCG,根據(jù)平行

線的判定可得(3)正確；過點(diǎn)C分別作CPLB。于點(diǎn)尸，CQLAE于點(diǎn)Q,根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊上的高

線相等可知CP=CQ,由角平分線的判定可得MC平方/BME,(4)正確；由于條件不足,無法證明MG=MD,

故(2)錯誤.

【詳解】解：：△ABC,都是等邊三角形，

：.BC=ACfCD=CE,ZACB=ZDCE=60°f

：.ZACB+ZACD=ZDCE+ZACD,即N3C0=NACE,

.,.△BCD^AACE(SAS),

：.AE=BD,ZCAF=ZCBG,(1)正確；

???ZACF=180°-ZACB-ZDCE=180°—60°—60°=60°,

???ZACF=ZBCG=60°f

又,.,AC=3C

AAACF^ABCG(ASA),

：.CF=CG,

???NAC尸=60。，

???△CG/是等邊三角形，

：.ZCGF=60°=ZBCG9

J.GF//BE,(3)正確；

過點(diǎn)C分別作。尸，于點(diǎn)尸，于點(diǎn)。，

丁XBCD/AACE,

:,CP=CQ,

；?MC平方/BME,(4)正確；

條件不足，無法證明MG二故(2)錯誤；

正確的是(1)(3)(4),

故答案為：(1)(3)(4).

【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定，角平分線的判

定等知識，仔細(xì)觀察圖形，找出合適的全等三角形進(jìn)行證明是解答本題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.（2022?山東青島?七年級期末）如圖，4ABC、ACOE均為等邊三角形，連接BD、AE交于點(diǎn)。，BCAE

交于點(diǎn)尸.求/AOB的度數(shù).

【答案】乙4。3=60。

【分析】利用“邊角邊"證明"C。和ACE全等，可得NCAE=/C5￡）,根據(jù)“八字型”求出/8。尸=NACP

=60。即可.

【詳解】證明：???△ABC和都是等邊三角形，

：.AC=BC,CD=CE,ZACB=ZDCE=60°,

：.ZACB+/BCE=ZDCE+ZBCE,

即NACE=NBCQ,

AC=BC

在"CE和"CD中，＜NACE=ZBCD,

CE=CD

：.AACE^ABCD（SAS）,

:.NCAE=/CBD,

"：ZAPC=ZBPO,

：.ZBOP=ZACP=60°,即/AO2=60°.

【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角

形解決問題，屬于中考?？碱}型.

2.（2020?湖南常德.八年級階段練習(xí)）在數(shù)學(xué)探究課上，老師出示了這樣的探究問題，請你一起來探究：

已知：C是線段A8所在平面內(nèi)任意一點(diǎn)，分別以AC、BC為邊,在48同側(cè)作等邊

三角形ACE和等邊三角形BCD,連接A。、BE交于點(diǎn)、P.

圖3

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)C在線段A8上移動時，線段A。與8E的數(shù)量關(guān)系是：.

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)C在直線48外，且/ACBV120。，上面的結(jié)論是否還成立？若成立請證明，不成立說明理

由.此時NAPE是否隨著/AC2的大小發(fā)生變化，若變化寫出變化規(guī)律，若不變，請求出/APE的度數(shù).

(3)如圖3,在(2)的條件下，以為邊在AB另一側(cè)作等邊三角形AA8片連接CF,可證得CF也經(jīng)過點(diǎn)

P,求證：PB+PC+PA^BE.

【答案】⑴

(2)AQ=8E成立，NAPE不隨著NAC8的大小發(fā)生變化，始終是60。，見解析

(3)見解析

【分析】(1)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到/ACE=/QCB=60。，CA=CE,CD=CB,根據(jù)全等三角形的判

定定理得到△ECBg/XACD(SAS),根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出結(jié)論；

(2)證明△￡(牙鄉(xiāng)△AC。(SAS),由全等三角形的性質(zhì)得出NCEB=NCAD,設(shè)BE與AC交于

Q,證出/APQ=NECQ=60。，則可得出結(jié)論；

(3)同理可得△EABgACAR求出/CPE=N￡AC=60。，在PE上截取P8=PC,連接8C,可得APCH為

等邊三角形，證明ACBl四(AAS),由全等三角形的性質(zhì)得出AP=EH,則可得出結(jié)論.

(1)

解：:△ACE和△BCD都是等邊三角形，

AZACE=ZDCB=60°,CA=CE,CD=CB,

：.ZACE+ZDCE=ZDCB+NDCE,即ZACD=ZECB,

EC^AC

在AECB和△AC。中，，NECB=ZACD,

CB=CD

：.AECB^AACD(SAS),

：.AD=BE,

故答案為：AD=BE；

(2)

AO=8E成立，NAPE不隨著/ACB的大小發(fā)生變化，始終是60。,

證明：:△ACE和應(yīng)⑺是等邊三角形，

：.EC=AC,BC=DC,ZACE=ZBCD=60°,

：.ZACE+ZACB=NBCD+NACB,即ZECB=ZACD,

圖2

EC=AC

在AECB和△AC。中，＜NECB=ZACD,

BC=DC

:.△ECB"xACD(SAS),

：.AD=BE,ZCEB=ZCAD,

設(shè)BE與AC交于Q,

又---ZAQP=ZEQC,ZAQP+ZQAP+ZAPQ=/EQC+ZCEQ+ZECQ=180°,

ZAPQ=AECQ=60°,即ZAPE=60°；

(3)

由(2)同理可得△上(SAS),

NAEB=NACF,

設(shè)BE與AC交于。，貝。/AQE=/PQC,

ZCPE=ZEAC=60°,

在PE上截取PH=PC,連接HC,

E

圖3

...APCH為等邊三角形,

：.HC=PC,ZCHP=60°,

：.ZCHE=nO°,

XVZAPE=ZCPE=60°,

：./CB4=120°,

ZCPA=ZCHE,

'NCPA=ACHE

在△（3必和ACHE中，＜/CAP=ACEH,

PC=HC

:.XCPN烏XCHEQUS）,

：.AP=EH,

：.PB+PC+PA=PB+PH+EH=BE.

【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角

和定理，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

3.（2022?遼寧沈陽?八年級階段練習(xí)）已知44BC與AECD都是等邊三角形，點(diǎn)8,C,O在一條直線上，點(diǎn)

尸為直線8C上一動點(diǎn)，（P不與8,C重合），連接B1,在的右側(cè)作射線尸。交直線CE于點(diǎn)。且

ZAPQ=60°,連接AQ.

AA

圖1備用圖

(1)如圖1所示，當(dāng)點(diǎn)P在邊3c上時，在邊AB上截取=AP,連接PAf.

①請?jiān)趫D1中補(bǔ)全圖形并證明：AAPM=APQC.

②請直接寫出AAPQ的形狀；

(2)當(dāng)點(diǎn)P在直線BC上運(yùn)動時，請直接寫出線段AC,PC,QC三者之間的數(shù)量關(guān)系.

【答案】(1)①見解析；②等邊三角形

(2)AC=PC+QC^QC=AC+PC^PC=AC+QC

【分析】(1)①根據(jù)題意作線段8M即可，由AABC是等邊三角形推出/氏4尸=/。如，證明△BMP是等邊

三角形，得到NAMP=120。，利用△口?￡是等邊三角形，求出NECP=180O-6(T=120。，JttBAMP=ZPCQ,由

AB-BM=BC-BP,得到=PC,即可證得

②根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AP=PQ,即可判斷AAP。是等邊三角形；

(2)分三種情況：①當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時，②當(dāng)點(diǎn)P在射線BC的延長線上時，③當(dāng)點(diǎn)尸在射線C8的延

長線上時，利用全等三角形的判定和性質(zhì)證明三者之間的關(guān)系即可.

(1)

解：①在邊AB上截取=B尸，連接尸河.如圖所示，

「△ABC是等邊三角形,

AZB=60°,AB=BC,

ZBAP+ZAPB=120°,

又：ZAPQ=60°,

???ZAPB+ZQPD=nO0,

：.ZBAP=ZQPD

?；BM=BP,ZB=60°,

尸是等邊三角形，

???ZBMP=60°,

：.NAM尸二120。，

「△CDE是等邊三角形，

，ZECD=60°,

.'.ZECP=180°-60o=120°,

ZAMP=ZPCQf

?；AB-BM=BC-BP,

：.AM=PC,

：.AAMPQAPCQ；

②???△AM尸也△尸C。，

:,AP=PQ,

???ZAPQ=60°,

???△AP。是等邊三角形；

(2)

①當(dāng)點(diǎn)尸在線段BC上時，如圖,

：.AM=PC,MP=CQ,

\-AC=AB=BM+AM,

：.AC=CQ+CP；

②當(dāng)點(diǎn)尸在射線5c上時，如圖,

MO

在84延長線上截取連接MP,

「△A3c是等邊三角形，

ZB=60°,AB=BCf

?：AM=CP,

：.BM=BP,

???△BMP是等邊三角形，

:,BM=MP,ZM=60°,

???ZMAP=ZB+ZAPB=ZAPB+600,ZCPQ=ZAPB+ZAPQ=/APB+60。,

JNMAP=/CPQ,

???△CDF是等邊三角形，

JZECD=60°,

：.ZM=ZQCP,

：.XMAPgXCPQ,

：.CQ=MP,

'：BM=AB+AMf

CQ=AC-^-CP；

③當(dāng)點(diǎn)尸在射線CB上時，如圖，

A

延長AB至M,使BM=BP,

???是等邊三角形，

:?BM=MP,ZM=60°,

ZMAP+ZAPB=60°,ZAPQ=NAPB+ZCPQ=60°,

J/MAP=/CPQ,

,??△CDE是等邊三角形，

???ZPCQ=ZECD=60°,

：.ZM=ZQCP,

\'AB=BC,

；?AB+BM=BC+BP,

：.AM=CP,

：.Z\M4尸絲△CP。，

JCQ=MP,

u

\AM=AB+BMf

：.CP=AC+CQ；

綜上，線段AC,PC,。。三者之間的