2017-2018學年人教a版必修三單元質(zhì)量評估試卷(三)含解析-(高一數(shù)學)

單元質(zhì)量評估(三)(第三章)(120分鐘150分)一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的)1.在n次重復(fù)進行的試驗中,事件A發(fā)生的頻率為QUOTEmnmn,當n很大時,P(A)與QUOTEmnmn的關(guān)系是()A.P(A)≈QUOTEmnmn B.P(A)<QUOTEmnmnC.P(A)>QUOTEmnmn D.P(A)=QUOTEmnmn【解析】選A.根據(jù)概率的統(tǒng)計定義可知,當試驗次數(shù)n不斷增大時,事件A發(fā)生的頻率會趨于一個穩(wěn)定值,該值的大小反映了事件A發(fā)生的可能性的大小,所以事件A發(fā)生的概率近似等于該頻率的穩(wěn)定值.2.從一批產(chǎn)品(其中正品、次品都多于2件)中任取2件,觀察正品件數(shù)和次品件數(shù),下列事件是互斥事件的是()(1)恰好有1件次品和恰好有兩件次品.(2)至少有1件次品和全是次品.(3)至少有1件正品和至少有1件次品.(4)至少1件次品和全是正品.A.(1)(2) B.(1)(3) C.(3)(4) D.(1)(4)【解析】選D.互斥事件是兩個事件不可能同時發(fā)生.3.(2015·廣東高考)已知5件產(chǎn)品中有2件次品,其余為合格品.現(xiàn)從這5件產(chǎn)品中任取2件,恰有一件次品的概率為()A.0.4 B.0.6 C.0.8 D.1【解題指南】先對產(chǎn)品標號,然后列舉出可能出現(xiàn)的結(jié)果,根據(jù)古典概型概率公式求出所求的概率.【解析】選B.5件產(chǎn)品中有2件次品,記為a,b,有3件合格品,記為c,d,e,從這5件產(chǎn)品中任取2件,有10種,分別是(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e),恰有一件次品,有6種,分別是(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),設(shè)事件A=“恰有一件次品”,則P(A)=QUOTE610610=0.6.4.(2016·臨沂高一檢測)在區(qū)域QUOTE0≤x≤1,0≤y≤10≤x≤1,0≤y≤1內(nèi)任意取一點P(x,y),則x2+y2A.0 B.QUOTEπ4π4-QUOTE1212 C.QUOTEπ4π4 D.1-QUOTEπ4π4【解題指南】本題為幾何概型,首先畫出所有可能構(gòu)成的區(qū)域,再畫出事件所滿足的區(qū)域,根據(jù)幾何概型的概率公式計算.【解析】選C.所有基本事件構(gòu)成的區(qū)域為邊長為1的正方形,而滿足條件的點構(gòu)成的區(qū)域為圓心在原點,半徑為1的圓在第一象限的部分即QUOTE1414的圓,所以P=QUOTE1414×QUOTEπ×1212π×1212=QUOTEπ45.從一批羽毛球產(chǎn)品中任取一個,其質(zhì)量小于4.8g的概率為0.3,質(zhì)量小于4.85g的概率為0.32,那么質(zhì)量在[4.8,4.85)(g)范圍內(nèi)的概率是()A.0.62 B.0.38 C.0.02 D.0.68【解析】選C.質(zhì)量在[4.8,4.85)(g)范圍內(nèi)的概率為0.32-0.3=0.02.6.(2016·全國卷Ⅰ)為美化環(huán)境,從紅、黃、白、紫4種顏色的花中任選2種花種在一個花壇中,余下的2種花種在另一個花壇中,則紅色和紫色的花不在同一花壇的概率是()A.QUOTE1313 B.QUOTE1212 C.QUOTE2323 D.QUOTE5656【解析】選C.將4種顏色的花任選2種種在花壇中,余下的2種花種在另一個花壇中,有6種種法,其中紅色和紫色的花不在同一花壇的種數(shù)有4種,故概率為QUOTE2323.【補償訓練】(2016·杭州高一檢測)從{1,2,3,4,5}中隨機選取一個數(shù)為a,從{1,2,3}中隨機選取一個數(shù)為b,則b>a的概率是()A.QUOTE4545 B.QUOTE3535 C.QUOTE2525D.QUOTE1515【解析】選D.設(shè)Ω={(a,b)|a∈{1,2,3,4,5},b∈{1,2,3}},包含的基本事件數(shù)為5×3=15,事件“b>a”可表示為{(1,2),(1,3),(2,3)},包含的基本事件數(shù)m=3,所以P=QUOTE315315=QUOTE1515.7.設(shè)一元二次方程x2+bx+c=0,若b,c是一枚質(zhì)地均勻的骰子連續(xù)投擲兩次出現(xiàn)的點數(shù),則方程有實數(shù)根的概率為()A.QUOTE112112 B.QUOTE736736 C.QUOTE13361336 D.QUOTE19361936【解析】選D.因為b,c是一枚質(zhì)地均勻的骰子連續(xù)投擲兩次出現(xiàn)的點數(shù),所以一共有36種情況.由方程有實數(shù)根知,Δ=b2-4c≥0,顯然b≠1.當b=2時,c=1(1種);當b=3時,c=1,2(2種);當b=4時,c=1,2,3,4(4種);當b=5時,c=1,2,3,4,5,6(6種);當b=6時,c=1,2,3,4,5,6(6種).故方程有實數(shù)根共有19種情況,所以方程有實數(shù)根的概率是QUOTE19361936.【補償訓練】把一枚骰子投擲兩次,觀察出現(xiàn)的點數(shù),記第一次出現(xiàn)的點數(shù)為a,第二次出現(xiàn)的點數(shù)為b,則方程組QUOTEax+by=3,x+2y=2ax+by=3,x+2y=2A.QUOTE512512B.QUOTE11121112C.QUOTE513513D.QUOTE913913【解析】選B.點(a,b)取值的集合共有6×6=36個元素.方程組只有一個解等價于直線ax+by=3與x+2y=2相交,即QUOTEa1a1≠Q(mào)UOTEb2b2,即b≠2a,而滿足b=2a的點只有(1,2),(2,4),(3,6),共3個,故方程組QUOTEax+by=3,x+2y=2ax+by=3,x+2y=2只有一個解的概率為QUOTE33363336=QUOTE11121112.8.已知直線y=x+b的橫截距在[-2,3]范圍內(nèi),則直線在y軸上的截距b大于1的概率是()A.QUOTE1515 B.QUOTE2525 C.QUOTE3535 D.QUOTE4545【解析】選A.由題意知b∈[-3,2],所以P(b大于1)=QUOTE2-12-(-3)2-12-(-3)=QUOTE1515.9.(2016·全國卷Ⅱ)從區(qū)間[0,1]隨機抽取2n個數(shù)x1,x2,…,xn,y1,y2,…,yn,構(gòu)成n個數(shù)對(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),其中兩數(shù)的平方和小于1的數(shù)對共有m個,則用隨機模擬的方法得到的圓周率π的近似值為()A.QUOTE4nm4nm B.QUOTE2nm2nm C.QUOTE4mn4mn D.QUOTE2mn【解析】選C.由題意得:(xi,yi)(i=1,2,…,n)在如圖所示的正方形中,而平方和小于1的點均在如圖所示的陰影中,由幾何概型概率計算公式知QUOTEπ41π41=QUOTEmnmn,所以π=QUOTE4mn4mn10.(2016·石家莊高一檢測)在5件產(chǎn)品中,有3件一等品和2件二等品,從中任取2件,以QUOTE710710為概率的事件是()A.恰有2件一等品B.至少有一件一等品C.至多有一件一等品D.都不是一等品【解析】選C.將3件一等品編號為1,2,3;2件二等品編號為4,5,從中任取2件有10種取法:(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5).其中恰含有1件一等品的取法有:(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),恰有1件一等品的概率為P1=QUOTE610610,恰有2件一等品的取法有:(1,2),(1,3),(2,3).故恰有2件一等品的概率為P2=QUOTE310310,其對立事件是“至多有一件一等品”,概率為P3=1-P2=1-QUOTE310310=QUOTE710710.11.一只猴子任意敲擊電腦鍵盤上的0到9這十個數(shù)字鍵,則它敲擊兩次(每次只敲擊一個數(shù)字鍵)得到的兩個數(shù)字恰好都是3的倍數(shù)的概率為()A.QUOTE91009100 B.QUOTE350350 C.QUOTE31003100 D.QUOTE2929【解析】選A.任意敲擊0到9這十個數(shù)字鍵兩次,其得到的所有結(jié)果為(0,i)(i=0,1,2,…,9);(1,i)(i=0,1,2,…,9);(2,i)(i=0,1,2,…,9);…;(9,i)(i=0,1,2,…,9).故共有100種結(jié)果.兩個數(shù)字都是3的倍數(shù)的結(jié)果有(3,3),(3,6),(3,9),(6,3),(6,6),(6,9),(9,3),(9,6),(9,9).共有9種.故所求概率為QUOTE91009100.12.運行如圖的程序框圖,設(shè)輸出數(shù)據(jù)構(gòu)成的集合為A,從集合A中任取一個元素α,則函數(shù)y=xα,x∈[0,+∞)是增函數(shù)的概率為()A.QUOTE3737 B.QUOTE4545 C.QUOTE3535 D.QUOTE3434【解析】選C.當x依次取值-3,-2,-1,0,1,2,3時,對應(yīng)的y的值依次為:3,0,-1,0,3,8,15,所以集合A={-1,0,3,8,15},因為α∈A,所以使y=xα在x∈[0,+∞)上為增函數(shù)的α的值為3,8,15,故所求概率P=QUOTE3535.二、填空題(本大題共4個小題,每小題5分,共20分.把答案填在題中的橫線上)13.從1,2,3,4這四個數(shù)中一次隨機地取兩個數(shù),則其中一個數(shù)是另一個的兩倍的概率為________.【解析】基本事件為(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)6個;其中一個數(shù)是另一個兩倍的有(1,2),(2,4)兩個事件,故概率為QUOTE2626=QUOTE1313.答案:QUOTE131314.(2016·濰坊高一檢測)口袋內(nèi)裝有100個大小相同的紅球、白球和黑球,其中有45個紅球,從中摸出1個球,摸出白球的概率為0.23,則摸出黑球的概率為________.【解析】由題可知,白球的個數(shù)為100×0.23=23,所以黑球的個數(shù)為100-23-45=32,所以概率為P=QUOTE3210032100=0.32.答案:0.3215.(2016·山東高考)在[-1,1]上隨機地取一個數(shù)k,則事件“直線y=kx與圓(x-5)2+y2=9相交”發(fā)生的概率為.【解析】若直線y=kx與圓(x-5)2+y2=9相交,則有圓心到直線的距離d=QUOTE|5k|k2+1|即-QUOTE3434<k<QUOTE3434,所以所求概率P=QUOTE34--341-(-1)34--341-(-1)=QUOTE答案:QUOTE3434【補償訓練】已知函數(shù)f(x)=log2x,x∈[1,3],若在區(qū)間x∈[1,3]上隨機取一點,則使得-1≤f(x0)≤1的概率為________.【解題指南】本題需要根據(jù)對數(shù)函數(shù)的圖象準確解出簡單的對數(shù)不等式,并結(jié)合函數(shù)的定義域求出不等式的正確解集.【解析】由函數(shù)-1≤f(x0)≤1得-1≤log2x0≤1,解得x0∈QUOTE12,212,2,又函數(shù)f(x)的定義域為x∈[1,3],所以不等式的最終解集為x0∈[1,2],所以-1≤f(x0)≤1的概率為P=QUOTE2-13-12-13-1=QUOTE1212答案:QUOTE1212【誤區(qū)警示】本題易忽略函數(shù)的定義域而導(dǎo)致不等式的解集出錯,從而導(dǎo)致結(jié)果錯誤.16.已知集合A={-1,0,1,3},從集合A中有放回地任取兩個元素x,y作為點M的坐標,則點M落在x軸上的概率為.【解題指南】先列出所有基本事件,再看點M落在x軸上包括哪幾個基本事件,根據(jù)古典概型概率公式求解.【解析】所有基本事件構(gòu)成的集合為{(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(-1,3),(0,-1),(0,0),(0,1),(0,3),(1,-1),(1,0),(1,1),(1,3),(3,-1),(3,0),(3,1),(3,3)},其中“點M落在x軸上”的事件所含基本事件有(-1,0),(0,0),(1,0),(3,0),所以P=QUOTE416416=QUOTE1414.答案:QUOTE1414三、解答題(本大題共6個小題,共70分,解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17.(10分)已知盒子中有散落的棋子15粒,其中6粒是黑子,9粒是白子,已知從中取出2粒都是黑子的概率是QUOTE1717,從中取出2粒都是白子的概率是QUOTE12351235,現(xiàn)從中任意取出2粒恰好是同一色的概率是多少?【解析】從中取出2粒都是黑子與都是白子互斥,因而從盒子中任意取出2粒恰好是同一色的概率恰為取2粒白子的概率與2粒黑子的概率的和,即為QUOTE1717+QUOTE12351235=QUOTE17351735.18.(12分)同時拋擲1角、5角和1元的三枚硬幣,計算:(1)恰有一枚出現(xiàn)正面的概率.(2)至少有兩枚出現(xiàn)正面的概率.【解析】基本事件有(正,正,正),(正,正,反),(正,反,正),(正,反,反),(反,反,反),(反,正,反),(反,反,正),(反,正,正)共8個.(1)用A表示“恰有一枚出現(xiàn)正面”這一事件:則A={(正,反,反),(反,反,正),(反,正,反)}.因此P(A)=QUOTE3838.(2)用B表示“至少有兩枚出現(xiàn)正面”這一事件,則B={(正,正,反),(正,反,正),(反,正,正),(正,正,正)},因此P(B)=QUOTE4848=QUOTE1212.19.(12分)在區(qū)間(0,1)上隨機取兩個數(shù)m,n,求關(guān)于x的一元二次方程x2-QUOTEnnx+m=0有實根的概率.【解析】在平面直角坐標系中,以x軸和y軸分別表示m,n的值,因為m,n在(0,1)內(nèi)與圖中正方形內(nèi)的點一一對應(yīng),即正方形內(nèi)的所有點構(gòu)成全部試驗結(jié)果的區(qū)域.設(shè)事件A表示方程x2-QUOTEnnx+m=0有實根,則事件A=QUOTE(m,n)n-4m≥0,0<m<1,0<n<1,(m,n)n-4m≥0,0<m<1,0<n<1,,所對應(yīng)的區(qū)域為圖中的陰影部分,且陰影部分的面積為QUOTE1818,故P(A)=QUOTES陰影S正方形S陰影S正方形=QUOTE1818,即關(guān)于x的一元二次方程x2-QUOTEnnx+m=0有實根的概率為QUOTE1818.20.(12分)(2015·天津高考)設(shè)甲、乙、丙三個乒乓球協(xié)會的運動員人數(shù)分別為27,9,18,先采用分層抽樣的方法從這三個協(xié)會中抽取6名運動員參加比賽.(1)求應(yīng)從這三個協(xié)會中分別抽取的運動員人數(shù).(2)將抽取的6名運動員進行編號,編號分別為A1,A2,A3,A4,A5,A6,從這6名運動員中隨機抽取2名參加雙打比賽.①用所給編號列出所有可能的結(jié)果;②設(shè)A為事件“編號為A5,A6的兩名運動員至少有一人被抽到”,求事件A發(fā)生的概率.【解題指南】(1)由分層抽樣方法可知應(yīng)從甲、乙、丙這三個協(xié)會中抽取的運動員人數(shù)分別為3,1,2.(2)①一一列舉,共15種;②符合條件的結(jié)果有9種,所以PQUOTEAA=QUOTE915915=QUOTE3535.【解析】(1)應(yīng)從甲、乙、丙這三個協(xié)會中抽取的運動員人數(shù)分別為3,1,2.(2)①從這6名運動員中隨機抽取2名參加雙打比賽,所有可能的結(jié)果為{A1,A2},{A1,A3},{A1,A4},{A1,A5},{A1,A6},{A2,A3},{A2,A4},{A2,A5},{A2,A6},{A3,A4},{A3,A5},{A3,A6},{A4,A5},{A4,A6},{A5,A6},共15種.②編號為A5,A6的兩名運動員至少有一人被抽到的結(jié)果為{A1,A5},{A1,A6},{A2,A5},{A2,A6},{A3,A5},{A3,A6},{A4,A5},{A4,A6},{A5,A6},共9種,所以事件A發(fā)生的概率PQUOTEAA=QUOTE915915=QUOTE3535.21.(12分)(2016·武漢高一檢測)2015年全國兩會期間,某報刊媒體要選擇兩名記者去進行專題采訪,現(xiàn)有記者編號分別為1,2,3,4,5的五名男記者和編號分別為6,7,8,9的四名女記者.要從這九名記者中一次隨機選出兩名,每名記者被選到的概率是相等的,用符號(x,y)表示事件“抽到的兩名記者的編號分別為x,y,且x<y”.(1)共有多少個基本事件?并列舉出來.(2)求所抽取的兩名記者的編號之和小于17但不小于11或都是男記者的概率.【解析】(1)共有36個基本事件,列舉如下:(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(1,7),(1,8),(1,9),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(2,7),(2,8),(2,9),(3,4),(3,5),(3,6),(3,7),(3,8),(3,9),(4,5),(4,6),(4,7),(4,8),(4,9),(5,6),(5,7),(5,8),(5,9),(6,7),(6,8),(6,9),(7,8),(7,9),(8,9),共36個.(2)記事件“所抽取的記者的編號之和小于17但不小于11”為事件A,即事件A為“x,y∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9},且11≤x+y<17,其中x<y”,由(1)可知事件A共含有15個基本事件,列舉如下:(2,9),(3,8),(3,9),(4,7),(4,8),(4,9),(5,6),(5,7),(5,8),(5,9),(6,7),(6,8),(6,9),(7,8),(7,9),共15個.“都是男記者”記作事件B,則事件B為“x<y≤5”,包含:(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),共10個.故P(A)+P(B)=QUOTE15361536+QUOTE10361036=QUOTE25362536.【誤區(qū)警示】用列舉法列出基本事件時,必須做到不重不漏,且要注意題中要求(x,y)表示事件“抽到的兩名記者的