函數(shù)與導(dǎo)數(shù)二輪復(fù)習(xí)選填層級問題特訓(xùn)專題卷解析版 2025年3月17日-1

函數(shù)與導(dǎo)數(shù)近兩年高考數(shù)學(xué)真題選填特訓(xùn)專題卷解析版2025年4月1日一、單選題1．（2024·天津·高考真題）已知，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【詳解】根據(jù)立方的性質(zhì)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，和都當(dāng)且僅當(dāng)，所以二者互為充要條件.2．（2023·北京·高考真題）下列函數(shù)中，在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（

）A．B．C． D．【答案】C【詳解】對于A，因為在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，故A錯誤；對于B，因為在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，故B錯誤；對于C，因為在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增，故C正確；對于D，因為，，顯然在上不單調(diào)，D錯誤.3．（2024·全國甲卷·高考真題）函數(shù)在區(qū)間的圖象大致為（

）A．B．C． D．【答案】B【詳解】，又函數(shù)定義域為，故該函數(shù)為偶函數(shù)，可排除A、C，又，故可排除D.4．（2024·全國甲卷·高考真題）設(shè)函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】，則，即該切線方程為，即，令，則，令，則，故該切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積.5．（2024·天津·高考真題）設(shè)，則的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因為在上遞增，且，所以，所以，即，因為在上遞增，且，所以，即，所以.6．（2024·天津·高考真題）下列函數(shù)是偶函數(shù)的為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】對A，設(shè)，函數(shù)定義域為，但，，則，故A錯誤；對B，設(shè)，函數(shù)定義域為，且，則為偶函數(shù)，故B正確；對C，設(shè)，，，則不是偶函數(shù)，故C錯誤；對D，設(shè)，函數(shù)定義域為，因為，且不恒為0，則不是偶函數(shù)，故D錯誤.7．（2024·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）設(shè)函數(shù)，若，則的最小值為（

）A． B． C． D．1【答案】C解：由題意可知：的定義域為，令解得；令解得；則當(dāng)時，，故，所以；時，，故，所以；故，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以的最小值為.8．（2024·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）設(shè)函數(shù)，，當(dāng)時，曲線與恰有一個交點(diǎn)，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】D解：令，原題意等價于有且僅有一個零點(diǎn)，因為，則為偶函數(shù)，根據(jù)偶函數(shù)的對稱性可知的零點(diǎn)只能為0，即，解得，若，則，又因為當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，即有且僅有一個零點(diǎn)0，所以符合題意.9．（2024·北京·高考真題）生物豐富度指數(shù)是河流水質(zhì)的一個評價指標(biāo)，其中分別表示河流中的生物種類數(shù)與生物個體總數(shù).生物豐富度指數(shù)d越大，水質(zhì)越好．如果某河流治理前后的生物種類數(shù)沒有變化，生物個體總數(shù)由變?yōu)?，生物豐富度指數(shù)由提高到，則（

）A．B．C． D．【答案】D【詳解】由題意得，則，即，所以.10．（2024·廣東江蘇·高考真題）已知函數(shù)的定義域為R，，且當(dāng)時，則下列結(jié)論中一定正確的是（

）A．B．C． D．【答案】B【詳解】因為當(dāng)時，所以，又因為，則，，，，，則依次下去可知，則B正確；且無證據(jù)表明ACD一定正確.11．（2024·北京·高考真題）已知，是函數(shù)的圖象上兩個不同的點(diǎn)，則（

）A．B．C． D．【答案】B【詳解】由題意不妨設(shè)，因為函數(shù)是增函數(shù)，所以，即，對于選項AB：可得，即，根據(jù)函數(shù)是增函數(shù)，所以，故B正確，A錯誤；對于選項D：例如，則，可得，即，故D錯誤；對于選項C：例如，則，可得，即，故C錯誤，二、多選題12．（2024·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）設(shè)函數(shù)，則（

）A．當(dāng)時，有三個零點(diǎn)B．當(dāng)時，是的極大值點(diǎn)C．存在a，b，使得為曲線的對稱軸D．存在a，使得點(diǎn)為曲線的對稱中心【答案】AD【詳解】A選項，，由于，故時，故在上單調(diào)遞增，時，，單調(diào)遞減，則在處取到極大值，在處取到極小值，由，，則，根據(jù)零點(diǎn)存在定理在上有一個零點(diǎn)，又，，則，則在上各有一個零點(diǎn)，于是時，有三個零點(diǎn)，A選項正確；B選項，，時，，單調(diào)遞減，時，單調(diào)遞增，此時在處取到極小值，B選項錯誤；C選項，假設(shè)存在這樣的，使得為的對稱軸，即存在這樣的使得，即，根據(jù)二項式定理，等式右邊展開式含有的項為，于是等式左右兩邊的系數(shù)都不相等，原等式不可能恒成立，于是不存在這樣的，使得為的對稱軸，C選項錯誤；D選項，方法一：利用對稱中心的表達(dá)式化簡，若存在這樣的，使得為的對稱中心，則，事實(shí)上，，于是,即，解得，即存在使得是的對稱中心，D選項正確.方法二：直接利用拐點(diǎn)結(jié)論任何三次函數(shù)都有對稱中心，對稱中心的橫坐標(biāo)是二階導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)，，，，由，于是該三次函數(shù)的對稱中心為，由題意也是對稱中心，故，即存在使得是的對稱中心，D選項正確.13．（2024·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）對于函數(shù)和，下列說法中正確的有（

）A．與有相同的零點(diǎn) B．與有相同的最大值C．與有相同的最小正周期 D．與的圖象有相同的對稱軸【答案】BC【詳解】A選項，令，解得，即為零點(diǎn)，令，解得，即為零點(diǎn)，顯然零點(diǎn)不同，A選項錯誤；B選項，顯然，B選項正確；C選項，根據(jù)周期公式，的周期均為，C選項正確；D選項，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)的對稱軸滿足，的對稱軸滿足，顯然圖像的對稱軸不同，D選項錯誤.14．（2024·廣東江蘇·高考真題）設(shè)函數(shù)，則（

）A．是的極小值點(diǎn) B．當(dāng)時，C．當(dāng)時， D．當(dāng)時，【答案】ACD【詳解】對A，因為函數(shù)的定義域為R，而，易知當(dāng)時，，當(dāng)或時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故是函數(shù)的極小值點(diǎn)，正確；對B，當(dāng)時，，所以，而由上可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，錯誤；對C，當(dāng)時，，而由上可知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，即，正確；對D，當(dāng)時，，所以，正確；15．（2023·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）若函數(shù)既有極大值也有極小值，則（

）A． B． C． D．【答案】BCD【詳解】函數(shù)的定義域為，求導(dǎo)得，因為函數(shù)既有極大值也有極小值，則函數(shù)在上有兩個變號零點(diǎn)，而，因此方程有兩個不等的正根，于是，即有，，，顯然，即，A錯誤，BCD正確.三、填空題16．（2024·全國甲卷·高考真題）已知且，則．【答案】64【詳解】由題，整理得，或，又，所以，故.17．（2024·廣東江蘇·高考真題）若曲線在點(diǎn)處的切線也是曲線的切線，則.【答案】【詳解】由得，，故曲線在處的切線方程為；由得，設(shè)切線與曲線相切的切點(diǎn)為，由兩曲線有公切線得，解得，則切點(diǎn)為，切線方程為，根據(jù)兩切線重合,所以，解得.18．（2023·北京·高考真題）已知函數(shù)，則．【答案】1【詳解】函數(shù)，所以.19．（2023·全國甲卷·高考真題）若為偶函數(shù)，則．【答案】2【詳