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解三角形:中線問題、角平分線問題、高線問題專項訓(xùn)練考點一考點一中線問題1.(24-25高三上·湖北武漢·期末)在中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,點D為線段AC的中點,A,C滿足(1)求B;(2)若的面積為,,求中線BD的長.【答案】(1)(2)【詳解】(1)因為,所以,又因為所以,,得,所以,由余弦定理得,又B為三角形內(nèi)角,所以,(2)因為的面積為,,,所以,,所以,又,因為BD為的中線,所以,,所以,,所以2.(23-24高一下·廣東廣州·期中)在中,內(nèi)角的對邊分別是,,.(1)求角;(2)若,求邊上的角平分線長;(3)若為銳角三角形,求邊上的中線的取值范圍.【答案】(1)(2)(3)【詳解】(1)在中,由正弦定理及,得,即,而,,解得,又,所以.(2)由及,余弦定理得,又,解得,由得,即,則,所以.(3)因為是的中點,所以,則,由正弦定理得,即,為銳角三角形,,所以,所以,所以,所以,所以,所以,即邊上的中線的取值范圍為.3.(23-24高一下·廣東汕尾·期中)如圖,在中,已知,,,BC,AC邊上的兩條中線AM,BN相交于點P.(1)求;(2)求∠MPN的余弦值.【答案】(1)(2)【詳解】(1)因為,為的中點,所以,在中,,所以(2)因為為的中點,所以,又,所以,所以,,所以,又與的夾角相等,所以,所以的余弦值為.4.(24-25高三上·廣東佛山·階段練習(xí))在中,內(nèi)角所對邊的長分別為,且滿足.(1)求;(2)若,是的中線,求的長.【答案】(1)(2)【詳解】(1)因為,所以由正弦定理得,因為,所以,又,故又,所以;(2)因為,由余弦定理得,,因為,所以,因為是的中線,所以,所以,故.5.(24-25高三上·廣東深圳·期末)已知的內(nèi)角所對的邊分別為,,,且.(1)求角的大小;(2)若的面積為,中線,求.【答案】(1)(2)【詳解】(1)在中,,則,因為,則,由正弦定理得:,所以,所以,又,得,所以,即,由,解得.(2)因為的面積為,所以,由(1)知,故,因為為中線,即為中點,則,又,則,所以,解得,由余弦定理得,所以.6.(24-25高三上·河北石家莊·階段練習(xí))在中,角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,滿足.(1)求角A;(2)若,邊上的中線,求的面積.【答案】(1);(2).【詳解】(1)因為,,所以由正弦定理得,又因為,所以,所以,所以即,又因為,所以,所以,所以.(2)因為,所以即,所以,所以由余弦定理得,解得,所以.

考點考點二角平分線問題1.(24-25高三上·重慶·期中)在中,角的對邊分別為.已知,;(1)求角的值;(2)的角平分線交于點,求的長.【答案】(1)(2)【詳解】(1)因為,所以;因為,所以;(2)由(1)知,由余弦定理得,則可得,由,可得,所以,因為,即,所以.2.(24-25高三上·山東淄博·期中)在中,角所對的邊分別為,且.(1)求角的大小;(2)若,求的面積的最大值;(3)設(shè)是邊上一點,為角平分線且,求的值.【答案】(1)(2)(3)【詳解】(1)由和正弦定理,可得,因,代入可得,因,則,故,又因,故;(2)由余弦定理,,因,,代入整理得:,由,當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立,此時,而的面積,在中,由,,和,易得,即當(dāng)時,的面積的最大值為;(3)如圖,因平分,且,則,即,在中,由余弦定理,,即得,則,故.3.(24-25高三上·廣東廣州·階段練習(xí))在①;②邊上的高為;③這三個條件中任選一個,補(bǔ)充在下面問題中并完成解答.問題:記內(nèi)角,,的對邊分別為,,,已知,,______.(1)求的值;(2)設(shè)是的角平分線,求的長.【答案】(1)(2)【詳解】(1)選條件①:,,由余弦定理,即,∴,;選條件②;邊上的高為,由三角形的面積公式得,解得,;選條件③:,由題意可知,所以.因為,所以.由正弦定理得,即,解得,.(2)選條件①:因為是的角平分線,所以,,,則,由正弦定理,得;選條件②;因為是的角平分線,所以,,,,則,由正弦定理,得;選條件③:因為是的角平分線,所以,由題意可知,,∴則,由正弦定理,得.4.(24-25高三上·重慶·階段練習(xí))銳角的內(nèi)角所對的邊分別為,若,且,.(1)求邊的值;(2)求內(nèi)角的角平分線的長.【答案】(1)(2)【詳解】(1)因為,由正弦定理可得:,即,又因為,則,可得,又因為,所以.由余弦定理可得,即,則,解得:,或,由于三角形為銳角三角形,故,故,進(jìn)而只取,故.(2)根據(jù)面積關(guān)系可得,即,解得:.5.(24-25高三下·浙江·開學(xué)考試)已知的內(nèi)角的對邊分別是,已知.(1)求角的大?。?2)若為上一點,且,為的角平分線,求線段的長.【答案】(1)(2)【詳解】(1)由得,故,故即,因,故(2)由角平分線定理得:,則,在中,由余弦定理得:,得,由得:,得.6.(24-25高三下·云南德宏·階段練習(xí))在中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知,且.(1)求cosA;(2)若點D在線段BC上,AD為的角平分線,且,求的周長.【答案】(1)(2).【詳解】(1)由,得,所以,所以.(2)由(1)知.由題意知,,即,化簡得.在中,,,根據(jù)余弦定理有,則,解得,從而,所以的周長為.

考點考點三高線問題1.(2025·河南鄭州·一模)記的內(nèi)角A,B,C的對邊為a,b,c,已知,(1)求(2)設(shè),求邊上的高.【答案】(1)(2)【詳解】(1)在中,,,而A為三角形內(nèi)角,,,整理得,得,又,且,(2)由正弦定理得,得,由(1)得,,,,設(shè)邊上的高為h,則,邊上的高為2.(24-25高三上·廣東深圳·階段練習(xí))記的內(nèi)角的對邊分別為,已知.(1)求.(2)若的面積為,,求邊上的高.【答案】(1)(2)【詳解】(1)由已知條件及正弦定理,得.又,,則,,則.又,,則,解得.(2)由的面積為,得,,則.由余弦定理,得,.又,,解得.,.設(shè)邊上的高為,則,.3.(24-25高三上·廣東惠州·階段練習(xí))請在①向量,,且;②;③這三個條件中任選一個,補(bǔ)充在下面的問題中,并解答.如果選擇多個條件分別作答,按第一個解答計分.在中,內(nèi)角,,的對邊分別為,,,且滿足______.(1)求的大?。?2)若邊上的高為,求面積的最小值.【答案】(1)(2)【詳解】(1)選擇①,因為向量,,且,所以,所以,所以,所以,因為,所以,所以,所以,又,所以;選擇②,由,得,所以,所以,所以,所以,所以,又,所以;選擇③,因為,所以,因為,所以,所以,所以,所以,所以,又,所以;(2)因為,所以,由余弦定理可得,當(dāng)且僅當(dāng)時取等號,所以,解得,所以,所以面積的最小值為.4.(24-25高三上·北京·階段練習(xí))在中,內(nèi)角所對的邊分別為,.(1)求;(2)再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知,使存在且唯一確定,求邊上高線的長.條件①:;條件②:;條件③:.注:如果選擇的條件不符合要求,第(2)問得0分;如果選擇多個要求的條件分別解答,按第一個解答計分.【答案】(1)(2)答案見解析【詳解】(1)因為,由正弦定理可得,又,則,所以,則,又,解得;(2)若選條件①:,由正弦定理知,可得,又,故滿足所選條件的三角形不存在,不滿足題意;若選條件②:,由余弦定理可得,,即得(負(fù)值舍去),所以滿足條件的三角形唯一,設(shè)邊上的高為,由三角形等面積法可知,即,解得,故邊上高線的長為.若選條件③:,由正弦定理可得,即,所以,又,解得或,有兩解,不符合題意.5.(24-25高三上·安徽亳州·開學(xué)考試)在中,內(nèi)角所對的邊分別為.(1)求;(2)若的面積為邊上的高為1,求的周長.【答案】(1)(2).【詳解】(1)由,得,①由,得,②由①②聯(lián)立,得,由,得,所以,又由,得.(2)因為的面積為,所以,得.由,即,所以.由余弦定理,得,即,所以,可得,所以的周長為.6.(24-25高三上·

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