解三角形：中線問題、角平分線問題、高線問題專項訓(xùn)練（解析版）

解三角形：中線問題、角平分線問題、高線問題專項訓(xùn)練考點一考點一中線問題1．（24-25高三上·湖北武漢·期末）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，點D為線段AC的中點，A，C滿足(1)求B；(2)若的面積為，，求中線BD的長．【答案】(1)(2)【詳解】（1）因為，所以，又因為所以，，得，所以，由余弦定理得，又B為三角形內(nèi)角，所以，（2）因為的面積為，，，所以，，所以，又，因為BD為的中線，所以，，所以，，所以2．（23-24高一下·廣東廣州·期中）在中，內(nèi)角的對邊分別是，，．(1)求角；(2)若，求邊上的角平分線長；(3)若為銳角三角形，求邊上的中線的取值范圍．【答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）在中，由正弦定理及，得，即，而，，解得，又，所以.（2）由及，余弦定理得，又，解得，由得，即，則，所以.（3）因為是的中點，所以，則，由正弦定理得，即，為銳角三角形，，所以，所以，所以，所以，所以，所以，即邊上的中線的取值范圍為．3．（23-24高一下·廣東汕尾·期中）如圖，在中，已知，，，BC，AC邊上的兩條中線AM，BN相交于點P．(1)求；(2)求∠MPN的余弦值．【答案】(1)(2)【詳解】（1）因為，為的中點，所以,在中，，所以（2）因為為的中點，所以，又，所以,所以，，所以，又與的夾角相等，所以，所以的余弦值為.4．（24-25高三上·廣東佛山·階段練習(xí)）在中，內(nèi)角所對邊的長分別為，且滿足．(1)求；(2)若，是的中線，求的長．【答案】(1)(2)【詳解】（1）因為，所以由正弦定理得，因為，所以，又，故又，所以；（2）因為，由余弦定理得，，因為，所以，因為是的中線，所以，所以，故．5．（24-25高三上·廣東深圳·期末）已知的內(nèi)角所對的邊分別為，，，且．(1)求角的大小；(2)若的面積為，中線，求．【答案】(1)(2)【詳解】（1）在中，，則，因為，則，由正弦定理得：，所以，所以，又，得，所以，即，由，解得.（2）因為的面積為，所以，由（1）知，故，因為為中線，即為中點，則，又，則，所以，解得，由余弦定理得，所以.6．（24-25高三上·河北石家莊·階段練習(xí)）在中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，滿足.(1)求角A；(2)若，邊上的中線，求的面積．【答案】(1)；(2).【詳解】（1）因為，，所以由正弦定理得，又因為，所以，所以，所以即，又因為，所以，所以，所以.（2）因為，所以即，所以，所以由余弦定理得，解得，所以.

考點考點二角平分線問題1．（24-25高三上·重慶·期中）在中，角的對邊分別為．已知，；(1)求角的值；(2)的角平分線交于點，求的長．【答案】(1)(2)【詳解】（1）因為，所以；因為，所以；（2）由（1）知，由余弦定理得，則可得，由，可得，所以，因為，即，所以.2．（24-25高三上·山東淄博·期中）在中，角所對的邊分別為，且.(1)求角的大小；(2)若，求的面積的最大值；(3)設(shè)是邊上一點，為角平分線且，求的值.【答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）由和正弦定理，可得，因，代入可得，因,則，故，又因,故；（2）由余弦定理，，因，，代入整理得：，由，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，此時，而的面積，在中，由，，和，易得，即當(dāng)時，的面積的最大值為；（3）如圖，因平分,且，則,即，在中，由余弦定理，，即得，則，故.3．（24-25高三上·廣東廣州·階段練習(xí)）在①；②邊上的高為；③這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面問題中并完成解答．問題：記內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知，，______．(1)求的值；(2)設(shè)是的角平分線，求的長．【答案】(1)(2)【詳解】（1）選條件①：，，由余弦定理，即，∴，；選條件②；邊上的高為，由三角形的面積公式得，解得，；選條件③：，由題意可知，所以．因為，所以．由正弦定理得，即，解得，．（2）選條件①：因為是的角平分線，所以，，，則，由正弦定理，得；選條件②；因為是的角平分線，所以，，，，則，由正弦定理，得；選條件③：因為是的角平分線，所以，由題意可知，，∴則，由正弦定理，得．4．（24-25高三上·重慶·階段練習(xí)）銳角的內(nèi)角所對的邊分別為，若，且，.(1)求邊的值；(2)求內(nèi)角的角平分線的長．【答案】(1)(2)【詳解】（1）因為，由正弦定理可得：，即，又因為，則，可得，又因為，所以．由余弦定理可得，即，則，解得：，或，由于三角形為銳角三角形，故，故，進(jìn)而只取，故.（2）根據(jù)面積關(guān)系可得，即，解得：．5．（24-25高三下·浙江·開學(xué)考試）已知的內(nèi)角的對邊分別是，已知.(1)求角的大?。?2)若為上一點，且，為的角平分線，求線段的長.【答案】(1)(2)【詳解】（1）由得，故，故即，因，故（2）由角平分線定理得：，則，在中，由余弦定理得：，得，由得：，得.6．（24-25高三下·云南德宏·階段練習(xí)）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，且．(1)求cosA；(2)若點D在線段BC上，AD為的角平分線，且，求的周長．【答案】(1)(2)．【詳解】（1）由，得，所以，所以．（2）由（1）知．由題意知，，即，化簡得．在中，，，根據(jù)余弦定理有，則，解得，從而，所以的周長為．

考點考點三高線問題1．（2025·河南鄭州·一模）記的內(nèi)角A，B，C的對邊為a，b，c，已知，(1)求(2)設(shè)，求邊上的高.【答案】(1)(2)【詳解】（1）在中，，，而A為三角形內(nèi)角，，，整理得，得，又，且，（2）由正弦定理得，得，由（1）得，，，，設(shè)邊上的高為h，則，邊上的高為2．（24-25高三上·廣東深圳·階段練習(xí)）記的內(nèi)角的對邊分別為，已知．(1)求．(2)若的面積為，，求邊上的高．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由已知條件及正弦定理，得．又，，則，，則．又，，則，解得．（2）由的面積為，得，，則．由余弦定理，得，．又，，解得．，．設(shè)邊上的高為，則，．3．（24-25高三上·廣東惠州·階段練習(xí)）請在①向量，，且；②；③這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面的問題中，并解答.如果選擇多個條件分別作答，按第一個解答計分.在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且滿足______.(1)求的大?。?2)若邊上的高為，求面積的最小值.【答案】(1)(2)【詳解】（1）選擇①，因為向量，，且，所以，所以，所以，所以，因為，所以，所以，所以，又，所以；選擇②，由，得，所以，所以，所以，所以，所以，又，所以；選擇③，因為，所以，因為，所以，所以，所以，所以，所以，又，所以；（2）因為，所以，由余弦定理可得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以，解得，所以，所以面積的最小值為.4．（24-25高三上·北京·階段練習(xí)）在中，內(nèi)角所對的邊分別為，．(1)求；(2)再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使存在且唯一確定，求邊上高線的長．條件①：；條件②：；條件③：．注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個要求的條件分別解答，按第一個解答計分．【答案】(1)(2)答案見解析【詳解】（1）因為，由正弦定理可得，又，則，所以，則，又，解得；（2）若選條件①：，由正弦定理知，可得，又，故滿足所選條件的三角形不存在，不滿足題意；若選條件②：，由余弦定理可得，，即得（負(fù)值舍去），所以滿足條件的三角形唯一，設(shè)邊上的高為，由三角形等面積法可知，即，解得，故邊上高線的長為．若選條件③：，由正弦定理可得，即，所以，又，解得或，有兩解，不符合題意．5．（24-25高三上·安徽亳州·開學(xué)考試）在中，內(nèi)角所對的邊分別為．(1)求；(2)若的面積為邊上的高為1，求的周長．【答案】(1)(2)．【詳解】（1）由，得，①由，得，②由①②聯(lián)立，得，由，得，所以，又由，得．（2）因為的面積為，所以，得．由，即，所以．由余弦定理，得，即，所以，可得，所以的周長為．6．（24-25高三上·