難點(diǎn)01 平面向量的綜合問題（八大難點(diǎn)+真題精煉）（解析版）-1

難點(diǎn)01平面向量的綜合問題熱點(diǎn)一平面向量共線定理的推論（需聯(lián)立）例1．已知中，分別為邊上的點(diǎn)，且，.與的交點(diǎn)為，若，則.【答案】【詳解】由三點(diǎn)共線，得：，又，所以有，解得.故答案為：.例2．在中，D，E分別是線段BC，AC的中點(diǎn)，，P是直線AD與EF的交點(diǎn)，則．【答案】【詳解】因為，所以．因為E是線段AC的中點(diǎn)，所以．因為E，P，F(xiàn)共線，所以．因為D是線段BC的中點(diǎn)，所以．因為A，P，D共線，所以，則解得，故．故答案為：.變式1-1．在中，點(diǎn)P是AB上一點(diǎn)，且，Q是BC的中點(diǎn)，AQ與CP的交點(diǎn)為M，且，求t的值．【答案】【詳解】如圖所示：因為，所以，所以，即，所以點(diǎn)P是AB的一個三等分點(diǎn)（靠近A點(diǎn)），又因為A，M，Q三點(diǎn)共線，且Q為BC的中點(diǎn)，設(shè)，則，，因為，所以，則，解得，所以t的值是.變式1-2．在△中，已知，，且AD與BC的交點(diǎn)為M，E是OA中點(diǎn)，又直線ME與線段OB交于點(diǎn)F，若，則實(shí)數(shù)的值為．【答案】【詳解】由題設(shè)，可得如下示意圖，且，且，且，所以，可得，即，所以，可得.故答案為：.變式1-3．平面內(nèi)有四邊形，，且，，，是的中點(diǎn)．（1）試用，表示；（2）上有點(diǎn)，和的交點(diǎn)，，求和．【答案】(1)；(2)【詳解】(1)由于M是CD的中點(diǎn)，則；(2)設(shè)，則，設(shè)，由于不共線，則有，解得.故.共線定理的推論：設(shè)是平面內(nèi)的任意一點(diǎn)，點(diǎn)共線的充要條件是存在唯一實(shí)數(shù)使得.若線段與線段交于點(diǎn)，則可利用推論得到，然后利用題意將轉(zhuǎn)化成和，然后對應(yīng)系數(shù)相等得到二元一次方程組熱點(diǎn)二數(shù)量積的最值范圍問題例3．是邊長為2的正三角形，為所在平面內(nèi)任意一點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．-2【答案】B【詳解】設(shè)的中點(diǎn)為的中點(diǎn)為E則有，則，而而，，故當(dāng)P與E重合時，有最小值，所以的最小值為，故選：B.例4．如圖，在邊長為1的正方形中，是對角線上一點(diǎn)，且，則，若點(diǎn)為線段（含端點(diǎn)）上的動點(diǎn)，則的最小值為．

【答案】【詳解】，，故，，故；點(diǎn)為線段（含端點(diǎn)）上的動點(diǎn)，設(shè)，，，，其中，，故當(dāng)時，取得最小值，最小值為.故答案為：，【點(diǎn)睛】平面向量解決幾何最值問題，通常有兩種思路：①形化，即用平面向量的幾何意義將問題轉(zhuǎn)化為平面幾何中的最值或取值范圍問題，然后根據(jù)平面圖形的特征直接進(jìn)行求解；②數(shù)化，即利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，把問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的函數(shù)最值與值域，不等式的解集，方程有解等問題，然后利用函數(shù)，不等式，方程的有關(guān)知識進(jìn)行求解.變式2-1．如圖，在等腰直角中，，，為的中點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到線段設(shè)為線段上的點(diǎn)，則的最小值為．【答案】【詳解】連接，，，因為，為，的中點(diǎn)，所以四邊形為矩形，則，，．設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號，所以的最小值為．故答案為：.變式2-2．（多選）正六邊形ABCDEF的邊長為2，G為正六邊形邊上的動點(diǎn)，則的值可能為（

）A． B． C．12 D．16【答案】ABC【詳解】連接與相交于點(diǎn)，由正六邊形的幾何性質(zhì)，⊥，，正六邊形ABCDEF的邊長為2，故，，故，故點(diǎn)在上的投影為，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時，此時的投影向量為，與方向相同此時取得最大值，最大值為，故當(dāng)與重合時，的投影向量為，與方向相反，此時取得最小值，最小值為，故，ABC正確，D錯誤.故選：ABC變式2-3．在等腰梯形中，，，，．

(1)若與垂直，求的值；(2)若為邊上的動點(diǎn)(不包括端點(diǎn)），求的最小值．【答案】(1)(2)【詳解】（1）過作于，等腰梯形中易知，又，故可得，如圖所示：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，

則，所以，故因為與垂直，所以，解得；（2）設(shè)，，則，，則，則，對，其對稱軸，故其最小值為，所以的最小值為.平面向量求最值范圍的常用方法：1.定義法：先利用數(shù)量積的概念及其運(yùn)算律轉(zhuǎn)化所求問題，再運(yùn)用基本不等式或二次函數(shù)性質(zhì)求其最值問題2.基底法：利用基底轉(zhuǎn)化向量，然后根據(jù)向量運(yùn)算律化簡目標(biāo)，接著運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法如二次函數(shù)的思想、基本不等式的思想、三角函數(shù)思想等得出結(jié)論3.坐標(biāo)法：先根據(jù)題意建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系并寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，將平面向量的運(yùn)算坐標(biāo)化，然后運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法如二次函數(shù)的思想、基本不等式的思想、三角函數(shù)思想等求解4.數(shù)形結(jié)合法：結(jié)合條件進(jìn)行向量關(guān)系推導(dǎo)，然后利用向量之間的關(guān)系確定向量所表達(dá)的點(diǎn)的軌跡，結(jié)合圖形,確定臨界位置的動態(tài)分析求出范圍。熱點(diǎn)三模的最值范圍問題例5．在平面直角坐標(biāo)系中，為原點(diǎn)，，動點(diǎn)滿足，則的最大值是【答案】/【詳解】動點(diǎn)的軌跡為以為圓心的單位圓，則設(shè)為，則.等號成立當(dāng)且僅當(dāng)，且規(guī)定是銳角，.故答案為：.例6．如圖，圓和圓外切于點(diǎn)，，分別為圓和圓上的動點(diǎn)，已知圓和圓的半徑都為1，且，則的最大值為（

）A．2 B．4 C． D．【答案】D【詳解】，所以，所以，即，解得..故選：D變式3-1．已知平面非零向量和單位向量，若與的夾角為與的夾角為，則的最小值為．【答案】【詳解】，，如圖作，

，則，，所以，即，又為單位向量，所以，在中，由正弦定理，則，所以點(diǎn)的軌跡在如圖以為圓心，半徑為的圓上，由圖可知，當(dāng)且所在直線過圓心點(diǎn)時最小，作于，于，于，則，，則，所以.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：設(shè)，關(guān)鍵能夠根據(jù)已知條件確定的軌跡為圓，從而當(dāng)且所在直線過圓心點(diǎn)時最小，即可求解.變式3-2．平面向量滿足，且，則的最小值為．【答案】【詳解】由，則，設(shè)，設(shè)，，，因為，所以，設(shè)，則表示，而，所以點(diǎn)在線段上，，設(shè)，則表示，設(shè)點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，由圖可知的最小為的長，則，則，所以的最小值為，故答案為：．

變式3-3．如圖，邊長為4的正方形中心與單位圓圓心重合，M，N分別在圓周上，正方形的四條邊上運(yùn)動，則的取值范圍是（

）

A． B． C． D．【答案】B【詳解】如圖，的反向延長線與單位圓交于點(diǎn)，則，，所以，又由題意的最大值是，最小值是2，而在單位圓上，因此的最大值是，最小值是，即所求值域是．故選：B．

熱點(diǎn)四夾角的最值范圍問題例7．如圖在直角梯形中，，，點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)，以A為圓心AD為半徑作圓交AB于點(diǎn)G，點(diǎn)P為劣弧DG（包含D，G兩點(diǎn)）上的一點(diǎn)，AC與劣弧、BE分別交于點(diǎn)F，H.

(1)求向量與夾角的余弦值；(2)若向量，求實(shí)數(shù)x，y的值；(3)若向量與的夾角為，求的最小值.【答案】(1)(2)，(3)0【詳解】（1）易得，且為正三角形，所以，.以點(diǎn)為原點(diǎn)，、分別為、軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系，，得，，所以.

（2），又因為，，三點(diǎn)共線，所以，解得.，，解得，（3）法一：點(diǎn)為中點(diǎn)，因為，所以以為直徑的圓與圓外切.因為圓周角大于圓外角，所以的最大值為，即的最小值為0.法二：設(shè)，且如（1）所建平面直角坐標(biāo)系，則，，.當(dāng)時，取到最小值0，所以的最小值為0.例8．在中，點(diǎn)D滿足且，則當(dāng)角A最大時，cosA的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】根據(jù)題意得到點(diǎn)的軌跡，利用圓的切線的幾何性質(zhì)求得最大時，的值.【詳解】由于，所以在以為直徑的圓上（除兩點(diǎn)）.所以當(dāng)直線與圓相切時，最大.當(dāng)直線與圓相切時，，由于，設(shè)，則，.，.故選：C【點(diǎn)睛】本題的關(guān)鍵條件為“”，由此可以判斷出點(diǎn)的軌跡，從而可結(jié)合圓的切線的幾何性質(zhì)來進(jìn)行求解.變式4-1．已知是平面向量，滿足，且，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】設(shè)，，由題意，知B在以O(shè)為圓心，半徑為3的圓上及圓的內(nèi)部，由，知B在以A為圓心，半徑為2的圓上及圓的內(nèi)部，如圖所示則B只能在陰影部分區(qū)域，要最小，則應(yīng)最大，此時.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查向量夾角的最值問題，本題采用數(shù)形結(jié)合的辦法處理，更直觀，是一道中檔題.變式4-2．已知O為的外心，且．若向量在向量上的投影向量為，其中，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】因為，所以，又因為O為的外心，所以為直角三角形且，O為斜邊BC的中點(diǎn)，過作的垂線，垂足為，因為在上的投影向量為，所以在上的投影向量為，又因為，所以，因為，所以，即的取值范圍為．故選：D.

變式4-3．已知平面向量，，，滿足，，則向量與所成夾角的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】，即，；，即，；設(shè)向量與所成夾角為，（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）；又，.故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查向量夾角最值的求解問題，解題關(guān)鍵是能根據(jù)向量夾角的計算公式，將向量夾角的余弦值表示為關(guān)于的函數(shù)的形式，利用基本不等式求解函數(shù)的最小值即可得到夾角的最大值.熱點(diǎn)五利用等和弦解決系數(shù)和差商方問題例9．在中，點(diǎn)滿足，當(dāng)點(diǎn)在線段（不包含端點(diǎn)）上移動時，若，則的取值范圍是A． B． C． D．【答案】C【詳解】如圖所示，△ABC中，，∴（），又點(diǎn)E在線段AD（不含端點(diǎn)）上移動，設(shè)k，0＜k＜1，∴，又，∴，∴．∵在（0，1）上單調(diào)遞減，∴λ的取值范圍為（，+∞），故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的線性運(yùn)算與基本不等式的應(yīng)用問題，是中檔題．例10．如圖，在中，M，N分別是線段，上的點(diǎn)，且，，D，E是線段上的兩個動點(diǎn)，且，則的最小值是（

）A．4 B． C． D．2【答案】B【詳解】設(shè)，，，，則，，，，.所以，當(dāng)且僅當(dāng)，時等號成立.所以的最小值是.故選：B變式5-1．如圖，在中，分別為上的點(diǎn)，且，，.設(shè)為四邊形內(nèi)一點(diǎn)（點(diǎn)不在邊界上），若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為【答案】【詳解】取BD中點(diǎn)M,過M作MH//DE交DF,AC分別為G,H,如圖：則由可知,P點(diǎn)在線段GH上運(yùn)動（不包括端點(diǎn)）當(dāng)與重合時，根據(jù),可知，當(dāng)與重合時,由共線可知，即，結(jié)合圖形可知.【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量的線性運(yùn)算，加法平行四邊形法則，三點(diǎn)共線，數(shù)形結(jié)合的思想方法，屬于難題.變式5-2．如圖，矩形中，，，、分別為線段、上的點(diǎn)，且滿足，若，則的最小值為．

【答案】【詳解】由題意，易知不為，建立如圖所示坐標(biāo)系，

設(shè)點(diǎn)，，，，，，，，，即，，，，，故，即，設(shè)，當(dāng)三點(diǎn)共線時，在直線的異側(cè)，故，則，則，即，故，即，解得或（舍去）；故答案為：．變式5-3．在中，點(diǎn)滿足，當(dāng)點(diǎn)在線段上移動時，若，則的最小值是．【答案】/0.9【詳解】如圖所示，中，，∴，又點(diǎn)點(diǎn)在線段上移動，設(shè)，，∴，又，∴，∴，∴當(dāng)時，取到最小值，最小值為.故答案為：．平面內(nèi)一組基底及任一向量，，若點(diǎn)在直線上或者在平行于的直線上，則（定值），反之也成立，我們把直線以及與直線平行的直線稱為等和線。①當(dāng)?shù)群途€恰為直線時，；②當(dāng)?shù)群途€在點(diǎn)和直線之間時，；③當(dāng)直線在點(diǎn)和等和線之間時，；④當(dāng)?shù)群途€過點(diǎn)時，；⑤若兩等和線關(guān)于點(diǎn)對稱，則定值互為相反數(shù)；熱點(diǎn)六平面向量的“四心”問題例11．（多選）已知三角形ABC滿足，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若點(diǎn)O為的重心，則，B．若點(diǎn)O為的外心，則C．若點(diǎn)O為的垂心，則，D．若點(diǎn)O為的內(nèi)心，則．【答案】ABD【詳解】選項A：如圖，點(diǎn)O為的重心時，，故A正確；

選項B：若點(diǎn)O為的外心，如圖，為線段的垂直平分線，則，同理，，故B正確；

選項C：當(dāng)時，則為的垂心，，重合，此時，故C錯誤；

選項D：若點(diǎn)O為的內(nèi)心，在的平分線上，則，故D正確.故選：ABD例12．（多選）著名數(shù)學(xué)家歐拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，此直線被稱為三角形的歐拉線，該定理被稱為歐拉線定理．已知的外心為，重心為，垂心為，為中點(diǎn)，且，，則下列各式正確的有（

）A．B．C．D．【答案】BC【詳解】由是的重心可得，所以，故A項錯誤；過的外心分別作，的垂線，垂足為，，如圖(1)，易知，分別是，的中點(diǎn)，則，故B項正確；因為是的重心，所以有，故，由歐拉線定理可得，故C項正確：如圖(2)，由于，所以，故D錯誤．故選:BC.變式6-1．（多選）下列說法中正確的是（

）A．若是內(nèi)一點(diǎn)，且，則為的垂心B．若是內(nèi)一點(diǎn)，且，則為的外心C．在四邊形中，若，則四邊形為菱形D．若是內(nèi)一點(diǎn)，且，則為的內(nèi)心【答案】ABC【詳解】因為，所以，則，所以是三條高線的交點(diǎn)，為垂心，所以A正確；若，即，即，所以，即，所以為三角形的外心，所以B正確；若四邊形中，，即，則四邊形為平行四邊形，又由，所以，則平行四邊形的對角線垂直，所以四邊形為菱形，所以C正確；如圖所示，因為，又由是以為鄰邊的平行四邊形對角線且過中點(diǎn)，設(shè)中點(diǎn)為，則，所以，即，因為是中點(diǎn)，所以三點(diǎn)共線，則為的重心，所以D不正確.故選：ABC.變式6-2．已知所在的平面上的動點(diǎn)滿足，則直線一定經(jīng)過的（

）A．重心 B．外心 C．內(nèi)心 D．垂心【答案】C【詳解】解：因為，根據(jù)平行四邊形法則知表示的向量在三角形角的平分線上，而向量與共線，點(diǎn)的軌跡過的內(nèi)心.故選：．變式6-3．（多選）對于給定的，其外心為O，重心為G，垂心為H，內(nèi)心為Q，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．若三點(diǎn)共線，則存在實(shí)數(shù)使【答案】AD【詳解】解：對于A：給定的，其外心為，所以，故A正確；對于B：由于點(diǎn)為給定的的重心，故，故B錯誤；對于C：點(diǎn)為給定的的垂心，所以，因為重心為G，則有，，所以，若，則點(diǎn)H為重心，與題意矛盾，因為故C錯誤；對于D：由于點(diǎn)在的平分線上，所以為單位向量，所以在的平分線上，所以存在實(shí)數(shù)使，故D正確．故選：AD．1.重心向量式設(shè)是的重心,為平面內(nèi)任意一點(diǎn),則有①;②③若,則動點(diǎn)的軌跡經(jīng)過三角形的重心④若,則動點(diǎn)的軌跡經(jīng)過三角形的重心2.垂心向量式若是的垂心,為平面內(nèi)任意一點(diǎn),則有:①;②③,則動點(diǎn)的軌跡通過的垂心3.內(nèi)心向量式若是的垂心,則有：①②,則動點(diǎn)的軌跡經(jīng)過三角形的內(nèi)心4.外心向量式若是的外心,為平面內(nèi)任意一點(diǎn),則①②③,則動點(diǎn)的軌跡通過外心.④若熱點(diǎn)七奔馳定理例13．“奔馳定理”是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論，因為這個定理對應(yīng)的圖形與“奔馳”的很相似，故形象地稱其為“奔馳定理）.“奔馳定理”的內(nèi)容如下：如圖，已知是內(nèi)一點(diǎn)，,,的面積分別為,,，則.若是銳角內(nèi)的一點(diǎn)，是的三個內(nèi)角，且點(diǎn)滿足，則下列說法正確的是.（填序號）①是的外心；②；③；④【答案】②③④【詳解】對①，因為同理,故為的垂心，故①錯誤；對②，因為，所以，又因為，所以,又因為，所以，故②正確；對③，延長交于點(diǎn)，如圖，則,同理可得,所以，故③正確；對④，,同理可得,所以,又因為，所以，故④正確，故答案為：②③④例14．如圖.為內(nèi)任意一點(diǎn)，角的對邊分別為，總有優(yōu)美等式成立，因該圖形酷似奔馳汽車車標(biāo)，故又稱為奔馳定理.則以下命題是真命題的有（

）A．若是的重心，則有B．若成立，則是的內(nèi)心C．若，則D．若是的外心，，，則【答案】AB【詳解】對于A：如圖所示：因為分別為的中點(diǎn)，所以，，同理可得、，所以，又因為，所以.正確；對于B：記點(diǎn)到的距離分別為，，因為，則，即，又因為，所以，所以點(diǎn)是的內(nèi)心，正確；對于C：因為，所以，所以，所以，所以，化簡得：，又因為不共線，所以，所以，所以，錯誤；對于D：因為是的外心，，所以,，所以，因為，則，化簡得：，由題意知同時為負(fù)，記，，則，因為，所以，所以，所以，錯誤.故答案為：AB.變式7-1．在面上有及內(nèi)一點(diǎn)滿足關(guān)系式：即稱為經(jīng)典的“奔馳定理”，若的三邊為，，，現(xiàn)有，則為的心.【答案】內(nèi)【詳解】，，，，，分別是，方向上的單位向量，向量平分，即平分，同理平分，為的內(nèi)心，故答案為：內(nèi)變式7-2．（多選）如圖，為內(nèi)任意一點(diǎn)，角的對邊分別為，則總有優(yōu)美等式成立，此結(jié)論稱為三角形中的奔馳定理．由此判斷以下命題中正確的有（

）A．若是等邊三角形，為內(nèi)任意一點(diǎn)，且點(diǎn)到三邊的距離分別是，則有B．若為內(nèi)一點(diǎn)，且，則是的內(nèi)心C．若為內(nèi)一點(diǎn)，且，則D．若的垂心在內(nèi)，是的三條高，則【答案】ACD【詳解】因為為內(nèi)任意一點(diǎn)，所以兩兩不共線；對A：是等邊三角形，設(shè)其高為，則，，，代入奔馳定理得，，即，故A正確；對B：由且，根據(jù)平面向量基本定理得，則是的重心，故B不正確；對C：，即，又，由平面向量基本定理得，故C正確；對D：由點(diǎn)是的垂心，則，所以，同理可得，，，代入，得，即，故D正確；故選：ACD．變式7-3．（多選）O是銳角三角形ABC內(nèi)的一點(diǎn)，A，B，C是的三個內(nèi)角，且點(diǎn)O滿足.請根據(jù)“奔馳定理”判斷下列命題正確的是（

）

A．O為的外心B．C．D．【答案】BCD【詳解】因為，同理，，故O為的垂心，故A錯誤；根據(jù)垂心可得，，所以，又，所以，又，所以，故B正確；，同理，延長CO交AB于點(diǎn)P(如圖)，則，同理可得，所以，故C正確；設(shè)，，的面積分別為，，，則，同理可得，所以，又，所以，故D正確.故選:BCD.奔馳定理：O是內(nèi)的一點(diǎn)，且，則熱點(diǎn)八新定義問題例15．定義兩個向量的運(yùn)算“”與運(yùn)算“”：，其中是的夾角.若，則.【答案】8【詳解】由得，所以，所以.故答案為：.例16．如圖，我們把由平面內(nèi)夾角成的兩條數(shù)軸Ox，Oy構(gòu)成的坐標(biāo)系，稱為“完美坐標(biāo)系”.設(shè)，分別為Ox，Oy正方向上的單位向量，若向量，則把實(shí)數(shù)對叫做向量的“完美坐標(biāo)”.(1)若向量的“完美坐標(biāo)”為，求；(2)已知，分別為向量，的“完美坐標(biāo)”，證明：；(3)若向量，的“完美坐標(biāo)”分別為，，設(shè)函數(shù)，，求的值域.【答案】(1)(2)證明見解析(3)【詳解】（1）因為的“完美坐標(biāo)”為，則，又因為，分別為Ox，Oy正方向上的單位向量，且夾角為，所以,，所以.（2）由（1）知，所以，即.（3）因為向量，的“完美坐標(biāo)”分別為，，由（2）得.令，則，因為，所以，即，令，因為的圖象是對稱軸為，開口向上的拋物線的一部分，所以當(dāng)時，取得最小值，當(dāng)時，取得最大值，所以的值域為.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題在求解與之相關(guān)的函數(shù)問題時，應(yīng)按照新定義，準(zhǔn)確寫出函數(shù)解析式，對于較復(fù)雜的三角式，常常運(yùn)用整體換元思想，將其轉(zhuǎn)化成熟悉的函數(shù)，如二次函數(shù)、雙勾函數(shù)等，利用這些函數(shù)的圖象性質(zhì)特征求解即可.變式8-1．（多選）如圖所示，設(shè)Ox，Oy是平面內(nèi)相交成角的兩條數(shù)軸，，分別是與x，y軸正方向同向的單位向量，則稱平面坐標(biāo)系xOy為斜坐標(biāo)系.若，則把有序數(shù)對叫做向量的斜坐標(biāo)，記為.在的斜坐標(biāo)系中，，，則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．C． D．在方向上的投影向量為【答案】AD【詳解】依題意，，，對于A，，A正確；對于B，，B錯誤；對于C，，C錯誤；對于D，，則在方向上的投影向量為，D正確.故選：AD變式8-2．（多選）定義：，兩個向量的叉乘的模，則下列命題正確的是（

）A．若平行四邊形ABCD的面積為4，則B．在正中，若，則C．若，，則的最小值為D．若，，且為單位向量，則的值可能為【答案】ACD【詳解】對于A，因為平行四邊形ABCD的面積為4，所以，所以，故A正確；對于B，設(shè)正的邊邊上的中點(diǎn)為，則，因為，所以，所以，所以B錯誤；對于C，因為，所以，所以，因為，所以，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以的最小值為，所以C正確；對于D，若，，且為單位向量，則當(dāng)時，，此時，所以D正確.故選：ACD.變式8-3．（多選）如圖，設(shè)Ox，Oy是平面內(nèi)相交成角的兩條數(shù)軸，其中，分別是與x軸，y軸正方向同向的單位向量，若，則有序數(shù)對叫做向量在夾角為的坐標(biāo)系xOy中的坐標(biāo)，記為.已知，則（

）

A． B．C．為等腰三角形 D．【答案】ABD【詳解】由題可知，，，，對A：，故A正確；對B：則，故B正確；對C、D：，，可得，故D正確；，顯然不是等腰三角形，故C錯誤.故選：ABD.1．（2024·25高一下·江蘇宿遷·階段練習(xí)）已知為四邊形所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且向量滿足等式，為的中點(diǎn)，，與交于點(diǎn)，若則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因為，所以，即，所以四邊形為平行四邊形，如圖：

設(shè)，則，設(shè)，所以，所以，解得，所以，故選：B2．（2023·24高二上·廣東梅州·期末）在中，為內(nèi)的一點(diǎn)，，則下列說法錯誤的是（

）A．若為的重心，則 B．若為的外心，則C．若為的垂心，則 D．若為的內(nèi)心，則【答案】A【詳解】在中，，，為內(nèi)的一點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，

則，，，對于選項A：若為的重心，則，，則，所以，若，由平面向量基本定理可得：，解得，所以，故選項A不正確；對于選項B：若為的外心，其必在直線上，所以，故選項B正確；對于選項C：若為的垂心，其必在上，設(shè)，則，解得，此時，若，由平面向量基本定理可得：，解得，所以，故選項C正確；對于選項D：若為的內(nèi)心，設(shè)內(nèi)切圓半徑為，則，得，則，此時，若，由平面向量基本定理可得：，解得，所以，即選項D正確.故選：A.3．（2024·25高一下·湖南婁底·階段練習(xí)）（多選）抖音上面的一位名為“湯匙不是鑰匙”的博主曾經(jīng)講過一個已知三角形三點(diǎn)求三角形面積的公式，即若，則，這個公式的本質(zhì)是與向量的叉乘運(yùn)算有關(guān)，前面我們學(xué)過向量的點(diǎn)乘也就是向量的數(shù)量積，現(xiàn)在我們來定義向量的叉乘運(yùn)算，設(shè)是平面內(nèi)的兩個不共線的向量，則它們的向量積是一個新的向量，規(guī)定這個新向量的方向與的方向都垂直，新向量的大小滿足，現(xiàn)在設(shè)，則下列說法正確的是（

）A．若，則存在實(shí)數(shù)使得B．C．D．【答案】BCD【詳解】對于A，因為不共面，故A錯誤；對于B，，故B正確；對于C，，故C正確；對于D，，故D正確．故選：BCD.4．（2023·24高一下·河北保定·期中）在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由題設(shè)，外接圓的半徑，如下圖，由，則，令，且，又，，所以，則，當(dāng)，即時，有最小值.故選：D5．（2023·24高二上·廣東佛山·期末）已知是平面上的一定點(diǎn)，，，是平面上不共線的三個動點(diǎn)，若動點(diǎn)滿足，，則點(diǎn)的軌跡一定通過的（填“內(nèi)心”“外心”“重心”或“垂心”．【答案】重心【詳解】由，得，令邊的中點(diǎn)為，則，于是，即，因此點(diǎn)在射線上（除點(diǎn)外），所以點(diǎn)的軌跡必過的重心.故答案為：重心6．（2023·24高二上·四川涼山·期末）在平面上有及內(nèi)一點(diǎn)O滿足關(guān)系式：即稱為經(jīng)典的“奔馳定理”，若的三邊為a，b，c，現(xiàn)有則O為的（

）A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心【答案】B【詳解】記點(diǎn)O到AB、BC、CA的距離分別為，，，，因為，則，即，又因為，所以，所以點(diǎn)P是△ABC的內(nèi)心.故選：B7．（2024·25高一上·河北保定