數(shù)學(xué)預(yù)習(xí)導(dǎo)航：角的概念的推廣

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精預(yù)習(xí)導(dǎo)航課程目標(biāo)學(xué)習(xí)脈絡(luò)1．理解任意角的概念，注意任意角的三個(gè)要素：頂點(diǎn)、始邊、終邊．用旋轉(zhuǎn)的觀點(diǎn)來(lái)定義角，抓?。?1）旋轉(zhuǎn)方向；(2)旋轉(zhuǎn)大小．2．理解并掌握終邊相同的角，會(huì)將角放在坐標(biāo)系中去體會(huì)．3．掌握象限角及軸線(xiàn)角的表示．1．任意角(1）角的定義．①靜態(tài)定義：有公共端點(diǎn)的兩條射線(xiàn)組成的圖形叫做角，這個(gè)公共端點(diǎn)叫做角的頂點(diǎn),這兩條射線(xiàn)叫做角的邊．②動(dòng)態(tài)定義：一條射線(xiàn)繞著它的端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形叫做角，旋轉(zhuǎn)射線(xiàn)的端點(diǎn)叫做角的頂點(diǎn)，開(kāi)始位置的射線(xiàn)叫做角的始邊，終止位置的射線(xiàn)叫做角的終邊．在畫(huà)圖時(shí)，常用帶箭頭的弧來(lái)表示旋轉(zhuǎn)的方向和旋轉(zhuǎn)的絕對(duì)量，旋轉(zhuǎn)生成的角,又常叫做轉(zhuǎn)角．（2）角的記法．用一個(gè)希臘字母表示;用三個(gè)大寫(xiě)的英文字母表示（字母前面要寫(xiě)“∠”）．(3)角的分類(lèi)．任意角定義正角按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)而成的角負(fù)角按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)而成的角零角一條射線(xiàn)沒(méi)有作任何旋轉(zhuǎn)而成的角（4）角的運(yùn)算．引入正角、負(fù)角的概念以后，角的減法運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化為角的加法運(yùn)算，即α－β可以化為α＋(－β)．這就是說(shuō)，各角和的旋轉(zhuǎn)量等于各角旋轉(zhuǎn)量的和．歸納總結(jié)(1）掌握角的概念應(yīng)注意角的三要素：頂點(diǎn)、始邊、終邊．(2）高中階段所說(shuō)的角實(shí)際上是初中平面幾何中“角是從一點(diǎn)出發(fā)的兩條射線(xiàn)所組成的圖形”的概念的推廣，這里重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)“角是由一條射線(xiàn)繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而成的”這一運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)．（3)角不僅有大小而且有正負(fù)，角的概念的推廣重在“旋轉(zhuǎn)"兩字．其旋轉(zhuǎn)方向決定了角的正負(fù)，由此確定了角的分類(lèi)．2．終邊相同的角設(shè)α表示任意角，所有與α終邊相同的角,包括α本身構(gòu)成一個(gè)集合，這個(gè)集合可記為S＝{β｜β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一與角α終邊相同的角,都可以表示成角α與整數(shù)個(gè)周角的和的形式．歸納總結(jié)(1）α為任意角．（2)k·360°－α，k∈Z可理解為k·360°＋（－α)，k∈Z．(3）相等的角終邊一定相同，終邊相同的角不一定相等，終邊相同的角有無(wú)數(shù)個(gè)，它們相差360°的整數(shù)倍．（4)k∈Z這一條件不可少．(5）零角的始邊和終邊相同，但始邊和終邊相同的角并不一定是零角．自主思考1已知介于兩個(gè)角之間的角的集合叫做區(qū)間角,如{x｜60°<x〈120°}．介于某兩角終邊之間的角的集合叫做區(qū)域角，如何表示兩條終邊之間的區(qū)域角？提示：(1）若角的終邊落在一個(gè)扇形區(qū)域內(nèi)，寫(xiě)區(qū)域角時(shí)，首先依逆時(shí)針?lè)较蛴尚〉酱髮?xiě)出一個(gè)區(qū)間角，再在它的兩端加上k·360°，k∈Z即可．（2)若角的終邊落在兩個(gè)對(duì)稱(chēng)的扇形區(qū)域內(nèi)，寫(xiě)區(qū)域角時(shí),可以先寫(xiě)出終邊落在一個(gè)扇形區(qū)域內(nèi)的一個(gè)區(qū)間角,在此區(qū)間角的兩端分別加上k·180°，k∈Z即可．例如，求終邊落在如圖陰影內(nèi)（包括邊界)的角的集合，可先求落在第一象限內(nèi)的區(qū)間角｛α|45°≤α≤60°}，故終邊落在如圖陰影內(nèi)(包括邊界）的角的集合為{α｜k·180°+45°≤α≤k·180°+60°，k∈Z｝．3．第幾象限的角(1)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，平面內(nèi)任意一個(gè)角都可以通過(guò)移動(dòng)，使角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸正半軸重合，這時(shí)，角的終邊在第幾象限,就把這個(gè)角叫做第幾象限的角．(2)如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何象限．自主思考2第一象限的角、小于90°的角、0°～90°的角、銳角有何差別？提示:銳角是0°<α〈90°的角;0°～90°的角是0°≤α<90°的角；小于90°的角是α<90°的角,包括銳角以及所有負(fù)角和零角；第一象限的角是{α|k·360°〈α〈k·360°＋90°，k∈Z｝所表示的角，其中有正角、負(fù)角．銳角、0°~90°的角、小于90°的角、第一象限的角的關(guān)系用Venn圖表示如圖所示．自主思考3各象限角與終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合如何表示？提示：（1)象限角的集合．象限角集合表示第一象限的角｛α|k·360°〈α<k·360°＋90°，k∈Z}第二象限的角{α|k·360°＋90°〈α<k·360°＋180°，k∈Z｝第三象限的角｛α|k·360°＋180°〈α〈k·360°＋270°，k∈Z｝第四象限的角｛α｜k·360°＋270°<α<k·360°＋360°，k∈Z}（2）終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合．角的終邊的位置集合表示終邊落在x軸的非負(fù)半軸上｛α|α＝k·360°,k∈Z｝終邊落在x軸的非正半軸上{α｜α＝k·360°＋180°，k∈Z}終邊落在y軸的非負(fù)半軸上{α|α＝k·360°＋90°，k∈Z}終邊落在y軸的