數(shù)學(xué)預(yù)習(xí)導(dǎo)航：正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)第2課時(shí)

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精預(yù)習(xí)導(dǎo)航課程目標(biāo)學(xué)習(xí)脈絡(luò)1．能正確使用“五點(diǎn)法”“圖象變換法”作出y＝Asin(ωx＋φ)的圖象，并熟悉其變換過(guò)程．2．會(huì)求函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ）的周期，頻率與振幅．3．結(jié)合具體實(shí)例，了解y＝Asin(ωx＋φ）的實(shí)際意義，并且了解y＝Asin（ωx＋φ）中的參數(shù)A，ω，φ對(duì)函數(shù)圖象變化的影響以及它們的物理意義．1．正弦型函數(shù)的概念形如y＝Asin（ωx＋φ)（其中A,ω，φ都是常數(shù))的函數(shù)，通常叫做正弦型函數(shù)．當(dāng)函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ)(A〉0,ω>0，x∈（0,＋∞））表示一個(gè)振動(dòng)量時(shí)，則A稱為振幅;T＝稱為這個(gè)振動(dòng)的周期；單位時(shí)間內(nèi)往復(fù)振動(dòng)的次數(shù)f＝稱為頻率;ωx＋φ稱為相位；x＝0時(shí)，相位φ稱為初相．一般地，函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ）(其中A，ω，φ為常數(shù)，且A≠0，ω＞0）的周期T＝．2．正弦型函數(shù)的圖象變換（1）相位變換y＝sinx的圖象y＝sin（x＋φ)的圖象．推廣到一般有：將函數(shù)y＝f(x）的圖象沿x軸方向平移|a｜個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)y＝f（x＋a）(a≠0)的圖象．當(dāng)a〉0時(shí)向左平移；當(dāng)a<0時(shí)向右平移(可簡(jiǎn)記為左“＋"右“－”）．(2）周期變換y＝sinx的圖象的圖象．推廣到一般有:函數(shù)y＝f（ωx）（ω>0，ω≠1）的圖象，可以看做是把函數(shù)y＝f(x）的圖象上所有的點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短（當(dāng)ω>1)或伸長(zhǎng)（當(dāng)0<ω<1)到原來(lái)的倍(縱坐標(biāo)不變）而得到．(3）振幅變換y＝sinx的圖象y＝Asin_x的圖象．（4）y＝Asin（ωx＋φ）的圖象可以這樣得到：y＝sinx相位變換,y＝sin（x＋φ)周期變換,y＝sin(ωx＋φ）振幅變換,y＝Asin(ωx＋φ）．推廣到一般有：拖延時(shí)間函數(shù)y＝Af（x)(A〉0，且A≠1)的圖象，可以看做是把函數(shù)y＝f（x)圖象上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)(當(dāng)A〉1）或縮短(當(dāng)0〈A<1）到原來(lái)的A倍（橫坐標(biāo)不變）而得到．（4)函數(shù)圖象的上、下平移變換．有時(shí)也會(huì)遇到y(tǒng)＝sinx＋k的圖象，那么函數(shù)y＝sinx＋k的圖象，可以看做是把y＝sinx圖象上的各點(diǎn)向上（k〉0）或向下（k<0)平行移動(dòng)|k|個(gè)單位長(zhǎng)度而得到的,即y＝sinx行移動(dòng)｜k｜個(gè)單位長(zhǎng)度得y＝sinx＋k．自主思考如何用五點(diǎn)法作出y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω〉0）的圖象？提示：用五點(diǎn)作圖法作函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ)的圖象步驟如下：第一步：列表，即令ωx＋φ分別為0，，π，，2π，再分別求出相應(yīng)x，y的值；x－eq\f(\f(3π,2)－φ，ω）ωx＋φ0π2πy0A0－A0第二步：描點(diǎn)，在同一平面直角坐標(biāo)系中描出這五個(gè)點(diǎn)；第三步：連線,用光滑曲線連接這些點(diǎn)得到一個(gè)周期內(nèi)的圖象；第四步：利用函數(shù)周期性，通過(guò)左右平移得到整個(gè)圖象．3．正弦型函數(shù)的性質(zhì)根據(jù)函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ）（A>0，ω>0)的圖象，我們可以得到函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ）（A〉0，ω>0)的性質(zhì)：(1）定義域：R．(2）值域：［－A，A］．當(dāng)ωx＋φ＝2kπ＋（k∈Z），即x＝－＋（k∈Z）時(shí)，y取得最大值A(chǔ)；當(dāng)ωx＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，即x＝－＋(k∈Z）時(shí)，y取得最小值－A．（3)單調(diào)性：當(dāng)－＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ（k∈Z)，即x∈（k∈Z）時(shí)，函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ）（A>0，ω〉0）為增函數(shù)；當(dāng)＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ(k∈Z），即x∈(k∈Z）時(shí),函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ)（A〉0，ω〉0)為減函數(shù)．（4)奇偶性:當(dāng)φ＝0時(shí)，為奇函數(shù);當(dāng)φ≠0時(shí)，為非奇非偶函數(shù)．(5)周期性：T＝．(6)對(duì)稱性:直線x＝－＋（k∈Z)都是其對(duì)稱軸；點(diǎn)（k∈Z)為其對(duì)稱中心．特別提醒(1）值域?yàn)椋郏瓅A|，|A|]的前提是x∈R，x的范圍發(fā)生變化時(shí),值域可能發(fā)生變化．（2)研究y＝Asin（ωx＋φ)的性質(zhì),通常利用代換u＝ωx＋φ，把ωx＋φ看成一個(gè)整體去處理．4．函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ）＋k的解析式的確定已知函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ）＋k,能準(zhǔn)確地研究其圖象與性質(zhì)，反過(guò)來(lái),若已知它的圖象或部分圖象，怎樣確定其解析式呢？解決此類(lèi)問(wèn)題關(guān)鍵在于確定參數(shù)A，ω，φ，k，其基本方法是在觀察圖象的基礎(chǔ)上，利用待定系數(shù)法求解．若設(shè)所求解析式為y＝Asin(ωx＋φ）＋k（A>0，ω>0），則在觀察圖象的基礎(chǔ)上,可按以下規(guī)律來(lái)確定A，ω，φ，k．（1)A:一般可由圖象的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)來(lái)確定A，A＝．(2)ω:因?yàn)門(mén)＝，所以往往通過(guò)求周期T來(lái)確定ω，可通過(guò)已知曲線與x軸的交點(diǎn)來(lái)確定T，即相鄰的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)之間的水平距離為,相鄰的兩個(gè)最高點(diǎn)（最低點(diǎn)）之間的水平距離為T(mén)．(3）φ：從尋找“五點(diǎn)作圖法"中的最高點(diǎn)作為突破口，即當(dāng)ωx＋φ＝＋2kπ時(shí)，y有最大值．或者由“五點(diǎn)作圖法”中的第一個(gè)點(diǎn)作為突破口，從圖象的升降情況找準(zhǔn)第一點(diǎn)的位置．（4)k:可由圖象的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)來(lái)確定k，k＝．在求參數(shù)過(guò)程中，求初相φ應(yīng)先求ω，然后根據(jù)取最大值時(shí)相應(yīng)x值代入方程求解特別提醒依據(jù)“五點(diǎn)作圖法"的原理,點(diǎn)的序號(hào)與式子關(guān)系如下：“第一點(diǎn)”（即圖象第一次上升時(shí)與x軸的交點(diǎn)）橫坐標(biāo)滿足ωx＋φ＝0；“第二點(diǎn)”（即圖象曲線的“峰點(diǎn)”)橫坐標(biāo)滿足ωx＋φ＝；“第三點(diǎn)”（即圖象下降時(shí)與x軸的交點(diǎn))橫坐標(biāo)滿足ωx＋φ