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2024-2025學(xué)年湖南省邵東縣第十中學(xué)高三下學(xué)期一診模擬數(shù)學(xué)試題文試卷注意事項(xiàng)1.考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2.試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上,在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,則輸出的值為()A. B. C. D.2.已知直線,,則“”是“”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件3.一個(gè)盒子里有4個(gè)分別標(biāo)有號(hào)碼為1,2,3,4的小球,每次取出一個(gè),記下它的標(biāo)號(hào)后再放回盒子中,共取3次,則取得小球標(biāo)號(hào)最大值是4的取法有()A.17種 B.27種 C.37種 D.47種4.“”是“直線與互相平行”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5.若復(fù)數(shù)滿足,則()A. B. C.2 D.6.在天文學(xué)中,天體的明暗程度可以用星等或亮度來(lái)描述.兩顆星的星等與亮度滿足,其中星等為mk的星的亮度為Ek(k=1,2).已知太陽(yáng)的星等是–26.7,天狼星的星等是–1.45,則太陽(yáng)與天狼星的亮度的比值為()A.1010.1 B.10.1 C.lg10.1 D.10–10.17.在中,分別為所對(duì)的邊,若函數(shù)有極值點(diǎn),則的范圍是()A. B.C. D.8.已知,,為圓上的動(dòng)點(diǎn),,過(guò)點(diǎn)作與垂直的直線交直線于點(diǎn),若點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,則的取值范圍是()A. B. C. D.9.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,若,則等差數(shù)列公差()A.2 B. C.3 D.410.等差數(shù)列中,,,則數(shù)列前6項(xiàng)和為()A.18 B.24 C.36 D.7211.曲線在點(diǎn)處的切線方程為,則()A. B. C.4 D.812.設(shè)集合,,若集合中有且僅有2個(gè)元素,則實(shí)數(shù)的取值范圍為A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.3張獎(jiǎng)券分別標(biāo)有特等獎(jiǎng)、一等獎(jiǎng)和二等獎(jiǎng).甲、乙兩人同時(shí)各抽取1張獎(jiǎng)券,兩人都未抽得特等獎(jiǎng)的概率是__________.14.已知盒中有2個(gè)紅球,2個(gè)黃球,且每種顏色的兩個(gè)球均按,編號(hào),現(xiàn)從中摸出2個(gè)球(除顏色與編號(hào)外球沒(méi)有區(qū)別),則恰好同時(shí)包含字母,的概率為_(kāi)_______.15.若且時(shí),不等式恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_______.16.若,則的最小值為_(kāi)_______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)記為數(shù)列的前項(xiàng)和,已知,等比數(shù)列滿足,.(1)求的通項(xiàng)公式;(2)求的前項(xiàng)和.18.(12分)2019年是中華人民共和國(guó)成立70周年.為了讓人民了解建國(guó)70周年的風(fēng)雨歷程,某地的民調(diào)機(jī)構(gòu)隨機(jī)選取了該地的100名市民進(jìn)行調(diào)查,將他們的年齡分成6段:,,…,,并繪制了如圖所示的頻率分布直方圖.(1)現(xiàn)從年齡在,,內(nèi)的人員中按分層抽樣的方法抽取8人,再?gòu)倪@8人中隨機(jī)選取3人進(jìn)行座談,用表示年齡在)內(nèi)的人數(shù),求的分布列和數(shù)學(xué)期望;(2)若用樣本的頻率代替概率,用隨機(jī)抽樣的方法從該地抽取20名市民進(jìn)行調(diào)查,其中有名市民的年齡在的概率為.當(dāng)最大時(shí),求的值.19.(12分)設(shè)點(diǎn)分別是橢圓的左,右焦點(diǎn),為橢圓上任意一點(diǎn),且的最小值為1.(1)求橢圓的方程;(2)如圖,直線與軸交于點(diǎn),過(guò)點(diǎn)且斜率的直線與橢圓交于兩點(diǎn),為線段的中點(diǎn),直線交直線于點(diǎn),證明:直線.20.(12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線l的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C的極坐標(biāo)方程為4sin.(1)求曲線C的普通方程;(2)求曲線l和曲線C的公共點(diǎn)的極坐標(biāo).21.(12分)已知函數(shù),.(1)當(dāng)時(shí),討論函數(shù)的單調(diào)性;(2)若,當(dāng)時(shí),函數(shù),求函數(shù)的最小值.22.(10分)已知中心在原點(diǎn)的橢圓的左焦點(diǎn)為,與軸正半軸交點(diǎn)為,且.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)過(guò)點(diǎn)作斜率為、的兩條直線分別交于異于點(diǎn)的兩點(diǎn)、.證明:當(dāng)時(shí),直線過(guò)定點(diǎn).
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.B【解析】
列出每一次循環(huán),直到計(jì)數(shù)變量滿足退出循環(huán).【詳解】第一次循環(huán):;第二次循環(huán):;第三次循環(huán):,退出循環(huán),輸出的為.故選:B.本題考查由程序框圖求輸出的結(jié)果,要注意在哪一步退出循環(huán),是一道容易題.2.C【解析】
先得出兩直線平行的充要條件,根據(jù)小范圍可推導(dǎo)出大范圍,可得到答案.【詳解】直線,,的充要條件是,當(dāng)a=2時(shí),化簡(jiǎn)后發(fā)現(xiàn)兩直線是重合的,故舍去,最終a=-1.因此得到“”是“”的充分必要條件.故答案為C.判斷充要條件的方法是:①若p?q為真命題且q?p為假命題,則命題p是命題q的充分不必要條件;②若p?q為假命題且q?p為真命題,則命題p是命題q的必要不充分條件;③若p?q為真命題且q?p為真命題,則命題p是命題q的充要條件;④若p?q為假命題且q?p為假命題,則命題p是命題q的即不充分也不必要條件.⑤判斷命題p與命題q所表示的范圍,再根據(jù)“誰(shuí)大誰(shuí)必要,誰(shuí)小誰(shuí)充分”的原則,判斷命題p與命題q的關(guān)系.3.C【解析】
由于是放回抽取,故每次的情況有4種,共有64種;先找到最大值不是4的情況,即三次取出標(biāo)號(hào)均不為4的球的情況,進(jìn)而求解.【詳解】所有可能的情況有種,其中最大值不是4的情況有種,所以取得小球標(biāo)號(hào)最大值是4的取法有種,故選:C本題考查古典概型,考查補(bǔ)集思想的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.4.A【解析】
利用兩條直線互相平行的條件進(jìn)行判定【詳解】當(dāng)時(shí),直線方程為與,可得兩直線平行;若直線與互相平行,則,解得,,則“”是“直線與互相平行”的充分不必要條件,故選本題主要考查了兩直線平行的條件和性質(zhì),充分條件,必要條件的定義和判斷方法,屬于基礎(chǔ)題.5.D【解析】
把已知等式變形,利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn),再由復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式計(jì)算.【詳解】解:由題意知,,,∴,故選:D.本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算,考查復(fù)數(shù)模的求法.6.A【解析】
由題意得到關(guān)于的等式,結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則可得亮度的比值.【詳解】?jī)深w星的星等與亮度滿足,令,.故選A.本題以天文學(xué)問(wèn)題為背景,考查考生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)?信息處理能力?閱讀理解能力以及指數(shù)對(duì)數(shù)運(yùn)算.7.D【解析】試題分析:由已知可得有兩個(gè)不等實(shí)根.考點(diǎn):1、余弦定理;2、函數(shù)的極值.【方法點(diǎn)晴】本題考查余弦定理,函數(shù)的極值,涉及函數(shù)與方程思想思想、數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化化歸思想,考查邏輯思維能力、等價(jià)轉(zhuǎn)化能力、運(yùn)算求解能力,綜合性較強(qiáng),屬于較難題型.首先利用轉(zhuǎn)化化歸思想將原命題轉(zhuǎn)化為有兩個(gè)不等實(shí)根,從而可得.8.A【解析】
由題意得,即可得點(diǎn)M的軌跡為以A,B為左、右焦點(diǎn),的雙曲線,根據(jù)雙曲線的性質(zhì)即可得解.【詳解】如圖,連接OP,AM,由題意得,點(diǎn)M的軌跡為以A,B為左、右焦點(diǎn),的雙曲線,.故選:A.本題考查了雙曲線定義的應(yīng)用,考查了轉(zhuǎn)化化歸思想,屬于中檔題.9.C【解析】
根據(jù)等差數(shù)列的求和公式即可得出.【詳解】∵a1=12,S5=90,∴5×12+d=90,解得d=1.故選C.本題主要考查了等差數(shù)列的求和公式,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.10.C【解析】
由等差數(shù)列的性質(zhì)可得,根據(jù)等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式可得結(jié)果.【詳解】∵等差數(shù)列中,,∴,即,∴,故選C.本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)以及等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.11.B【解析】
求函數(shù)導(dǎo)數(shù),利用切線斜率求出,根據(jù)切線過(guò)點(diǎn)求出即可.【詳解】因?yàn)?,所以,故,解得,又切線過(guò)點(diǎn),所以,解得,所以,故選:B本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義,切線方程,屬于中檔題.12.B【解析】
由題意知且,結(jié)合數(shù)軸即可求得的取值范圍.【詳解】由題意知,,則,故,又,則,所以,所以本題答案為B.本題主要考查了集合的關(guān)系及運(yùn)算,以及借助數(shù)軸解決有關(guān)問(wèn)題,其中確定中的元素是解題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】
利用排列組合公式進(jìn)行計(jì)算,再利用古典概型公式求出不是特等獎(jiǎng)的兩張的概率即可.【詳解】解:3張獎(jiǎng)券分別標(biāo)有特等獎(jiǎng)、一等獎(jiǎng)和二等獎(jiǎng),甲、乙兩人同時(shí)各抽取1張獎(jiǎng)券,則兩人同時(shí)抽取兩張共有:種排法排除特等獎(jiǎng)外兩人選兩張共有:種排法.故兩人都未抽得特等獎(jiǎng)的概率是:故答案為:本題主要考查古典概型的概率公式的應(yīng)用,是基礎(chǔ)題.14.【解析】
根據(jù)組合數(shù)得出所有情況數(shù)及兩個(gè)球顏色不相同的情況數(shù),讓兩個(gè)球顏色不相同的情況數(shù)除以總情況數(shù)即為所求的概率.【詳解】從袋中任意地同時(shí)摸出兩個(gè)球共種情況,其中有種情況是兩個(gè)球顏色不相同;故其概率是故答案為:.本題主要考查了求事件概率,解題關(guān)鍵是掌握概率的基礎(chǔ)知識(shí)和組合數(shù)計(jì)算公式,考查了分析能力和計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.15.【解析】
將不等式兩邊同時(shí)平方進(jìn)行變形,然后得到對(duì)應(yīng)不等式組,對(duì)的取值進(jìn)行分類,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在區(qū)間上恒正、恒負(fù)時(shí)求參數(shù)范圍,列出對(duì)應(yīng)不等式組,即可求解出的取值范圍.【詳解】因?yàn)?,所以,所以,所以,所以或,?dāng)時(shí),對(duì)且不成立,當(dāng)時(shí),取,顯然不滿足,所以,所以,解得;當(dāng)時(shí),取,顯然不滿足,所以,所以,解得,綜上可得的取值范圍是:.故答案為:.本題考查根據(jù)不等式恒成立求解參數(shù)范圍,難度較難.根據(jù)不等式恒成立求解參數(shù)范圍的兩種常用方法:(1)分類討論法:分析參數(shù)的臨界值,對(duì)參數(shù)分類討論;(2)參變分離法:將參數(shù)單獨(dú)分離出來(lái),再以函數(shù)的最值與參數(shù)的大小關(guān)系求解出參數(shù)范圍.16.【解析】
由基本不等式,可得到,然后利用,可得到最小值,要注意等號(hào)取得的條件。【詳解】由題意,,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,所以,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),所以當(dāng)時(shí),取得最小值.利用基本不等式求最值必須具備三個(gè)條件:①各項(xiàng)都是正數(shù);②和(或積)為定值;③等號(hào)取得的條件。三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(1)(2)當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.【解析】
(1)利用數(shù)列與的關(guān)系,求得;(2)由(1)可得:,,算出公比,利用等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式求出.【詳解】(1)當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,因?yàn)檫m合上式,所以.(2)由(1)得,,設(shè)等比數(shù)列的公比為,則,解得,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),.本題主要考查數(shù)列與的關(guān)系、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前項(xiàng)和公式等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力..18.(1)分布列見(jiàn)解析,(1)【解析】
(1)根據(jù)頻率分布直方圖及抽取總?cè)藬?shù),結(jié)合各組頻率值即可求得各組抽取的人數(shù);的可能取值為0,1,1,由離散型隨機(jī)變量概率求法即可求得各概率值,即可得分布列;由數(shù)學(xué)期望公式即可求得其數(shù)學(xué)期望.(1)先求得年齡在內(nèi)的頻率,視為概率.結(jié)合二項(xiàng)分布的性質(zhì),表示出,令,化簡(jiǎn)后可證明其單調(diào)性及取得最大值時(shí)的值.【詳解】(1)按分層抽樣的方法拉取的8人中,年齡在的人數(shù)為人,年齡在內(nèi)的人數(shù)為人.年齡在內(nèi)的人數(shù)為人.所以的可能取值為0,1,1.所以,,,所以的分市列為011.(1)設(shè)在抽取的10名市民中,年齡在內(nèi)的人數(shù)為,服從二項(xiàng)分布.由頻率分布直方圖可知,年齡在內(nèi)的頻率為,所以,所以.設(shè),若,則,;若,則,.所以當(dāng)時(shí),最大,即當(dāng)最大時(shí),.本題考差了離散型隨機(jī)變量分布列及數(shù)學(xué)期望的求法,二項(xiàng)分布的綜合應(yīng)用,屬于中檔題.19.(1)(2)見(jiàn)解析【解析】
(1)設(shè),求出后由二次函數(shù)知識(shí)得最小值,從而得,即得橢圓方程;(2)設(shè)直線的方程為,代入橢圓方程整理,設(shè),由韋達(dá)定理得,設(shè),利用三點(diǎn)共線,求得,然后驗(yàn)證即可.【詳解】解:(1)設(shè),則,所以,因?yàn)椋援?dāng)時(shí),值最小,所以,解得,(舍負(fù))所以,所以橢圓的方程為,(2)設(shè)直線的方程為,聯(lián)立,得.設(shè),則,設(shè),因?yàn)槿c(diǎn)共線,又所以,解得.而所以直線軸,即.本題考查求橢圓方程,考查直線與橢圓相交問(wèn)題.直線與橢圓相交問(wèn)題,采取設(shè)而不求思想,設(shè),設(shè)直線方程,應(yīng)用韋達(dá)定理,得出,再代入題中需要計(jì)算可證明的式子參與化簡(jiǎn)變形.20.(1)(2)(2,).【解析】
(1)利用極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化公式求解.(2)先把兩個(gè)方程均化為普通方程,求解公共點(diǎn)的直角坐標(biāo),然后化為極坐標(biāo)即可.【詳解】(1)∵曲線C的極坐標(biāo)方程為,∴,則,即.(2),∴,聯(lián)立可得,(舍)或,公共點(diǎn)(,3),化為極坐標(biāo)(2,).本題主要考查極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化及交點(diǎn)的求解,熟記極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化公式是求解的關(guān)鍵,交點(diǎn)問(wèn)題一般是統(tǒng)一一種坐標(biāo)形式求解后再進(jìn)行轉(zhuǎn)化,側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).21.(1)見(jiàn)解析(2)的最小值為【解析】
(1)由題可得函數(shù)的定義域?yàn)?,,?dāng)時(shí),,令,可得;令,可得,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),令,可得;令,可得或,所以函數(shù)在,上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),恒成立,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.綜上,當(dāng)時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),函數(shù)在,上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞增.(2)方法一:當(dāng)時(shí),,,設(shè),,則,所以函數(shù)在上單調(diào)遞減,所以,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).當(dāng)時(shí),設(shè),則,所以,設(shè),,則,所以函數(shù)在上單調(diào)遞減,且,,所以存在,使得,所以當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,因?yàn)椋?,所以,?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).所以當(dāng)時(shí),函數(shù)取得最小值,且,故函數(shù)的最小值為.方法二:當(dāng)時(shí),,,則,令,,則,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,又,所以存在,使得,所以函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,因?yàn)?,所以?dāng)時(shí),恒成立,所以當(dāng)時(shí),恒成立,
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