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文檔簡介
2024-2025學年湖南省邵東縣第十中學高三下學期一診模擬數(shù)學試題文試卷注意事項1.考生要認真填寫考場號和座位序號。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,則輸出的值為()A. B. C. D.2.已知直線,,則“”是“”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件3.一個盒子里有4個分別標有號碼為1,2,3,4的小球,每次取出一個,記下它的標號后再放回盒子中,共取3次,則取得小球標號最大值是4的取法有()A.17種 B.27種 C.37種 D.47種4.“”是“直線與互相平行”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5.若復數(shù)滿足,則()A. B. C.2 D.6.在天文學中,天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述.兩顆星的星等與亮度滿足,其中星等為mk的星的亮度為Ek(k=1,2).已知太陽的星等是–26.7,天狼星的星等是–1.45,則太陽與天狼星的亮度的比值為()A.1010.1 B.10.1 C.lg10.1 D.10–10.17.在中,分別為所對的邊,若函數(shù)有極值點,則的范圍是()A. B.C. D.8.已知,,為圓上的動點,,過點作與垂直的直線交直線于點,若點的橫坐標為,則的取值范圍是()A. B. C. D.9.已知等差數(shù)列的前項和為,若,則等差數(shù)列公差()A.2 B. C.3 D.410.等差數(shù)列中,,,則數(shù)列前6項和為()A.18 B.24 C.36 D.7211.曲線在點處的切線方程為,則()A. B. C.4 D.812.設集合,,若集合中有且僅有2個元素,則實數(shù)的取值范圍為A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.3張獎券分別標有特等獎、一等獎和二等獎.甲、乙兩人同時各抽取1張獎券,兩人都未抽得特等獎的概率是__________.14.已知盒中有2個紅球,2個黃球,且每種顏色的兩個球均按,編號,現(xiàn)從中摸出2個球(除顏色與編號外球沒有區(qū)別),則恰好同時包含字母,的概率為________.15.若且時,不等式恒成立,則實數(shù)a的取值范圍為________.16.若,則的最小值為________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)記為數(shù)列的前項和,已知,等比數(shù)列滿足,.(1)求的通項公式;(2)求的前項和.18.(12分)2019年是中華人民共和國成立70周年.為了讓人民了解建國70周年的風雨歷程,某地的民調機構隨機選取了該地的100名市民進行調查,將他們的年齡分成6段:,,…,,并繪制了如圖所示的頻率分布直方圖.(1)現(xiàn)從年齡在,,內的人員中按分層抽樣的方法抽取8人,再從這8人中隨機選取3人進行座談,用表示年齡在)內的人數(shù),求的分布列和數(shù)學期望;(2)若用樣本的頻率代替概率,用隨機抽樣的方法從該地抽取20名市民進行調查,其中有名市民的年齡在的概率為.當最大時,求的值.19.(12分)設點分別是橢圓的左,右焦點,為橢圓上任意一點,且的最小值為1.(1)求橢圓的方程;(2)如圖,直線與軸交于點,過點且斜率的直線與橢圓交于兩點,為線段的中點,直線交直線于點,證明:直線.20.(12分)在平面直角坐標系xOy中,曲線l的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以原點O為極點,x軸非負半軸為極軸建立極坐標系,曲線C的極坐標方程為4sin.(1)求曲線C的普通方程;(2)求曲線l和曲線C的公共點的極坐標.21.(12分)已知函數(shù),.(1)當時,討論函數(shù)的單調性;(2)若,當時,函數(shù),求函數(shù)的最小值.22.(10分)已知中心在原點的橢圓的左焦點為,與軸正半軸交點為,且.(1)求橢圓的標準方程;(2)過點作斜率為、的兩條直線分別交于異于點的兩點、.證明:當時,直線過定點.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.B【解析】
列出每一次循環(huán),直到計數(shù)變量滿足退出循環(huán).【詳解】第一次循環(huán):;第二次循環(huán):;第三次循環(huán):,退出循環(huán),輸出的為.故選:B.本題考查由程序框圖求輸出的結果,要注意在哪一步退出循環(huán),是一道容易題.2.C【解析】
先得出兩直線平行的充要條件,根據(jù)小范圍可推導出大范圍,可得到答案.【詳解】直線,,的充要條件是,當a=2時,化簡后發(fā)現(xiàn)兩直線是重合的,故舍去,最終a=-1.因此得到“”是“”的充分必要條件.故答案為C.判斷充要條件的方法是:①若p?q為真命題且q?p為假命題,則命題p是命題q的充分不必要條件;②若p?q為假命題且q?p為真命題,則命題p是命題q的必要不充分條件;③若p?q為真命題且q?p為真命題,則命題p是命題q的充要條件;④若p?q為假命題且q?p為假命題,則命題p是命題q的即不充分也不必要條件.⑤判斷命題p與命題q所表示的范圍,再根據(jù)“誰大誰必要,誰小誰充分”的原則,判斷命題p與命題q的關系.3.C【解析】
由于是放回抽取,故每次的情況有4種,共有64種;先找到最大值不是4的情況,即三次取出標號均不為4的球的情況,進而求解.【詳解】所有可能的情況有種,其中最大值不是4的情況有種,所以取得小球標號最大值是4的取法有種,故選:C本題考查古典概型,考查補集思想的應用,屬于基礎題.4.A【解析】
利用兩條直線互相平行的條件進行判定【詳解】當時,直線方程為與,可得兩直線平行;若直線與互相平行,則,解得,,則“”是“直線與互相平行”的充分不必要條件,故選本題主要考查了兩直線平行的條件和性質,充分條件,必要條件的定義和判斷方法,屬于基礎題.5.D【解析】
把已知等式變形,利用復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡,再由復數(shù)模的計算公式計算.【詳解】解:由題意知,,,∴,故選:D.本題考查復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算,考查復數(shù)模的求法.6.A【解析】
由題意得到關于的等式,結合對數(shù)的運算法則可得亮度的比值.【詳解】兩顆星的星等與亮度滿足,令,.故選A.本題以天文學問題為背景,考查考生的數(shù)學應用意識?信息處理能力?閱讀理解能力以及指數(shù)對數(shù)運算.7.D【解析】試題分析:由已知可得有兩個不等實根.考點:1、余弦定理;2、函數(shù)的極值.【方法點晴】本題考查余弦定理,函數(shù)的極值,涉及函數(shù)與方程思想思想、數(shù)形結合思想和轉化化歸思想,考查邏輯思維能力、等價轉化能力、運算求解能力,綜合性較強,屬于較難題型.首先利用轉化化歸思想將原命題轉化為有兩個不等實根,從而可得.8.A【解析】
由題意得,即可得點M的軌跡為以A,B為左、右焦點,的雙曲線,根據(jù)雙曲線的性質即可得解.【詳解】如圖,連接OP,AM,由題意得,點M的軌跡為以A,B為左、右焦點,的雙曲線,.故選:A.本題考查了雙曲線定義的應用,考查了轉化化歸思想,屬于中檔題.9.C【解析】
根據(jù)等差數(shù)列的求和公式即可得出.【詳解】∵a1=12,S5=90,∴5×12+d=90,解得d=1.故選C.本題主要考查了等差數(shù)列的求和公式,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.10.C【解析】
由等差數(shù)列的性質可得,根據(jù)等差數(shù)列的前項和公式可得結果.【詳解】∵等差數(shù)列中,,∴,即,∴,故選C.本題主要考查了等差數(shù)列的性質以及等差數(shù)列的前項和公式的應用,屬于基礎題.11.B【解析】
求函數(shù)導數(shù),利用切線斜率求出,根據(jù)切線過點求出即可.【詳解】因為,所以,故,解得,又切線過點,所以,解得,所以,故選:B本題主要考查了導數(shù)的幾何意義,切線方程,屬于中檔題.12.B【解析】
由題意知且,結合數(shù)軸即可求得的取值范圍.【詳解】由題意知,,則,故,又,則,所以,所以本題答案為B.本題主要考查了集合的關系及運算,以及借助數(shù)軸解決有關問題,其中確定中的元素是解題的關鍵,屬于基礎題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】
利用排列組合公式進行計算,再利用古典概型公式求出不是特等獎的兩張的概率即可.【詳解】解:3張獎券分別標有特等獎、一等獎和二等獎,甲、乙兩人同時各抽取1張獎券,則兩人同時抽取兩張共有:種排法排除特等獎外兩人選兩張共有:種排法.故兩人都未抽得特等獎的概率是:故答案為:本題主要考查古典概型的概率公式的應用,是基礎題.14.【解析】
根據(jù)組合數(shù)得出所有情況數(shù)及兩個球顏色不相同的情況數(shù),讓兩個球顏色不相同的情況數(shù)除以總情況數(shù)即為所求的概率.【詳解】從袋中任意地同時摸出兩個球共種情況,其中有種情況是兩個球顏色不相同;故其概率是故答案為:.本題主要考查了求事件概率,解題關鍵是掌握概率的基礎知識和組合數(shù)計算公式,考查了分析能力和計算能力,屬于基礎題.15.【解析】
將不等式兩邊同時平方進行變形,然后得到對應不等式組,對的取值進行分類,將問題轉化為二次函數(shù)在區(qū)間上恒正、恒負時求參數(shù)范圍,列出對應不等式組,即可求解出的取值范圍.【詳解】因為,所以,所以,所以,所以或,當時,對且不成立,當時,取,顯然不滿足,所以,所以,解得;當時,取,顯然不滿足,所以,所以,解得,綜上可得的取值范圍是:.故答案為:.本題考查根據(jù)不等式恒成立求解參數(shù)范圍,難度較難.根據(jù)不等式恒成立求解參數(shù)范圍的兩種常用方法:(1)分類討論法:分析參數(shù)的臨界值,對參數(shù)分類討論;(2)參變分離法:將參數(shù)單獨分離出來,再以函數(shù)的最值與參數(shù)的大小關系求解出參數(shù)范圍.16.【解析】
由基本不等式,可得到,然后利用,可得到最小值,要注意等號取得的條件?!驹斀狻坑深}意,,當且僅當時等號成立,所以,當且僅當時取等號,所以當時,取得最小值.利用基本不等式求最值必須具備三個條件:①各項都是正數(shù);②和(或積)為定值;③等號取得的條件。三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)(2)當時,;當時,.【解析】
(1)利用數(shù)列與的關系,求得;(2)由(1)可得:,,算出公比,利用等比數(shù)列的前項和公式求出.【詳解】(1)當時,,當時,,因為適合上式,所以.(2)由(1)得,,設等比數(shù)列的公比為,則,解得,當時,,當時,.本題主要考查數(shù)列與的關系、等比數(shù)列的通項公式、前項和公式等基礎知識,考查運算求解能力..18.(1)分布列見解析,(1)【解析】
(1)根據(jù)頻率分布直方圖及抽取總人數(shù),結合各組頻率值即可求得各組抽取的人數(shù);的可能取值為0,1,1,由離散型隨機變量概率求法即可求得各概率值,即可得分布列;由數(shù)學期望公式即可求得其數(shù)學期望.(1)先求得年齡在內的頻率,視為概率.結合二項分布的性質,表示出,令,化簡后可證明其單調性及取得最大值時的值.【詳解】(1)按分層抽樣的方法拉取的8人中,年齡在的人數(shù)為人,年齡在內的人數(shù)為人.年齡在內的人數(shù)為人.所以的可能取值為0,1,1.所以,,,所以的分市列為011.(1)設在抽取的10名市民中,年齡在內的人數(shù)為,服從二項分布.由頻率分布直方圖可知,年齡在內的頻率為,所以,所以.設,若,則,;若,則,.所以當時,最大,即當最大時,.本題考差了離散型隨機變量分布列及數(shù)學期望的求法,二項分布的綜合應用,屬于中檔題.19.(1)(2)見解析【解析】
(1)設,求出后由二次函數(shù)知識得最小值,從而得,即得橢圓方程;(2)設直線的方程為,代入橢圓方程整理,設,由韋達定理得,設,利用三點共線,求得,然后驗證即可.【詳解】解:(1)設,則,所以,因為.所以當時,值最小,所以,解得,(舍負)所以,所以橢圓的方程為,(2)設直線的方程為,聯(lián)立,得.設,則,設,因為三點共線,又所以,解得.而所以直線軸,即.本題考查求橢圓方程,考查直線與橢圓相交問題.直線與橢圓相交問題,采取設而不求思想,設,設直線方程,應用韋達定理,得出,再代入題中需要計算可證明的式子參與化簡變形.20.(1)(2)(2,).【解析】
(1)利用極坐標和直角坐標的轉化公式求解.(2)先把兩個方程均化為普通方程,求解公共點的直角坐標,然后化為極坐標即可.【詳解】(1)∵曲線C的極坐標方程為,∴,則,即.(2),∴,聯(lián)立可得,(舍)或,公共點(,3),化為極坐標(2,).本題主要考查極坐標和直角坐標的轉化及交點的求解,熟記極坐標和直角坐標的轉化公式是求解的關鍵,交點問題一般是統(tǒng)一一種坐標形式求解后再進行轉化,側重考查數(shù)學運算的核心素養(yǎng).21.(1)見解析(2)的最小值為【解析】
(1)由題可得函數(shù)的定義域為,,當時,,令,可得;令,可得,所以函數(shù)在上單調遞增,在上單調遞減;當時,令,可得;令,可得或,所以函數(shù)在,上單調遞增,在上單調遞減;當時,恒成立,所以函數(shù)在上單調遞增.綜上,當時,函數(shù)在上單調遞增,在上單調遞減;當時,函數(shù)在,上單調遞增,在上單調遞減;當時,函數(shù)在上單調遞增.(2)方法一:當時,,,設,,則,所以函數(shù)在上單調遞減,所以,當且僅當時取等號.當時,設,則,所以,設,,則,所以函數(shù)在上單調遞減,且,,所以存在,使得,所以當時,;當時,,所以函數(shù)在上單調遞增,在上單調遞減,因為,,所以,所以,當且僅當時取等號.所以當時,函數(shù)取得最小值,且,故函數(shù)的最小值為.方法二:當時,,,則,令,,則,所以函數(shù)在上單調遞增,又,所以存在,使得,所以函數(shù)在上單調遞減,在上單調遞增,因為,所以當時,恒成立,所以當時,恒成立,
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