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文檔簡介
2025屆河南省鄭州市高三下學期第二次仿真模擬數(shù)學試題注意事項1.考試結束后,請將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請務必將自己的姓名、準考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑;如需改動,請用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知分別為圓與的直徑,則的取值范圍為()A. B. C. D.2.已知非零向量、,若且,則向量在向量方向上的投影為()A. B. C. D.3.已知集合,則的值域為()A. B. C. D.4.中國古代數(shù)學著作《孫子算經》中有這樣一道算術題:“今有物不知其數(shù),三三數(shù)之余二,五五數(shù)之余三,問物幾何?”人們把此類題目稱為“中國剩余定理”,若正整數(shù)除以正整數(shù)后的余數(shù)為,則記為,例如.現(xiàn)將該問題以程序框圖的算法給出,執(zhí)行該程序框圖,則輸出的等于().A. B. C. D.5.設一個正三棱柱,每條棱長都相等,一只螞蟻從上底面的某頂點出發(fā),每次只沿著棱爬行并爬到另一個頂點,算一次爬行,若它選擇三個方向爬行的概率相等,若螞蟻爬行10次,仍然在上底面的概率為,則為()A. B.C. D.6.以下三個命題:①在勻速傳遞的產品生產流水線上,質檢員每10分鐘從中抽取一件產品進行某項指標檢測,這樣的抽樣是分層抽樣;②若兩個變量的線性相關性越強,則相關系數(shù)的絕對值越接近于1;③對分類變量與的隨機變量的觀測值來說,越小,判斷“與有關系”的把握越大;其中真命題的個數(shù)為()A.3 B.2 C.1 D.07.已知數(shù)列的前n項和為,,且對于任意,滿足,則()A. B. C. D.8.各項都是正數(shù)的等比數(shù)列的公比,且成等差數(shù)列,則的值為()A. B.C. D.或9.黨的十九大報告明確提出:在共享經濟等領域培育增長點、形成新動能.共享經濟是公眾將閑置資源通過社會化平臺與他人共享,進而獲得收入的經濟現(xiàn)象.為考察共享經濟對企業(yè)經濟活躍度的影響,在四個不同的企業(yè)各取兩個部門進行共享經濟對比試驗,根據(jù)四個企業(yè)得到的試驗數(shù)據(jù)畫出如下四個等高條形圖,最能體現(xiàn)共享經濟對該部門的發(fā)展有顯著效果的圖形是()A. B.C. D.10.已知變量x,y間存在線性相關關系,其數(shù)據(jù)如下表,回歸直線方程為,則表中數(shù)據(jù)m的值為()變量x0123變量y35.57A.0.9 B.0.85 C.0.75 D.0.511.設集合,,若集合中有且僅有2個元素,則實數(shù)的取值范圍為A. B.C. D.12.劉徽是我國魏晉時期偉大的數(shù)學家,他在《九章算術》中對勾股定理的證明如圖所示.“勾自乘為朱方,股自乘為青方,令出入相補,各從其類,因就其余不移動也.合成弦方之冪,開方除之,即弦也”.已知圖中網格紙上小正方形的邊長為1,其中“正方形為朱方,正方形為青方”,則在五邊形內隨機取一個點,此點取自朱方的概率為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知,為正實數(shù),且,則的最小值為________________.14.為激發(fā)學生團結協(xié)作,敢于拼搏,不言放棄的精神,某校高三5個班進行班級間的拔河比賽.每兩班之間只比賽1場,目前(—)班已賽了4場,(二)班已賽了3場,(三)班已賽了2場,(四)班已賽了1場.則目前(五)班已經參加比賽的場次為__________.15.在長方體中,,則異面直線與所成角的余弦值為()A. B. C. D.16.已知,若,則________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)設點,動圓經過點且和直線相切.記動圓的圓心的軌跡為曲線.(1)求曲線的方程;(2)過點的直線與曲線交于、兩點,且直線與軸交于點,設,,求證:為定值.18.(12分)已知函數(shù).若在定義域內存在,使得成立,則稱為函數(shù)的局部對稱點.(1)若a,且a≠0,證明:函數(shù)有局部對稱點;(2)若函數(shù)在定義域內有局部對稱點,求實數(shù)c的取值范圍;(3)若函數(shù)在R上有局部對稱點,求實數(shù)m的取值范圍.19.(12分)已知拋物線E:y2=2px(p>0),焦點F到準線的距離為3,拋物線E上的兩個動點A(x1,y1)和B(x2,y2),其中x1≠x2且x1+x2=1.線段AB的垂直平分線與x軸交于點C.(1)求拋物線E的方程;(2)求△ABC面積的最大值.20.(12分)在直角坐標系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標原點為極點,以軸正半軸為極軸,建立極坐標系,曲線的極坐標方程為.(1)寫出直線的普通方程和曲線的直角坐標方程;(2)設直線與曲線相交于兩點,的頂點也在曲線上運動,求面積的最大值.21.(12分)如圖,在平面直角坐標系中,已知圓C:,橢圓E:()的右頂點A在圓C上,右準線與圓C相切.(1)求橢圓E的方程;(2)設過點A的直線l與圓C相交于另一點M,與橢圓E相交于另一點N.當時,求直線l的方程.22.(10分)已知函數(shù),其中,為自然對數(shù)的底數(shù).(1)當時,求函數(shù)的極值;(2)設函數(shù)的導函數(shù)為,求證:函數(shù)有且僅有一個零點.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.A【解析】
由題先畫出基本圖形,結合向量加法和點乘運算化簡可得,結合的范圍即可求解【詳解】如圖,其中,所以.故選:A本題考查向量的線性運算在幾何中的應用,數(shù)形結合思想,屬于中檔題2.D【解析】
設非零向量與的夾角為,在等式兩邊平方,求出的值,進而可求得向量在向量方向上的投影為,即可得解.【詳解】,由得,整理得,,解得,因此,向量在向量方向上的投影為.故選:D.本題考查向量投影的計算,同時也考查利用向量的模計算向量的夾角,考查計算能力,屬于基礎題.3.A【解析】
先求出集合,化簡=,令,得由二次函數(shù)的性質即可得值域.【詳解】由,得,,令,,,所以得,在上遞增,在上遞減,,所以,即的值域為故選A本題考查了二次不等式的解法、二次函數(shù)最值的求法,換元法要注意新變量的范圍,屬于中檔題4.C【解析】從21開始,輸出的數(shù)是除以3余2,除以5余3,滿足條件的是23,故選C.5.D【解析】
由題意,設第次爬行后仍然在上底面的概率為.①若上一步在上面,再走一步要想不掉下去,只有兩條路,其概率為;②若上一步在下面,則第步不在上面的概率是.如果爬上來,其概率是,兩種事件又是互斥的,可得,根據(jù)求數(shù)列的通項知識可得選項.【詳解】由題意,設第次爬行后仍然在上底面的概率為.①若上一步在上面,再走一步要想不掉下去,只有兩條路,其概率為;②若上一步在下面,則第步不在上面的概率是.如果爬上來,其概率是,兩種事件又是互斥的,∴,即,∴,∴數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列,而,所以,∴當時,,故選:D.本題考查幾何體中的概率問題,關鍵在于運用遞推的知識,得出相鄰的項的關系,這是常用的方法,屬于難度題.6.C【解析】
根據(jù)抽樣方式的特征,可判斷①;根據(jù)相關系數(shù)的性質,可判斷②;根據(jù)獨立性檢驗的方法和步驟,可判斷③.【詳解】①根據(jù)抽樣是間隔相同,且樣本間無明顯差異,故①應是系統(tǒng)抽樣,即①為假命題;②兩個隨機變量相關性越強,則相關系數(shù)的絕對值越接近于1;兩個隨機變量相關性越弱,則相關系數(shù)的絕對值越接近于0;故②為真命題;③對分類變量與的隨機變量的觀測值來說,越小,“與有關系”的把握程度越小,故③為假命題.故選:.本題以命題的真假判斷為載體考查了抽樣方法、相關系數(shù)、獨立性檢驗等知識點,屬于基礎題.7.D【解析】
利用數(shù)列的遞推關系式判斷求解數(shù)列的通項公式,然后求解數(shù)列的和,判斷選項的正誤即可.【詳解】當時,.所以數(shù)列從第2項起為等差數(shù)列,,所以,,.,,.故選:.本題考查數(shù)列的遞推關系式的應用、數(shù)列求和以及數(shù)列的通項公式的求法,考查轉化思想以及計算能力,是中檔題.8.C【解析】分析:解決該題的關鍵是求得等比數(shù)列的公比,利用題中所給的條件,建立項之間的關系,從而得到公比所滿足的等量關系式,解方程即可得結果.詳解:根據(jù)題意有,即,因為數(shù)列各項都是正數(shù),所以,而,故選C.點睛:該題應用題的條件可以求得等比數(shù)列的公比,而待求量就是,代入即可得結果.9.D【解析】根據(jù)四個列聯(lián)表中的等高條形圖可知,圖中D中共享與不共享的企業(yè)經濟活躍度的差異最大,它最能體現(xiàn)共享經濟對該部門的發(fā)展有顯著效果,故選D.10.A【解析】
計算,代入回歸方程可得.【詳解】由題意,,∴,解得.故選:A.本題考查線性回歸直線方程,解題關鍵是掌握性質:線性回歸直線一定過中心點.11.B【解析】
由題意知且,結合數(shù)軸即可求得的取值范圍.【詳解】由題意知,,則,故,又,則,所以,所以本題答案為B.本題主要考查了集合的關系及運算,以及借助數(shù)軸解決有關問題,其中確定中的元素是解題的關鍵,屬于基礎題.12.C【解析】
首先明確這是一個幾何概型面積類型,然后求得總事件的面積和所研究事件的面積,代入概率公式求解.【詳解】因為正方形為朱方,其面積為9,五邊形的面積為,所以此點取自朱方的概率為.故選:C本題主要考查了幾何概型的概率求法,還考查了數(shù)形結合的思想和運算求解的能力,屬于基礎題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】
由,為正實數(shù),且,可知,于是,可得,再利用基本不等式即可得出結果.【詳解】解:,為正實數(shù),且,可知,,.當且僅當時取等號.的最小值為.故答案為:.本題考查了基本不等式的性質應用,恰當變形是解題的關鍵,屬于中檔題.14.2【解析】
根據(jù)比賽場次,分析,畫出圖象,計算結果.【詳解】畫圖所示,可知目前(五)班已經賽了2場.故答案為:2本題考查推理,計數(shù)原理的圖形表示,意在考查數(shù)形結合分析問題的能力,屬于基礎題型.15.C【解析】
根據(jù)確定是異面直線與所成的角,利用余弦定理計算得到答案.【詳解】由題意可得.因為,所以是異面直線與所成的角,記為,故.故選:.本題考查了異面直線夾角,意在考查學生的空間想象能力和計算能力.16.1【解析】
由題意先求得的值,可得,再令,可得結論.【詳解】已知,,,,令,可得,故答案為:1.本題主要考查二項式定理的應用,注意根據(jù)題意,分析所給代數(shù)式的特點,通過給二項式的賦值,求展開式的系數(shù)和,可以簡便的求出答案,屬于基礎題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1);(2)見解析.【解析】
(1)已知點軌跡是以為焦點,直線為準線的拋物線,由此可得曲線的方程;(2)設直線方程為,,則,設,由直線方程與拋物線方程聯(lián)立消元應用韋達定理得,,由,,用橫坐標表示出,然后計算,并代入,可得結論.【詳解】(1)設動圓圓心,由拋物線定義知:點軌跡是以為焦點,直線為準線的拋物線,設其方程為,則,解得.∴曲線的方程為;(2)證明:設直線方程為,,則,設,由得,①,則,,②,由,,得,,整理得,,∴,代入②得:.本題考查求曲線方程,考查拋物線的定義,考查直線與拋物線相交問題中的定值問題.解題方法是設而不求的思想方法,即設交點坐標,設直線方程,直線方程代入拋物線(或圓錐曲線)方程得一元二次方程,應用韋達定理得,,代入題中其他條件所求式子中化簡變形.18.(1)見解析(2)(3)【解析】
(1)若函數(shù)有局部對稱點,則,即有解,即可求證;(2)由題可得在內有解,即方程在區(qū)間上有解,則,設,利用導函數(shù)求得的范圍,即可求得的范圍;(3)由題可得在上有解,即在上有解,設,則可變形為方程在區(qū)間內有解,進而求解即可.【詳解】(1)證明:由得,代入得,則得到關于x的方程,由于且,所以,所以函數(shù)必有局部對稱點(2)解:由題,因為函數(shù)在定義域內有局部對稱點所以在內有解,即方程在區(qū)間上有解,所以,設,則,所以令,則,當時,,故函數(shù)在區(qū)間上單調遞減,當時,,故函數(shù)在區(qū)間上單調遞增,所以,因為,,所以,所以,所以(3)解:由題,,由于,所以,所以(*)在R上有解,令,則,所以方程(*)變?yōu)樵趨^(qū)間內有解,需滿足條件:,即,得本題考查函數(shù)的局部對稱點的理解,利用導函數(shù)研究函數(shù)的最值問題,考查轉化思想與運算能力.19.(1)y2=6x(2).【解析】
(1)根據(jù)拋物線定義,寫出焦點坐標和準線方程,列方程即可得解;(2)根據(jù)中點坐標表示出|AB|和點到直線的距離,得出面積,利用均值不等式求解最大值.【詳解】(1)拋物線E:y2=2px(p>0),焦點F(,0)到準線x的距離為3,可得p=3,即有拋物線方程為y2=6x;(2)設線段AB的中點為M(x0,y0),則,y0,kAB,則線段AB的垂直平分線方程為y﹣y0(x﹣2),①可得x=5,y=0是①的一個解,所以AB的垂直平分線與x軸的交點C為定點,且點C(5,0),由①可得直線AB的方程為y﹣y0(x﹣2),即x(y﹣y0)+2②代入y2=6x可得y2=2y0(y﹣y0)+12,即y2﹣2y0y+2y02=0③,由題意y1,y2是方程③的兩個實根,且y1≠y2,所以△=1y02﹣1(2y02﹣12)=﹣1y02+18>0,解得﹣2y0<2,|AB|,又C(5,0)到線段AB的距離h=|CM|,所以S△ABC|AB|h?,當且僅當9+y02=21﹣2y02,即y0=±,A(,),B(,),或A(,),B(,)時等號成立,所以S△ABC的最大值為.此題考查根據(jù)焦點和準線關系求拋物線方程,根據(jù)直線與拋物線位置關系求解三角形面積的最值,表示三角形的面積關系常涉及韋達定理整體代入,拋物線中需要考慮設點坐標的技巧,處理最值問題常用函數(shù)單調性求解或均值不等式求最值.20.(1):,:;(2)【解析】
(1)由直線參數(shù)方程消去參數(shù)即可得直線的普通方程,根據(jù)極坐標方程和直角坐標方程互化的公式即可得曲線的直角坐標方程;(2)由即可得的底,由點到直線的距離的最大值為即可得高的最大值,即可得解.【詳解】(1)由消去參數(shù)得直線的普通方程為,由得,曲線的直角坐標方程為;(2)曲線即,圓心到直線的距離,所以,又點到直線的距離的最大值為,所以面積的最大值為.本題考查了參數(shù)方程、極坐標方程和直角坐標方程的互化,考查了直線與圓的位置關系,屬于中檔題.2
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