數(shù)學(xué)知識導(dǎo)航平均變化率瞬時(shí)變化率-導(dǎo)數(shù)

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精1。1導(dǎo)數(shù)的概念1。1。1平均變化率1.1。2瞬時(shí)變化率——導(dǎo)數(shù)知識梳理1。函數(shù)f(x）在區(qū)間［x1，x2］上的平均變化率為___________.2。設(shè)物體運(yùn)動(dòng)的路程與時(shí)間的關(guān)系是s=f(t），當(dāng)Δt趨近于0時(shí)，函數(shù)f(t）在t0+Δt之間的平均變化率趨近于常數(shù)。我們把這個(gè)常數(shù)稱為t0時(shí)刻的____________.3.函數(shù)y=f（x)在x0處的導(dǎo)數(shù)f′（x0)的幾何意義，就是曲線y=f（x）在(x0，f(x0))處切線的斜率,即k=f′（x0）=_____________.知識導(dǎo)學(xué)要學(xué)好本節(jié)內(nèi)容，最重要的是理解平均變化率和瞬時(shí)變化率的概念。本節(jié)的重點(diǎn)是導(dǎo)數(shù)的定義及其幾何意義，難點(diǎn)是利用割線逼近的方法求曲線在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù),及兩種變化率之間的關(guān)系。疑難突破1。正確理解平均變化率和瞬時(shí)變化率的關(guān)系。剖析:平均變化率和瞬時(shí)變化率都是反映事物變化程度的量,平均變化率表示的是曲線在某區(qū)間上的變化趨勢；瞬時(shí)變化率表示的是曲線上某一點(diǎn)處的變化趨勢。2。怎樣理解導(dǎo)數(shù)的定義及幾何意義?剖析:導(dǎo)數(shù)是函數(shù)在某一點(diǎn)處的瞬時(shí)變化率，導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是曲線y=f（x)在點(diǎn)P(x0，f（x0）)處的切線的斜率.導(dǎo)數(shù)的概念就是變量變化速度在數(shù)學(xué)上的一種抽象,深刻理解導(dǎo)數(shù)的定義是本節(jié)的關(guān)鍵。典題精講【例1】已知f（x）=x2,求曲線y=f（x)在x=3處的切線斜率.思路分析：為求得過點(diǎn)（3,9）處的切線斜率，我們從經(jīng)過點(diǎn)（3，9）的任意一條直線(割線）入手。解：設(shè)P（3，9),Q(3+Δx，（3+Δx）2)，則割線PQ的斜率為kPQ==6+Δx。當(dāng)Δx無限趨近于0時(shí)，kPQ無限趨近于常數(shù)6,從而曲線y=f(x)在點(diǎn)P(3，9)處的切線斜率為6。綠色通道:利用割線逼近切線的方法，求曲線在某一點(diǎn)處的切線斜率的方法是一種比較直觀的解題方法。變式訓(xùn)練：已知f(x）=2x2，求曲線y=f(x）在x=1處的切線斜率。思路分析:為求得過點(diǎn)（1,2)處的切線斜率，我們從經(jīng)過點(diǎn)（1，2)的任意一條直線(割線）入手。解：設(shè)P(1,2）,Q（1+Δx,2（1+Δx）2),則割線PQ的斜率為kPQ==4+2Δx。當(dāng)Δx無限趨近于0時(shí)，kPQ無限趨近于常數(shù)4,從而曲線y=f（x）在點(diǎn)P(1,2)處的切線斜率為4.【例2】已知f(x)=x2+3。（1)求f（x）在x=1處的導(dǎo)數(shù)；(2）求f（x)在x=a處的導(dǎo)數(shù)。思路分析：函數(shù)在某一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)實(shí)際上就是相應(yīng)函數(shù)圖象在該點(diǎn)切線的斜率,深刻理解概念是正確解題的關(guān)鍵。解：(1)因?yàn)?2+Δx，當(dāng)Δx無限趨近于0時(shí)，2+Δx無限趨近于2,所以f（x）在x=1處的導(dǎo)數(shù)等于2。（2)因?yàn)?2a+Δx，且當(dāng)Δx無限趨近于0時(shí)，2a+Δx無限趨近于2a,所以f（x)在x=a處的導(dǎo)數(shù)等于2a。綠色通道：本題主要考查對導(dǎo)數(shù)概念的理解程度，及應(yīng)用定義解題的熟煉程度。變式訓(xùn)練：已知f(x）=3x+5,求當(dāng)x=2時(shí)的導(dǎo)數(shù).思路分析：函數(shù)在某一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是函數(shù)圖象在該點(diǎn)切線的斜率。解:因?yàn)?所以f（x)在x=2時(shí)的導(dǎo)數(shù)為3.【例3】已知曲線y=3x2-x，求曲線上一點(diǎn)A(1，2）處的切線的斜率及切線方程.思路分析:求曲線上某點(diǎn)的切線斜率就是求函數(shù)在那一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值.解:因?yàn)?當(dāng)Δx趨近于0時(shí),5+3Δx就趨近于5,所以曲線y=3x2—x在點(diǎn)A（1,2)處的切線斜率是5.切線方程為y-2=5(x—1),即5x-y—3=0。綠色通道：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義將切線的斜率求出，再根據(jù)點(diǎn)斜式方程求出切線方程，這是用導(dǎo)數(shù)求某點(diǎn)處切線的一般方法。變式訓(xùn)練：已知曲線y=上一點(diǎn)P(2,），求點(diǎn)P的切線斜率及點(diǎn)P處的切線方程.思路分析:先求出某點(diǎn)處的切線斜率，即求該函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)定義求解。解：因?yàn)?4+2Δx+,當(dāng)Δx趨近于0時(shí),4+2Δx+就趨近于4，所以曲線y=上點(diǎn)P（2,)處的切線斜率為4，切線方程為，即問題探究問題：某鋼管廠生產(chǎn)鋼管的利潤函數(shù)為P（n）=-n3+600n2+67500n—1200000，其中n為工廠每月生產(chǎn)該鋼管的根數(shù),利潤P（n)的單位是元。（1)求邊際利潤函數(shù)P′（n)=0時(shí)n的值;(2）解釋（1）中n的實(shí)際意義。導(dǎo)思：這是一道有關(guān)邊際函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用題,由于利潤函數(shù)已給出，只需先求邊際利潤函數(shù)P′（n）,再根據(jù)P′(n)=0解出n的值即可.探究：(1)因?yàn)?（-3n2+1200n+67500)+Δn.當(dāng)Δn無限趨近于0時(shí),—3n2+1200n+67500+Δn無限趨近于-3n2+1200n+67500.∴P′(n)=-3n2+1200n+67500.由P′(n)=0，即—3n2+1