概率論與數理統(tǒng)計(第4版)盛驟 14.4 平穩(wěn)隨機過程的功率譜密度學習資料

第四節(jié)平穩(wěn)隨機過程的功率譜密度一、平穩(wěn)過程的功率譜密度二、譜密度的性質三、互譜密度及其性質四、小結一、平穩(wěn)過程的功率譜密度1.平均功率和能量譜密度

且絕對可積,換存在或者說具有頻譜狄利克雷資料且同時有傅立葉逆變換等式:稱為x(t)的能量譜密度帕塞瓦爾資料平均功率

帕塞瓦爾等式又可理解為總能量的譜表示式.上的平均功率.平均功率的譜表示式它的帕塞瓦爾等式絕對可積傅立葉資料變形得稱為x(t)

的平均功率譜密度2.平穩(wěn)過程的平均功率和能量譜密度

交換定義式中積分與均值的運算順序,并注于是平穩(wěn)過程的平均功率該過程的均方值即平穩(wěn)過程的平均功率等于該過程的均方值或即也簡稱為自譜密度或譜密度,它是從頻率這個角度物理意義:

二、譜密度的性質性質1

性質2

它們統(tǒng)稱為維納-辛欽(Wiener-Khinchin)公式.辛欽資料維納資料說明:

1.平穩(wěn)過程在自相關函數絕對可積的條件下,維納-辛欽公式成立.

所以維納-辛欽公式還可以寫成如下的形式:規(guī)律之間的聯系.方法或等價的頻率域方法去解決實際問題.3.維納-辛欽公式又稱為平穩(wěn)過程自相關函數的譜表示式.它揭示了從時間角度描述平穩(wěn)過程在應用上我們可以根據實際情形選擇時間域例1解例2解由公式知自相關函數可算得

利用留數定理,均方值為說明

有理譜密度

有關實際問題仍能得到圓滿其譜密度都是離散的.在實際問題中常常碰到這樣一些平穩(wěn)過程,們的自相關函數或譜密度在常義情形下的傅立葉變換或逆變換不存在,此時如果允許譜密度和自相解決.在這種情況下,自相關函數為常數或正弦型函數的平穩(wěn)過程,它通常用單位有向線段來表示.就有據此可以寫出以下傅立葉變換對：其譜密度都是離散的.由此可見，自相關函數為常數或正弦型函數的平穩(wěn)過程，解

所要求的譜密度為相應的譜密度如圖所示:外的周期信號的.

例3此圖說明了譜密度

是如何表明噪聲以

白噪聲

均值為零而譜密度為正常數,即2.白噪聲的自相關函數

1.定義

簡稱白噪聲.其名出于白光具有均勻光譜的緣故.說明

那就可把它近似地當作白噪聲來處理.(1)白噪聲也可定義為均值為零、自相關函數為(2)白噪聲是一種理想化的數學模型.它的平均功率是無限的.白噪聲在數學處理上具有簡單、方便優(yōu)點.如果某種噪聲(或干擾)在比實際考慮的有用頻帶寬得多的范圍內,具有比較“平坦”的譜密度,三、互譜密度及其性質互譜密度的定義

稱說明：

互譜密度的性質：

有如下維納-辛欽公式4.互譜密度與自譜密度之間成立有不等式注意

要運用互譜密度.例如:(1)在應用上當考慮多個平穩(wěn)過程之和的頻率結構時,根據維納-辛欽公式,

(2)互譜密度并不象自譜密度那樣具有物理意義,引入這個概念主要是為了能在頻率域上描述兩個平穩(wěn)過程的相關性.例如:補充例題四、小結得到譜密度.平穩(wěn)過程X(t)的功率譜密度平穩(wěn)過程X(t)和Y(t)的互譜密度為了計算平穩(wěn)過程的譜密度(或互譜密度)，一般總是先求出相關函數,再進行FT(維納-辛欽公式)

Born:13Feb.1805inDüren,FrenchEmpire(nowGermany)

Died:5May.1859inG?ttingen,Hanover(nowGermany)Lejeune

Dirichlet狄利克雷資料返回

Born:27Apr.1755inRosières-aux-Saline,FranceDied:16Aug.1836inParis,FranceMarc-AntoineParsevaldesChênes返回帕塞瓦爾資料Born:21Mar.1768inAuxerre,Bourgogne,France

Died:16May.1830inParis,FranceJosephFourier返回傅里葉資料Born:26Nov.1894inColumbia,Missouri,USA

Died:18Mar.1964inStockholm,SwedenNorbertWiener返回