專題06 正余弦定理的應(yīng)用十一種考法（解析版）-2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)重難點(diǎn)突破（蘇教版2019必修第二冊(cè)）（新高考地區(qū)專用）-1

專題06正余弦定理的應(yīng)用十一種考法一、方法講解1.正弦定理的應(yīng)用：=1\*GB3①邊化角，角化邊=2\*GB3②大邊對(duì)大角大角對(duì)大邊=3\*GB3③合分比：2.余弦定理的應(yīng)用：（1）a2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝c2＋a2－2cacosB；c2＝a2＋b2－2abcosCcosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)；cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ac)；cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)（2）內(nèi)角和定理：3.面積公式：（r是三角形內(nèi)切圓的半徑，并可由此計(jì)算R，r．）4.三角形內(nèi)角和定理：在△ABC中，A＋B＋C＝π；變形：eq\f(A＋B,2)＝eq\f(π,2)－eq\f(C,2).5.三角形中的三角函數(shù)關(guān)系=1\*GB3①sin(A＋B)＝sinC；=2\*GB3②cos(A＋B)＝－cosC；=3\*GB3③sineq\f(A＋B,2)＝coseq\f(C,2)；=4\*GB3④coseq\f(A＋B,2)＝sineq\f(C,2)6.三角形中的射影定理同理有：，．7.解三角形多解情況在△ABC中，已知a，b和A時(shí)，解的情況如下：A為銳角A為鈍角或直角圖形關(guān)系式解的個(gè)數(shù)一解兩解一解一解無解注：在解三角形題目中，若已知條件同時(shí)含有邊和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要選擇“邊化角”或“角化邊”，變換原則常用：（1）若式子含有的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理，“角化邊”；（2）若式子含有的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理，“邊化角”；（3）若式子含有的齊次式，優(yōu)先考慮余弦定理，“角化邊”；（4）代數(shù)變形或者三角恒等變換前置；（5）含有面積公式的問題，要考慮結(jié)合余弦定理使用；（6）同時(shí)出現(xiàn)兩個(gè)自由角（或三個(gè)自由角）時(shí)，要用到．二、重難點(diǎn)例題及變式類型一、正弦定理解三角形例．（1）在中，，，，則角的值為（）A． B．或 C． D．【答案】C【解析】由正弦定理，可得，且，可知角的值為.故選：C（2）中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為已知，則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】在中，因?yàn)?，則，由正弦定理，可得.故選：B【變式訓(xùn)練1】在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且，則.【答案】或【解析】在中，，則由正弦定理得，，得，因?yàn)?，所以或，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，故答案為：或【變式訓(xùn)練2】在中，角所對(duì)的邊分別為，若，則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，因?yàn)椋裕蔬x：C.類型二、余弦定理解三角形例．（1）在中，角所對(duì)的邊分別為.若，則（）A．2 B．4 C．16 D．【答案】B【解析】在中，，由余弦定理得，解得.故選：B.（2）的內(nèi)角所對(duì)邊分別為，若，則角的大?。ǎ〢． B． C． D．【答案】D【解析】由余弦定理得，，因?yàn)?，所以，由，所以，故選：D．【變式訓(xùn)練1】在中，如果，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設(shè)，則，在中，由余弦定理得：.故選：A.【變式訓(xùn)練2】在中，角所對(duì)的邊分別為，若，則（）A. B.2 C.1或2 D.2或【答案】C【解析】由余弦定理得，化簡(jiǎn)得，解出或2.故選：C.類型三、邊角互化的應(yīng)用例．（1）若的三個(gè)內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，，，則（）A． B． C． D．6【答案】B【解析】在中，，所以，所以，由正弦定理以及比例的性質(zhì)可得：.故選：B（2）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且，，則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由得,由于，所以，故，故選：C【變式訓(xùn)練1】在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且，則角B=.【答案】/【解析】因?yàn)?，由正弦定理，即，又因?yàn)?，可得，、所以，因?yàn)?，可得，所以，即，又因?yàn)?，所?故答案為：.【變式訓(xùn)練2】在中，角所對(duì)的邊分別為，已知，則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)?，由正弦定理，因?yàn)?，展開化簡(jiǎn)，又.故選:B.類型四、三角形解的個(gè)數(shù)例．（1）根據(jù)下列情況，判斷三角形解的情況，其中有唯一解的是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】對(duì)于A，由正弦定理可得：，所以，因?yàn)?，所以，所以三角形?解，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由正弦定理可得：，所以，此三角形無解，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由正弦定理可得：，所以，因?yàn)椋?，則為鈍角，不成立，所以無解，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由正弦定理可得：，所以，因?yàn)?，所以，所以此三角形只有唯一?故D正確.故選：D.（2）在中，，，，若滿足條件的有且僅有一個(gè)，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由正弦定理，則，即，由題意僅有一值，故或，解得或.故選：A【變式訓(xùn)練1】在中，，，滿足此條件有兩解，則BC邊長度的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】∵有兩解，∴，∴，故選：D．【變式訓(xùn)練2】在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，則下列判斷正確的是（）A．，，，有兩解 B．，，，有一解C．，，，無解 D．，，，有一解【答案】C【解析】選項(xiàng)A：因?yàn)?，故只有一解，故A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B：因，故有兩解，故B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：因，故有兩解，故C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D：因，故無解，故D正確.故選：C類型五、判斷三角形的形狀例．（1）在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為若滿足，則該三角形為（）A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等邊三角形 D．不能確定【答案】B【解析】在中，已知由正弦定理得，所以即又，則，則，所以所以該三角形為等腰三角形.故選：B.（2）在中，若，則這個(gè)三角形是．【答案】等腰或直角三角形/直角或等腰三角形【解析】因?yàn)?，所以，，，則，所以，，即，所以，，，即，整理可得，即或，因此，為等腰或直角三角形.故答案為：等腰或直角三角形.【變式訓(xùn)練1】已知中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，若，且，則是（）A．銳角三角形 B．鈍角三角形 C．等邊三角形 D．等腰直角三角形【答案】D【解析】，即，故，，因?yàn)?，所以，故，因?yàn)?，所以，故為等腰直角三角?故選：D【變式訓(xùn)練2】在中，內(nèi)角所對(duì)邊分別為，若，則的形狀是（）A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形【答案】B【解析】因?yàn)樗裕淼?，即的形狀是等腰三角?故選：B.類型六、三角形中的面積公式例．（1）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若，則的面積為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由余弦定理得，即，解得，所以三角形的面積為.故選：A（2）在中，A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，，，則的值為．【答案】/【解析】由，可得，解得，所以為等邊三角形，故外接圓直徑為所以．故答案為：【變式訓(xùn)練1】在中，分別是角所對(duì)的邊，若，則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)?，又由題知，所以，整理得到，，又由余弦定理，所以，所以，又，所以.故選：C.【變式訓(xùn)練2】記的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，若的面積為，則c為______________．【答案】【解析】由余弦定理有，對(duì)比已知，可得，因?yàn)?，所以，從而，又因?yàn)椋?，注意到，所?，，從而，，而，由正弦定理有，從而，由三角形面積公式可知，的面積可表示為，由已知的面積為，可得，所以.故答案為：類型七、正、余弦定理的綜合運(yùn)用例．（1）在中,內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，若，，則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)椋瑒t由正弦定理得.由余弦定理可得:，即:，根據(jù)正弦定理得，所以，因?yàn)闉槿切蝺?nèi)角，則，則.故選：C.（2）在中，若，，，則，.【答案】【解析】由正弦定理，有，所以，由余弦定理，有，解得.故答案為：，.【變式訓(xùn)練1】在中，角所對(duì)的邊分別為，已知，且，則（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由正弦定理可得：，所以由余弦定理可得：，所以，再由正弦定理可得：.故選：D.【變式訓(xùn)練2】已知中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，，則__________．【答案】【解析】在中，，則，由余弦定理得，由正弦定理得，所以.故答案為：類型八、正、余弦定理與三角函數(shù)性質(zhì)的結(jié)合應(yīng)用例．已知函數(shù).（1）若，求的值.（2）在中，角的對(duì)邊分別是，且滿足，求的取值范圍.【答案】（1）;（2）【解析】（1）由可得：..（2）由余弦定理得：，整理可得：，，，又，，，，則，，即的取值范圍為【變式訓(xùn)練1】已知，（1）若，求的值；（2）在三角形ABC中，若，求的最大值；【答案】（1）（2）【解析】（1）函數(shù),因?yàn)?，所以，所以?（2）由，而，可得，即，所以，因?yàn)椋?則，故當(dāng)時(shí)，取最大值，最大值為．類型九、三角形周長與面積問題例．已知，，分別是的內(nèi)角，，的對(duì)邊，且.（1）求；（2）若，的面積為，求的周長.【答案】（1）；（2）10【解析】（1）在中，，由正弦定理得：，則，即，即，由正弦定理得，即；（2）由，得，則，得，由余弦定理得，即，整理得，即，解得，則，所以的周長為.【變式訓(xùn)練1】在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，已知（1）求；（2）若，且的周長為，求的面積【答案】（1）；（2）【解析】（1）由，得得，得由余弦定理得由正弦定理得所以，所以因?yàn)?，所?（2）因?yàn)椋业闹荛L為，所以由余弦定理可得所以，解得，因此.【變式訓(xùn)練2】已知函數(shù)．在中，，且．(1)求的大?。?2)若，且的面積為，求的周長．【答案】（1）；（2）12【解析】（1）由函數(shù)，因?yàn)?，可得，在中，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，所以，解得，因?yàn)椋?（2）由（1）知，因?yàn)榈拿娣e為，所以，在中，由余弦定理得，即，整理得，所以，即，所以，所以的周長為.類型十、解三角形在實(shí)際問題中的應(yīng)用例．（1）冬奧會(huì)會(huì)徽以漢字“冬”為靈感來源，結(jié)合中國書法的藝術(shù)形態(tài)，將悠久的中國傳統(tǒng)文化底蘊(yùn)與國際化風(fēng)格融為一體，呈現(xiàn)出中國在新時(shí)代的新形象?新夢(mèng)想.某同學(xué)查閱資料得知，書法中的一些特殊畫筆都有固定的角度，比如在彎折位置通常采用等特殊角度下.為了判斷“冬”的彎折角度是否符合書法中的美學(xué)要求.該同學(xué)取端點(diǎn)繪制了，如圖，測(cè)得，若點(diǎn)恰好在邊上，則的值為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意，在中，由余弦定理，；因?yàn)椋?，在中，由正弦定理，所以，解得，故選：C（2）在同一平面上有相距14公里的兩座炮臺(tái)，在的正東方.某次演習(xí)時(shí)，向西偏北方向發(fā)射炮彈，則向東偏北方向發(fā)射炮彈，其中為銳角，觀測(cè)回報(bào)兩炮彈皆命中18公里外的同一目標(biāo)，接著改向向西偏北方向發(fā)射炮彈，彈著點(diǎn)為18公里外的點(diǎn)，則炮臺(tái)與彈著點(diǎn)的距離為（）A．7公里 B．8公里 C．9公里 D．10公里【答案】D【解析】依題意設(shè)炮彈第一次命中點(diǎn)為，則，，，，在中，即，解得，所以，又為銳角，解得（負(fù)值舍去），在中，所以，即炮臺(tái)與彈著點(diǎn)的距離為公里.故選：D【變式訓(xùn)練1】岳陽樓地處岳陽古城西門城墻之上，下瞰洞庭，前望君山．因范仲淹的《岳陽樓記》著稱于世，自古有“洞庭天下水，岳陽天下樓”之美譽(yù)．小明為了測(cè)量岳陽樓的高度，他首先在處，測(cè)得樓頂?shù)难鼋菫?，然后沿方向行?2.5米至處，又測(cè)得樓頂?shù)难鼋菫?，則樓高為米．【答案】【解析】中，，，，中，，，，因?yàn)槊祝?，解得：故答案為：【變式?xùn)練2】興化千島菜花風(fēng)景區(qū)素有“全國最美油菜花海”之稱，以千島樣式形成的垛田景觀享譽(yù)全國，與享譽(yù)世界的普羅旺斯薰衣草園、荷蘭郁金香花海、京都櫻花并稱，躋身全球四大花海之列．若將每個(gè)小島近似看成正方形，在正方形方格中A，B，C三位游客所在位置如圖所示，則的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如圖，依題意，連接,不妨設(shè)小正方形方格邊長為1，則由余弦定理，,因，故得故選：B.類型十一、與其他章節(jié)的融合例．在平面凸四邊形中，已知，，，，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)，則，在中，由正弦定理得，所以，在中，，，則，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以的最小值?故選：B.【變式訓(xùn)練1】在中，角的對(duì)邊分別為.已知向量，向量，且.（1）求角的大小；（2）若，，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】（1）

，解得：（2）由余弦定理得：由正弦定理得：

為銳角

【變式訓(xùn)練2】已知平面向量，，設(shè)函數(shù).（1）求的最大值；（2）在中，，D在BC邊上，且，，求的周長.【答案】（1）1；（2）.【解析】（1）因?yàn)?，，所以，所以的最大值?（2）因?yàn)椋?，因，所以，所以，所以，因?yàn)?，所以，由正弦定理，在中，，即，得，在中，，即，得，因?yàn)?，所以，所以，即，由，且，，解得，所以三角形的周長為.三、能力測(cè)試練1．在△ABC中，若，則（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由正弦定理得，即，解得.故選：A.2．已知的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，若，則角（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由正弦定理角化邊可知，，整理為，即，由于，所以.故選：B.3．在中，角所對(duì)的邊分別為，若，則的形狀為（）A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．鈍角三角形【答案】B【解析】由得，即，即，所以，在中，，所以，，即的形狀為直角三角形.故選：B.4．設(shè)△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若，且，則（）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)椋烧叶ɡ碛?，根?jù)余弦定理有，且，故有，即，又，所以.故選：D5．（多選）在中，角的對(duì)邊分別為，下列四個(gè)命題中正確的是（）A．若則是等腰三角形B．若，則為銳角三角形C．若，則一定是等邊三角形D．若，則一定是等腰三角形【答案】AC【解析】對(duì)于A，因?yàn)樗约?，所以，結(jié)合，可得或（舍去），所以是等腰三角形，故A正確；對(duì)于B，由正弦定理可得，則，所以為銳角，但無法判斷兩角是否為銳角，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)?，所以，即，又因?yàn)?，可得，即是等邊三角形，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)?，所以，所以，所以或，即或，所以是等腰三角形或直角三角形，故D錯(cuò)誤.故選：AC.6.（多選）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，下列命題正確的是（）A．若，，，則有兩解B．若，，則的面積最大值為C．若，，，則外接圓半徑為D．若，則一定是等腰三角形【答案】AC【解析】對(duì)于A，因?yàn)?，所以，?/p>