（人教A版）高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中復(fù)習(xí)考點(diǎn)題型講練 專題02排列與組合（2個(gè)知識點(diǎn)3個(gè)拓展2個(gè)突破5種題型2個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)）（原卷版）

專題02排列與組合（2個(gè)知識點(diǎn)3個(gè)拓展2個(gè)突破5種題型2個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)）【目錄】倍速學(xué)習(xí)四種方法【方法一】脈絡(luò)梳理法知識點(diǎn)1.排列知識點(diǎn)2.組合拓展1.有限制條件的排列問題拓展2.有限制條件的組合問題拓展3.排列與組合的綜合問題突破1.分組與分配問題突破2.排列組合中的新概念創(chuàng)新題型【方法二】實(shí)例探索法題型1.排列數(shù)公式的應(yīng)用題型2.排列的概念與簡單的排列問題題型3.特殊元素與特殊位置問題題型4“相鄰”與“不相鄰”問題題型5.“定序”問題題型6.組合概念的理解與簡單組合問題題型7.與組合數(shù)有關(guān)的計(jì)算題型8.“含”與“不含”問題題型9.相同元素分組分配問題題型10.排列組合的綜合應(yīng)用【方法三】差異對比法易錯(cuò)點(diǎn)1.不能正確理解題意致誤易錯(cuò)點(diǎn)2.忽視排列數(shù)公式的隱含條件致誤【方法四】成果評定法【知識導(dǎo)圖】【倍速學(xué)習(xí)四種方法】【方法一】脈絡(luò)梳理法知識點(diǎn)1.排列一、排列的定義一般地，從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素，并按照一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列．二、排列相同的條件兩個(gè)排列相同的充要條件：(1)兩個(gè)排列的元素完全相同．(2)元素的排列順序也相同．三、排列數(shù)的定義從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有不同排列的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)，用符號Aeq\o\al(m,n)表示．思考排列與排列數(shù)相同嗎？答案排列數(shù)是元素排列的個(gè)數(shù)，兩者顯然不同．二、排列數(shù)公式及全排列1．排列數(shù)公式的兩種形式(1)Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，其中m，n∈N*，并且m≤n.(2)Aeq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,n－m！).2．全排列：把n個(gè)不同的元素全部取出的一個(gè)排列，叫做n個(gè)元素的一個(gè)全排列，全排列數(shù)為Aeq\o\al(n,n)＝n！(叫做n的階乘)．規(guī)定：0！＝1.例1．（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）從1、2、3、4、5這5個(gè)數(shù)字中，任取2個(gè)不同的數(shù)字作為一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，一共可以組成多少個(gè)不同的點(diǎn)？知識點(diǎn)2.組合一、組合及組合數(shù)的定義1．組合一般地，從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素作為一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合．2．組合數(shù)從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有不同組合的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)，用符號Ceq\o\al(m,n)表示．二、排列與組合的關(guān)系相同點(diǎn)兩者都是從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素不同點(diǎn)排列問題中元素有序，組合問題中元素?zé)o序關(guān)系組合數(shù)Ceq\o\al(m,n)與排列數(shù)Aeq\o\al(m,n)間存在的關(guān)系A(chǔ)eq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(m,n)Aeq\o\al(m,m)三、組合數(shù)公式組合數(shù)公式乘積形式Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(nn－1n－2…n－m＋1,m！)，其中m，n∈N*，并且m≤n階乘形式Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,m！n－m！)規(guī)定：Ceq\o\al(0,n)＝1.知識點(diǎn)二組合數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)1：Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n).性質(zhì)2：Ceq\o\al(m,n＋1)＝Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m－1,n).例2．（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）判斷下列問題分別是排列問題還是組合問題：(1)從10名學(xué)生中任選5名去參觀一個(gè)展覽會，求有多少種不同的選法；(2)從1、2、3、4、5這5個(gè)數(shù)字中，每次任取2個(gè)不同的數(shù)作為一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，求所有不同點(diǎn)的個(gè)數(shù)；(3)一個(gè)黃袋中裝有四張分別寫有1、3、5、7的卡片，另一個(gè)紅袋中裝有四張分別寫有2、8、16、32的卡片．從紅袋和黃袋中各任取一張卡片，問這兩張卡片上的數(shù)相加所得的和有多少種；(4)有四本不同的書要分別送給四個(gè)人，每人一本，問一共有多少種不同的送法．例3．（2023·全國·高二隨堂練習(xí)）（1）平面內(nèi)有兩組平行線，一組有條，另一組有條，不同組的平行線都相交，這些平行線一共構(gòu)成了多少個(gè)平行四邊形？（）（2）空間中有三組平行平面，第一組有個(gè)，第二組有個(gè)，第三組有個(gè)，不同組的平面都互相垂直．這些平行平面一共構(gòu)成了多少個(gè)長方體？（）拓展1.有限制條件的排列問題1．（2023上·陜西漢中·高二西鄉(xiāng)縣第一中學(xué)校考階段練習(xí)）電影《志愿軍雄兵出擊》講述了在極其簡陋的裝備和極寒嚴(yán)酷環(huán)境下，中國人民志愿軍憑著鋼鐵意志和英勇無畏的精神取得入朝作戰(zhàn)第一階段戰(zhàn)役的勝利，著名的“松骨峰戰(zhàn)斗”在該電影中就有場景.現(xiàn)有3名男生和4名女生相約一起去觀看該影片，他們的座位在同一排且連在一起．（列出算式，并計(jì)算出結(jié)果）(1)女生必須坐在一起的坐法有多少種？(2)女生互不相鄰的坐法有多少種？(3)甲、乙兩位同學(xué)相鄰且都不與丙同學(xué)相鄰的坐法有多少種？拓展2.有限制條件的組合問題2．（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）某小組共有10名學(xué)生，其中女生3名．現(xiàn)任選2名代表，則至少有1名女生當(dāng)選的選法有多少種？拓展3.排列與組合的綜合問題3．（2023下·黑龍江大興安嶺地·高二大興安嶺實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）將4個(gè)編號為的小球放入4個(gè)編號為的盒子中.(1)有多少種放法？(2)每盒至多一球，有多少種放法？(3)把4個(gè)不同的小球換成4個(gè)相同的小球，恰有一個(gè)空盒，有多少種放法？突破1.分組與分配問題1．（2023上·全國·高三專題練習(xí)）將10個(gè)小球分別裝入3個(gè)不同的盒子中且每個(gè)盒子非空（即每個(gè)盒子至少裝1個(gè)小球）．問：有多少種不同的裝法？2．（2023上·山東德州·高二?？茧A段練習(xí)）名男生和名女生站成一排．(1)甲不在中間也不在兩端的站法有多少種？(2)甲、乙兩人必須站在兩端的站法有多少種？(3)男、女分別排在一起的站法有多少種？(4)男、女相間的站法有多少種？(5)甲、乙、丙三人從左到右順序一定的站法有多少種？突破2.排列組合中的新概念創(chuàng)新題型3．（2023上·北京·高三北京市第三十五中學(xué)?？计谥校┰跀?shù)字的任意一個(gè)排列：中，如果對于，，有，那么就稱為一個(gè)逆序?qū)Γ浥帕兄心嫘驅(qū)Φ膫€(gè)數(shù)為．如時(shí)，在排列：3，2，4，1中，逆序?qū)τ?，，，，則．(1)設(shè)排列：，寫出兩組具體的排列，分別滿足：①，②；(2)對于數(shù)字1，2，…，n的一切排列，求所有的算術(shù)平均值；(3)如果把排列A：中兩個(gè)數(shù)字交換位置，而其余數(shù)字的位置保持不變，那么就得到一個(gè)新的排列，：，求證：為奇數(shù)．【方法二】實(shí)例探索法題型1.排列數(shù)公式的應(yīng)用1．（2023上·山東德州·高二?？茧A段練習(xí)）（1）解關(guān)于x的不等式．（2）求等式中的n值．題型2.排列的概念與簡單的排列問題2．多選題（2024上·山東濰坊·高二昌樂二中?？计谀┘祝?，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列說法正確的是（）A．如果甲，乙必須相鄰且乙在甲的右邊，那么不同的排法有24種B．最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法共有42種C．甲乙不相鄰的排法種數(shù)為82種D．甲乙丙按從左到右的順序排列的排法有20種題型3.特殊元素與特殊位置問題3．（2023上·江西宜春·高二江西省宜豐中學(xué)?？茧A段練習(xí)）（1）現(xiàn)有4男2女共6個(gè)人排成一排照相，其中兩個(gè)女生相鄰的排法種數(shù)為多少？（2）8個(gè)體育生名額，分配給5個(gè)班級，每班至少1個(gè)名額，有多少種分法？（3）要排一份有4個(gè)不同的朗誦節(jié)目和3個(gè)不同的說唱節(jié)目的節(jié)目單，如果說唱節(jié)目不排在開頭，并且任意兩個(gè)說唱節(jié)目不排在一起，則不同的排法種數(shù)為多少？（4）某醫(yī)院有內(nèi)科醫(yī)生7名，其中3名女醫(yī)生，有外科醫(yī)生5名，其中只有1名女醫(yī)生．現(xiàn)選派6名去甲、乙兩地參加賑災(zāi)醫(yī)療隊(duì)，要求每隊(duì)必須2名男醫(yī)生1名女醫(yī)生，且每隊(duì)由2名外科醫(yī)生1名內(nèi)科醫(yī)生組成，有多少種派法？（最后結(jié)果都用數(shù)字作答）題型4“相鄰”與“不相鄰”問題4．（2023上·江西·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）用數(shù)字、、、、、組成沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)．(1)偶數(shù)不能相鄰，則不同的六位數(shù)有多少個(gè)？（結(jié)果用數(shù)字表示）(2)若數(shù)字和之間恰有一個(gè)奇數(shù)，沒有偶數(shù)，則不同的六位數(shù)有多少個(gè)？（結(jié)果用數(shù)字表示）題型5.“定序”問題5．（2023上·遼寧沈陽·高二沈陽市第一二〇中學(xué)?？茧A段練習(xí)）（1）6名同學(xué)（簡記為，，，，，）到甲、乙、丙三個(gè)場館做志愿者.（i）一天上午有16個(gè)相同的口罩全部發(fā)給這6名同學(xué)，每名同學(xué)至少發(fā)兩個(gè)口罩，則不同的發(fā)放方法種數(shù)？（ii）每名同學(xué)只去一個(gè)場館，每個(gè)場館至少要去一名，且、兩人約定去同一個(gè)場館，、不想去一個(gè)場館，則滿足同學(xué)要求的不同的安排方法種數(shù)？（2）某校選派4名干部到兩個(gè)街道服務(wù)，每人只能去一個(gè)街道，每個(gè)街道至少1人，有多少種方法？（結(jié)果用數(shù)字表示）（3）如圖，某水果店門前用3根繩子掛了6串香蕉，從左往右的串?dāng)?shù)依次為1，2，3.到了晚上，水果店老板要收攤了，假設(shè)每次只取1串（掛在一列的只能先收下面的），則將這些香蕉都取完的不同取法種數(shù)？（結(jié)果用數(shù)字表示）題型6.組合概念的理解與簡單組合問題6．多選題（2024上·山西·高三期末）某周周一到周六的夜間值班工作由甲、乙、丙三人負(fù)責(zé)，每人負(fù)責(zé)其中的兩天，每天只需一人值班，則下列關(guān)于安排方法數(shù)的說法正確的有（

）A．共有90種安排方法B．甲連續(xù)兩天值班的安排方法有30種C．甲連續(xù)兩天值班且乙連續(xù)兩天值班的安排方法有18種D．甲、乙、丙三人每人都連續(xù)兩天值夜班的安排方法有6種題型7.與組合數(shù)有關(guān)的計(jì)算7．單選題（2024上·遼寧·高二校聯(lián)考期末）已知，則（

）A． B． C． D．題型8.“含”與“不含”問題8．（2024·全國·高三專題練習(xí)）某市工商局對35種商品進(jìn)行抽樣檢查，已知其中有15種假貨．現(xiàn)從35種商品中選取3種．(1)其中某一種假貨必須在內(nèi)，不同的取法有多少種?(2)其中某一種假貨不能在內(nèi)，不同的取法有多少種?(3)至少有2種假貨在內(nèi)，不同的取法有多少種?(4)至多有2種假貨在內(nèi)，不同的取法有多少種?題型9.相同元素分組分配問題9．（2023·四川內(nèi)江·統(tǒng)考一模）中國空間站的主體結(jié)構(gòu)包括天和核心艙、問天實(shí)驗(yàn)艙和夢天實(shí)驗(yàn)艙.假設(shè)中國空間站要安排甲、乙、丙、丁、戊5名航天員開展實(shí)驗(yàn)，其中天和核心艙安排3人，問天實(shí)驗(yàn)艙與夢天實(shí)驗(yàn)艙各安排1人.若甲、乙兩人不能同時(shí)在一個(gè)艙內(nèi)做實(shí)驗(yàn)，則不同的安排方案共有（

）A．8種 B．14種 C．20種 D．16種題型10.排列組合的綜合應(yīng)用10．（2023下·江蘇宿遷·高二統(tǒng)考期中）某醫(yī)療小組有4名男性，2名女性共6名醫(yī)護(hù)人員，醫(yī)護(hù)人員甲是其中一名．(1)若從中任選2人參加A，兩項(xiàng)救護(hù)活動(dòng)，每人只能參加其中一項(xiàng)活動(dòng)，每項(xiàng)活動(dòng)都要有人參加，求醫(yī)護(hù)人員甲不參加項(xiàng)救護(hù)活動(dòng)的選法種數(shù)；(2)這6名醫(yī)護(hù)人員將去3個(gè)不同的地方參與醫(yī)療支援，每人只能去一地，每地有2人前往，若2名女性不能去往同一個(gè)地方，求不同的分配方案種數(shù)．【方法三】差異對比法易錯(cuò)點(diǎn)1.不能正確理解題意致誤1．（2024上·上海·高二?？计谀┠嘲嗉壴谟麓夯顒?dòng)中進(jìn)行抽卡活動(dòng)，不透明的卡箱中共有“?！薄坝薄按骸笨ǜ鲀蓮垼褒垺笨ㄈ龔垼總€(gè)學(xué)生從卡箱中隨機(jī)抽取4張卡片，其中抽到“龍”卡獲得2分，抽到其他卡均獲得1分，若抽中“?！薄褒垺薄坝薄按骸睆埧ㄆ?，則額外獲得2分．(1)求學(xué)生甲抽到“?！薄褒垺薄坝薄按骸?張卡片的不同的抽法種數(shù)；(2)求學(xué)生乙最終獲得分的不同的抽法種數(shù)．易錯(cuò)點(diǎn)2.忽視排列數(shù)公式的隱含條件致誤2．（2021上·高二課時(shí)練習(xí)）（多選題）當(dāng)，且時(shí)，不可能取到（）A．60 B．240 C．2020 D．2040【方法五】成果評定法_一、單選題1．（2023下·山東青島·高二?？茧A段練習(xí)）將參加數(shù)學(xué)競賽的20個(gè)名額分給9所學(xué)校，每所學(xué)校至少1個(gè)名額，則名額分配種數(shù)為（

）A． B． C． D．2．（2020·全國·模擬預(yù)測）某醫(yī)院派出了6名醫(yī)生和3名護(hù)士共9人前往某地參加救治工作.現(xiàn)將這人分成兩組分配到，兩所醫(yī)院，若要求每個(gè)醫(yī)院都至少安排2名醫(yī)生及1名護(hù)士，并且醫(yī)生甲由于工作原因只能派往醫(yī)院，則不同的分配方案種數(shù)為（

）A．30 B．60 C．90 D．1503．（2021下·重慶渝中·高二重慶巴蜀中學(xué)?？茧A段練習(xí)）有4本不同的書A?B?C?D，要分給三個(gè)同學(xué)，每個(gè)同學(xué)至少分一本，書A?B不能分給同一人，則這樣的分法共有（

）A．18種 B．24種 C．30種 D．36種4．五名同學(xué)站成一排，若甲與乙相鄰，且甲與丙不相鄰，則不同的站法有（

）A．36種 B．60種 C．72種 D．108種5．若，則的值為（）A．1或2 B．3或4 C．1或3 D．2或46．（2023下·黑龍江雙鴨山·高二雙鴨山一中校考期中）現(xiàn)有甲、乙等5名醫(yī)務(wù)人員參加某小區(qū)社區(qū)志愿服務(wù)活動(dòng)，他們被分派到核酸檢驗(yàn)和掃碼兩個(gè)小組，且這兩個(gè)組都至少需要2名醫(yī)務(wù)人員，則甲、乙兩名醫(yī)務(wù)人員不在同一組的分配方案有（）A．8種 B．10種 C．12種 D．14種7．（2023下·北京豐臺·高二北京市第十二中學(xué)?？计谥校┌衙律才诺侥硞€(gè)班級，要求每個(gè)班級至少有一名新生，則不同的安排方式共有（

）A．種 B．種 C．種 D．種8．將5名報(bào)名參加運(yùn)動(dòng)會的同學(xué)分別安排到跳繩、接力、投籃三項(xiàng)比賽中（假設(shè)這些比賽都不設(shè)人數(shù)上限），每人只參加一項(xiàng)，則共有種不同的方案；若每項(xiàng)比賽至少要安排一人時(shí)，則共有種不同的方案，其中的值為（

）A．543 B．425 C．393 D．275二、多選題9．（2023下·高二課時(shí)練習(xí)）某校的高一和高二年級各10個(gè)班級，從中選出五個(gè)班級參加活動(dòng)，下列結(jié)論正確的是（

）A．高二六班一定參加的選法有種B．高一年級恰有2個(gè)班級的選法有種C．高一年級最多有2個(gè)班級的選法為種D．高一年級最多有2個(gè)班級的選法為種10．（2022·高二單元測試）某學(xué)生想在物理、化學(xué)、生物、政治、歷史、地理、技術(shù)這七門課程中選三門作為選考科目，下列說法正確的是（

）A．若任意選擇三門課程，則選法種數(shù)為35B．若物理和化學(xué)至少選一門，則選法種數(shù)為30C．若物理和歷史不能同時(shí)選，則選法種數(shù)為30D．若物理和化學(xué)至少選一門，且物理和歷史不能同時(shí)選，則選法種數(shù)為2011．（2023下·江蘇連云港·高二江蘇省海頭高級中學(xué)?？计谥校┫铝械仁秸_的是（

）A． B．C． D．12．（2023下·重慶渝北·高二重慶市渝北中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）某中學(xué)共有三棟女生宿舍樓，分別為1號樓、2號樓、3號樓，學(xué)校在本周安排了甲、乙、丙、丁、戊5名女教師去這三棟宿舍樓協(xié)助宿管阿姨值守，每棟宿舍樓至少安排一名教師，每名教師只能去其中一棟樓，則下列說法正確的是（

）．A．共有300種不同的安排方法B．若其中1號樓需要有兩名教師去，則共有60種不同的安排方法C．若甲、乙兩名教師不能去同一棟宿舍樓，則共有114種不同的安排方法D．若學(xué)校新購入25個(gè)相同型號的滅火器，準(zhǔn)備全部分配給這三棟女生宿舍樓作為應(yīng)急使用，每棟宿舍樓至少6個(gè)，則共有15種不同的分配方法三、填空題13．（2022上·貴州畢節(jié)·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）由6位專家組成的團(tuán)隊(duì)前往某地進(jìn)行考察后站成一排拍照留念，已知專家甲和乙不相鄰，則不同的站法有種.14．（2023上·安徽·高三宿城一中校聯(lián)考階段練習(xí)）某高校開設(shè)了乒乓球，羽毛球，籃球，小提琴，書法五門選修課程可供學(xué)習(xí)，要求每位同學(xué)每學(xué)年至多選2門，該校學(xué)生小明想用前3學(xué)年將五門選修課程選完，則小明的不同選修方式有種.（用數(shù)字作答）15．已知，則.16．（2023下·河北石家莊·高二石家莊一中?？茧A段練習(xí)）有6個(gè)匣子，每個(gè)匣子有一把鑰匙，并且鑰匙不能通用，如果在每一個(gè)匣子內(nèi)各放入一把鑰匙，然后把匣子全部鎖上，要求砸開一個(gè)匣子后，能繼續(xù)用鑰匙打開其余5個(gè)匣子，那么鑰匙的放法有種．四、解答題17．（2023下·北京東城·高二統(tǒng)考期末）某學(xué)校舉行男子乒乓球團(tuán)體賽，決賽比賽規(guī)則采用積分制，兩支決賽的隊(duì)伍