教案：平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示模夾角

教案：平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示模夾角?一、教學(xué)目標(biāo)1.知識與技能目標(biāo)理解平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，掌握向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式。能夠運(yùn)用公式計(jì)算向量的模、夾角，并解決相關(guān)的實(shí)際問題。通過向量數(shù)量積坐標(biāo)表示的推導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力和知識遷移能力。2.過程與方法目標(biāo)經(jīng)歷向量數(shù)量積坐標(biāo)表示的探究過程，體會從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法。通過例題和練習(xí)，讓學(xué)生感受向量數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算在解決問題中的應(yīng)用，提高學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力。3.情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)培養(yǎng)學(xué)生積極參與、勇于探索的精神，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。通過向量數(shù)量積坐標(biāo)表示的應(yīng)用，讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)的實(shí)用性，增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識。

二、教學(xué)重難點(diǎn)1.教學(xué)重點(diǎn)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示及運(yùn)算公式。向量模和夾角的坐標(biāo)計(jì)算公式。2.教學(xué)難點(diǎn)理解向量數(shù)量積坐標(biāo)表示的推導(dǎo)過程及公式的應(yīng)用。運(yùn)用向量數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算解決夾角、垂直等綜合問題。

三、教學(xué)方法1.講授法：講解向量數(shù)量積坐標(biāo)表示的概念、公式及推導(dǎo)過程，使學(xué)生系統(tǒng)地掌握知識。2.討論法：組織學(xué)生討論向量數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算在實(shí)際問題中的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力和合作交流能力。3.練習(xí)法：通過適量的練習(xí)題，讓學(xué)生鞏固所學(xué)知識，提高學(xué)生運(yùn)用公式解題的能力。

四、教學(xué)過程

（一）導(dǎo)入新課（5分鐘）1.回顧向量數(shù)量積的定義及運(yùn)算性質(zhì)已知向量\(\vec{a}\)與\(\vec\)，\(\vec{a}\cdot\vec=\vert\vec{a}\vert\vert\vec\vert\cos\theta\)（其中\(zhòng)(\theta\)為\(\vec{a}\)與\(\vec\)的夾角）。運(yùn)算性質(zhì)：\(\vec{a}\cdot\vec=\vec\cdot\vec{a}\)；\((\lambda\vec{a})\cdot\vec=\lambda(\vec{a}\cdot\vec)=\vec{a}\cdot(\lambda\vec)\)；\((\vec{a}+\vec)\cdot\vec{c}=\vec{a}\cdot\vec{c}+\vec\cdot\vec{c}\)。2.提問：在平面直角坐標(biāo)系中，向量可以用坐標(biāo)表示，那么向量的數(shù)量積能否用坐標(biāo)來表示呢？從而引出課題。

（二）講解新課（25分鐘）1.向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示已知\(\vec{a}=(x_1,y_1)\)，\(\vec=(x_2,y_2)\)，則\(\vec{a}\cdot\vec=x_1x_2+y_1y_2\)。推導(dǎo)過程：設(shè)\(\vec{i}\)，\(\vec{j}\)分別是\(x\)軸、\(y\)軸方向上的單位向量，則\(\vec{a}=x_1\vec{i}+y_1\vec{j}\)，\(\vec=x_2\vec{i}+y_2\vec{j}\)。所以\(\vec{a}\cdot\vec=(x_1\vec{i}+y_1\vec{j})\cdot(x_2\vec{i}+y_2\vec{j})=x_1x_2\vec{i}^2+x_1y_2\vec{i}\cdot\vec{j}+x_2y_1\vec{j}\cdot\vec{i}+y_1y_2\vec{j}^2\)。因?yàn)閈(\vec{i}^2=1\)，\(\vec{j}^2=1\)，\(\vec{i}\cdot\vec{j}=0\)，所以\(\vec{a}\cdot\vec=x_1x_2+y_1y_2\)。2.向量模的坐標(biāo)計(jì)算公式若\(\vec{a}=(x,y)\)，則\(\vert\vec{a}\vert=\sqrt{x^2+y^2}\)。推導(dǎo)：\(\vert\vec{a}\vert^2=\vec{a}\cdot\vec{a}=(x,y)\cdot(x,y)=x^2+y^2\)，所以\(\vert\vec{a}\vert=\sqrt{x^2+y^2}\)。3.向量夾角的坐標(biāo)計(jì)算公式已知\(\vec{a}=(x_1,y_1)\)，\(\vec=(x_2,y_2)\)，則\(\cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec}{\vert\vec{a}\vert\vert\vec\vert}=\frac{x_1x_2+y_1y_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}\sqrt{x_2^2+y_2^2}}\)。強(qiáng)調(diào)：這里的\(\theta\)是\(\vec{a}\)與\(\vec\)的夾角，范圍是\([0,\pi]\)。

（三）例題講解（20分鐘）1.例1：已知\(\vec{a}=(3,1)\)，\(\vec=(1,2)\)，求：（1）\(\vec{a}\cdot\vec\)；（2）\(\vert\vec{a}\vert\)，\(\vert\vec\vert\)；（3）\(\vec{a}\)與\(\vec\)的夾角\(\theta\)。解：（1）\(\vec{a}\cdot\vec=3\times1+(1)\times(2)=3+2=5\)。（2）\(\vert\vec{a}\vert=\sqrt{3^2+(1)^2}=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}\)，\(\vert\vec\vert=\sqrt{1^2+(2)^2}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}\)。（3）\(\cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec}{\vert\vec{a}\vert\vert\vec\vert}=\frac{5}{\sqrt{10}\times\sqrt{5}}=\frac{5}{5\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\)。因?yàn)閈(\theta\in[0,\pi]\)，所以\(\theta=\frac{\pi}{4}\)。總結(jié)：通過本題，讓學(xué)生熟悉向量數(shù)量積坐標(biāo)表示、模和夾角的計(jì)算公式，明確計(jì)算步驟。2.例2：已知\(\vec{a}=(1,2)\)，\(\vec=(2,3)\)，當(dāng)\(k\)為何值時(shí)，\(k\vec{a}+\vec\)與\(\vec{a}3\vec\)垂直？解：首先計(jì)算\(k\vec{a}+\vec\)與\(\vec{a}3\vec\)的坐標(biāo)。\(k\vec{a}+\vec=k(1,2)+(2,3)=(k+2,2k+3)\)，\(\vec{a}3\vec=(1,2)3(2,3)=(16,29)=(5,7)\)。因?yàn)閈(k\vec{a}+\vec\)與\(\vec{a}3\vec\)垂直，所以\((k\vec{a}+\vec)\cdot(\vec{a}3\vec)=0\)。即\((k+2)\times(5)+(2k+3)\times(7)=0\)。展開得\(5k1014k21=0\)。合并同類項(xiàng)得\(19k31=0\)。解得\(k=\frac{31}{19}\)?？偨Y(jié)：本題考查向量垂直的坐標(biāo)表示，通過設(shè)未知數(shù)，利用向量垂直的條件列出方程求解，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用向量數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算解決垂直問題的能力。3.例3：已知\(A(1,2)\)，\(B(2,3)\)，\(C(2,5)\)，試判斷\(\triangleABC\)的形狀。解：計(jì)算\(\overrightarrow{AB}=(21,32)=(1,1)\)，\(\overrightarrow{AC}=(21,52)=(3,3)\)。計(jì)算\(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=1\times(3)+1\times3=0\)。因?yàn)閈(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=0\)，所以\(\overrightarrow{AB}\perp\overrightarrow{AC}\)，即\(\angleBAC=90^{\circ}\)。所以\(\triangleABC\)是直角三角形?？偨Y(jié)：通過計(jì)算向量的數(shù)量積判斷三角形的形狀，讓學(xué)生體會向量數(shù)量積在幾何中的應(yīng)用。

（四）課堂練習(xí)（15分鐘）1.已知\(\vec{a}=(2,4)\)，\(\vec=(5,2)\)，求：（1）\(\vec{a}\cdot\vec\)；（2）\(\vert\vec{a}\vert\)，\(\vert\vec\vert\)；（3）\(\vec{a}\)與\(\vec\)的夾角\(\theta\)的余弦值。2.已知\(\vec{a}=(1,1)\)，\(\vec=(2,x)\)，若\(\vec{a}\cdot\vec=1\)，求\(x\)的值。3.已知\(A(3,1)\)，\(B(6,1)\)，\(C(4,3)\)，\(D\)為線段\(BC\)的中點(diǎn)，求向量\(\overrightarrow{AC}\)與\(\overrightarrow{DA}\)的夾角。

（五）課堂小結(jié)（5分鐘）1.請學(xué)生回顧本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，包括向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角的計(jì)算公式。2.教師總結(jié)強(qiáng)調(diào)：向量數(shù)量積坐標(biāo)表示\(\vec{a}\cdot\vec=x_1x_2+y_1y_2\)是本節(jié)課的核心公式，要熟練掌握其應(yīng)用。在計(jì)算向量模和夾角時(shí)，要準(zhǔn)確代入坐標(biāo)進(jìn)行運(yùn)算，注意夾角范圍。運(yùn)用向量數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算可以解決向量的垂直、平行以及幾何圖形形狀判斷等問題，要學(xué)會靈活運(yùn)用。

（六）布置作業(yè)（5分鐘）1.書面作業(yè)：課本P108練習(xí)第3、4、5題，習(xí)題2.4A組第7、8、9題。2.拓展作業(yè)：已知向量\(\vec{a}=(2,3)\)，\(\vec=(1,2)\)，若\(m\vec{a}+\vec\)與\(\vec{a}2\vec\)平行，求\(m\)的值，并求此時(shí)它們夾角的余弦值。

五、教學(xué)反思通