2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第2章 圓錐曲線與方程 2.2 2.2.1 雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程（教師用書）教學(xué)實(shí)錄 新人教A版選修1-1

2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第2章圓錐曲線與方程2.22.2.1雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程（教師用書）教學(xué)實(shí)錄新人教A版選修1-1科目授課時(shí)間節(jié)次--年—月—日（星期——）第—節(jié)指導(dǎo)教師授課班級(jí)、授課課時(shí)授課題目（包括教材及章節(jié)名稱）2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第2章圓錐曲線與方程2.22.2.1雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程（教師用書）教學(xué)實(shí)錄新人教A版選修1-1教學(xué)內(nèi)容分析1.本節(jié)課的主要教學(xué)內(nèi)容：本節(jié)課將圍繞雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程展開，深入探討雙曲線的性質(zhì)、圖像及其方程的求解方法。

2.教學(xué)內(nèi)容與學(xué)生已有知識(shí)的聯(lián)系：本節(jié)課內(nèi)容與學(xué)生在平面幾何、解析幾何等方面的知識(shí)緊密相關(guān)，特別是對(duì)二次函數(shù)、圓的性質(zhì)等知識(shí)的掌握程度。教材章節(jié)為新版人教A版選修1-1第2章圓錐曲線與方程中的2.2.1節(jié)。核心素養(yǎng)目標(biāo)教學(xué)難點(diǎn)與重點(diǎn)1.教學(xué)重點(diǎn)，

①理解雙曲線的定義及其幾何特征，能夠根據(jù)定義判斷一個(gè)曲線是否為雙曲線。

②掌握雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其參數(shù)a、b、c之間的關(guān)系，能夠根據(jù)雙曲線的幾何特征寫出其標(biāo)準(zhǔn)方程。

③學(xué)會(huì)利用雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程求解雙曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)，以及與雙曲線相關(guān)的幾何問題。

2.教學(xué)難點(diǎn)，

①理解雙曲線的漸近線概念，并能推導(dǎo)出雙曲線的漸近線方程。

②掌握雙曲線的幾何性質(zhì)，如對(duì)稱性、頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、實(shí)軸和虛軸等，并能應(yīng)用于解決實(shí)際問題。

③學(xué)會(huì)將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為雙曲線問題，并利用雙曲線方程進(jìn)行求解，這一過程中需要較強(qiáng)的抽象思維和建模能力。

④在解決雙曲線問題時(shí)，能夠靈活運(yùn)用代數(shù)方法和幾何方法，將兩者有機(jī)結(jié)合，提高解題效率。教學(xué)資源-軟硬件資源：計(jì)算機(jī)、投影儀、電子白板

-課程平臺(tái)：學(xué)校內(nèi)部教學(xué)平臺(tái)

-信息化資源：雙曲線圖形動(dòng)態(tài)演示軟件、相關(guān)數(shù)學(xué)教育網(wǎng)站資源

-教學(xué)手段：多媒體課件、實(shí)物教具（如雙曲線模型）、黑板板書教學(xué)實(shí)施過程1.課前自主探索

教師活動(dòng)：

發(fā)布預(yù)習(xí)任務(wù)：通過在線平臺(tái)或班級(jí)微信群，發(fā)布預(yù)習(xí)資料（如PPT、視頻、文檔等），明確預(yù)習(xí)目標(biāo)和要求，如要求學(xué)生閱讀雙曲線的定義和性質(zhì)，了解雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。

設(shè)計(jì)預(yù)習(xí)問題：圍繞雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程，設(shè)計(jì)一系列具有啟發(fā)性和探究性的問題，如“如何判斷一個(gè)曲線是否為雙曲線？”、“雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程中參數(shù)a、b、c分別代表什么？”等。

監(jiān)控預(yù)習(xí)進(jìn)度：利用平臺(tái)功能或?qū)W生反饋，監(jiān)控學(xué)生的預(yù)習(xí)進(jìn)度，確保預(yù)習(xí)效果，例如通過查看學(xué)生的在線互動(dòng)和提交的預(yù)習(xí)成果。

學(xué)生活動(dòng)：

自主閱讀預(yù)習(xí)資料：按照預(yù)習(xí)要求，自主閱讀預(yù)習(xí)資料，理解雙曲線的基本概念和性質(zhì)。

思考預(yù)習(xí)問題：針對(duì)預(yù)習(xí)問題，進(jìn)行獨(dú)立思考，記錄自己的理解和疑問，例如學(xué)生可能對(duì)雙曲線的對(duì)稱性感到困惑。

提交預(yù)習(xí)成果：將預(yù)習(xí)成果（如筆記、思維導(dǎo)圖、問題等）提交至平臺(tái)或老師處，以便教師了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況。

2.課中強(qiáng)化技能

教師活動(dòng)：

導(dǎo)入新課：通過展示雙曲線的實(shí)際應(yīng)用案例，如天文觀測(cè)中的雙曲線軌道，引出XX課題，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

講解知識(shí)點(diǎn)：詳細(xì)講解雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其推導(dǎo)過程，結(jié)合實(shí)例幫助學(xué)生理解方程的物理意義。

組織課堂活動(dòng)：設(shè)計(jì)小組討論，讓學(xué)生根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)出其漸近線方程，培養(yǎng)合作學(xué)習(xí)能力和邏輯推理能力。

解答疑問：針對(duì)學(xué)生在學(xué)習(xí)中產(chǎn)生的疑問，如“如何確定雙曲線的焦點(diǎn)位置？”進(jìn)行及時(shí)解答和指導(dǎo)。

學(xué)生活動(dòng)：

聽講并思考：認(rèn)真聽講，積極思考老師提出的問題，如“雙曲線的焦點(diǎn)與頂點(diǎn)有何關(guān)系？”

參與課堂活動(dòng)：積極參與小組討論，通過合作探究雙曲線的性質(zhì)，如對(duì)稱性、漸近線等。

提問與討論：針對(duì)不懂的問題或新的想法，如“雙曲線在實(shí)際生活中的應(yīng)用有哪些？”勇敢提問并參與討論。

3.課后拓展應(yīng)用

教師活動(dòng)：

布置作業(yè)：布置與雙曲線相關(guān)的應(yīng)用題，如求解雙曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，鞏固學(xué)生對(duì)雙曲線方程的應(yīng)用。

提供拓展資源：提供與雙曲線相關(guān)的拓展資源，如在線數(shù)學(xué)軟件、相關(guān)數(shù)學(xué)競(jìng)賽題目等，供學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)。

反饋?zhàn)鳂I(yè)情況：及時(shí)批改作業(yè)，給予學(xué)生反饋和指導(dǎo)，如指出解題過程中的錯(cuò)誤和改進(jìn)方法。

學(xué)生活動(dòng)：

完成作業(yè)：認(rèn)真完成老師布置的課后作業(yè)，如繪制雙曲線的圖像，分析其幾何性質(zhì)。

拓展學(xué)習(xí)：利用老師提供的拓展資源，進(jìn)行進(jìn)一步的學(xué)習(xí)，如研究雙曲線的物理意義或歷史發(fā)展。

反思總結(jié)：對(duì)自己的學(xué)習(xí)過程和成果進(jìn)行反思和總結(jié)，提出改進(jìn)建議，例如“如何在未來的學(xué)習(xí)中提高自己的幾何直觀能力？”知識(shí)點(diǎn)梳理1.雙曲線的定義

-雙曲線是一種平面曲線，它由兩個(gè)定點(diǎn)（焦點(diǎn)）F1和F2上的所有點(diǎn)P組成，使得點(diǎn)P到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值等于常數(shù)2a（即|PF1|-|PF2|=2a，或|PF2|-|PF1|=2a）。

-雙曲線有兩個(gè)分支，分別稱為左支和右支。

2.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

-雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2/a2-y2/b2=1或y2/a2-x2/b2=1，其中a和b是實(shí)數(shù)，且a>0，b>0。

-方程中的a2和b2分別表示實(shí)軸和虛軸的長度平方，c2=a2+b2表示焦距的長度平方。

3.雙曲線的幾何性質(zhì)

-頂點(diǎn)：雙曲線的頂點(diǎn)位于實(shí)軸上，坐標(biāo)為(-a,0)和(a,0)。

-焦點(diǎn)：雙曲線的焦點(diǎn)位于實(shí)軸上，坐標(biāo)為(-c,0)和(c,0)，其中c是焦距的長度。

-漸近線：雙曲線的漸近線是兩條直線，它們的方程為y=±(b/a)x，表示雙曲線的無限延伸趨勢(shì)。

4.雙曲線的漸近線方程

-雙曲線的漸近線方程為y=±(b/a)x，其中a和b分別是雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中的參數(shù)。

-漸近線表示雙曲線在無限遠(yuǎn)處的行為，即當(dāng)x或y趨向于無窮大時(shí)，雙曲線的值趨向于漸近線的值。

5.雙曲線的對(duì)稱性

-雙曲線具有關(guān)于實(shí)軸和虛軸的對(duì)稱性，即關(guān)于x軸和y軸的對(duì)稱。

-這意味著雙曲線上的任意一點(diǎn)P關(guān)于實(shí)軸和虛軸的對(duì)稱點(diǎn)也在雙曲線上。

6.雙曲線的切線和法線

-雙曲線上的任意一點(diǎn)P處的切線與實(shí)軸和虛軸的夾角相等，且切線與實(shí)軸和虛軸的夾角的正切值等于雙曲線在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)。

-雙曲線上的任意一點(diǎn)P處的法線垂直于切線，且法線的斜率是切線斜率的負(fù)倒數(shù)。

7.雙曲線的離心率

-雙曲線的離心率e定義為e=c/a，其中c是焦距的長度，a是實(shí)軸的長度。

-離心率是雙曲線的一個(gè)關(guān)鍵參數(shù)，它決定了雙曲線的形狀和大小。

8.雙曲線的焦點(diǎn)距離

-雙曲線的焦點(diǎn)距離2c等于兩個(gè)焦點(diǎn)之間的距離，即2c=|F1F2|。

-焦點(diǎn)距離是雙曲線的一個(gè)重要性質(zhì)，它決定了雙曲線的形狀和大小。

9.雙曲線的實(shí)軸和虛軸

-雙曲線的實(shí)軸是連接兩個(gè)頂點(diǎn)的線段，長度為2a。

-雙曲線的虛軸是垂直于實(shí)軸的線段，長度為2b。

10.雙曲線的應(yīng)用

-雙曲線在物理學(xué)、天文學(xué)、工程學(xué)等領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用，如描述天體的運(yùn)動(dòng)軌跡、電磁場(chǎng)的分布等。

-雙曲線的應(yīng)用還包括優(yōu)化問題、圖像處理、數(shù)據(jù)壓縮等方面。課后作業(yè)1.已知雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2/9-y2/16=1，求：

（1）實(shí)軸長和虛軸長；

（2）焦點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）漸近線方程。

答案：

（1）實(shí)軸長=2a=2*3=6，虛軸長=2b=2*4=8；

（2）焦點(diǎn)坐標(biāo)為(-c,0)和(c,0)，其中c2=a2+b2，所以c2=32+42=9+16=25，c=5，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(-5,0)和(5,0)；

（3）漸近線方程為y=±(b/a)x，即y=±(4/3)x。

2.一條雙曲線的焦點(diǎn)距離為10，實(shí)軸長為6，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。

答案：由于焦點(diǎn)距離為10，即2c=10，所以c=5。實(shí)軸長為6，即2a=6，所以a=3。由c2=a2+b2，得b2=c2-a2=52-32=25-9=16，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2/9-y2/16=1。

3.雙曲線x2/16-y2/9=1的左支上一點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為-4，求點(diǎn)P到雙曲線的焦點(diǎn)的距離。

答案：雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(-c,0)和(c,0)，其中c2=a2+b2=16+9=25，c=5。點(diǎn)P到左焦點(diǎn)的距離為|PF1|=√((-4+5)2+02)=√(1)=1。

4.已知雙曲線x2/9-y2/4=1上一點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為2，求點(diǎn)P到雙曲線的焦點(diǎn)的距離。

答案：雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(-c,0)和(c,0)，其中c2=a2+b2=9+4=13，c=√13。點(diǎn)P到左焦點(diǎn)的距離為|PF1|=√((-3)2+(2)2)=√(9+4)=√13。

5.一條雙曲線的焦點(diǎn)距離為8，漸近線方程為y=±(3/4)x，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。

答案：由于漸近線方程為y=±(b/a)x，所以b/a=3/4。焦點(diǎn)距離為8，即2c=8，所以c=4。由c2=a2+b2，得b2=c2-a2=42-(3/4*a)2。解得a=2，b=3/2。因此，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2/4-y2/(9/4)=1，即x2/4-y2/9/4=1。教學(xué)反思教學(xué)一節(jié)新課總是充滿了挑戰(zhàn)與驚喜，尤其是像雙曲線這樣的知識(shí)點(diǎn)，既有抽象的數(shù)學(xué)概念，又有豐富的實(shí)際應(yīng)用。在回顧了這一節(jié)課的教學(xué)過程后，我想分享一些我的教學(xué)反思。

首先，我覺得在導(dǎo)入環(huán)節(jié)做得還不錯(cuò)。通過一個(gè)與雙曲線相關(guān)的實(shí)際案例，比如衛(wèi)星軌道的形狀，我成功地吸引了學(xué)生的注意力，并讓他們對(duì)雙曲線有了初步的認(rèn)識(shí)。我發(fā)現(xiàn)，當(dāng)學(xué)生們能夠?qū)⒊橄蟮臄?shù)學(xué)知識(shí)與現(xiàn)實(shí)生活聯(lián)系起來時(shí)，他們的學(xué)習(xí)興趣會(huì)更加濃厚。

接著，在講解雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，我注意到了一些學(xué)生對(duì)于參數(shù)a、b、c的理解存在困難。我意識(shí)到，我可能需要花費(fèi)更多的時(shí)間來解釋這些參數(shù)的實(shí)際意義，以及它們?nèi)绾斡绊戨p曲線的形狀和位置。為了幫助學(xué)生更好地理解，我決定在下一節(jié)課中引入更多的幾何直觀工具，比如動(dòng)態(tài)圖形和模擬實(shí)驗(yàn)。

在課堂活動(dòng)中，我設(shè)計(jì)了一些小組討論和問題解決任務(wù)，以促進(jìn)學(xué)生的合作學(xué)習(xí)和批判性思維。我注意到，在小組討論中，一些學(xué)生表現(xiàn)得很積極，能夠提出有見地的觀點(diǎn)，而有些學(xué)生則相對(duì)沉默。這讓我意識(shí)到，我需要更多地鼓勵(lì)那些不太活躍的學(xué)生，創(chuàng)造一個(gè)更加包容和鼓勵(lì)提問的課堂氛圍。

在解答學(xué)生的疑問時(shí)，我發(fā)現(xiàn)了一些共性的問題，比如對(duì)漸近線的理解和對(duì)雙曲線性質(zhì)的掌握。為了解決這些問題，我在課后準(zhǔn)備了一些補(bǔ)充材料，如額外的練習(xí)題和解釋視頻，以便學(xué)生能夠在家中復(fù)習(xí)和鞏固。

在教學(xué)過程中，我也意識(shí)到了自己的一些不足。例如，在講解雙曲線的對(duì)稱性時(shí)，我沒有給出足夠的例子來幫助學(xué)生理解。這讓我反思，今后在教學(xué)時(shí)，我應(yīng)該更加注重舉例說明，特別是對(duì)于那些比較難以理解的概念。

此外，我對(duì)于課堂時(shí)間的把握也有待提高。在講解雙曲線的幾何性質(zhì)時(shí)，我發(fā)現(xiàn)時(shí)間有些緊張，導(dǎo)致一些重要的內(nèi)容沒有充分展開。因此，我需要在課前做好更詳細(xì)的備課，合理分配時(shí)間，確保每個(gè)知識(shí)點(diǎn)都能得到充分的講解。

最后，我認(rèn)為在教學(xué)評(píng)價(jià)方面，我還可以做得更好。我通常會(huì)通過作業(yè)和測(cè)驗(yàn)來評(píng)估學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，但我覺得還可以引入更多的形式，比如課堂參與度和小組合作的評(píng)價(jià)，以更全面地了解學(xué)生的學(xué)習(xí)效果。課堂小結(jié)，當(dāng)堂檢測(cè)課堂小結(jié)：

今天我們學(xué)習(xí)了雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程。首先，我們了解了雙曲線的定義，它是平面上所有點(diǎn)到兩個(gè)固定點(diǎn)（焦點(diǎn)）的距離之差為常數(shù)的點(diǎn)的集合。這個(gè)定義幫助我們理解了雙曲線的基本性質(zhì)。

接著，我們學(xué)習(xí)了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，它有兩種形式：x2/a2-y2/b2=1和y2/a2-x2/b2=1。這兩個(gè)方程分別對(duì)應(yīng)于雙曲線的左右開口和上下開口。我們討論了參數(shù)a和b的含義，它們分別代表實(shí)軸和虛軸的長度，而參數(shù)c則是焦距，滿足c2=a2+b2。

在幾何性質(zhì)方面，我們學(xué)習(xí)了雙曲線的頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、漸近線等概念。頂點(diǎn)是實(shí)軸上的點(diǎn)，焦點(diǎn)是雙曲線上的特殊點(diǎn)，漸近線則是雙曲線無限延伸時(shí)接近的直線。我們還討論了雙曲線的對(duì)稱性、切線和法線的性質(zhì)。

為了幫助學(xué)生鞏固今天所學(xué)的內(nèi)容，我準(zhǔn)備了一些當(dāng)堂檢測(cè)題。

當(dāng)堂檢測(cè)：

1.寫出雙曲線x2/4-y2/9=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)。

答案：焦點(diǎn)坐標(biāo)為(-5,0)和(5,0)。

2.如果雙曲線的焦點(diǎn)距離為10，實(shí)軸長為6，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。

答案：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2/9-y2/16=1。

3.雙曲線x2/9-y2/4=1上一點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為-3，求點(diǎn)P到雙曲線的焦點(diǎn)的距離。

答案：點(diǎn)P到左焦點(diǎn)的距離為|PF1|=√((-3+3)2+02)=√0=0，點(diǎn)P到右焦點(diǎn)的距離為|PF2|=√((-3-3)2+02)=√36=6。

4.給定雙曲線的漸近線方程y=±(3/2)x，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。

答案：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2/9-x2/4=1。

5.證明雙曲線的漸近線方程為y=±(b/a)x。

答案：由于雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2/a2-y2/b2=1，當(dāng)x趨向于無窮大時(shí)，y2/b2趨向于0，因此y/b趨向于0，即y/b=(x/a)。同理，當(dāng)y趨向于無窮大時(shí)，x/a趨向于0，即y/b=(x/a)。整理得到y(tǒng)=±(b/a)x，這就是雙曲線的漸近線方程。板書設(shè)計(jì)1.雙曲線的定義

①雙曲線：平面內(nèi)所有點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)（焦點(diǎn)）的距離之差的絕對(duì)值等于常數(shù)2a的點(diǎn)的集合。

②定點(diǎn)：焦點(diǎn)

③常數(shù)：2a

2.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

①標(biāo)準(zhǔn)方程：x2/a2-