山東省威海市2024年中考數(shù)學(xué)試卷含真題解析

山東省威海市2024年中考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是正確的．每小題選對得3分，選錯、不選或多選，均不得分）1．一批食品，標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量為每袋454g．現(xiàn)隨機(jī)抽取4個(gè)樣品進(jìn)行檢測，把超過標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量的克數(shù)用正數(shù)表示，不足的克數(shù)用負(fù)數(shù)表示．那么，最接近標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量的是（）A．+7 B．﹣5 C．﹣3 D．10【答案】C【解析】【解答】解：∵|10|>|+7|>|-5|>|-3|，

∴最接近標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量的是C.故答案為：C.【分析】比較各數(shù)的絕對值的大小，選擇絕對值最小值即可求解.2．據(jù)央視網(wǎng)2023年10月11日消息，中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)中國科學(xué)院量子創(chuàng)新研究院與上海微系統(tǒng)所、國家并行計(jì)算機(jī)工程技術(shù)研究中心合作，成功構(gòu)建了255個(gè)光子的量子計(jì)算原型機(jī)“九章三號”，再度刷新了光量子信息的技術(shù)水平和量子計(jì)算優(yōu)越性的世界紀(jì)錄．“九章三號”處理高斯玻色取樣的速度比上一代“九章二號”提升一百萬倍，在百萬分之一秒時(shí)間內(nèi)所處理的最高復(fù)雜度的樣本，需要當(dāng)前最強(qiáng)的超級計(jì)算機(jī)花費(fèi)超過二百億年的時(shí)間．將“百萬分之一”用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．1×10﹣5 B．1×10﹣6 C．1×10﹣7 D．1×10﹣8【答案】B【解析】【解答】解：百萬分之一=0.000001=1×10-6.故答案為：B.【分析】利用科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為a×10-n，其中1≤|a|≤9，n由原數(shù)左邊起第一個(gè)不為0數(shù)字前面的“0”的個(gè)數(shù)決定.3．下列各數(shù)中，最小的數(shù)是（）A．﹣2 B．﹣（﹣2） C． D．【答案】A【解析】【解答】解：∵-（-2）=2，

∴，

∴最小的數(shù)是-2.故答案為：A.【分析】利用“正數(shù)大于負(fù)數(shù)，兩個(gè)負(fù)數(shù)相比較，絕對值大的反而小”把這幾個(gè)數(shù)從小到大排列，即可求解.4．下列運(yùn)算正確的是（）A．x5+x5＝x10 B．m+n2?C．a(chǎn)6÷a2＝a4 D．（﹣a2）3＝﹣a5【答案】C【解析】【解答】解：A、x5+x5=2x5，故A錯誤；

B、，B錯誤；

C、a6÷a2=a4，C正確；

D、(-a2)3=-a6，D錯誤.

故答案為：C.

【分析】利用“合并同類項(xiàng)、分式的乘法、同底數(shù)冪的除法、冪的乘方、積的乘方”法則逐項(xiàng)進(jìn)行計(jì)算即可.5．下列幾何體都是由四個(gè)大小相同的小正方體搭成的．其中主視圖、左視圖和俯視圖完全相同的是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【解答】解：A、三視圖如下圖，A不符合題意；

B、三視圖如下圖，B不符合題意；

C、三視圖如下圖，C不符合題意；

D、三視圖如下圖，D不符合題意.

故答案為：D.

【分析】根據(jù)小正方體組合體的三視圖逐項(xiàng)判斷即可.6．如圖，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，點(diǎn)C是AO的中點(diǎn)．過點(diǎn)C作CE⊥AO交于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作ED⊥OB，垂足為點(diǎn)D．在扇形內(nèi)隨機(jī)選取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P落在陰影部分的概率是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【解答】解：∵CE⊥AO，ED⊥OB，∠AOB=90°，

∴∠OCE=∠ODE=∠AOB=90°，

∴四邊形OCED是矩形，

∴，

∴，

∵點(diǎn)C是AO的中點(diǎn)，AO=OE，

∴2CO=OE，

在中，，

∴∠COE=60°，∴∠BOE=∠AOB-∠COE=90°-60°=30°，

設(shè)扇形AOB的半徑為r，

∴，，

∴點(diǎn)P落在陰影部分的概率為.

故答案為：B.【分析】易證四邊形OCED是矩形，從而得，求出，接下來利用特殊角的三角函數(shù)值求出∠COE=60°，從而得∠BOE=30°，設(shè)扇形AOB的半徑為r，根據(jù)扇形的面積公式求出陰影部分、扇形AOB的面積，最后利用概率公式進(jìn)行計(jì)算即可.7．定義新運(yùn)算：①在平面直角坐標(biāo)系中，{a，b}表示動點(diǎn)從原點(diǎn)出發(fā)，沿著x軸正方向（a≥0）或負(fù)方向（a＜0）平移|a|個(gè)單位長度，再沿著y軸正方向（b≥0）或負(fù)方向（b＜0）平移|b|個(gè)單位長度．例如，動點(diǎn)從原點(diǎn)出發(fā)，沿著x軸負(fù)方向平移2個(gè)單位長度，再沿著y軸正方向平移1個(gè)單位長度，記作（﹣2，1）．②加法運(yùn)算法則：{a，b}+{c，d}＝{a+c，b+d}，其中a，b，c，d為實(shí)數(shù)．若{3，5}+{m，n}＝{﹣1，2}，則下列結(jié)論正確的是（）A．m＝2，n＝7 B．m＝﹣4，n＝﹣3C．m＝4，n＝3 D．m＝﹣4，n＝3【答案】B【解析】【解答】解：根據(jù)題意，得3+m=-1，5+n=2，

解得m=-4，n=-3.

故答案為：B.

【分析】根據(jù)題意中的運(yùn)算法則可得3+m=-1，5+n=2，解方程即可.8．《九章算術(shù)》是我國古老的數(shù)學(xué)經(jīng)典著作，書中提到這樣一道題目：以繩測井．若將繩三折測之，繩多四尺；若將繩四折測之，繩多一尺．繩長、井深各幾何？題目大意是：用繩子測量水井的深度．如果將繩子折成三等份，一份繩長比井深多4尺；如果將繩子折成四等份，一份繩長比井深多1尺．繩長、井深各是多少尺？若設(shè)繩長x尺，井深y尺，則符合題意的方程組是（）A． B． C． D．【答案】C9．如圖，在?ABCD中，對角線AC，BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)E在BC上，點(diǎn)F在CD上，連接AE，AF，EF，EF交AC于點(diǎn)G．下列結(jié)論錯誤的是（）A．若，則EF∥BDB．若AE⊥BC，AF⊥CD，AE＝AF，則EF∥BDC．若EF∥BD，CE＝CF，則∠EAC＝∠FACD．若AB＝AD，AE＝AF，則EF∥BD【答案】D【解析】【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB=CD，AD=BC，AB∥CD，AD∥BC，

A、∵，

∴，

∵∠ECF=∠BCD，

∴，

∴∠CEF=∠CBD，

∴EF∥BD，A正確；

B、∵AE⊥BC，AF⊥CD，AE=AF，

∴AC平分∠BCD，∠AEC=∠AFC=90°，

∴∠ACB=∠ACD，

∵AD∥BC，

∴∠DAC=∠ACB，

∴∠ACD=∠DAC，

∴DA=DC，

∴四邊形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，

∴∠AOD=90°，

在和中，

，

∴，

∴CE=CF，

又∵AE=AF，

∴AC垂直平分EF，

∴∠OGF=90°，

∴∠OGF=∠AOD，

∴EF∥BD，B正確；

C、∵CE=CF，

∴∠CEF=∠CFE，

∵EF∥BD，

∴∠CBD=∠CEF，∠CDB=∠CFE，∠AOD=∠OGF，

∴∠CBD=∠CDB，

∴CB=CD，

∴四邊形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，

∴∠AOD=∠OGF=90°，

又∵CE=CF，

∴AC垂直平分EF，

∴AE=AF，

∴∠EAC=∠FAC，C正確；

D、∵AB=AD，

∴四邊形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，

當(dāng)AE=AF，且CE=CF時(shí)，有AC垂直平分EF，

∴要使EF∥BD，則需添加條件CE=CF，D錯誤.故答案為：D.【分析】根據(jù)平行四邊形性質(zhì)得AB=CD，AD=BC，AB∥CD，AD∥BC.根據(jù)相似三角形的判定定理得，從而有∠CEF=∠CBD，由“同位角相等，兩直線平行”證得EF∥BD，可對A作出判斷；根據(jù)角平分線的判定定理得AC平分∠BCD，然后結(jié)合平行線的性質(zhì)證出∠ACD=∠DAC，從而有DA=DC，進(jìn)而得到四邊形ABCD是菱形，根據(jù)菱形的性質(zhì)有∠AOD=90°，接下來利用證，得CE=CF，從而有AC垂直平分EF，得∠OGF=∠AOD=90°，由“同位角相等，兩直線平行”證得EF∥BD，可對B作出判斷；根據(jù)等腰三角形性質(zhì)、平行線性質(zhì)得∠CBD=∠CDB，∠AOD=∠OGF，從而有CB=CD，證出四邊形ABCD是菱形，根據(jù)菱形的性質(zhì)得∠AOD=∠OGF=90°，從而有AC垂直平分EF，得AE=AF，進(jìn)而求出∠EAC=∠FAC，可對C作出判斷；

先證四邊形ABCD是菱形，得AC⊥BD，當(dāng)AE=AF，且CE=CF時(shí)，有AC垂直平分EF，所以要使EF∥BD，需添加條件”CE=CF“，可對D作出判斷.10．同一條公路連接A，B，C三地，B地在A，C兩地之間．甲、乙兩車分別從A地、B地同時(shí)出發(fā)前往C地．甲車速度始終保持不變，乙車中途休息一段時(shí)間，繼續(xù)行駛．如圖表示甲、乙兩車之間的距離y（km）與時(shí)間x（h）的函數(shù)關(guān)系．下列結(jié)論正確的是（）A．甲車行駛h與乙車相遇 B．A，C兩地相距220kmC．甲車的速度是70km/h D．乙車中途休息36分鐘【答案】A【解析】【解答】解：如圖，D點(diǎn)表示乙車休息，E點(diǎn)表示兩車相遇，F(xiàn)點(diǎn)表示乙車?yán)^續(xù)行駛，

∴乙車中途休息時(shí)間為：3-2=1（h），D錯誤；

在DE-EF時(shí)，乙車不動，甲車行駛，

∴甲車的速度為，C錯誤；

∴A、C兩地相距4×60=240（km），B錯誤；

設(shè)乙車休息前的速度為xkm/h，

∴2×60+（40-20）=2x，

解得x=70km/h，即乙車休息前的速度為70km/h，

設(shè)甲車行駛yh與乙車相遇，

∴60y=70×2+20，

解得，A正確.

故答案為：A.【分析】根據(jù)函數(shù)圖象得D、E、F三點(diǎn)所包含的信息，從而有乙車休息時(shí)間，在DE-EF時(shí)，乙車不動，甲車行駛，從而得甲車的速度，進(jìn)而有A、C兩地的距離，設(shè)乙車休息前的速度為xkm/h，觀察函數(shù)圖象得關(guān)于x的一元一次方程，解方程求出x的值，即可得乙車休息前的速度，接下來設(shè)甲車行駛yh與乙車相遇，觀察函數(shù)圖象，列出關(guān)于y的一元一次方程，解方程求出y的值，即可得兩車相遇的時(shí)間.二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分．只要求填出最后結(jié)果）11．計(jì)算：．【答案】【解析】【解答】解：.故答案為：.【分析】先利用二次根式的乘法法則進(jìn)行計(jì)算，再進(jìn)行二次根式的化簡，最后合并同類二次根式即可.12．因式分解：（x+2）（x+4）+1＝．【答案】（x+3）2【解析】【解答】解：(x+2）(x+4)+1=x2+6x+9=(x+3)2.故答案為：(x+3)2.【分析】先利用整式乘法的運(yùn)算法則整理算式，最后利用完全平方公式進(jìn)行因式分解.13．如圖，在正六邊形ABCDEF中，AH∥FG，BI⊥AH，垂足為點(diǎn)I．若∠EFG＝20°，則∠ABI＝.【答案】50°【解析】【解答】解：在正六邊形ABCDEF中，，

∵AH∥FG，

∴∠GFA+∠FAH=180°，

∴∠EFG+∠BAI=∠EFA+∠FAB-（∠GFA+∠FAH）=120°+120°-180°=60°，

∵∠EFG=20°，

∴∠BAI=40°，

∵BI⊥AH，

∴∠AIB=90°，

∴∠ABI=90°-40°=50°.故答案為：50°.【分析】根據(jù)正多邊形的性質(zhì)、多邊形內(nèi)角和得∠EFA=∠FAB=120°，然后”兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)“得∠GFA+∠FAH=180°，從而有∠EFG+∠BAI=60°，進(jìn)而求出∠BAI=40°，最后根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出∠ABI的度數(shù).14．計(jì)算：．【答案】-x-2【解析】【解答】解：.故答案為：-x-2.【分析】先通分，再根據(jù)分式的加減法法則進(jìn)行計(jì)算即可.15．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y1＝ax+b（a≠0）與雙曲線y2（k≠0）交于點(diǎn)A（﹣1，m），B（2，﹣1）．則滿足y1≤y2的x的取值范圍．【答案】-1≤x＜0或x≥2【解析】【解答】解：∵兩函數(shù)交點(diǎn)為A（-1，m），B（2，-1），

∴滿足y1≤y2的x的取值范圍是-1≤x<0或x≥2.故答案為：-1≤x＜0或x≥2.【分析】根據(jù)兩函數(shù)的圖象以及交點(diǎn)橫坐標(biāo)即可得出答案.16．將一張矩形紙片（四邊形ABCD）按如圖所示的方式對折，使點(diǎn)C落在AB上的點(diǎn)C'處，折痕為MN，點(diǎn)D落在點(diǎn)D'處，C'D'交AD于點(diǎn)E．若BM＝3，BC'＝4，AC'＝3，則DN＝．【答案】【解析】【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=CD，BC=AD，

∵BM=3，BC'=4，

∴根據(jù)勾股定理得，

∵AC'=3，

∴CD=AB=AC'+BC'=3+4=7，BM=AC'，

∵折疊的性質(zhì)，

∴∠EC'M=∠C=∠D'=∠D=90°，CM=C'M=5，C'D'=CD=7，DN=D'N，

∴AD=BC=BM+CM=3+5=8，

∵∠EC'M=90°，∠A=90°，

∴∠AC'E+∠BC'M=∠AC'E+∠AEC'=90°，

∴∠BC'M=∠AEC'，

在和中，

，

∴，

∴C'E=C'M=5，AE=BC'=4，

∴D'E=C'D'-C'E=7-5=2，

設(shè)DN=D'N=x，

∴EN=AD-AE-DN=8-4-x=4-x，

在中，根據(jù)勾股定理得，x2+22=(4-x)2，

解得，即.故答案為：.【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)，利用勾股定理求出CM=C'M=5，AB=CD=C'D'=7，BC=AD=8，∠A=∠B=∠C=∠D=∠EC'M=∠D'=90°，接下來利用”一線三垂直“模型得，從而有C'E=C'M=5，AE=BC'=4，求出D'E=2，設(shè)DN=D'N=x，得EN=4-x，利用勾股定理得關(guān)于x的方程，解方程求出x的值即可.三、解答題（本大題共8小題，共72分）17．某公司為節(jié)能環(huán)保，安裝了一批A型節(jié)能燈，一年用電16000千瓦?時(shí)．后購進(jìn)一批相同數(shù)量的B型節(jié)能燈，一年用電9600千瓦?時(shí)．一盞A型節(jié)能燈每年的用電量比一盞B型節(jié)能燈每年用電量的2倍少32千瓦?時(shí)．求一盞A型節(jié)能燈每年的用電量．【答案】解：設(shè)一盞B型節(jié)能燈每年的用電量為x千瓦?時(shí)，則一盞A型節(jié)能燈每年的用電量為（2x﹣32）千瓦?時(shí)，根據(jù)題意得：，解得：x＝96，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝96是所列方程的解，且符合題意，∴2x﹣32＝2×96﹣32＝160（千瓦?時(shí)），答：一盞A型節(jié)能燈每年的用電量為160千瓦?時(shí)．【解析】【分析】設(shè)一盞B型節(jié)能燈每年的用電量為x千瓦?時(shí)，則一盞A型節(jié)能燈每年的用電量為（2x﹣32）千瓦?時(shí)，根據(jù)A、B型節(jié)能燈的數(shù)量相同列出關(guān)于x的分式方程，解分式方程，經(jīng)檢驗(yàn)得x的值，從而代入求2x-32的值即可求解.18．為增強(qiáng)學(xué)生體質(zhì)，某校在八年級男生中試行“每日鍛煉，每月測試”的引體向上訓(xùn)練活動，設(shè)定6個(gè)及以上為合格．體育組為了解一學(xué)期的訓(xùn)練效果，隨機(jī)抽查了20名男生2至6月份的測試成績．其中，2月份測試成績?nèi)绫?，6月份測試成績?nèi)鐖D1（尚不完整）．整理本學(xué)期測試數(shù)據(jù)得到表2和圖2（尚不完整）．表1：2月份測試成績統(tǒng)計(jì)表個(gè)數(shù)0136810人數(shù)484121表2：本學(xué)期測試成績統(tǒng)計(jì)表平均數(shù)/個(gè)眾數(shù)/個(gè)中位數(shù)/個(gè)合格率2月2.6a120%3月3.13425%4月44535%5月4.555540%6月b86c請根據(jù)圖表中的信息，解答下列問題：（1）將圖1和圖2中的統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整，并直接寫出a，b，c的值；（2）從多角度分析本次引體向上訓(xùn)練活動的效果；（3）若將此活動在鄰校八年級推廣，該校八年級男生按400人計(jì)算，以隨機(jī)抽查的20名男生訓(xùn)練成績?yōu)闃颖?，估算?jīng)過一學(xué)期的引體向上訓(xùn)練，可達(dá)到合格水平的男生人數(shù)．【答案】（1）解：6月測試成績中，引體向上3個(gè)的人數(shù)為20-4-1-6-4＝5（人），補(bǔ)充統(tǒng)計(jì)圖如下：∴，，

根據(jù)表2可得a＝1；（2）解：本次引體向上訓(xùn)練活動的效果明顯，理由如下：從平均數(shù)和合格率看，平均數(shù)和合格率逐月增加，從中位數(shù)看，引體向上個(gè)數(shù)逐月增加，從眾數(shù)看，引體向上的個(gè)數(shù)越來越大（答案不唯一，合理即可）；（3）解：400×55%＝220（人），答：估算經(jīng)過一學(xué)期的引體向上訓(xùn)練，可達(dá)到合格水平的男生人數(shù)約220人．【解析】【分析】（1）觀察圖1，用總?cè)藬?shù)減去引體向上個(gè)數(shù)不為3個(gè)的其他人數(shù)，從而求出引體向上3個(gè)的人數(shù)，進(jìn)而補(bǔ)充完整圖1，利用平均數(shù)、眾數(shù)的定義求出b、a的值，根據(jù)題意計(jì)算出合格率c；

（2）可從平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)、合格率入手進(jìn)行分析；

（3）根據(jù)樣本估計(jì)總體，用樣本中的合格率×八年級男生人數(shù)即可求解.19．某校九年級學(xué)生開展利用三角函數(shù)解決實(shí)際問題的綜合與實(shí)踐活動，活動之一是測量某護(hù)堤石壩與地平面的傾斜角．測量報(bào)告如下表（尚不完整）．課題測量某護(hù)堤石壩與地平面的傾斜角成員組長：×××??組員：×××，×××，×××測量工具竹竿，米尺測量示意圖說明：AC是一根筆直的竹竿．點(diǎn)D是竹竿上一點(diǎn)，線段DE的長度是點(diǎn)D到地面的距離．∠α是要測量的傾斜角測量數(shù)據(jù)…………（1）設(shè)AB＝a，BC＝b，AC＝c，CE＝d，DE＝e，CD＝f，BE＝g，AD＝h，請根據(jù)表中的測量示意圖，從以上線段中選出你認(rèn)為需要測量的數(shù)據(jù)，把表示數(shù)據(jù)的小寫字母填寫在“測量數(shù)據(jù)”一欄．（2）根據(jù)（1）中選擇的數(shù)據(jù)，寫出求∠α的一種三角函數(shù)值的推導(dǎo)過程．（3）假設(shè)sinα≈0.86，cosα≈0.52，tanα≈1.66，根據(jù)（2）中的推導(dǎo)結(jié)果，利用計(jì)算器求出∠α的度數(shù)．你選擇的按鍵順序?yàn)椤敬鸢浮浚?）解：需要的數(shù)據(jù)為：AB＝a，AC＝c，DE＝e，CD＝f；（2）解：過點(diǎn)A作AM⊥CB于點(diǎn)M，

∴∠AMB＝90°，∵DE⊥CB，

∴∠DEC=∠AMB=90°，∴DE∥AM，∴△CDE∽△CAM，∴，即，∴，∴；（3）①【解析】【解答】解：（3）解：∵，∴按鍵順序?yàn)?ndF，sin，0，?，8，6，＝，

故答案為：①．

【分析】（1）根據(jù)題意，選擇需要的數(shù)據(jù)即可；

（2）過點(diǎn)A作AM⊥CB于點(diǎn)M，根據(jù)垂直的定義得∠DEC=∠AMB=90°，由“同位角相等，兩直線平行”得DE∥AM，從而證出△CDE∽△CAM，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得，代入求出，最后根據(jù)正弦的定義求出sinα的值即可；

（3）由（2）有，即可確定計(jì)算器的按鍵順序.20．（1）感悟?如圖1，在△ABE中，點(diǎn)C，D在邊BE上，AB＝AE，BC＝DE．求證：∠BAC＝∠EAD．（2）應(yīng)用?：①如圖2，用直尺和圓規(guī)在直線BC上取點(diǎn)D，點(diǎn)E（點(diǎn)D在點(diǎn)E的左側(cè)），使得∠EAD＝∠BAC，且DE＝BC（不寫作法，保留作圖痕跡）；②如圖3，用直尺和圓規(guī)在直線AC上取一點(diǎn)D，在直線BC上取一點(diǎn)E，使得∠CDE＝∠BAC，且DE＝AB（不寫作法，保留作圖痕跡）．【答案】（1）解：如圖1，過點(diǎn)A作AH⊥BE于點(diǎn)H，

∵AB＝AE，

∴AH平分∠BAE，BH=EH，

∴∠BAH＝∠EAH，

∵BC＝DE，

∴CH=DH，

∴AH垂直平分CD，

∴AC=AD，

∴AH平分∠CAD，

∴∠CAH＝∠DAH，

∴∠BAC＝∠DAE；（2）解：①如圖2，點(diǎn)D，E即為所求；

②如圖3，點(diǎn)D，E即為所求．

【解析】【分析】（1）過點(diǎn)A作AH⊥BE于點(diǎn)H，根據(jù)等腰三角形的“三線合一”得AH平分∠BAE，BH=EH，從而有∠BAH=∠EAH，CH=DH，進(jìn)而求出AH垂直平分CD，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的“三線合一”的AH平分∠CAD，利用角平分線的定義得∠CAH＝∠DAH，最后根據(jù)角的和差關(guān)系即可得證；

（2）①由（1）可知，以A為圓心，AB、AC分別為半徑作圓交BC于點(diǎn)E、D即可求解；

②延長AC，在延長線上取一點(diǎn)D，使DC=AC，接下來作∠CDE=∠BAC即可求解.21．定義?我們把數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫做數(shù)a的絕對值．?dāng)?shù)軸上表示數(shù)a，b的點(diǎn)A，B之間的距離AB＝a﹣b（a≥b）．特別的，當(dāng)a≥0時(shí)，表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離等于a﹣0．當(dāng)a＜0時(shí)，表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離等于0﹣a．應(yīng)用?如圖，在數(shù)軸上，動點(diǎn)A從表示﹣3的點(diǎn)出發(fā)，以1個(gè)單位/秒的速度沿著數(shù)軸的正方向運(yùn)動．同時(shí)，動點(diǎn)B從表示12的點(diǎn)出發(fā)，以2個(gè)單位/秒的速度沿著數(shù)軸的負(fù)方向運(yùn)動．（1）經(jīng)過多長時(shí)間，點(diǎn)A，B之間的距離等于3個(gè)單位長度？（2）求點(diǎn)A，B到原點(diǎn)距離之和的最小值．【答案】（1）解：設(shè)經(jīng)過t秒，點(diǎn)A，B之間的距離等于3個(gè)單位長度，根據(jù)題意，得：|（-3+t）-（12-2t）|＝3，解得：t＝4或t＝6，答：經(jīng)過4秒或6秒，點(diǎn)A，B之間的距離等于3個(gè)單位長度；（2）解：設(shè)經(jīng)過x秒，點(diǎn)A，B到原點(diǎn)距離之和為y，根據(jù)題意，得：y＝|-3+x|+|12-2x|，當(dāng)x≤3時(shí)，y＝|-3+x|+|12-2x|＝3-x+12-2x＝-3x+15，

∵-3<0，

∴y隨x的增大而減小，∴當(dāng)x＝3時(shí)，y值最小，為6，當(dāng)3＜x<6時(shí)，y＝|-3+x|+|12-2x|＝-3+x+12-2x＝-x+9，當(dāng)x≥6時(shí)，y＝|-3+x|+|12-2x|＝-3+x-12+2x＝3x-15，

∵3>0，

∴y隨x的增大而增大，∴當(dāng)x＝6時(shí)，y值最小，為3，綜上所述，點(diǎn)A，B到原點(diǎn)距離之和的最小值為3．【解析】【分析】（1）設(shè)經(jīng)過t秒，點(diǎn)A，B之間的距離等于3個(gè)單位長度，根據(jù)題意列出關(guān)于t的方程，解方程求出t的值即可求解；

（2）設(shè)經(jīng)過x秒，點(diǎn)A，B到原點(diǎn)距離之和為y，先根據(jù)題意表示出y，再分類討論，利用一次函數(shù)的增減性求y的最小值.22．如圖，已知AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C，D在⊙O上，且BC＝CD．點(diǎn)E是線段AB延長線上一點(diǎn)，連接EC并延長交射線AD于點(diǎn)F．∠FEG的平分線EH交射線AC于點(diǎn)H，∠H＝45°．（1）求證：EF是⊙O的切線；（2）若BE＝2，CE＝4，求AF的長．【答案】（1）證明：如圖，連接OC，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵BC＝CD，

∴，∴∠DAC＝∠BAC，∴∠OCA＝∠DAC，∴OC∥AF，

∴∠OCE＝∠F，∵EH平分∠FEG，

∴2∠FEH＝2∠GEH=∠FEG，∵∠GEH＝∠H+∠BAC，∠FEG＝∠F+∠BAF，∴2∠H+2∠BAC＝∠F+∠BAF，

∵∠BAF=2∠BAC，∴2∠H＝∠F，

∵∠H=45°，

∴∠F=90°，∴∠OCE＝∠F＝90°，即OC⊥EF，∵OC是半徑，∴EF是⊙O的切線；（2）解：由（1）得∠OCE=∠OCB+∠BCE=90°，

∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=∠ACO+∠OCB=90°，

∴∠ACO=∠BCE，又∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠OAC，∴∠BCE＝∠OAC，∵∠CEB＝∠CEA，∴△BCE∽△CAE，

∵BE=2，CE=4，∴，∴CE2＝BE?AE，即16＝2AE，解得AE＝8，∴AB＝8-2＝6，在Rt△ABC中，AB＝6，，

根據(jù)勾股定理得，AC2+BC2=AB2，即5BC2=36，

解得，∴，∵∠F＝∠ACB＝90°，∠FAC＝∠BAC，∴△FAC∽△CAB，∴，∴．【解析】【分析】（1）連接OC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、圓周角定理得得∠OAC＝∠DAC，從而有OC∥AF，進(jìn)而得∠OCE＝∠F，根據(jù)角平分線的定義、三角形外角的性質(zhì)得2∠H+2∠BAC＝∠F+∠BAF，從而有2∠H＝∠F=∠OCE=90°，最后根據(jù)切線的判定定理得證；

（2）根據(jù)直徑所對的圓周角是直角得∠ACB=90°，從而得∠ACO=∠BCE，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得∠ACO＝∠OAC，從而有∠BCE＝∠OAC，根據(jù)相似三角形的判定定理證得△BCE∽△CAE，由相似三角形的性質(zhì)得，從而有CE2＝BE?AE，進(jìn)而求出AE=8，然后求出AB=6，接下來利用勾股定理得5BC2=36，解方程求出BC的長，從而求AC的長，根據(jù)相似三角形的判定定理得△FAC∽△CAB，由相似三角形的性質(zhì)得，最后代入計(jì)算出AF即可.23．如圖，在菱形ABCD中，AB＝10cm，∠ABC＝60°，E為對角線AC上一動點(diǎn)，以DE為一邊作∠DEF＝60°，EF交射線BC于點(diǎn)F，連接BE，DF．點(diǎn)E從點(diǎn)C出發(fā)，沿CA方向以每秒2cm的速度運(yùn)動至點(diǎn)A處停止．設(shè)△BEF的面積為ycm2，點(diǎn)E的運(yùn)動時(shí)間為x秒．（1）求證：BE＝EF；（2）求y與x的函數(shù)表達(dá)式，并寫出自變量x的取值范圍；（3）求x為何值時(shí)，線段DF的長度最短．【答案】（1）證明：設(shè)CD與EF相交于點(diǎn)M，∵四邊形ABCD為菱形，

∴BC＝DC，∠BCE＝∠DCE，AB∥CD，

∴∠ABC=∠DCF，∵∠ABC＝60°，∴∠DCF＝60°，

∵∠DEF=60°，

∴∠DEF=∠DCF，在△BCE和△DCE中，，∴△BCE≌△DCE（SAS），∴∠CBE＝∠CDE，BE＝DE，∵∠DMF＝∠DEF+∠CDE＝∠DCF+∠CFE，又∵∠DEF＝∠DCF，∴∠CDE＝∠CFE，∴∠CBE＝∠CFE，∴BE＝EF；（2）解：過點(diǎn)E作EN⊥BC于N，∴∠ENC＝90°，∵BE＝EF，∴BF＝2BN，∵四邊形ABCD為菱形，AB=10，

∴ВС＝АВ＝10，

∵∠ABC＝60°，

∴△ABC是等邊三角形，

∴∠ECN＝60°，ВС＝АВ＝AC=10，∵CE＝2x，

∴，，∴BN＝BC-CN＝10-x，∴BF＝2（10-x），

∴，∵0＜2x≤10，∴0＜x≤5，

∴；（3）解：∵BE＝DE，BE＝EF，∴DE＝EF，∵∠DEF＝60°，∴△DEF為等邊三角形，∴DE＝DF=EF，∴BE＝DF，∴線段DF的長度最短，即BE的長度最短，當(dāng)BE⊥AC時(shí)，BE取最短，如圖，由（2）有△ABC為等邊三角形，∴BC＝AB＝AC＝10，∵BE⊥AC，

∴，

∵CE=2x，

∴2x=5，

解得，∴當(dāng)時(shí)，線段DF的長度最短．24．已知拋物線y＝x2+bx+c（b