江蘇省句容市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

第頁，共頁第21頁，共21頁2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題命題單位：江蘇省句容高級中學(xué)江蘇省揚中高級中學(xué)一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.拋物線的準(zhǔn)線方程為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】化為標(biāo)準(zhǔn)方程：，根據(jù)準(zhǔn)線方程的定義求解．【詳解】拋物線的方程為：，則其焦點坐標(biāo)為：，準(zhǔn)線方程為：．故選：D2.函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率為（）A.6 B.3 C.2 D.1【答案】B【解析】【分析】由平均變化率計算公式求解．【詳解】解：函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率為．故選：B.3.在等差數(shù)列{}中，，，則的值為（）A.18 B.20 C.22 D.24【答案】B【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列通項公式相關(guān)計算求出公差，進(jìn)而求出首項.【詳解】設(shè)公差為，由題意得：，解得：，所以.故選：B4.雙曲線的焦點到漸近線的距離為（）A. B.2 C. D.1【答案】C【解析】【分析】不妨設(shè)一個焦點為，一條漸近線方程為：，即，由點到直線的距離求解．【詳解】解：依題意得，，得，得，不妨設(shè)一個焦點為，一條漸近線方程為：，即，則焦點到漸近線方程的距離為：．故選：C5.已知，若，則a的值為（）A. B. C.1 D.或1【答案】C【解析】【分析】根據(jù)兩直線平行的公式求解即可.【詳解】若，則，即，解得或.當(dāng)時，滿足；當(dāng)時，重合；故.故選：C6.已知直線與曲線有公共點，則實數(shù)k的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】將問題化為直線與圓的上半部分有交點求參數(shù)范圍即可．【詳解】解：曲線是圓的上半部分，且含端點，由過定點，如下圖：由圖知，當(dāng)與半圓左上部相切時，即且，可得，結(jié)合圖知：實數(shù)k的取值范圍為：．故選：D7.設(shè)橢圓的左，右焦點分別為，點P在C上，若，，則C的離心率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】在直角三角形中，，得，由，得，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：如圖：因為，所以，則在直角三角形中，，得，由，得，即橢圓的離心率為：．故選：A8.某種卷筒衛(wèi)生紙繞在圓柱形盤上，空盤時盤芯直徑為40，滿盤時直徑為120，已知衛(wèi)生紙的厚度為0.1，則滿盤時衛(wèi)生紙的總長度大約（）（π≈3.14，精確到1）A.60 B.80 C.100 D.120【答案】C【解析】【分析】將衛(wèi)生紙的長度近似看成400個直徑成等差數(shù)列的圓周長的和，利用等差數(shù)列前n項和公式即可求得滿盤時衛(wèi)生紙的總長度大約為100【詳解】空盤直徑是，半徑是，周長是滿盤直徑是，半徑是，周長是，則每一圈周長成等差數(shù)列，共400項，，故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.下列函數(shù)的求導(dǎo)運算正確的是（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】直接利用導(dǎo)數(shù)的運算法則與基本初等函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)逐一求解得答案.【詳解】對于A,，A錯誤；對于B，，B正確；對于C，，C正確；對于D，，D錯誤.故選：BC.10.古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名，他發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個定點A，B的距離之比為定值且的點的軌跡是一個圓，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓．已知在平面直角坐標(biāo)系中，，點P滿足，設(shè)點P的軌跡為曲線C，則下列結(jié)論正確的是（）A.曲線C與圓有且僅有三條公切線B.曲線C關(guān)于直線對稱的曲線方程為C.若點在曲線C上，則的取值范圍是D.在x軸上存在異于A，B的兩點E，F(xiàn)，使得【答案】ACD【解析】【分析】設(shè)點，由，得，即曲線為圓心為，半徑為2的圓，再結(jié)合選項依次判斷即可．【詳解】設(shè)點，因為，所以，整理得，，即曲線為圓心為，半徑為2的圓，對于A，圓，即，該圓的圓心為，半徑為3，兩圓的圓心距為：，所以兩圓外切，故兩圓有且僅有三條公切線，故A正確；對于B，曲線C的圓心關(guān)于直線對稱的點為，所以曲線C關(guān)于直線對稱的曲線方程為：，故B錯誤；對于C，設(shè)，即，由圖知當(dāng)直線與圓相切時，t取得最大值或最小值，此時圓心到直線的距離為2，由，解得或，所以的取值范圍是：，故C正確；對于D，設(shè)，則，化簡得，，依題意，需使，解得，或（因點E，F(xiàn)異于A，B，應(yīng)舍去）所在存在滿足題意，故D正確．故選：ACD.11.已知雙曲線的左、右焦點分別為，左、右頂點分別為A，B，過的直線l（斜率存在）與雙曲線的右支交于P，Q兩點，中點為M，三角形的內(nèi)心分別為，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.共線【答案】BCD【解析】【分析】設(shè)點，由斜率公式及點差法可以判斷A，B兩項，由可以判斷C項，在D項中，由雙曲線的焦點三角形的內(nèi)切圓一定切于頂點（右焦點就對應(yīng)右頂點），通過列式判斷．【詳解】解：依題意，得，得，則，設(shè)點，對于A項，，因為，所以，則，故A項錯誤；對于B項，由，相減得，，得，即，故B項正確；對于C項，，，則，因為，所以，得，在三角形中，則，故C項正確；對于D項，如圖，設(shè)三角形的內(nèi)切圓的切點為，由雙曲線的定義得，，而，得，而，得，又因為，得切點T與點B重合，得點，則內(nèi)心的橫坐標(biāo)為1，同理可得，內(nèi)心的橫坐標(biāo)也為1，得三點共線，故D項正確．故選：BCD【點睛】關(guān)鍵點點睛：選項D中，在雙曲線中，焦點三角形的內(nèi)切圓一定切于頂點（右焦點就對應(yīng)右頂點）．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知等比數(shù)列的前n項和為，且，則______．【答案】14【解析】【分析】根據(jù)題意，利用等比數(shù)列的性質(zhì)，得到也成等比數(shù)列，列出方程，即可求解．【詳解】由等比數(shù)列滿足，可得等比數(shù)列的公比，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，可得也成等比數(shù)列，即，得，解得．故答案為：13.設(shè)B是橢圓的上頂點，點P在C上，則|PB|的最大值為__________.【答案】【解析】【分析】求得點，設(shè)，利用兩點間距離公式，結(jié)合三角函數(shù)的有界性，轉(zhuǎn)化為求解距離的最大值.【詳解】由題意，橢圓，可得，因為點在上，設(shè)，所以，當(dāng)時，取得最大值，最大值為.故答案為：.14.拋物線的焦點為F，點，過焦點F的直線交拋物線C于A，B兩點，直線與C的另一個交點分別為M，N．當(dāng)直線斜率不存在時，______；當(dāng)直線斜率存在時，______．【答案】①2②.4【解析】【分析】第一空：當(dāng)直線斜率不存在時，求出的坐標(biāo)即可求解；第二空：當(dāng)直線斜率存時，設(shè)，由直線與拋物線方程聯(lián)立結(jié)合韋達(dá)定理進(jìn)行求解．【詳解】第一空：拋物線的焦點為，當(dāng)直線斜率不存在時，，則．第二空：當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)，如圖所示：直線的方程為：，代入，可得，得，得，同理得，則，設(shè)直線的方程為：，代入，可得，則，得，故答案為：2；4四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知圓心為C的圓經(jīng)過點，且圓心C在直線上．（1）求圓C的方程；（2）已知直線l過點且直線l截圓C所得的弦長為2，求直線l的方程．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】根據(jù)圓心在弦的中垂線上，也在直線上求解可得圓心，進(jìn)而求得半徑即可得圓的方程；先討論直線l斜率不存在時，再設(shè)直線l的點斜式，根據(jù)垂徑定理求解即可.【小問1詳解】由題意圓心在弦的中垂線上，又中點，，則弦中垂線斜率，故中垂線方程：，即，聯(lián)立可得，，即，故圓的半徑.故圓的方程：【小問2詳解】當(dāng)直線斜率不存在時，直線l與圓不相交；當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)方程，因為直線l截圓C所得的弦長為2，故圓心到的距離.則到的距離，則，即，解得或.故方程，即或.16.已知函數(shù)，且曲線在點處的切線與直線垂直．（1）求b；（2）討論函數(shù)的單調(diào)性；（3）若函數(shù)在上單調(diào)遞減，求a的取值范圍．【答案】（1）（2）答案見解析（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，結(jié)合直線垂直斜率之積為求解即可；（2）求導(dǎo)分與的大小關(guān)系討論即可；（3）由題意在上恒成立，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求解即可.【小問1詳解】，故，又斜率為1，故，解得.【小問2詳解】因為，故，則，當(dāng)時，，故在上，，單調(diào)遞增；在上，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，令有，，且，故在上，，單調(diào)遞減；在上，，單調(diào)遞增；在上，，單調(diào)遞減.當(dāng)時，，在單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上，，單調(diào)遞減；在上，，單調(diào)遞增；在上，，單調(diào)遞減.【小問3詳解】，由題意在上恒成立，即在上恒成立，因，故，即.所以a的取值范圍為.17.已知拋物線的焦點為F，位于第一象限的點在拋物線C上，且．直線l過焦點F且與拋物線C交于A，B兩點．（1）若l的傾斜角為，求弦長的值；（2）若過F且與l垂直的直線交C于M，N兩點，求四邊形的面積的最小值，【答案】（1）8（2）32【解析】【分析】（1）根據(jù)拋物線的定義求出p的值，求出直線l的方程，與拋物線的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理和弦長公式求解；（2）設(shè)直線l的方程為：，，與拋物線的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理和弦長公式求出和的值，再利用基本不等式求出四邊形的面積的最小值．【小問1詳解】由題意可得，所以，得拋物線C的方程為：，焦點為，直線l的方程為：，聯(lián)立方程，消去y得，設(shè)，則，得弦長．【小問2詳解】設(shè)直線l的方程為：，，聯(lián)立方程，消去x得，設(shè)，則，所以，同理可得，所以四邊形的面積為：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以四邊形的面積的最小值為：18.已知數(shù)列的前n項和為，．（1）證明數(shù)列為等比數(shù)列并求數(shù)列的通項公式；（2）若______，且，求滿足條件的最大整數(shù)n．請在①；②這兩個條件中任意選擇一個填入上面橫線處，并完成解答．【答案】（1）證明見解析，（2）選擇，；選擇，【解析】【分析】（1）構(gòu)造數(shù)列等式作差可以判斷等比數(shù)列，即可求出數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，選條件①：則，利用錯位相差法求和進(jìn)行判斷即可；選條件②：則，利用裂項相消法求和進(jìn)行判斷．【小問1詳解】由，①當(dāng)時，得，得，當(dāng)時，得，②由①－②得，得，得，即，而，故，得數(shù)列為等比數(shù)列，首項為，公比為3，得，得．【小問2詳解】設(shè)，選條件①：則，令，則，兩式相減，得，得，則，顯然數(shù)列單調(diào)遞增，得，G6=故滿足條件的最大整數(shù)；選條件②：則，則，顯然數(shù)列單調(diào)遞增，得G7故滿足條件的最大整數(shù)．19.已知動點P到定點的距離與它到定直線的距離之比為常數(shù)．其中，，且，記點P的軌跡為曲線C．（1）求C的方程，并說明軌跡的形狀；（2）當(dāng)時，記C的左、右頂點分別為，過點的直線與C的左支交于D，E兩點，直線與交于點Q，求證：點Q在定直線上；（3）當(dāng)時，設(shè)，若C上兩動點M，N均在x軸上方，，且與相交于點R，求證：的周長為定值．【答案】（1）,形狀見解析；（2）證明見解析；（3）證明見解析.【解析】【分析】（1）設(shè)點，由題意得到方程，分和，得到軌跡形狀；（2）設(shè)過點的直線為：，與雙曲線方程聯(lián)立，得，由韋達(dá)定理得，直線：，直線：，聯(lián)立得：，即可求解；（3），設(shè)，根據(jù)題干結(jié)論表達(dá)出，，所以，由橢圓定義和平行關(guān)系計算出，則的周長為定值．【小問1詳解】依題意，設(shè)點，則，化簡得，，當(dāng)時，曲線C為焦點在x軸上的橢圓，當(dāng)時，曲線C為焦點在x軸上雙曲線．【小問2詳解】當(dāng)時，曲線C的方程為：，則，設(shè)過點的直線為：，由，消去x得，設(shè)，得2m2?1≠0則，直線：，直線：，聯(lián)立得：，解得，直線與交于點Q在定直線上．【小