高斯小學奧數(shù)四年級下冊含答案第20講-復雜抽屜原理

第二十講復雜抽屜原理

推民族埋又稱狄利

克雷原理.是祟國數(shù)學

家狄利克雷首先明明提

出來,并用以證明一些

數(shù)論問題的.它是組合

數(shù)學中一個重要的以理

抽短原理第一次

被引入到中學生數(shù)學

競賽中,是在19474

狄利克雷知牙利的全國數(shù)學費

1805?18599.由于這道地目形

K新頑、解法巧妙.

很快就在全世界廣泛

流傳,使不少人知道

了這一月理.

在《簡單抽屜原理》中，我們學習了運用抽屜原理處理一些簡單問題，以及最不利原則

的一些簡單應用.

抽屜原理：

把〃?個蘋果放入〃個抽屜(心大于〃)，結果有兩種可能：

(1)如果機+〃沒有余數(shù)，那么一定有抽屜至少放了“機+〃”個蘋果；

(2)如果機+〃有余數(shù)，那么一定有抽屜至少放了“〃吠〃的商再加1”個蘋果.

例題1

<|）口袋里有四種顏色的球，每種顏色足夠多，一次至少要取幾個球，才能保證其中一

定有兩個顏色相同？

（2）口袋里有四種顏色的球，每種顏色足夠多，一次至少要取幾個球，才能保證其中一

定有四個顏色相同？

「分析」第（1）題中，好好思考一下，如果要想取出的球顏色都不相同，那么最

多可以取出多少個球呢？

練習1

箱子里有12種形狀不同的積木，每種都足夠多，一次至少要取幾個，才能保證其中一定

有三個形狀相同？

本講，我們要學習抽屜原理在計數(shù)、數(shù)字、表格、圖形等具體問題中較復雜的應用.要

能根據(jù)已知條件合理地選取和設計“抽屜”與“蘋果”，有時還要構造出能達到最佳效果的

例子.

例題2

盒子里有四色球各100個，每次從中摸出2個球，請問：至少要摸幾次，才能保證其中

有三次摸出球的顏色情況是相同的？

「分析」從盒子中取出2個球，顏色情況一共有多少種可能呢？

練習2

小高把一副圍棋混裝在一個盒子里，然后每次從盒子中摸出4枚棋子，請問：他至少要

摸兒次，才能保證其中有三次摸出根子的顏色情況是相同的？（圍棋子有黑、白兩種顏色）

例題3

將下圖3行7列的方格紙的每格染成紅色、黃色或綠色，要求每列的三個方格所染的顏

色互不相同.請說明不管怎么染，至少有兩列染色方式是一樣的.

「分析」題目要求我們說明有兩列的染色方法一樣，因此我們應該先考慮每列能夠怎么染

色.方格紙一共有5歹ij,根據(jù)抽屜原理，只要每列染色的方法少于5種，就會有兩列染色方

式一樣.那每列有哪些不同的染色方式呢？

練習3

將2行5列的方格紙每一格染成黑色或白色，請說明不管怎么染，至少有兩列染色方式

是一樣的.

有很多抽屜原理的題目是與數(shù)字結合的，運用數(shù)字相關的一些知識來構造抽屜，這也是

我們本講要學習的重要內容.

例題4

1至30這30個自然數(shù)中，至少取出多少個數(shù)，才能保證其中一定有兩個數(shù)的和等于31?

至少取出多少個數(shù)，才能保證其中一定有兩個數(shù)的差等于3?

「分析」第（1）要求取出的數(shù)中,才能保證一定有兩個數(shù)和為31,那么我們應該首先考慮

一下，要想使得任意兩數(shù)之和都不等于31,我們最多可以取出多少數(shù)呢？

練習4

1至20這20個自然數(shù)中，至少取出多少個數(shù)，才能保證其中一定有兩個數(shù)的和等于21?

至少取出多少個數(shù)，才能保證其中一定有兩個數(shù)的差等于5?

除了利用與數(shù)字相關的知識來構造抽屜之外,還有一些與圖形周長、面積相關的問題.這

類問題往往需要根據(jù)圖形特點進行分割，從而構造出抽屜.

例題5

（1）在一個邊長為2的正方形里隨意放入3個點，這3個點所能連出的三角形面積最大

是多少？

（2）在邊長為4的正方形中隨意放入9個點，這9個點中任何三點不共線，請說明：這

9個點中一定有3個點構成的三角形面積不超過2.（本題中的點都可以放在正方形的邊界上）

「分析」（1）在邊長為2的正方形中放入3個點，我們比較容易想到正方形的三個頂點，三

個頂點構成的三角形面積為2.那能否說明放在任意位置三角形面積都不超過2呢？

(2)由(1)的結論，正方形內3個點構成的三角形面積不超過正方形面積的一半.應該如

何來構造抽屜呢？

例題6

試說明：任意六個人中，一定可以找到三個互相認識的人，或者三個互不認識的人.

「分析」我們不妨畫個圖來分析一下六個人之間的關系，用實線表示認識，用虛線表示不認

識.思考一下，根據(jù)抽屜原理，你會發(fā)現(xiàn)其中的一個人“甲”與其他5個人的關系可能會是

什么情況呢？

課堂內外

狄利克雷

狄利克雷(Dirichi?,PeterGustayLejeuney德國數(shù)學家，1805年2月13日生于德國

迪倫，1859年5月5口卒于格丁根.

狄利克雷生活的時代，德國的數(shù)學正經(jīng)歷著以高斯為前導的、由落后逐漸轉為興旺發(fā)達

的時期.狄利克雷以其出色的數(shù)學教學才能，以及在數(shù)論、分析和數(shù)學物理等領域的杰出成

果，稱為高斯之后與C.GJ.雅強比(Jacobi)齊名的德國數(shù)學界的一位核心人物.

狄利克雷出身于行政官員家庭，他父親是一名郵政局長.狄利克雷少年時即表現(xiàn)出對數(shù)

學的濃厚興趣，據(jù)說他在12歲前就自己描零錢購買數(shù)學圖書.1987年入波恩的一所中學，

除數(shù)學外，他對近代史有特殊愛好，人們稱道他是個能專心致志又品行優(yōu)良的學生.兩年后，

他遵照父母的意愿轉學到科隆的一所教會學校，在那里曾師從物理學家歐姆，學到了必要的

物理學基礎知識.

16歲通過中學畢業(yè)考試后，父母希望他攻讀法律，但狄利克雷已選定數(shù)學為其終身職

業(yè).當時的德國數(shù)學界，除高斯一人名噪歐洲外，普遍水平較低；又因高斯不喜好教學，于

是狄利克雷決定到數(shù)學中心巴黎上大學，那里有一批燦如明星的數(shù)學家.

1822年5月，狄利克雷到達巴黎，選定在法蘭西學院和巴黎理學院攻讀.1825年，狄

利克雷向法國科學院提交他的第一篇數(shù)學論文；1826年，狄利克雷在為振興德國自然科學

研究而奔走的A洪堡的影響下，返回德國，在布雷斯勞大學獲講師資格，后升任編外教授.

1828年，狄利克雷又經(jīng)洪堡的幫助來到學術氛圍較濃厚的柏林，任教于柏林軍事學

院.同年，他又被聘為柏林大學編外教授，開始了他在柏林長達27年的教學與研究生涯.由

于他講課清晰，思想深邃，為人謙遜，淳淳善誘，培養(yǎng)了一批優(yōu)秀數(shù)學家，對德國成為19

世紀后期國際上又一個數(shù)學中心產(chǎn)生了巨大影響.1831年，狄利克雷稱為柏林科學院院士.

1855年高斯去世，狄利克雷被選定作為高斯的繼任到格丁根大學任教.1858年夏，他

去瑞士蒙特勒開會，做紀念高斯的演講，突發(fā)心臟病.他安全返回了格丁根，但在病中遭夫

人中風身亡的打擊，病情加重，于1859年春與世長辭.

作業(yè)

1.箱子里有5種顏色相同的積木，每種都足夠多，那么一次至少要取多少個，才能保證一

定有5個顏色相同？

2.小高把一副圍棋棋子混裝在一個盒子里，然后每次從盒子里左右手各摸出1枚棋子，那

么他至少要摸多少次，才能保證其中有三次摸出棋子的顏色情況是相同的？（圍棋子有

黑、白兩種顏色）

3.從1至50中，至少取出多少個數(shù)，才能保證一定有兩個數(shù)的和是奇數(shù)?

4.能否在4行4列的方格表的每個空格中分別填卜.1、2、3這三個數(shù)之一，而使大正方形

的每行、每列及對角線上的各個數(shù)之和互不相同？

5.任意寫一個由數(shù)字1,2,3組成的十一位數(shù)，從這個十一位數(shù)中任意截取相鄰兩位，可

得一個兩位數(shù)，請證明：在從各個不同位置上截得的所有兩位數(shù)中，至少有兩個相等.

第二十講復雜抽屜原理

1.例題1

答案：5;13

詳解：

(1)利用最不利原則，最倒霉的情況是：取的所有的球中，每種顏色都有且僅有

1個，再任意取一個就可以滿足要求,所以至少要取4+1=5個才能保證一定有兩

(2)利用最不利原則，最倒霉的情況是：取的所有的球中，每種顏色都有且僅有

3個，再任再一個就可以滿足要求.所以至少要取4x3+1=13個才能保證一定有

四個顏色相同

2.例題2

答案：21

詳解:摸出兩個球，顏色共有10種可能(枚舉可得)，即10個抽屜.利用最不利

原則，最倒霉的情況是，摸出的所有球中，每一種顏色情況都出現(xiàn)了2次，再任

意取一次就可以滿足要求出以至少要取10x2+1=21次才能保證一定有三次摸出

球的顏色情況是相同的.

3.例題3

答案：證明略

詳解：

每一列三個方格染色情況共有去=3x2x1=6種可能.一共有7列，7-6=1[-

所以一定至少有兩列染色方式是一樣的.

4.例題4

答案：16個；16個

詳解：

(1)把卜3。這30個數(shù)分為如下15組(1,30)、(2,29)、(3,28)、、

(15,16),每一組的兩個數(shù)之和都是31,而且不是同組的兩個數(shù)之和一定不等于

31.利用最不利原則，最倒霉的情況是，所取的所有數(shù)恰好是每組中各一個，那么

再任意取一個即可滿足要求，所以至少要取出15+1=16個效，才能保證一定有兩

個數(shù)的和等于31.

(2)把]應運W個數(shù)進往如下分組：

&4,7,10,13,16,19,22,25,28)

(2,5,8,11,14,17,20,23,26,29)

(3,6,9,12,15,18,21,24,27,30)

共3組，每組有10個數(shù)，連續(xù)兩個數(shù)的差都是3,不連續(xù)的3個數(shù)的差都不為3,

而且不同組的兩個數(shù)之差一定不是3.

利用最不利原則，每組都先隔一個取，即各取5個，那么再任意取一個即可滿足要

求，所以至少要取出5x3+1=16個才能保證一定有兩個數(shù)的差為3.

5.例題5

答案：（1）2；（2）證明略

詳解：面積最大為正方形的一半，即2x2+2=2.此時，其中兩個點恰好為某一條

邊的兩個端點，第三個點在該邊的對邊上.

把邊長為4的正方形分成4個2x2的小正方了.9個點放進去，9+4=21,那

么一定至少有3個點是在同一個小正方形中的.那么這3個點所構成的三角形面

積一定不超過2（即第1問）.

6.例題6

答案：不能

詳解：用實線相連表示認識，虛線相連，示不認識,B

如圖，A和其他5個人，要么認識，要么不認識,/

所以一定有三條線是相同的，假設有3條是實線:/.C

接下來連接B、。、D三個人，每兩個人只有兩種/

連接方法，栗么實線、要么虛線./

如果有實線，則這兩個人與4三人互相認識；如果----------------產(chǎn)

A

全是虛線相連，則B、C、&三人互相不認識.?

即證.

7.練習1

答案：25

簡答：利用最不利原則，最倒霉的情況是：取的所有的積木中，每種形狀都有且

僅有2個，再任取一個就可以滿足要求.所以至少要取12x2+1=25個才能保證一

定有四個顏色相同.

8.練習2

答案：11

簡答：摸出4枚棋子，顏色共有5種可能（枚舉可得），即5個抽屜.利用最不利

原則，最倒霉的情況是，摸出的所有棋子中，每一種顏色情況都出現(xiàn)了2次，再

任意取一次就可以滿足要求.所以至少要取5x2+1=11次才能保證一定有三次摸

出棋子的顏色情況是相同的.

9.練習3

答案：證明略

簡答：每一列兩個方格染色情況共有2x2=4種可能.共5列，5+4=1

10.練習4

答案：n個；n個

簡答:(1)把1~20這20個數(shù)分為如下10組——(1,20)、(2,19)、(3,18)、……、

(10,11),每一組的兩個數(shù)之和都是21,而且不是同組的兩個數(shù)之和一定不等于

21.利用最不利原則，最倒霉的情況是，所取的所有數(shù)恰好是每組中各一個，那么

再任意取一個即可滿足要求，所以至少要取出10+1=11個教，才能保證一定有兩

個數(shù)的和等于21.

(2)把1~20這20個數(shù)進行如下分組：

(1,6,1,16)

(2,7,12,17)

(3,8,13,18)

(4,9,14,19)

(5,10,15,20)

共5組，每組有4個數(shù)，連續(xù)兩個數(shù)的差都是5,不連續(xù)的2個數(shù)的差都不為5,

而且不同組的兩個數(shù)之差一定不是5.

利用最不利原則，每組都先隔一個取，即各取2個，那么再?任意取一個即可滿足要

求，所以至少要取出2x5+1=11個才能保證一定有兩個數(shù)2差為3.

11.作業(yè)1

答案：21

簡答：應用最不利