工程力學(xué)A參考習(xí)題之扭轉(zhuǎn)解題指導(dǎo)

工程力學(xué)A參考習(xí)題之扭轉(zhuǎn)解題指導(dǎo)?一、扭轉(zhuǎn)的基本概念

（一）扭轉(zhuǎn)的定義扭轉(zhuǎn)是指桿件受到大小相等、方向相反、作用平面垂直于桿件軸線的一對(duì)力偶作用時(shí)，桿件的任意兩個(gè)橫截面繞軸線發(fā)生相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)的變形形式。

（二）扭矩和扭矩圖1.扭矩定義：使桿件產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)的力偶矩稱(chēng)為扭矩，用符號(hào)\(T\)表示。計(jì)算方法：截面法：用截面將桿件截開(kāi)，取其中一部分為研究對(duì)象，根據(jù)平衡條件計(jì)算截面上的扭矩。一般規(guī)定按右手螺旋法則，四指環(huán)繞方向與扭矩方向一致時(shí)，拇指的指向離開(kāi)截面時(shí)扭矩為正，反之為負(fù)。2.扭矩圖繪制方法：以桿件的軸線為橫坐標(biāo)，以截面上的扭矩為縱坐標(biāo)，根據(jù)計(jì)算結(jié)果繪制出表示扭矩沿桿長(zhǎng)變化規(guī)律的圖線，稱(chēng)為扭矩圖。通過(guò)扭矩圖可以直觀地看出桿件各截面扭矩的大小和正負(fù)變化情況，便于分析桿件的受力狀態(tài)。

（三）扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力1.圓軸扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力公式對(duì)于實(shí)心圓軸，扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力計(jì)算公式為：\(\tau=\frac{T\rho}{I_p}\)，其中\(zhòng)(\tau\)為扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力，\(T\)為扭矩，\(\rho\)為所求點(diǎn)到圓心的距離，\(I_p\)為極慣性矩。對(duì)于空心圓軸，扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力計(jì)算公式為：\(\tau=\frac{T\rho}{I_p}\)，其中極慣性矩\(I_p=\frac{\pi}{32}(D^4d^4)\)（\(D\)為外徑，\(d\)為內(nèi)徑）。2.切應(yīng)力互等定理過(guò)受力構(gòu)件內(nèi)一點(diǎn)的兩個(gè)互相垂直平面上的切應(yīng)力，大小相等，方向均垂直于兩平面的交線，且共同指向或背離這一交線。3.剪切胡克定律在彈性范圍內(nèi)，切應(yīng)力\(\tau\)與切應(yīng)變\(\gamma\)成正比，即\(\tau=G\gamma\)，其中\(zhòng)(G\)為剪切彈性模量。

（四）扭轉(zhuǎn)角和扭轉(zhuǎn)剛度1.扭轉(zhuǎn)角定義：圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)，兩截面間相對(duì)轉(zhuǎn)過(guò)的角度稱(chēng)為扭轉(zhuǎn)角，用符號(hào)\(\varphi\)表示。計(jì)算公式：對(duì)于等截面圓軸，\(\varphi=\frac{Tl}{GI_p}\)，其中\(zhòng)(l\)為兩截面間的距離。2.扭轉(zhuǎn)剛度定義：反映圓軸抵抗扭轉(zhuǎn)變形能力的物理量，用\(GI_p\)表示，稱(chēng)為抗扭剛度。抗扭剛度越大，圓軸抵抗扭轉(zhuǎn)變形的能力越強(qiáng)。

二、扭轉(zhuǎn)解題步驟

（一）外力分析1.首先明確作用在桿件上的外力情況，確定桿件受到的力偶矩的大小、方向和作用位置。2.對(duì)于復(fù)雜的受力情況，可通過(guò)受力圖來(lái)清晰地表示各外力的作用。在受力圖上，要準(zhǔn)確標(biāo)注出各力偶矩的大小、方向以及作用點(diǎn)或作用面的位置。

（二）計(jì)算扭矩1.運(yùn)用截面法計(jì)算扭矩。選擇合適的截面位置，一般是在需要計(jì)算扭矩的截面處將桿件截開(kāi)。取截面一側(cè)的部分桿件為研究對(duì)象，根據(jù)平衡條件\(\sumM=0\)來(lái)計(jì)算截面上的扭矩。例如，已知一圓軸，在軸的兩端分別作用有大小為\(T_1\)和\(T_2\)的力偶矩，求某一截面\(mm\)上的扭矩。取截面\(mm\)右側(cè)部分為研究對(duì)象，設(shè)截面\(mm\)上的扭矩為\(T\)，根據(jù)平衡條件\(\sumM=0\)，可得\(TT_2=0\)，則\(T=T_2\)。注意在計(jì)算過(guò)程中要嚴(yán)格按照右手螺旋法則確定扭矩的正負(fù)。

（三）計(jì)算扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力1.對(duì)于實(shí)心圓軸，已知扭矩\(T\)，根據(jù)扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力公式\(\tau=\frac{T\rho}{I_p}\)計(jì)算切應(yīng)力。先計(jì)算極慣性矩\(I_p\)，對(duì)于實(shí)心圓軸\(I_p=\frac{\pid^4}{32}\)（\(d\)為圓軸直徑）。然后確定所求點(diǎn)到圓心的距離\(\rho\)，將\(T\)、\(\rho\)和\(I_p\)代入公式計(jì)算切應(yīng)力。例如，已知實(shí)心圓軸直徑為\(d\)，扭矩為\(T\)，求圓軸表面某點(diǎn)的切應(yīng)力。此時(shí)\(\rho=\fracwaaeggg{2}\)，\(I_p=\frac{\pid^4}{32}\)，則該點(diǎn)切應(yīng)力\(\tau=\frac{T\times\fracaqs2mwg{2}}{\frac{\pid^4}{32}}=\frac{16T}{\pid^3}\)。2.對(duì)于空心圓軸，計(jì)算方法類(lèi)似，但極慣性矩\(I_p=\frac{\pi}{32}(D^4d^4)\)（\(D\)為外徑，\(d\)為內(nèi)徑）。同樣先根據(jù)已知條件計(jì)算\(I_p\)，再結(jié)合所求點(diǎn)的\(\rho\)值和扭矩\(T\)，利用公式\(\tau=\frac{T\rho}{I_p}\)計(jì)算切應(yīng)力。

（四）計(jì)算扭轉(zhuǎn)角1.對(duì)于等截面圓軸，根據(jù)公式\(\varphi=\frac{Tl}{GI_p}\)計(jì)算扭轉(zhuǎn)角。已知扭矩\(T\)、桿長(zhǎng)\(l\)、剪切彈性模量\(G\)和極慣性矩\(I_p\)，將這些值代入公式即可計(jì)算出兩截面間的扭轉(zhuǎn)角。例如，一長(zhǎng)度為\(l\)的等截面圓軸，扭矩為\(T\)，已知材料的剪切彈性模量為\(G\)，極慣性矩為\(I_p\)，則該圓軸兩端截面間的扭轉(zhuǎn)角\(\varphi=\frac{Tl}{GI_p}\)。

（五）強(qiáng)度和剛度校核1.強(qiáng)度校核確定圓軸的許用切應(yīng)力\([\tau]\)。計(jì)算圓軸內(nèi)的最大切應(yīng)力\(\tau_{max}\)，對(duì)于實(shí)心圓軸，最大切應(yīng)力一般發(fā)生在圓軸表面，即\(\tau_{max}=\frac{16T}{\pid^3}\)；對(duì)于空心圓軸，\(\tau_{max}=\frac{16T}{\piD^3(1\alpha^4)}\)（\(\alpha=\fraco6uyecy{D}\)）。將最大切應(yīng)力\(\tau_{max}\)與許用切應(yīng)力\([\tau]\)進(jìn)行比較，若\(\tau_{max}\leq[\tau]\)，則圓軸滿足強(qiáng)度要求；否則不滿足強(qiáng)度要求。2.剛度校核確定圓軸的許用扭轉(zhuǎn)角\([\varphi]\)。計(jì)算圓軸的最大扭轉(zhuǎn)角\(\varphi_{max}\)，根據(jù)公式\(\varphi_{max}=\frac{Tl}{GI_p}\)計(jì)算。將最大扭轉(zhuǎn)角\(\varphi_{max}\)與許用扭轉(zhuǎn)角\([\varphi]\)進(jìn)行比較，若\(\varphi_{max}\leq[\varphi]\)，則圓軸滿足剛度要求；否則不滿足剛度要求。

三、典型例題分析

（一）例題11.題目一實(shí)心圓軸，直徑\(d=50mm\)，兩端作用外力偶矩\(M=10kN\cdotm\)。材料的剪切彈性模量\(G=80GPa\)。試求：（1）軸內(nèi)最大切應(yīng)力；（2）軸兩端截面間的扭轉(zhuǎn)角。2.解題步驟計(jì)算扭矩：由于圓軸兩端作用外力偶矩\(M\)，根據(jù)截面法，任意截面的扭矩\(T=M=10kN\cdotm\)。計(jì)算最大切應(yīng)力：首先計(jì)算極慣性矩\(I_p\)，對(duì)于實(shí)心圓軸\(I_p=\frac{\pid^4}{32}\)，已知\(d=50mm=0.05m\)，則\(I_p=\frac{\pi\times(0.05)^4}{32}\)。最大切應(yīng)力\(\tau_{max}=\frac{T\rho}{I_p}\)，在圓軸表面\(\rho=\fraci8migum{2}\)，所以\(\tau_{max}=\frac{16T}{\pid^3}\)。將\(T=10\times10^3N\cdotm\)，\(d=0.05m\)代入可得：\(\tau_{max}=\frac{16\times10\times10^3}{\pi\times(0.05)^3}\approx40.7MPa\)。計(jì)算扭轉(zhuǎn)角：根據(jù)公式\(\varphi=\frac{Tl}{GI_p}\)，這里\(l\)未給出，假設(shè)軸長(zhǎng)\(l=1m\)（如果題目有具體長(zhǎng)度則代入具體值）。已求得\(T=10\times10^3N\cdotm\)，\(I_p=\frac{\pi\times(0.05)^4}{32}\)，\(G=80\times10^9Pa\)，\(l=1m\)。則\(\varphi=\frac{10\times10^3\times1}{80\times10^9\times\frac{\pi\times(0.05)^4}{32}}\approx0.0255rad\approx1.46^{\circ}\)。

（二）例題21.題目一空心圓軸，外徑\(D=100mm\)，內(nèi)徑\(d=80mm\)，兩端受外力偶矩\(M=20kN\cdotm\)作用。已知材料的許用切應(yīng)力\([\tau]=80MPa\)，許用扭轉(zhuǎn)角\([\varphi]=0.5^{\circ}/m\)，剪切彈性模量\(G=80GPa\)。試校核該軸的強(qiáng)度和剛度。2.解題步驟計(jì)算扭矩：同樣根據(jù)截面法，扭矩\(T=M=20kN\cdotm\)。計(jì)算最大切應(yīng)力并校核強(qiáng)度：先計(jì)算極慣性矩\(I_p=\frac{\pi}{32}(D^4d^4)\)，將\(D=0.1m\)，\(d=0.08m\)代入可得：\(I_p=\frac{\pi}{32}[(0.1)^4(0.08)^4]\)。最大切應(yīng)力\(\tau_{max}=\frac{T\rho}{I_p}\)，在空心圓軸外徑處\(\rho=\frac{D}{2}\)，則\(\tau_{max}=\frac{16T}{\piD^3(1\alpha^4)}\)，其中\(zhòng)(\alpha=\fracqecwaum{D}=\frac{0.08}{0.1}=0.8\)。代入\(T=20\times10^3N\cdotm\)，\(D=0.1m\)可得：\(\tau_{max}=\frac{16\times20\times10^3}{\pi\times(0.1)^3\times(10.8^4)}\approx58.9MPa\)。因?yàn)閈(\tau_{max}=58.9MPa\lt[\tau]=80MPa\)，所以該軸滿足強(qiáng)度要求。計(jì)算最大扭轉(zhuǎn)角并校核剛度：根據(jù)公式\(\varphi_{max}=\frac{Tl}{GI_p}\)，假設(shè)軸長(zhǎng)\(l=1m\)。已求得\(T=20\times10^3N\cdotm\)，\(I_p=\frac{\pi}{32}[(0.1)^4(0.08)^4]\)，\(G=80\times10^9Pa\)。則\(\varphi_{max}=\frac{20\times10^3\times1}{80\times10^9\times\frac{\pi}{32}[(0.1)^4(0.08)^4]}\)。先將\(0.5^{\circ}/m\)換算為弧度制，\(0.5^{\circ}=\frac{0.5\times\pi}{180}rad/m\)。經(jīng)計(jì)算\(\varphi_{max}\approx0.0036rad/m\lt\frac{0.5\times\pi}{180}rad/m\)，所以該軸滿足剛度要求。

（三）例題31.題目已知一圓軸由兩段組成，AB段為實(shí)心圓軸，直徑\(d_1=50mm\)；BC段為空心圓軸，外徑\(D=60mm\)，內(nèi)徑\(d=50mm\)。軸在A端固定，在C端作用外力偶矩\(M=15kN\cdotm\)，在B處作用外力偶矩\(M_1=5kN\cdotm\)，方向如圖所示。試求：（1）AB段和BC段內(nèi)的扭矩；（2）軸內(nèi)的最大切應(yīng)力。2.解題步驟計(jì)算AB段和BC段內(nèi)的扭矩：AB段：取AB段為研究對(duì)象，設(shè)AB段扭矩為\(T_{AB}\)。根據(jù)平衡條件\(\sumM=0\)，\(T_{AB}M_1=0\)，已知\(M_1=5kN\cdotm\)，所以\(T_{AB}=5kN\cdotm\)。BC段：取BC段為研究對(duì)象，設(shè)BC段扭矩為\(T_{BC}\)。根據(jù)平衡條件\(\sumM=0\)，\(T_{BC}MM_1=0\)，已知\(M=15kN\cdotm\)，\(M_1=5kN\cdotm\)，則\(T_{BC}=15+5=20kN\cdotm\)。計(jì)算軸內(nèi)的最大切應(yīng)力：AB段：對(duì)于實(shí)心圓軸\(AB\)段，\(d_1=50mm=0.05m\)，極慣性矩\(I_{p1}=\frac{\pid_1^4}{32}=\frac{\pi\times(0.05)^4}{32}\)。最大切應(yīng)力\(\tau_{max1}=\frac{T_{AB}\rho}{I_{p1}}\)，在圓軸表面\(\rho=\frac{d_1}{2}\)，所以\(\tau_{max1}=\frac{16T_{AB}}{\pid_1^3}\)。代入\(T_{AB}=5\times10^3N\cdotm\)，\(d_1=0.05m\)可得：\(\tau_{max1}=\frac{16\times5\times10^3}{\pi\times(0.05)^3}\approx32.6MPa\)。BC段：對(duì)于空心圓軸\(BC\)段，\(D=60mm=0.06m\)，\(d=50mm=0.05m\)，\(\alpha=\fracg8wkqs6{D}=\frac{0.05}{0.06}\)。極慣性矩\(I_{p2}=\frac{\pi}{32}(D^4d^4)=\frac{\pi}{32}[(0.06)^4(0.05)^4]\)。最大切應(yīng)力\(\