理想流體動力學

第4章理想流體動力學

選擇題

[4.1][4.1]如圖等直徑水管，4—A為過流斷面，B—B為水平面，1、2、

3、4為面上各點，各點的運動參數(shù)有以下關系：（。）四=〃2；（b）

Z[4-

〃3=P4；(C)Pg

解：對于恒定漸變流過流斷面上的動壓強接靜壓強的分布規(guī)律，即

Z+—=CZ（+—=z2+—

y,故在同一過流斷面上滿足PS-pg（，）

[4.2]伯努利方程中pg2g表示（。）單位重量流體具有的機械能；

（/?）單位質量流體具有的機械能；（c）單位體積流體具有的機械能；

（d）通過過流斷面流體的總機械能.

Pav2

z+—+----

解：伯努利方程Pg2g表示單位重量流體所具有的位置勢能、壓強勢

能和動能之和或者是總機械能。故（。）

[4.3]水平放置的漸擴管，如忽略水頭損失，斷面形心的壓強，有以下關系：

（。）Pi>P2；（b）P\=Pl.（c）Pl<P2；（d）不定。

解：水平放理的漸獷管由于斷面1和2形心高度不變，但匕〈乂因此Pl<〃2

（C）

[4.4]粘性流體總水頭線沿程的變化是：（。）沿程下降；（匕）沿程上升；

（。）保持水平；（〃）前三種情況都有可能。

解：粘性流體由于沿程有能量損失，因此息水頭線沿程總是下降的（。）

[4.5]粘性流體測壓管水頭線沿程的變化是：（。）沿程下降：（〃）沿程上

升；（C）保持水平：（〃）前三種情況都有可能。

解：粘性流體測壓管水頭線表示單位重量流體所具有的勢能，因此沿程的變化

是不一定的，

（d）

計算題

[4.6]如圖，設一虹吸管a=2m,h=6m,d=\5cm<,試求：（1）管內的流量；（2）

管內最高點S的壓強；（3）若〃不變，點S繼續(xù)升高（即。增大，而

上端管口始終浸入水內），間使吸虹管內

的水不能連續(xù)流動的。值為多大。

解：（1）以水箱底面為基準，對自由液面上的點

1和虹吸管下端出口處2建立1-2流線伯努利

習^4.6圖

方程，則

VV

Z7.d.--PHl---.---1-__Z7，+,-----1,----2--

y2g?72g

其中Zj=z2+h

Pl=〃2=0,

匕二0

v2=y/2gh=J2x9.81x6=10.85%

則

Q=匕巳/=]085x±xO.152=0.192m/

管內體積流量-44/s

（2）以管口2處為基準，對自由液面1處及管內最高點S列1-S流

4+且+日一+區(qū)+且

線伯努利方程。則丫2gy2g

其中z}=hzx=h+y

pI=0v,=0

vs=v2=10.85m/s

10X52

Ps=r（-y一?。?x（-2———）=-78.46kPa

即2g98072x9.81

即S點的真空壓強P、=78.46kPa

（3）當才不變，S點y增大時，當S點的壓強Ps等于水的汽化壓強時，

此時s點發(fā)生水的汽化，管內的流動即中止。查表，在常溫下（15

℃）水的汽化壓強為1697Pa（絕對壓強）以管口2為基準，列5—2點的伯

努利方程，

]入Vp.v}

z+—+—=z9+-4-^

y2gy2g

其中Zs=/?+），，Z2=0,

匕=.

億=1697Pa,p2=101325Pa（大氣絕對壓強）

〃，一凡101325-1697A\r

y=--------h=----------------------6=10.16-6=4.16m

即y9807

本題要注意的是伯努利方程中兩邊的壓強計示方式要相同，由于Ps為絕對壓

強，因此出口處也要絕對壓強。

[4.7]如圖，兩個緊靠的水箱逐級放水，放水孔的板面積分別為4與A2,

試問與加成什么關系時流動處于恒定狀態(tài)，這時需在左邊水箱補

充多大的流量。

解：以右箱出口處4為基準，對右箱自由液面3到出口處4列流線伯努利方程

二二小心+二

2gY2g

其中

z3=h2z4=0

P3=〃4=°

v3=0

則匕=場工

以左箱出口處2為基準，對左箱自由液面

1到出口處2列流線伯努利方程

其中Z]=z+4

Pi=(),1%=PNz=yz

V)=0

“2二網(wǎng)^

故

當流動處于恒定流動時，應有右箱出口處的流量和左水箱流入右

水箱的流量及補充入左水量的流量均相等，即匕A=匕42

即低遜:

A=（&）2

或者月A

且左水箱需補充的流量為Q=A1'2=AJ荻

本題要注意的是左水箱的水僅是流入右水箱，而不能從14直接列一條流線。

[4.8]如圖，水從密閉容器中恒定出流，經(jīng)一變截面管而流入大氣中，已知

H=7m,〃=0.3al,A[=43=50cm2,A2=100cm2,^4=25cm2,若不計洗動

損失，試求：（1）各橫而上的流速、流經(jīng)管路的體積流量；（2）各截

面上的總水頭。

解：（1）以管口4為基準，從密閉容器自由液面上0點到變板面管出口處4

列0—4流線伯努利方程，

其中z0=H,z4=0

Pc=P，〃4=0

%=0

匕=」2抵"+2)=,2x981x(7+3)=14

即V/

i_l￡_

2g=2x9.81=10m

由連續(xù)性原理，由于A=4故匕=匕

又由于4匕=4/4

故

A.25....

v,=-V,=—X14=7m/s

3&50

習題4.8圖由于A2y2=41’4

V-,=—v4=^-x14=3.5/

-A4100人

故

4m

.——.2=Av4=25xl0-xl4=0.035y

流經(jīng)管路的體積流量44/s

(2)以管口為基準，該處總水頭等于l°m,由于不計粘性損失，因此各截而

上總水頭均等于10m。

[4.9]如圖，在水箱側壁同一鉛垂線上開了上下兩個小孔，若兩股射流在O

點相交,試證明幾4=3。

解：列容器自由液面0至小孔1及2流線的伯努利方程，可得到小孔處出流

速度u=J荻。此公式稱托里拆利公式(Toricelli),它在形式上與初始速度

為零的自由落體運動一樣，這是不考慮流沐粘性的結果。

1o

y=-g廠

由.2公式，分別算出流體下落)'距離所需的時間，其中

’2=

經(jīng)過4及‘2時間后,兩孔射流在某處相交，它們的水平距離相等,

|0即也”2,

h

\J其中匕二或瀛，匕二潟瀛，

因此腐腎煩榨

即心=〃2)’2

習題49國

[4.10]如圖，Venluri管A處的直徑Ji=20cm,B

處的直徑-2=2cm。當閥門O關閉，問門C開啟時測得U型壓力計中

水銀柱的差Zz=8mm，求此時Venturi管內的流量。又若將閥門C關閉，

閥門Q開啟，利用管中的射流將真空容器內的壓強減至10()mm(水

銀柱)時，管內的流量應為多大。

解：由于本題流體是空氣，因此忽略其重力。

從A至8兩過流斷面列總流伯努利方程

P±+YL^PJL+YL

y?2gya2g

PA-PR=

因此(〃)

若A,3處的板面面積各為4及As,由連續(xù)方程

4M=4%

A()72

匕二上匕二一萬匕二100匕

得40.022AA

將上式代入(〃)式

*2g皿-PB)

(V丫

v1y4

九1一V

\vliJ

2x9.81x13.6x1(X)()x9.81x0.008

1.2x9.81

=1779

得Vl{=42.1m/s

Q=AnVI{=—xO.O2"x42.1=O.O132mz

則文丘里管中的流量4/s

倘若閥門C關閉，閥門D開啟時，真空容器內的壓強減至100mm水

銀柱時，

2x9.81x13.6x1000x9.81x0.1”?

V；=2g八二*-----------------------=22236

則Ya1.2x9.81

匕=149.1%

即

Q=4匕=-x0.022X149.1=0.0468m7

此時流量^

[4.11]如圖，一呈上大下小的圓錐形狀的儲水池，底部有一泄流管，直徑

4=0.6m,流量因數(shù)4=0.8,容器內初始水深〃=3m,水面直徑Z)=60m,

當水位降落1.2m后，水而直徑為48m,求此過程所需時間。

解：本題按小孔出流，設某時刻/時，水面已降至z處，

則由托里拆利公式，泄流管處的出流速度為

-=)2g(〃-z)=J2g(3-z)

60-48=

-5

儲水池維度為2x1.2,因此當水面降至z處時，水面的直徑為

。一2x5z=60—10z

由連續(xù)方程在山時間內流出的水量等于液面下降的水量

jnv—d2dt=—x(60-10z)2dz

44

(60-lOz)23

故虱3-反產(chǎn)

.(60-10z)2

J。"屈

________100「2(6-z)2比

-0.8X0.62X^X9.81G-z工

由于(6-Z)2=[3+(3-Z)]2=9+6(3—Z)+(3—Z)2

/=78.39x9(3-zp+6(3-z)24-(3-z)2dz

故

二1780秒=29.67分

本題從總的過程是非恒定流，若應用非恒定流的伯努利方程很復雜，為此將整

個過程微分,每個微分時間內作為恒定流來處理，然后應用積分的方法來求解。

如圖，水箱通過寬8=0.9m,高H=1.2m的閘門往外泄流，閉門開口

的頂端距水面〃=0.6m。試計算(1)閉門開口的理論流量；(2)將開

口作為小孔處理時所引起的百分誤差。

LI12

H()=h-\---=0.64-=1.2m

解：(1)由圖22

H＞員

由于10,故本題應按大孔出流來處理，將大孔口，沿水平

方向分割成許多小孔，然后對于每一小孔按Torricelli定理

出流速度曠二’荻，小孔面積血=肉/[

理論出流量為dQ=WL4=B血贏h

\_

總出流量。邛*中師人八初：h^dh

2碟22I------32

=-B^h2\=-xO.9xV2x9.8lx(1.82-0.62)

3\ih3

=2.66x(2.41-0.46)=5.19以

(2)當按小孔出流處理時,

Q=Ay]2gH=0.9xl.2x,2x9.81x1.2=5.24吆

出流量Q

5.24-5.19

xl00%=l%

兩者引起的相對誤差為5.19

習:4.12圖

[4,13]今想利用水箱4中水的流動來吸出水槽8中的水。水箱及管道各部

分的截面積及速度如圖所示。試求（I）使最小截面處壓強低于大氣

壓的條件：（2）從水槽8中把水吸出的條件。（在此假定

A?4）,A

以及與水箱A中流出的流量相比，從8中吸出的流量

為小量：）

解：（1）在4<<4及的假定下，本題可看作小孔出流

由Torricelli定理匕=J麗

以4處為基準，對水箱A自由液面及最小戒而A,建立總流伯努利方程

+%一心十匕2

2g/2g其中匕二°,P（/=0

h節(jié)嗓

故

v-

要使最小截面處壓強P，低于大氣壓即為負值必須使2g

V,=^-V

由連續(xù)方程4%=4匕得'Ae

V2AVA2gh

h?<q=

故2g(AJ2g

=(3力

A,

得此時的條件應為

卜乙i

（2）若從水槽中吸出水時，需具備的條件為％<一丁4,或者/

將/2g代入

V2V2

即也法i或者…丞,V；板所

一二匕二匕

由于4匕J茄將上述不等式代入

&〉、兄

得A'h

[4.14]如圖，一消防水槍，向上傾角0=30°水管直徑。=i50mm,壓力表讀

數(shù)〃=3m水柱高，噴嘴直徑d=75mm,求噴出流速，噴至最高點的高

程及在最高點的射流直徑。

解：不計重力，對壓力表截面1處至噴咀出口2處列伯努利方程

邑+止=乙+或

y2gy2g

旦=3m

其中y

*0

匕2-V；=2gx3=6g

y得⑷

22

-DVi=-dV.

另外，由連續(xù)方程44

得v=（a=（舒v

/、V,2-^-=6X9.81

上式代入（4）式得■16

因此匕=7.92m/s

設最高點位?置為Xnax,則根據(jù)質點的上拋運動有

（匕sina）2=2g%ax

射流至最高點時，僅有水平速度匕=%cos30；列噴咀出口處2至

最高點處3的伯努利方程（在大氣中壓強均為零）。

V2

-=0.8+

2g2g

匕=4V；-0.8x2g=V7.922-0.8x2x9.81=6.86m/s

得

或者水平速度始終是不變的匕=%cos30=7.92x0.866=6.86m/s

由連續(xù)方程，最高點射流直徑〃為

變=萍

習題1.14圖習3

[4,15]如圖，水以V=10m/s的速度從內徑為50mm的噴管中噴出，噴管的

一端則用螺栓固定在內徑為100nlm水管的法蘭上，如不計損失，試

求作用在連接螺栓上的拉力。

解：由連續(xù)方?/="4

(50Y

=10x---=2.5m/s

1100；

對噴管的入口及出口列總流伯努利方程

P.邛_p

y2gy2g

其中/?=o

22222

px=-(V-V；)=O.5xlOOOX(1O-2.5)=46875N/m

得

取控制面，并建立坐標如圖，設噴管對流體的作用力為Fo

動量定理為

z工打雙匕兇

八

一尸+Pi工d：=]0G0x（一、）匕工d：+]000VV-6/；

即444

產(chǎn)=46875X-XO.12+1000x2.52x-xO.l2-1OOOxlO2x-x0.052

故444

=220.8N

則作用在連接螺栓上的拉力大小為220.8N方向同F(xiàn)方向相反.

[4.16]將一平板伸到水柱內，板面垂直于水柱的

軸線，水柱被截后的流動如圖所示。已知水柱的流量

C=0.036m3/s,水柱的來流速度V=30m/s,若被截取的

流量Q=0.012m3/s,試確定水柱作用在板上的合力R

和水流的偏轉角a（略去水的重量及粘性）。

解：設水柱的周圍均為大氣壓。由于不計重力，因此由伯努

利方程可知V=M=匕=30m/s

由連續(xù)方程

2=0+Q2

3

Q2=Q-Q}=0.036-0.012=0.024m/s

習題4.16圖取封閉的控制而如圖，并建立工。）‘坐標，設平

板對射流柱的作用力為F（由于不考慮粘性，僅為壓力）。由動量定

理

上方向：_尸二0（—。?+2。2匕850

即F=10X)x0.036x30-1000x0.024x30xcos3)

)'方向：0=pg2VSin674-/70(-1/)

Q,0.0121

sina=-L=-------=—

即Q?0.0242

故a=30

代入（〃）式斤二456.5N

即作用在板上合力大小為456.5N,方向與尸方向相反

一水射流對彎曲對稱

葉片的沖擊如圖所示，試就下

而兩種情況求射流對葉片的作

用力：（1）噴嘴和葉片都固定；

（2）噴嘴固定，葉片以速度u后

退。

解：（1）射流四周均為大氣壓，且不

計重力，由伯努利方程，各斷面上

的流速均相同。取封閉控制面加圖，

并建立坐標，

當葉片噴咀均固定時，設流體

受到葉片的作用力為產(chǎn)

由動量定理

YF^=\pvnvdA

R方向：A

-F=p(-C)v+2p—v(-cos(^--a)]

即2

=pGv(cosa-l)

F=p—t/2v2(l-cosez)

得4

兀

p—J2v2(l-cosa)

葉片受到射流對其作用力大小為4,方向與尸方向相反。

(2)當控制體在作勻速運動時，由于固結于控制體上的坐標系仍是慣性

系，在動量定理中只要將相對速度代替絕對速度即可。

現(xiàn)當葉片以〃速度后退，此時射流相對于團結于葉片上的控制面的相

對速度為匕="一"，因此葉片受到的力大小為

F'=p—i/2(v-u)2(l-cosa)

4

…,v=19.8iy,w=12n/,J=100mm,a=135o=

例如，當/s'/s時，

JT

F=1000X-X0.12X(19.8-12)2X(1-COS135S)

則4

=815.3N

[4.18]如圖，鍋爐省煤氣的進口處測得煙氣負壓

/i/=10.5mmH2O,出口負壓//2=20mmH2Oo如爐外空

\p=\.2kg/m3,煙氣的密度//=0.6kg/nr‘，兩測壓斷

面高度差〃=5m,試求煙氣通過省煤氣的壓強損失。

解：本題要應用非空氣流以相對壓強表示的伯努利方程形

式。由進口斷面1至出口斷面2列伯努利方程

?+J+zz+2

/i^(n-/)(2-1)=P2yK+Ap

式中pi=-0,0105x9807=-102.97Pa

p2=-0.02x9807=-196.14Pa

匕=匕

故—102.97+9.81x(1.2—0.6)x(0-5)=-196.14+如

得△/?=63.74Pa

[4.19]如圖，直徑為d\=700mm的管道在支承水平面上分支為6/2=500mm的

兩支管，A—A斷曲的壓強為7()kN/m2,管道流量Q=().6m3/s,兩支管

流量相等。（1）不計水頭損失，求支圾受的水平推力；（2）若水頭損

失為支管流速水頭的5倍，求支墩受的水平推力。（不考慮螺栓連接

的作用）

V=-^—=°6=1.56m/s

—d；—x0.7*

解：（1）在總管上過流斷面上平均流速為44

在兩支管上過流斷面上平均流速為

Q

2"一=1.53m/s

兀1,71八-9

—d；—x0.5-

4-4

列理思流體的AfB斷面的伯努利方程

Pi+守：=

式中p}=70kPa