2025北京師達中學(xué)八年級（下）開學(xué)考數(shù)學(xué)（教師版）

第1頁/共1頁2025北京師達中學(xué)初二（下）開學(xué)考數(shù)學(xué)一、選擇題（共30分，每題3分）1.下列圖形中，為軸對稱圖形的是（）A. B. C. D.2.5G是第五代移動通信技術(shù)，應(yīng)用5G網(wǎng)絡(luò)下載一個1000KB的文件只需要0.00076秒，下載一部高清電影只需要1秒．將0.00076用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為（）A. B. C. D.3.在中，作出邊上的高，正確的是（）A.B.C.D.4.如果是一個完全平方式，那么為（）A.25 B. C.100 D.5.如圖，將長方形沿對角線折疊，點落在點處，交于點．若，則的度數(shù)為（）A. B. C. D.6.下列運算正確的是（）A. B.C. D.7.下列分式中，從左到右變形錯誤的是（）A. B. C. D.8.如圖，Rt△ABC中，B＝90，點P在邊AB上，CP平分∠ACB，PB＝3cm，AC＝10cm，則△APC的面積是（）A.15cm2 B.22.5cm2 C.30cm2 D.45cm29.如圖所示：數(shù)軸上點A所表示的數(shù)為a，則a的值是（）A. B. C. D.10.如圖，中，，如果要用尺規(guī)作圖的方法在上確定一點，使，那么符合要求的作圖痕跡是（）A.B.C. D.二、填空題（共18分，每題3分）11.若式子有意義，則實數(shù)的取值范圍是____________．12.分解因式：____．13.計算的結(jié)果是______．14.如圖，中，，于點D．則的長為_____．

15.如圖，是等邊三角形，是的中點，動點在邊的中線上．若，則的最小值為_____．16.如圖，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CD于點D，BE⊥CD于點E，有下面四個結(jié)論：①△CAD≌△BCE；②∠ABE＝∠BAD；③AB＝CD；④CD＝AD＋DE．其中所有正確結(jié)論的序號是____________．三、解答題（共56分，17題4分，18-21、23-24、26每題5分，22題6分，25題7分）17.計算：．18.+（）（）．19.已知，．（1）求的值；（2）求的值．20.已知：如圖，中，．求作：點，使得點在邊上且．作法：①作線段的垂直平分線，交于點，交于點；②連接．點即為所求作的點．（1）使用直尺和圓規(guī)，依作法補全圖形（保留作圖痕跡）；（2）完成下面的證明．證明：是的垂直平分線，①_____（②__________（填推理的依據(jù)）．③_____（④__________）（填推理的依據(jù)）．又，．21.求代數(shù)式÷的值，其中＝．22.如圖，在中，，，，是的中點，是邊上一點，連接，．將沿直線翻折，點恰好落在上的點處．（1）求的長；（2）求的長．23.列方程解應(yīng)用題．某工程隊承擔(dān)了750米長的道路改造任務(wù)，工程隊在施工完210米道路后，引進了新設(shè)備，每天的工作效率比原來提高了20％，結(jié)果共用22天完成了任務(wù)．求引進新設(shè)備前工程隊每天改造道路多少米？24.2024年10月昌平區(qū)舉辦了第二十一屆蘋果文化節(jié)活動，小聰和小明在活動期間分別購買了兩次蘋果，兩次的單價分別是m元/千克和n元/千克，小聰每次買a元錢的蘋果，小明每次買b千克的蘋果．（1）當時，小聰兩次購買蘋果的總質(zhì)量為_____（請用含m、n的式子表示）；（2）請你分析他們兩次購買蘋果的平均價格誰更低（平均價格）．25.如圖，是等邊三角形，點在線段的延長線上，連接，設(shè)．點關(guān)于直線的對稱點為點，連接．在線段上取一點，使，延長交于點．（1）補全圖形，并求的度數(shù)（用含的式子表示）；（2）用等式表示線段與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．26.對于點，直線和圖形，給出如下定義：若點關(guān)于直線的對稱點在圖形的內(nèi)部或邊上，則稱點為圖形關(guān)于直線的“鏡像點”．在平面直角坐標系中，已知的三個頂點的坐標分別為．設(shè)點，直線為過點且與軸垂直的直線．（1）若，在點中，點______是關(guān)于直線的“鏡像點”；（2）當時，若軸上存在關(guān)于直線的“鏡像點”，則的最小值為______；（3）已知直線過點且與第一、三象限的角平分線平行．若直線上存在關(guān)于直線的“鏡像點”，直接寫出的取值范圍．

參考答案一、選擇題（共30分，每題3分）1.【答案】A【分析】本題主要考查了軸對稱圖形的定義，如果一個平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形．根據(jù)軸對稱圖形的定義進行逐一判斷即可．【詳解】解：A．是軸對稱圖形，故A符合題意；B．不是軸對稱圖形，故B不符合題意；C．不是軸對稱圖形，故C不符合題意；D．不是軸對稱圖形，故D不符合題意．故選：A．2.【答案】B【分析】根據(jù)題意依據(jù)絕對值小于1的正數(shù)利用科學(xué)記數(shù)法表示為a×10-n，與較大數(shù)的科學(xué)記數(shù)法不同的是其所使用的是負指數(shù)冪，指數(shù)由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的0的個數(shù)所決定進行分析即可．【詳解】解：0.00076=.故選：B.【點睛】本題考查用科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)，注意掌握一般形式為a×10-n，其中1≤|a|＜10，n為由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的0的個數(shù)決定．3.【答案】D【分析】本題主要考查了三角形的高線的定義：從三角形的一個頂點向它的對邊作垂線，垂足與頂點之間的線段叫做三角形的高．熟練掌握概念是解題的關(guān)鍵．根據(jù)三角形的高的定義對各個圖形觀察后解答即可．【詳解】解：根據(jù)三角形高線的定義，邊上的高是過點B向作垂線垂足為D，縱觀各圖形，D選項符合高線的定義，故選：D．4.【答案】A【分析】本題主要考查完全平方式的定義和結(jié)構(gòu)，，像滿足這樣的形式的代數(shù)式叫完全平方式，所以，進而求出的值．【詳解】解：根據(jù)完全平方式的結(jié)構(gòu)，把寫出完全平方式結(jié)構(gòu)；即；∴，故選：A．5.【答案】D【分析】由題意可得，，從而得到，由折疊的性質(zhì)可得，從而得到，最后根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到答案．【詳解】解：四邊形為長方形，，，，，由折疊的性質(zhì)可得：，，，，故選：D．【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)，熟練掌握兩直線平行，同位角相等是解題的關(guān)鍵．6.【答案】C【分析】本題主要考查了二次根式的四則運算，根據(jù)二次根式的四則運算法則求出對應(yīng)選項中式子的結(jié)果即可得到答案．【詳解】解：A、與不是同類二次根式，不能合并，原式計算錯誤，不符合題意；B、，原式計算錯誤，不符合題意；C、，原式計算正確，符合題意；D、，原式計算錯誤，不符合題意；故選：C．7.【答案】B【分析】直接利用分式的加減運算法則以及分式的性質(zhì)分別化簡，進而判斷得出答案．【詳解】解：A．，故此選項不合題意；B．，故此選項符合題意；C．，故此選項不合題意；D．，故此選項不合題意；故選：B．【點睛】此題主要考查了分式的加減運算以及分式的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確化簡分式．8.【答案】A【分析】過點P作PD⊥AC于D，由角平分線的性質(zhì)可得PD=PB=3cm，然后利用三角形面積公式求解即可．【詳解】解：如圖所示，過點P作PD⊥AC于D，∵CP平分∠ACB，∠B=90°，PD⊥AC，∴PD=PB=3cm，∴，故選A．【點睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，三角形面積，熟知角平分線上的點到角兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．9.【答案】C【分析】本題主要考查直角三角形與數(shù)軸的結(jié)合，通過已知條件，求解直角三角形斜邊通過旋轉(zhuǎn)落在數(shù)軸上點的位置．根據(jù)直角三角形的勾股定理可知，兩直角邊已知，求出斜邊，再結(jié)合數(shù)軸，即可求解．【詳解】解：∵直角三角形的兩邊長分別為2、1，∴直角三角形的斜邊長為，因此A點表示的數(shù)為．故選C．10.【答案】D【分析】本題考查了線段垂直平分線的判定，線段垂直平分線的基本作圖．根據(jù)題意得出，即點在的垂直平分線上，結(jié)合垂直平分線的作法即可求解．【詳解】解：∵，，∴，∴點在的垂直平分線上，即點為的垂直平分線與的交點．故選：D．二、填空題（共18分，每題3分）11.【答案】【詳解】解：二次根式中被開方數(shù)，所以．故答案為：．12.【答案】【分析】本題考查因式分解-提公因式法，提公因式分解因式即可．【詳解】解：故答案為：．13.【答案】【分析】本題考查了二次根式的計算．先化簡二次根式，再合并即可求解．【詳解】解：，故答案為：．14.【答案】【分析】勾股定理求出的長，等積法求出的長即可．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，即：，∴；故答案為：．【點睛】本題考查勾股定理，等積法求線段的長．解題的關(guān)鍵是掌握勾股定理．15.【答案】【分析】此題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，同時也利用了勾股定理進行計算，解題的關(guān)鍵是利用軸對稱的性質(zhì)確定滿足條件的點．連接交于點Q，連接，根據(jù)兩點之間線段最短，得出B、P、D在同一直線上時，最小，即最小，根據(jù)勾股定理得出，即可得出答案．【詳解】解：如圖，連接交于點Q，連接，∵為等邊三角形的中線，∴，∴垂直平分，∴，∴，∵兩點之間線段最短，∴B、P、D在同一直線上時，最小，即最小，是的中點，為等邊三角形，，，∴，的最小值，故答案為：．16.【答案】①②④【分析】由∠ACB=90°，BE⊥CD，AD⊥CD，得到∠ACD+∠BCE=90°，∠ADC=∠CEB=90°，則∠ACD+∠CAD=90°，AD∥BE，即可判斷②，即可利用AAS證明△CAD≌△BCE，即可判斷①；則AD=CE，得到CD=CE+DE=AD+DE，即可判定④；由AB>AC>CD，得到AB≠CD，即可判斷③．【詳解】解：∵∠ACB=90°，BE⊥CD，AD⊥CD，∴∠ACD+∠BCE=90°，∠ADC=∠CEB=90°，∴∠ACD+∠CAD=90°，AD∥BE，∴∠CAD=∠BCE，∠ABE=∠BAD，故②正確；又∵AC=CB，∴△CAD≌△BCE（AAS），故①正確；∴AD=CE，∴CD=CE+DE=AD+DE，故④正確，∵AB>AC>CD，∴AB≠CD，故③錯誤；故答案為：①②④．【點睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，平行線的性質(zhì)與判定，熟知相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．三、解答題（共56分，17題4分，18-21、23-24、26每題5分，22題6分，25題7分）17.【答案】【分析】本題主要考查了實數(shù)混合運算，熟練掌握零指數(shù)冪和負整數(shù)指數(shù)冪運算法則，二次根式性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．根據(jù)零指數(shù)冪和負整數(shù)指數(shù)冪運算法則，二次根式性質(zhì)，進行計算即可．【詳解】解：．18.【答案】【分析】根據(jù)二次根式的混合運算進行計算即可【詳解】解：+（）（）【點睛】本題考查了二次根式的混合運算，牢記運算法則是解題的關(guān)鍵．19.【答案】（1）（2）【分析】本題考查二次根式的化簡求值，涉及平方差公式應(yīng)用，熟練掌握二次根式混合運算法則，是解題的關(guān)鍵．（1）先求出，，然后將變形，再整體代入求值即可；（2）先將變形，然后再代入求值即可．【小問1詳解】解：∵，，∴，，∴；【小問2詳解】解：∵，，∴，∴．20.【答案】（1）見解析（2）；線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等；；等邊對等角【分析】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)和尺規(guī)作圖，等邊對等角和三角形外角的性質(zhì)：（1）根據(jù)線段垂直平分線的尺規(guī)作圖方法作圖即可；（2）由線段垂直平分線的性質(zhì)得到，再由等邊對等角可得，最后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可證明結(jié)論．【小問1詳解】解；如圖所示，即為所求；【小問2詳解】證明：是的垂直平分線，（線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等）．（等邊對對角）．又，．故答案為：；線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等；；等邊對等角．21.【答案】，【分析】先計算括號中的異分母分式加減法，再計算乘除法，最后將＝代入計算．【詳解】解：原式＝÷＝÷＝·＝．當＝時，原式＝．【點睛】此題考查了分式的混合運算的化簡求值，正確掌握分式的混合運算法則是解題的關(guān)鍵．22.【答案】（1）（2）【分析】本題主要考查了勾股定理，折疊的性質(zhì)：（1）由線段中點的定義得到的長，再利用勾股定理求解即可；（2）由折疊的性質(zhì)得到，則可得到，設(shè)，則，再由勾股定理建立方程求解即可．【小問1詳解】解：∵，是的中點，∴，在中，由勾股定理得；【小問2詳解】解：由折疊的性質(zhì)可得，∴，設(shè)，則，在中，由勾股定理得，∴，解得，∴．23.【答案】30米【分析】設(shè)引進新設(shè)備前工程隊每天建造道路米，則引進新設(shè)備后工程隊每天改造米，利用工作時間工作總量工作效率，結(jié)合共用22天完成了任務(wù)，即可得出關(guān)于的分式方程，解之經(jīng)檢驗后即可得出結(jié)論．【詳解】解：設(shè)引進新設(shè)備前工程隊每天建造道路米，則引進新設(shè)備后工程隊每天改造米，依題意得：，解得：，經(jīng)檢驗，是所列方程的解，且符合題意．答：引進新設(shè)備前工程隊每天建造道路30米．【點睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是找準等量關(guān)系，正確列出分式方程．24.【答案】（1）（2）小聰兩次購買蘋果的平均價格更低，見解析【分析】本題主要考查了用代數(shù)式表示式以及異分母異分子的大小比較，分式的混合運算的應(yīng)用．（1）由費用單價數(shù)量分別表示小聰兩次購買蘋果的質(zhì)量，再相加即可；（2）小聰兩次購買蘋果的平均價格：，小明兩次購買蘋果的平均價格：，然后作差，化簡比較．【小問1詳解】解：當時，小聰兩次購買蘋果的總質(zhì)量為（千克），故答案為：；【小問2詳解】解：小聰兩次購買蘋果的平均價格：小明兩次購買蘋果的平均價格：．，，，，．．∴，∴，小聰兩次購買蘋果的平均價格更低．25.【答案】（1）圖見解析；（2）；證明見解析【分析】（1）按照題意補全圖形，求出，，由三角形內(nèi)角和定理即可求出答案；（2）在上截取，連接，證明是等邊三角形，得到，，證明，得到，即可得到結(jié)論．【小問1詳解】解：補全圖形如下：∵點關(guān)于直線的對稱點為點，∴，∴，∵，∵是等邊三角形，∴，∴，∴；【小問2詳解】解：，理由如下：在上截取，連接，∵，∴是等邊三角形，∴，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴．【點睛】此題考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、三角形外角的