2025北京一六一中高一（下）開學(xué)考數(shù)學(xué)（教師版）

第1頁/共1頁2025北京一六一中高一（下）開學(xué)考數(shù)學(xué)2025.2班級(jí)_________姓名_________學(xué)號(hào)_________本試卷共2頁，共150分.考試時(shí)長120分鐘.考生務(wù)必將答案寫在答題紙上，在試卷上作答無效.一、選擇題：本大題共10道小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目的要求.把正確答案涂寫在答題卡上相應(yīng)的位置.1.已知，，則（）A. B. C. D.2.擲一個(gè)骰子，觀察朝上的面的點(diǎn)數(shù)，設(shè)事件“點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”，事件“點(diǎn)數(shù)為的整數(shù)倍”，若，分別表示事件，發(fā)生的概率，則（）A.， B.，C. D.3.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（）A. B. C. D.4.若函數(shù)與的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，則（）A. B. C. D.35.已知，若方程至少有一個(gè)解，則（）A. B. C. D.6.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件7.如圖，函數(shù)的圖象為折線，則不等式的解集是A. B.C. D.8.定義在上的函數(shù)是增函數(shù)，則系數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.9.在不考慮空氣阻力的條件下，火箭的最大速度（單位：）與燃料的質(zhì)量（單位：），火箭（除燃料外）的質(zhì)量（單位：）的函數(shù)關(guān)系是．當(dāng)燃料質(zhì)量與火箭質(zhì)量的比值為時(shí)，火箭的最大速度可達(dá)到．若要使火箭的最大速度達(dá)到，則燃料質(zhì)量與火箭質(zhì)量的比值應(yīng)為（）A. B. C. D.10.已知函數(shù)在上的值域?yàn)?，則的取值范圍是（）A. B. C. D.二、填空題：本大題共5道小題，每小題5分，共25分.把答案填在答題紙中相應(yīng)的橫線上.11.函數(shù)的定義域?yàn)開______.12.函數(shù)的值域?yàn)?，能使成立的一個(gè)值為________．13.在中，點(diǎn)滿足．若，則________；________．14.已知函數(shù),若，則________；若有三個(gè)不同的實(shí)根，且滿足，則的取值范圍是________15.對(duì)于函數(shù)﹐若集合中恰有個(gè)元素，則稱函數(shù)是“階準(zhǔn)偶函數(shù)”．已知函數(shù)（1）若，則函數(shù)是“_______階準(zhǔn)偶函數(shù)”；（2）若函數(shù)是“階準(zhǔn)偶函數(shù)”，則的取值范圍是_____________．三、解答題：本大題共6道小題，共75分.把答案填寫在答題卡上相應(yīng)的位置.16.甲、乙兩人獨(dú)立解同一道數(shù)學(xué)題目，甲解出這道題目概率是，乙解出這道題目的概率是．（1）求甲、乙兩人都解出這道題目的概率；（2）求這道題目被甲、乙兩人解出的概率．17.已知集合，．（1）當(dāng)時(shí)，求；（2）若，求的取值范圍；（3）若，求的取值范圍．18.已知函數(shù).（1）判斷的奇偶性，并證明；（2）若，求的取值范圍.19.設(shè)，且的圖象過點(diǎn)，（1）求表達(dá)式；（2）計(jì)算；（3）試求的值．20.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的最小值；（2）若對(duì)于，恒成立，求的取值范圍；（3）若關(guān)于的方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，直接寫出實(shí)數(shù)的取值范圍．21.已知集合對(duì)于，，定義A與B的差為A與B之間的距離為（Ⅰ）當(dāng)n=5時(shí)，設(shè)，求，；（Ⅱ）證明：，且;(Ⅲ)證明：三個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)是偶數(shù)

參考答案一、選擇題：本大題共10道小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目的要求.把正確答案涂寫在答題卡上相應(yīng)的位置.1.【答案】D【分析】利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求解即可．【詳解】因?yàn)?，，所?故選：D．2.【答案】B【分析】利用古典概型求解概率即可.【詳解】首先，我們知道投擲的點(diǎn)數(shù)有，對(duì)于，符合條件的有，對(duì)于，符合條件的有，故，，故B正確.故選：B3.【答案】C【分析】根據(jù)奇函數(shù)與單調(diào)遞增的定義，可得答案.【詳解】對(duì)于A，由，則，，即，故A不符合題意；對(duì)于B，，顯然函數(shù)是非奇非偶函數(shù)，故B不符合題意；對(duì)于C，由函數(shù)的定義域?yàn)?，，則函數(shù)是奇函數(shù)，由函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)在上單調(diào)遞減，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，故C正確；對(duì)于D，由函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)是非奇非偶函數(shù)，故D不符合題意.故選：C.4.【答案】B【分析】根據(jù)同底的指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)可解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)與的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，所以，所以.故選：B.5.【答案】D【分析】由選項(xiàng)分別求函數(shù)值，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理，可得函數(shù)零點(diǎn)存在的區(qū)間，結(jié)合方程根的個(gè)數(shù)，可得答案.【詳解】由，，，，，，，則，，所以函數(shù)在、、內(nèi)分別至少有一個(gè)零點(diǎn)，由方程為次方程，最多存在個(gè)根，則方程的三個(gè)根分別為、、內(nèi).故選：D.6.【答案】C【分析】利用函數(shù)在上單調(diào)遞增，可得結(jié)論.【詳解】因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，由，結(jié)合為增函數(shù)，可得，由，結(jié)合為增函數(shù)，可得，所以“”是“”的充要條件.故選：C.7.【答案】C【詳解】試題分析：如下圖所示，畫出的函數(shù)圖象，從而可知交點(diǎn)，∴不等式的解集為，故選C．考點(diǎn)：1．對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象；2．函數(shù)與不等式；3．?dāng)?shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想．8.【答案】A【分析】根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)定義域，列出不等關(guān)系，即可求得的范圍.【詳解】二次函數(shù)的對(duì)稱軸為，考慮到其定義域?yàn)椋?故選：A.9.【答案】D【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算法則可求得，由此可得結(jié)果.【詳解】由題意得：，，，即當(dāng)火箭的最大速度達(dá)到，則燃料質(zhì)量與火箭質(zhì)量的比值為.故選：D.10.【答案】D【分析】令，求出相應(yīng)的的值，即可畫出的圖象，數(shù)形結(jié)合求出的最值，即可得解.【詳解】由，即，解得或，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，令，即，解得，，則的圖象如下所示：因?yàn)楹瘮?shù)在上的值域?yàn)?，?dāng)，（或，）時(shí)取得最小值，即；當(dāng)，時(shí)取得最大值，即；所以的取值范圍是.故選：D二、填空題：本大題共5道小題，每小題5分，共25分.把答案填在答題紙中相應(yīng)的橫線上.11.【答案】【分析】根據(jù)分母不為,根號(hào)內(nèi)要大于等于且對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域列不等式組，解不等式可得.【詳解】由題可知，解得故答案為：.12.【答案】0（答案不唯一）【分析】首先求出函數(shù)的值域?yàn)椋倮眉祥g的包含關(guān)系即可求得的取值范圍，即可得到答案.【詳解】函數(shù)的值域?yàn)?，因?yàn)椋?故答案為：013.【答案】①.②.【分析】由平面向量的線性運(yùn)算求解；【詳解】如圖：,故；故答案為：.14.【答案】①.或②.【分析】根據(jù)函數(shù)解析式和函數(shù)值，直接求解即可求得；數(shù)形結(jié)合求得的關(guān)系，再根據(jù)的取值范圍，即可求得結(jié)果.【詳解】當(dāng)時(shí)，，即，解得；當(dāng)時(shí)，，即，解得；故當(dāng)時(shí)，或；有三個(gè)不同的實(shí)根，也即與圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為；數(shù)形結(jié)合可知，若有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則，且；當(dāng)時(shí)，令，解得，故；故.故答案為：或；.15.【答案】①.2②.【分析】（1）根據(jù)“階準(zhǔn)奇函數(shù)”的定義，可將問題轉(zhuǎn)化為的根的問題；（2）根據(jù)“階準(zhǔn)偶函數(shù)”定義，分，，三種情況分析即可得答案.【詳解】①當(dāng)時(shí)，函數(shù)，的取值為，的取值為，即，根據(jù)題意得,解得或，則集合中恰有個(gè)元素，故是“階準(zhǔn)偶函數(shù)”②根據(jù)題意，函數(shù)是“階準(zhǔn)偶函數(shù)”，則集合中恰有個(gè)元素，當(dāng)時(shí),是“階準(zhǔn)偶函數(shù)”，不合題意；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖像如圖①所示，根據(jù)“階準(zhǔn)偶函數(shù)”的定義得的可能取值為，的可能取值為，由題意知，所以解得或要使得集合中恰有個(gè)元素，則需要滿足，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖像如圖②所示，根據(jù)“階準(zhǔn)偶函數(shù)”的定義得的可能取值為或，為，由題意知，當(dāng)，解得不符合題意當(dāng)，解得或，要使得集合中恰有個(gè)元素，則需要滿足.綜上，若函數(shù)是“階準(zhǔn)偶函數(shù)”，則的取值范圍是.故答案為：2；范圍是.【點(diǎn)睛】解題的關(guān)鍵是根據(jù)新定義的“階準(zhǔn)偶函數(shù)”，將問題轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)，可能取何值，求出方程的解，通過分類討論根據(jù)方程的解的個(gè)數(shù)確定的取值范圍.三、解答題：本大題共6道小題，共75分.把答案填寫在答題卡上相應(yīng)的位置.16.【答案】（1）（2）【分析】（1）利用乘法公式計(jì)算；（2）根據(jù)對(duì)立事件的概率性質(zhì)計(jì)算.【小問1詳解】設(shè)甲解出這道題為事件，乙解出這道題為事件，則，所以甲、乙兩人都解出這道題目的概率為.【小問2詳解】設(shè)這道題目被甲、乙兩人解出為事件，則，，所以這道題目被甲、乙兩人解出的概率為.17.【答案】（1）（2）（3）【分析】（1）根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式，即可得集合，將代入不等式，即可得集合，最后根據(jù)補(bǔ)集、交集的定義計(jì)算即可；（2）根據(jù)得關(guān)于的不等式在上恒成立，利用判別式列不等式，求解即可；（3）根據(jù)，且，可得，則使得不等式成立，即可解得的取值范圍.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，則，即，由，解得，則，所以.【小問2詳解】因?yàn)?，所以關(guān)于的不等式在上恒成立，所以，解得，故的取值范圍是.【小問3詳解】由（1）知，，所以，又因?yàn)?，所以，所以，解得，故的取值范圍?18.【答案】（1）奇函數(shù)，證明見解析（2）【分析】（1）求得函數(shù)的定義域，再求得，從而得證；（2）利用（1）可得，進(jìn)而可得，解之即可得解.【小問1詳解】為奇函數(shù)，證明如下：對(duì)于，有，解得，所以的定義域?yàn)?，又，因此為奇函?shù)；【小問2詳解】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，則，即，所以，解，得或，解，得，綜上，，即的取值范圍是.19.【答案】（1）（2）1（3）1012【分析】（1）根據(jù)列方程，解方程得到，即可得到；（2）根據(jù)表達(dá)式計(jì)算；（3）根據(jù)對(duì)稱性求函數(shù)值.【小問1詳解】由題意得，解得，所以.【小問2詳解】.【小問3詳解】由（2）得，，，，所以.20.【答案】（1）（2）（3）【分析】（1）先確定函數(shù)的定義域，再利用對(duì)數(shù)運(yùn)算和換元法化簡(jiǎn)解析式，根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性和復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷方法確定函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求得最值；（2）將的解析式代入不等式，利用換元法得對(duì)于，恒成立，將恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題，利用對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性求最值即可；（3）畫出函數(shù)的圖象，將方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解轉(zhuǎn)化為函數(shù)和的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)即可.【小問1詳解】由題意，函數(shù)的定義域?yàn)?，，令，則，則．因?yàn)槎魏瘮?shù)開口向上，且對(duì)稱軸為，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；由，得，解得，又因?yàn)閷?duì)數(shù)函數(shù)是增函數(shù)，所以根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷方法可知：函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．因此當(dāng)時(shí)，有最小值，最小值為；【小問2詳解】由，得．令，由，得．由題意可知，對(duì)于，恒成立，即恒成立．令，則，．由對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，，所以當(dāng)時(shí)，．因此，解得，即．【小問3詳解】結(jié)合（1）可畫出函數(shù)的大致