考研數(shù)學(xué)二矩陣

考研數(shù)學(xué)二矩陣

1.【單項(xiàng)選擇題】A,B都是n階矩陣，下列命題中正確的是

A.ABWO=AWO且BWO.

B.如AB=O,則必有A=0或B=0.

C.如AB=O,則|A|=0或|B|=0.

D.如AB=B,貝UA=E.

正確答案：C

參考解析：由行列式乘法公式IAB|=|A||B|.

當(dāng)AB=O時(shí),有|A||B|二0所以|A|和|B|至少有一個(gè)為0,即(C)正確.

令A(yù)=,則AB=o][°J

可知(A)(B)均不正確.

■1-，則AB=r1■「2■?2-

令A(yù)=,B==B.

_0.0JoJL0..0.

但AWE?知(D)不正確.

2.【單項(xiàng)選擇題】已知A是任意一個(gè)n階矩陣，則

①A+A'；②A-A'；③AA\④AA*；⑤A’A.上述矩陣中，對(duì)稱矩陣一共有

A.2個(gè).

B.3個(gè).

C.4個(gè).

D.5個(gè).

正確答案：C

參考解析：(A+AT)T=AT+(AT)T=A+AT

(AAT)T=(AT)TAT=AAT

(ATA)T=AT(AT)T=ATA

AA*=|A|E,所以①②③⑤均是對(duì)稱矩陣

而(AH)T=AJ(A，)T=-(A-AT)是反對(duì)稱矩陣

3.【單項(xiàng)選擇題】下列矩陣中，初等矩陣是

-100'

002.

A.10.

'010"

001.

B.Ll00.

100'

020.

C.00-1

'l0>/2

010.

D.001

正確答案：D

參考解析：?jiǎn)挝痪仃嚱?jīng)過(guò)一次初等變換所得到的矩陣是初等矩陣，而(A)(B)(C)

均需要單位矩陣作兩次初等變換才能得到.

4.1單項(xiàng)選擇題】已知A是n階可逆矩陣，若A?B,則下列命題中

①AB?BA,(2)A2-B2,③K?B\④A，?Bl

正確的命題共有

A.4個(gè).

B.3個(gè).

C.2個(gè).

D.1個(gè).

正確答案：A

參考解析：由于矩陣A可逆，有

A=BA

按相似定義知AB?BA.即命題①正確.

因?yàn)锳?故存在可逆矩陣。使/-AP=從那么

B?=(PAP)(PA/*)=PA-P

B1=(PA?)-=P'A“PVT=pA'P

B=(PAP)T=PrAT(Pl)T=[(P1)T]'AT(P1)T

按相似定義知命題②③④也均正確.故應(yīng)選(A).

5.【單項(xiàng)選擇題】已知A,B,C均為n階矩陣，則運(yùn)算法則中錯(cuò)誤的是

A.(A+B)+C=(C+B)+A.

B.(AB)C=A(BC).

C.(A+B)C=AC+BC.

D.A(B+C)=BA+CA.

正確答案：D

參考解析：矩陣加法有交換律、結(jié)合律，(A)正確.

矩陣乘法有結(jié)合律，(B)正確.

矩陣加法乘法有分配律，(C)正確.

矩陣乘法沒(méi)有交換律，(D)錯(cuò)誤.

6.【單項(xiàng)選擇題】

設(shè)”維行向量0=(1,0,…,0,；卜4=E—cra.8=E+2a，a,則AB為().

A.0

B.-E

C.E

D.E+a1a

正確答案：C

安以⑺w由aa'=1?得AB=(E-aTa)(E-F2aTa)=E.選(C).

笏考斛折：2

7.【單項(xiàng)選擇題】設(shè)A,B為n階矩陣，則下列結(jié)論正確的是().

A.若A,B可逆，則A+B可逆

B.若A,B可逆，則AB可逆

C.若A+B可逆，則A-B可逆

D.若A+B可逆，則A,B都可逆

正確答案：B

參考解析：若A,B可逆，貝|J|A|WO,|B|WO,又|AB|=|A||B|,所以|AB|WO,

于是AB可逆，B正確。

8.【單項(xiàng)選擇題】設(shè)A為四階非零矩陣，且r(A*)=l,則().

A.r(A)=l

B.r(A)=2

C.r(A)=3

D.r(A)=4

正確答案：C

參考解析：因?yàn)閞(A*)=l,所以r(析=4-1=3,選考).

9.【單項(xiàng)選擇題】

a”aI?ai3a12a112aI?+a131/01Oi/I00\

aaa,B=a22a212a22+"23■P=100012

設(shè)4=l\2223?H=1

'00r'00r

aa*a3i2a*+“33

31O32a33

則A.B的關(guān)系為（）.

A.B=PRA

B.B=P2P,A

C.B=PzAP]

D.

B=AP2PI

正確答案：D

參考解析：

P=E%.P=E/2),顯然A苜先將第2列的兩倍加到第3列,再籽第1列及第2列

對(duì)調(diào)?所以B=AE,3(2)E,2=AP,選(D).

10.【單項(xiàng)選擇題】設(shè)a為n階矩陣，且|A|=0,則人().

A.必有一列元素全為零

B.必有兩行元素對(duì)應(yīng)成比例

C.必有一列是其余列向量的線性組合

D.任一列都是其余列向量的線性組合

正確答案：C

參考解析：因?yàn)閨A|=0,所以r(A)<n,從而A的行個(gè)列向量線性相關(guān)，于是其列

向量中至少有一個(gè)向量可由其余向量線性表示，選(C).

11.【單項(xiàng)選擇題】設(shè)A為n階實(shí)對(duì)稱矩陣，下列結(jié)論不正確的是().

A.矩陣A與單位矩陣E合同

B.矩陣A的特征值都是實(shí)數(shù)

C.存在可逆矩陣P,使PAP-為對(duì)角陣

D.存在正交陣Q,使Q'AQ為對(duì)角陣

正確答案：A

參考解析：根據(jù)實(shí)對(duì)稱矩陣的性質(zhì)，顯然(B)、(C)、(D)都是正確的，但實(shí)對(duì)稱

矩陣不一定是正定矩陣，所以A不一定與單位矩陣合同，選(A).

12.【單項(xiàng)選擇題】設(shè)A是mXn階矩陣，B是nXm階矩陣，則().

A.當(dāng)m>n時(shí)，必有|AB|關(guān)0

B.當(dāng)m>n時(shí),必有|AB|二0

C.當(dāng)n>m時(shí),必有|AB|W0

D.當(dāng)n>m時(shí),必有|AB|二0

正確答案：B

參考解析:AB為m階矩陣，因?yàn)閞(A)Wmin{m,n},r(B)Wmin{m,n},且r(AB)

Wmin{r(A),r(B)},所以r(AB)Wmin{m,n},故當(dāng)m>n時(shí)，r(AB)WnVm,于

是|AB|=0,選B。

13.【單項(xiàng)選擇題】設(shè)A,B都是n階可逆矩陣，貝h).

A.(A+B)*=A*+B*

B.(AB)*=B*A*

C.(A-B