人教版高中數(shù)學(xué)必修二《第六章 平面向量及其應(yīng)用》單元導(dǎo)學(xué)案

人教版高中數(shù)學(xué)必修二《第六章平面向量及其應(yīng)用》單元導(dǎo)學(xué)案

6.1平面向量的概念

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1.了解向量的實(shí)際背景，理解平面向量的概念和向量的幾何表示；

2.掌握向量的模、零向量、單位向量、平行向量、相等向量、共線向量等概

念；

3.并會(huì)區(qū)分平行向量、相等向量和共線向量.

4.通過(guò)對(duì)向量的學(xué)習(xí)，使學(xué)生初步認(rèn)識(shí)現(xiàn)實(shí)生活中的向量和數(shù)量的本質(zhì)區(qū)

別.

5.通過(guò)學(xué)生對(duì)向量與數(shù)量的識(shí)別能力的訓(xùn)練,培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)識(shí)客觀事物的數(shù)學(xué)

本質(zhì)的能力.

【教學(xué)重點(diǎn)】：理解并掌握向量、零向量、單位向量、相等向量、共線向量

的概念，會(huì)表示向量.

【教學(xué)難點(diǎn)】：平行向量、相等向量和共線向量的區(qū)別和聯(lián)系.

【知識(shí)梳理】

1.(1)向量：既有，又有的量叫做向量.

(2)數(shù)量：只有,沒(méi)有的量彌為數(shù)量.

2.向量的兒何表示

⑴的線段叫做有向線段.它包含三個(gè)要

:、、?

⑵向量可以用表示.向量存的大小，也就是向量福I勺(或

稱_),記作.向量也可以用字母a,b,c,…表示，或用表示向量的有

向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)字母表示，例如前，CD.

3.向量的有關(guān)概念

零向量長(zhǎng)度為——的向量，記作____

單位向量長(zhǎng)度等于—一個(gè)單位的向量

平行向量方向_—____的非零向量

(共線向量)向量4、b平行，記作______

規(guī)定：——與任一向量平行

長(zhǎng)度____且_方向____的向量

相等向量

向量a與b相等，記作______

【學(xué)習(xí)過(guò)程】

一、探索新知

（一）向量的實(shí)際背景與概念

1.問(wèn)題：在物理中，位移與路程是同一個(gè)概念嗎？為什么？

2.（1）向量與數(shù)量的定義：

既有，又有的量叫做向量（物理學(xué)中稱為矢量）；

只有，沒(méi)有的量叫做數(shù)量（物理學(xué)中稱為標(biāo)量）.

注意：數(shù)量只有大小，是一個(gè)代數(shù)量，可以進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算、能比較大?。幌?/p>

量具有大小和方向這雙重要素，由于方向不能比較大小，故向量不能比較大小.

練習(xí)1：下列量不是向量的是（）

（1）質(zhì)量（2）速度（3）位移（4）力（5）加速度

（6）面積（7）年齡（8）身高

（二）向量的幾何表示

探究：由于實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，數(shù)量常常用數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)表示,

那么，怎么表示向量呢？

L有向線段的定義

在線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)中，規(guī)定一個(gè)順序，假設(shè)A為起點(diǎn)，B為終點(diǎn)，就說(shuō)

線段AB具有方向，具有的線段叫做有向線段.

如圖，以A為起點(diǎn)、B為終點(diǎn)的有向線段記作AB

線段AB的長(zhǎng)度也叫做有向線段版的長(zhǎng)度，記作|瓦|.

思考：一條有向線段由哪幾個(gè)基本要素所確定？

2.向量的幾何表示

畫圖時(shí)，我們常用有向線段來(lái)表示向量，線段按一定比例（標(biāo)度）畫出.

其中有向線段的長(zhǎng)度表示向量的大小，箭頭所指的方向表示向量的方向.

3.向量的表示方法：

供點(diǎn)）

A星點(diǎn)；

一般可用表示向量的有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)字母表示，如而、而o

若表示向量的有向線段沒(méi)有標(biāo)注起點(diǎn)和終點(diǎn)字母，向量也可用黑體字母a,

b,c,…（書寫時(shí)用注意用…表示）.

注意：（1）.向量:與起點(diǎn)無(wú)關(guān).用有向線段表示向量時(shí)，起點(diǎn)可以取任意位置.

數(shù)學(xué)中的向量也叫自由向量.

（2）.有向線段與向量的區(qū)別：

有向線段：三要素：起點(diǎn)、大小、方向。

向量:可選任意點(diǎn)作為向量的起點(diǎn)、有大小、有方向。

4.向量的模

向量A3的大小，就是向量A3的長(zhǎng)度（或模），記作或記

作o

思考：向量的模兀以為0嗎？可以為1嗎？可以為負(fù)數(shù)嗎？

5.零向量：長(zhǎng)度為0的向量，記作6.

單位向量：長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量.

說(shuō)明：（1）零向量、單位向量的定義都是只限制大小，不確定方向.

故零向量的方向是任意的，單位向量的方向具體而定.

（2）注意：向量是不能比較大小的，但向量的模（是正數(shù)或零）是可以進(jìn)行

大小比較的.

例1.在圖中，分別用向量表示A地至B、C兩地的位移，并根據(jù)圖中的比例

尺，并求出A地至B、C兩地的實(shí)際距離（精確到1km）

（三）.相等向量與共線向量

思考1：向量由其模和方向所確定.對(duì)于兩個(gè)向量a.b,就其模等與不等,

方向同與不同而言，有哪幾種燈能情形？

1.平行向量定義:

①方向或的非零向量叫平行向量；②我們規(guī)定0與任一向

量.

說(shuō)明：（1）綜合①、②才是平行向量的完整定義；（2）向量a、b、。平行，

記作a//b//c.

2.相等向量定義：

長(zhǎng)度且方向的向量叫相等向量.

說(shuō)明：（1）向量，與6相等，記作a=b?,（2.）零向量與零向量相等；［3）

任意兩個(gè)相等的非零向量，都可用同一條有向線段來(lái)表示，并且與有向線段的起

點(diǎn)?無(wú)?關(guān)?.

3.共線向量與平行向量關(guān)系：

平行向量就是共線向量，這是因?yàn)槿我唤M平行向量都可移到同一直線上（與

有向線段的起點(diǎn)無(wú)關(guān)）.

b

OAB

說(shuō)明：（1）平行向量可以在同一直線上，要區(qū)別于兩平行線的位置關(guān)系；（2）

共線向量可以相互平行，要區(qū)別于在同一直線上的線段的位置關(guān)系.

練習(xí)2;

填空：

（1）平行向量是否一定方.向相同？（）

（2）不相等的向量是否一定不平行？（）

（3）與零向量相等的向量必定是什么向量？（）

（4）與任意向量都平行的向量是什么向量？（）

（5）若兩個(gè)向量在同一直線.匕則這兩個(gè)向量一定是什么向量？（）

（6）兩個(gè)非零向量相等的當(dāng)且僅當(dāng)什么？（）

（7）共線向量一定在同一直線上嗎？（）

例2.如圖，設(shè)0是正六邊形ABCDEF的中心,

cw

（1）寫出圖中的共線向量；

（2）分別寫出圖中與向量3、OB＞無(wú)相等的向量.

【達(dá)標(biāo)檢測(cè)】

1.下列說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)是（）

①身高是一個(gè)向量；

②/力陽(yáng)的兩條邊都是向量；

③溫度含零上和零下溫度，所以溫度是向量;

④物理學(xué)中的加速度是向量.

A.0B.1C.2D.3

2.設(shè)以,e是兩個(gè)單位向量，則下列結(jié)論中正確的是（）

A.ei=e2B,ej/e2C.\eIl=/e2lD.以上都不對(duì)

3.（多選題）在下列判斷中，正確的是（）

A.長(zhǎng)度為0的向量都是零向量；

B.零向量的方向都是相同的；

C.單位向量的長(zhǎng)度都相等；

D.單位向量都是同方向；

E.任意向量與零向量都共線.

4.在下列命題中：①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③

共線向量一定相等：④相等向量一定共線：⑤長(zhǎng)度相等的向量是相等向量：⑥平

行于同一個(gè)非零向量的兩個(gè)向量是共線向量.正確的命題是.

5.如圖所示，四邊形業(yè)?"是平行四邊形，四邊形力明應(yīng)是矩形，找出與向量

礪相等的向量.

參考答案：

（-）1.不是，位移既有大小，又有方向，路程只有大小。

2.練習(xí)：（1）（6）（7）（8）

（二）1.思考：三個(gè)要素：起點(diǎn)、方向、長(zhǎng)度.

4.可以為0,1,不能為負(fù)數(shù)。

解;而表示A地至8地的位移,』I而g_______?

例］前表示A地至C地的位移，且I衣|=.

（三）思考：模相等，方向相同；模相等，方向不相同；

模不相等，方向相同：模不相等，方向不相同：

牛刀小試：（1）不一定（2）不一定（3零向量

（4）零向量（5）平行向量（6）長(zhǎng)度相等且方向相同

（7）不一定

解：（DOA.CB,DO.而是共線向量；例2,

OBtDC.EO,行是共線向遺；

OC.AB,ED,訪是共線向量：.

（2）OA=CB=DO；

OB=DC=EO；

OC=AB=ED=TO.

達(dá)標(biāo)檢測(cè)

1.【解析】只有④中物理學(xué)中的加速度既有大小又有方向是向量，①②③

錯(cuò)誤.④正確.

【答案】R

2.【解析】單位向量的模都等于1個(gè)單位，故C正確.

【答案】C

3.【解析】由定義知A正確，B由于零向量的方向是任意的，故兩個(gè)零向

量的方向是否相同不確定，故不正確.顯然C、E正確，D不正確，故選ACE.

【答案】A、C、E

4.［解析］由向量的相關(guān)概念可知④⑥正確.

【答案】④⑥

5.【解】由四邊形用。。是平行四邊形，四邊形/仍場(chǎng)是矩形，知南劭與

麻勺長(zhǎng)度相等且方向相同，所以與向量砌目等的向量為應(yīng)和質(zhì)

6.2.1向量的加法運(yùn)算

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1..理解向量加法的意義；

2.掌握向量加法的幾何表示法，理解向量加法的另兩個(gè)運(yùn)算法則；

3.理解向量的運(yùn)算律；

4.理解和體驗(yàn)實(shí)際問(wèn)撅抽象為數(shù)學(xué)概念的過(guò)程和思想，增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意:識(shí)。

【教學(xué)重點(diǎn)】：兩個(gè)向量的和的概念及其幾何意義;

【教學(xué)難點(diǎn)】：向量加法的運(yùn)算律。

【知識(shí)梳理】

1.向量加法的定義

定義：求的運(yùn)算，叫做向量的加法.

對(duì)于零向量與任一向量a,規(guī)定

2.向量求和的法則

已知非零向量a,b,在平面[為任取一點(diǎn)4作法=H,*=b,

貝」向量而做與的和，記___,即a~\-b=~AB-\-'BC=

三角形法則IUa6作______

>[_x

KJ

已知兩個(gè)不共線向量a,b,\乍森=a,AD=b,以瓶蒞為鄰

邊作口ABCD,

平行四邊形法則為_(kāi)_

則對(duì)角線上的向量_______=a+b.

3.向量的運(yùn)算律

交換律結(jié)合律

a-\-b=______(a+H)+c=___________

【學(xué)習(xí)過(guò)程】

一、探索新知

思考1：如圖，某質(zhì)點(diǎn)從點(diǎn)A經(jīng)過(guò)點(diǎn)B到點(diǎn)3則這個(gè)質(zhì)點(diǎn)的位移怎么表示？

1.己知向量[和鼠如圖在平面內(nèi)任取一點(diǎn)0,作厲=[9=3,則向量歷

叫做［和B的和，記作Z+^a+b=OA^AB=OBo

求的運(yùn)算叫做向量的加法.

根據(jù)向量加法的定義得出的求向量和的方法，稱為向量加法的三角形法則.

口訣：O

思考2：某物體受到F”&作用，則該物體所受合力怎么求？

2.向量加法的平行四邊形法則

如圖，以同一點(diǎn)0為起點(diǎn)的兩個(gè)已知向量1和B為鄰邊作平行四邊形OACB,

則以0為起點(diǎn)的對(duì)角線0C就是［和3的和，我們把這種作兩個(gè)向量和的方法叫

做向量加法的平行四邊形法則.

［口訣］____________________________

思考3：向量加法的平行四邊形法則與三角形法則一致嗎？為什么？

注：向量的加法運(yùn)算結(jié)果還是向量。

對(duì)于零向量與任一向量我們規(guī)定

例1.如圖，己知向量〃和1,求作向量

o

(1)

圖6.2-5圖6.2?6

探究1：如果向量"和B共線，它們的加法與數(shù)的加法有什么關(guān)系？你能做

出向量3+B嗎？

探究2：結(jié)合例1,探索|Z+B|,向，曲之間的關(guān)系。

結(jié)論，一般地，有。

探究3：數(shù)的加法滿足交換律、結(jié)合律，向量的加法是否也滿足交換律和結(jié)

合律呢？

圖6.2-7

結(jié)論：向量加法的交換律和結(jié)合律：。

例2.長(zhǎng)江兩岸之間沒(méi)有大橋的地方，常常通過(guò)輪船進(jìn)行運(yùn)輸，如圖所示，

一艘船從長(zhǎng)江南岸A點(diǎn)出發(fā)，以2百km/h的速度向垂直于對(duì)岸的方向行駛，同

時(shí)江水的速度為向東2km/h.

（1）試用向量表示江水速度、船速以及船實(shí)際航行的速度；

（2）求船實(shí)際航行的速度的大小與方向（用與江水速度的夾角來(lái)表示）。

【達(dá)標(biāo)檢測(cè)】

1.化簡(jiǎn)辦+囪+農(nóng)+芬的結(jié)果等于（）

A.QPB.~0QC.或D.南

2.在四邊形力筋中，衣=宓+而，則一定有（）

A.四邊形力陽(yáng)9是矩形

B.四邊形48徵是菱形

C.四邊形/切切是正方形

D.四邊形是平行四邊形

3.（多選題）下列命題中正確的命題是（）

A.如果非零向量不與6的方向相同或相反，那么（a+6）〃a；

B.在平行四邊形/山切中，必有反'=行;

C.若祀=而則4B,a〃為平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn);

D.若&6均為非零向量,則若+b|W|a|+b\.

4.若白/=,%/=八則/a+6/的最大值為.

5.已知向量a,b,c,如圖，求作a+Z?+c.

參考答案：

思考1.從運(yùn)算的角度看，X?可以認(rèn)為是而與麗的和，即位移、可以看

作向量的加法。

1.【口訣】首尾相連首尾連。

思考2.從運(yùn)算的角度看，可以認(rèn)為是斤與斤和豆的和，即力的合成可以

看作向量的加法。

2.口訣：起點(diǎn)相同，對(duì)角線為和。

思考3.一致。平行四邊形法則中利用了相等向量的平移。

作法I：在平面內(nèi)任取一點(diǎn)0(圖6.2-6(1)),作色=*AH=b.則麗，a+瓦

作法2：在平面內(nèi)任取一.電?(竺?2二&(2)),作OB=b.以UA,OB為

例1鄰邊作UOACB.連接OC,則無(wú)=次+麗=°+瓦

探究1.(1)當(dāng)7和1同向時(shí)，

b---

A---_.c

a+b=AB+BC=AC

(2)當(dāng)［和3反向時(shí)，

a

■bI

3sA

a+b=AB+BC=AC

探究2.由例1和探究1可得，當(dāng)Z和B反向或不共線時(shí)，1+山＜|二+向;

當(dāng)〃和刃同向時(shí)，|。+譏=|a|+而。所以，|a+B|§a|+|譏。

結(jié)論：|3+加47|+而

探究3.在平行四邊形業(yè)蛆9中，AC=XB-^BC=a+b,

AC=AD4-DC=b+af所以a+B=B+4。

在圖(2)中，AD=AB+BC+C5=AC+CB=(^+^)+C,

而=筋+記+3=前+詬=1+區(qū)+1)，所以，

—?—?——?—?—

(a+Z?)+c=〃+(〃+(?)o

結(jié)論：向量加法的交換律和結(jié)合律

—?—?—?—?—?—?——?—?—

a+b=b+at(a+/?)+c=a+(Z?+c)

例2.

解：(1)如圖所示，而表示船速，旅表示水速，以力。、力8為鄰邊作平行

四邊形ABCD,則而表示船實(shí)際航行的速度。

(2)在RtMBC中，|而|=2,|正|二2/，所以，

|/|二」施『+|前1=j2?+(26)2=4,

因?yàn)?，tanZC>4B=^J=—=73，所以NC48=60'。

|AB|2

所以，船實(shí)際航行速度為4km/h,方向與水的流速間的夾角為60。o

達(dá)標(biāo)檢測(cè)

1.【解析】旗+囪+丞+9為+0=施

【答案】B

2.【解析】由次=9+而得為?=旗HPAD=BC,&AD〃BC,所以四邊形

一組對(duì)邊平行且相等，故為平行四邊形.

【答案】D

3.【解析】選項(xiàng)A,正確；選項(xiàng)B,在平行四邊形月比〃中，BC//AD,且比

=AD,所以&?=通，正確；選項(xiàng)C,4B,C,〃可能共線，所以錯(cuò)誤；選項(xiàng)D,

為向量的三角不等式，所以正確的命題為ABD.

【答案】ABD

4.［解析］由la+b/W/a/+/?/知/a+6/的最大值為2.

【答案】2

5.【解】在平面內(nèi)任取一點(diǎn)0,作應(yīng)=a,AB=b,BC=cf如圖，

則由向量加法的三角形法則，得

而=升b,應(yīng)'=a+b+c,

應(yīng)即為所作向量.

6.2.2向量的減法運(yùn)算

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1.掌握相反向量的概念及其在向量減法中的作用；

2.掌握向量的減法，會(huì)作兩個(gè)向量的差向量，并理解其幾何意義；

3.會(huì)求兩個(gè)向量的差。

【教學(xué)重點(diǎn)】：向量減法的運(yùn)算和幾何意義；

【教學(xué)難點(diǎn)】：減法運(yùn)算時(shí)差向量方向的確定。

【知識(shí)梳理】

1.定義：如果兩個(gè)向量長(zhǎng)度,而方向,那么稱這兩個(gè)向量

是相反向量.

2.性質(zhì)：(1)對(duì)于相反向量有：a+(—a)=.

(2)若a,b互為相反向量，則a=,a-\-b=.

(3)零向量的相反向量仍是.

3.定義：a—b=a-\-(—Z>),即減去一個(gè)向量相當(dāng)于加上這個(gè)向量

的.

4.作法：在平面內(nèi)任取一點(diǎn)作應(yīng)=&OB=b,則向量a—6=

如圖所示.

5.幾何意義：a-b可以表示為從向量的終點(diǎn)指向向量的終點(diǎn)

的向量.

【學(xué)習(xí)過(guò)程】

一、探索新知

思考1:你還能回想起實(shí)數(shù)的相反數(shù)是怎樣定義的嗎？

思考2.兩個(gè)實(shí)數(shù)的減法運(yùn)算可以看成加法運(yùn)算嗎？如何定義向量的減法

呢？

1.相反向量的定義：

設(shè)向量。，我們把與a長(zhǎng)度相同，方向相反的向量叫做〃的c

記作：o

規(guī)定：6的相反向量仍是o

練習(xí)：(1)—(—a)=;

—?—*—?—?

(2)a+(—ci)=；(-4)+〃=；

(3)設(shè)］與1互為相反向量，那么Z=,b=,a+b=

2.向量減法的定義：

I句量，加上I句量B的相反向量，叫做。與B的差，即〃-5=。+(-5)。

求兩個(gè)向量差的運(yùn)算叫做向量的。

探究：向量減法的幾何意義是什么？

思考3：不借助向量的加法法則你能直接作巴工-B嗎？

。-〃可以表示為從向量的終點(diǎn)指向的終點(diǎn)的向量，這就是向量

減法的幾何意義。

注意：（1）起點(diǎn)必須相同；（2）指向被減向量的終點(diǎn)。

思考4：如果從"的終點(diǎn)指向】終點(diǎn)作向量，所得向量是什么呢？

思考5：當(dāng)"與Z共線時(shí)，怎樣作［-Z呢？

例1.如圖，已知向量求作向量

練習(xí)：填空：

(1)AB-AD=,(2)BA-BC=,

(3)~BC-~BA=,(4)OD-OA=,

(5)OA-OB=,(6)~Ad-~BO=

例2.在平行四邊形力戊刀中，荏=［而=兀你能用Z3表示向量點(diǎn)麗

嗎？

【達(dá)標(biāo)檢測(cè)】

1.在△/貧中，若應(yīng)=a,~BC=b,則次等于（）

A.aB.a-\-bC.b-aD.a-b

2.如圖，在四邊形力用力中，設(shè)宓=a,mb=b,BC=c,則應(yīng)=()

A.a-b-\-cB.b—(a+c)C.a+b+cD.b-a-\-c

3.若0,E,/是不共線的任意三點(diǎn)，則以下各式中成立的是()

A.乃』宓+龍B.序'=辦一龍C.百=一赤+波D.而=一而一

0E

4.已知a,6為非零向量，則下列命題中真命題的序號(hào)是

①若|a|+|6|=|a+A|,則a與5方向相同：

②若a+IZ?|=\a-b,則a與b方向相反：

③若|a|+|引=|a—引，則a與力有相等的模;

④若a\—6|=|a—b，則a與6方向相同.

5.化簡(jiǎn)(拔一應(yīng)一(而一曲.

參考答案：

思考L實(shí)數(shù)日的相反數(shù)記作-a

思考2.如設(shè)x,yGR,x-y=x+(-y)。

1,練習(xí)：(1)a(2)66(3)-b-a6

探究：設(shè)蘇=2為=否,而=工則H=7+(_B)=蘇+而=歷

在平行四邊形宏始中，BA=OC=a-b

'?—?..—?—?

思考3.在平面內(nèi)任取一點(diǎn)。，作OA=〃,。8=b,則BA=a-h0

思考4.b-a

思考5.當(dāng)。與“方向相同時(shí)?

o?T——fB

在平面內(nèi)任取一點(diǎn)o,作豆=2為=L則麗=7-3。

當(dāng)。與B方向相反時(shí)，

在平面內(nèi)任取一點(diǎn)o,作次=2而=2則詬二H。

例1.

作法：如圖6.2-12(2),在平面內(nèi)任取一點(diǎn)0,作次=**OB=b,歷=c,而=

d.則_

BA?a-b.

DC=c—d.

練習(xí)：(1)DB(2)CA(3)AC(4)AD

(5)~AB(6)BA

例2.

解：由向量加法的平行呷2形法則，我們知道

AC=a+上

同樣，由向錄的處，的._

*HX5—ADH<I一瓦

達(dá)標(biāo)檢測(cè)

1.【解析】方=無(wú)一反三a—6.故選D-

【答案】D

2.【解析】DC=DA^AB^BC=a-b+c.

【答案】A

3.【解析】因?yàn)?,E,產(chǎn)三點(diǎn)不共線，所以在中，由向量減法的兒

何意義，得赤=赤一次,故選B.

【答案】B

4.【解析】當(dāng)a,6方向相同時(shí)有|a|+|b|=|a+b|,\\a\—\b\\=\a-

b\,當(dāng)H,b方向相反時(shí)有

\\a\—\b\\=\a-\-b\,\a\~\~\b\=\a-b\.因此①②④為真命題.

【答案】①②④

5.【解】法一：（宓一應(yīng)一（充-物

=~AB-~Cb-AC-\-~BD

=加■應(yīng)40+而

=（懣+礪）+（應(yīng)?+襦）

=刖9=0.

法二：（漉一應(yīng)一（花一命

=（范一位）+（應(yīng)'一麗

=彷+走=0.

6.2.3向量的數(shù)乘運(yùn)算

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1.掌握實(shí)數(shù)與向量的積的定義以及實(shí)數(shù)與向量積的三條運(yùn)算律，會(huì)利用實(shí)數(shù)

與向量積的運(yùn)算律進(jìn)行有關(guān)的計(jì)算；

2.理解兩個(gè)向量平行的充要條件，能根據(jù)條件兩個(gè)向量是否平行；

【教學(xué)重點(diǎn)】：實(shí)數(shù)與向量的積的定義、運(yùn)算律，向量平行的充要條件：

【教學(xué)難點(diǎn)】：理解實(shí)數(shù)與向量的積的定義，向量平行的充要條件。

【知識(shí)梳理】

1.定義：一般地，我們規(guī)定實(shí)數(shù)4與向量a的積是一個(gè)，這種運(yùn)算

叫做,記作.

2.規(guī)定：①|(zhì)Aa\=,②當(dāng)時(shí)，4a的方向與a的方向；

當(dāng)4<0時(shí)，4a的方向與a的方向；當(dāng)/=0時(shí)，Aa=.

3.運(yùn)算律：

設(shè)人，〃為實(shí)數(shù)，則

(1)4(;

⑵(4+〃)a=；

(3)A(a+b)=.

特別地，我們有(-4)H==,4(a-b)=.

4.共線向量定理

向量a(a#O)與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一人實(shí)數(shù)/I,使得.

5.向量的線性運(yùn)算

向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線拄運(yùn)算.對(duì)于任意向量a、b,以

及任意實(shí)數(shù)力、4、恒有人(U@±u/b)=。

【學(xué)習(xí)過(guò)程】

一、探索新知

探究1：已知非零向量作出"+Z+Z和二+(二)+(工)，它們的長(zhǎng)度與

方向分別是怎樣的？

1.定義：一般地，我們規(guī)定實(shí)數(shù)4與向量￡的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫做

向量的數(shù)乘，記作義】，它的長(zhǎng)度與方向規(guī)定如下：

⑴|蘇|=；

(2)當(dāng)4>0時(shí)，的方向與〉的方向；當(dāng)4<0時(shí)，九工的方向與

Z的方向o

說(shuō)明：(1)當(dāng)；1=0時(shí)，23二6。(2)(一1)[=_々。

2.向量數(shù)乘的運(yùn)算律

探究2：求作向量3(而和④,(2+3)而2々+3々,2(1+5)和嗎+巨("為非零

向量)，并進(jìn)行比較。

向量數(shù)乘的運(yùn)算律：

設(shè)Z、B為任意向量，義、"為任意實(shí)數(shù)，則有：，

(1)4(〃。)=____________9

(2)(A+/.i)a=.

__________________9

(3)4(〃+/?)=o

特別地,有(一/l而=一(左)=4(工)

4(。一各)=

__________O

向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為向量，的線形運(yùn)算。

注：向量的線性運(yùn)算的結(jié)果仍為向量。

對(duì)于任意向量"、i；及任意實(shí)數(shù)丸、〃，恒有

4。仔土〃2右)=。

例1:計(jì)算

(1)(-3)x4^

(2)3(a+b)—2(a—b)—a

(3)(2a+3Z?—c)—(3a—2Z?+c)

注：向量與實(shí)數(shù)之間可以象多項(xiàng)式一樣進(jìn)行運(yùn)算。

例2.如圖，平行四邊形A8CO的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)機(jī)且麗=3,而=九

用向量73表示福麗沆利而

a

b

M

4一?~"

探究3：引入向量數(shù)乘運(yùn)算后，你能發(fā)現(xiàn)實(shí)數(shù)與向量的積與原向量之間1勺位

置關(guān)系嗎？

3.共線向量定理：

向量與Z共線的充要條件是：存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)4,使。

思考：。為什么要是非零向量？右可以是非零向量嗎？

牛刀小試：

判斷下列各小題的向量"與B是否共線。

—?——?一

（1）a=-2e,b=2e;

—?■.—??.

（2）a=el-e2,b=-2et+2e2;

—?'?.—?9■?

（3）a=e1-e2,b=e]+2e2o

例3.如圖，已知任意兩個(gè)非零向量"與試作d=Z+L

OB=a+2bfOC=a+3bf你能判斷力、氏。三點(diǎn)之間的位置關(guān)系，并證

明你的猜想。

結(jié)論：證明（判斷）A、B、C三點(diǎn)共線的方法:

布=4前且有公共點(diǎn)6,=A、B、C三點(diǎn)

—?一_—?一]—q―

例4.已知〃與人是兩個(gè)不共線的向量，向量〃_加,_1〃—士人共線，求實(shí)數(shù)t的

22

值。

【達(dá)標(biāo)檢測(cè)】

1.下列各式中不表示向量的是()

A.0,aB.a+3Z?

C.13aD,—■—式x,y￡R,且x#y)

x—y

2.下列計(jì)算正確的個(gè)數(shù)是()

①(-3)?2a=-6a；②2(a~\~6)—(2b—公=3a：③(H+26)—(2b+a)=Q.

A.a一%+2。B.54—76+2。5

C.a-\--b-\-2c

444

4.。為平行四邊形4%刀的中心，語(yǔ)=4良，應(yīng)=6包，則3a,-2e=______.

5.在四邊形/慶X中，AB=a+2b,或=-4a—b,CD=-5a-3b,證明：直

'改AD〃BC.

參考答案:

AB

一。一

NM

探究1.

發(fā)=5+Q+前=3+3+2,記作31。即而=3%。31的方向與"的方向

相同，13。|=31〃|。

類似地，麗=-31其方向與I的方向相反，卜34=3日|。

探究2.

例1.

解：（1）原式=（-3X4）a-一12a；

（2）原式=3a+3b-2a+2b-a=5b；

（3）原式=2a+3b—c—3a4-26—c

=-a+5b-2c.

例2.

解：在O48CD中.

AC=A〃+AD=a+b,

DB^Ab-AD^a-b.

由平行四邊形的兩條對(duì)角線互相平分.得

MA—-］AC=—&a+5）=一"!?（!一］b?

44LL

探究3.當(dāng)九＞0時(shí)，/t￡與］的方向相同；當(dāng)4＜0時(shí)，＞lZ與"的方向相反。

思考：若）=6,則義】=6。Z可以是1。

牛刀小試：（1）共線（2）共線（3）不共線。

例3.

札分別作向"冰,OB,OC，過(guò)點(diǎn)A?C作直找

&2T7).觀察發(fā)現(xiàn),不論向代八卜怎徉變化，點(diǎn)H始終在直線

人C上?獵如八，B.C三點(diǎn)共線.

事實(shí)上」I為

AH^OH—()八；a+2B-<。+&)=機(jī)

AC^a-OA^a+3b-(a-]b)=2k.

所以AC^2Ali.

Wft-A.B?C三點(diǎn)J峨.

Hi.2-17

例4.

13

解?由a.b不共線，易知向即；L級(jí)為非零向量?由向盤I*7一個(gè)共線，

可知“在實(shí)數(shù)3使得

；3

ft-ra-Af-ja-2t).

即

￡>M

由a,b不共線，必存，+夕=京+1=0.否則，不妨沒(méi)什必K0,則a=2,b.由

兩個(gè)向量共線的充要條件知，a.b共線，與已知矛盾.

z+yA-O.

由、髀得e?g,

鄉(xiāng)+1=0,

因此.當(dāng)向最b-M,；a-：l1共線時(shí)./-1,

達(dá)標(biāo)檢測(cè)

1?【解析】向量的數(shù)乘運(yùn)算結(jié)果仍為向量，顯然只有13al不是向量.

【答案】C

2.【解析】因?yàn)?-3)?2a=-6a故。正確；②^左=2a+2b—2b+a=

成立，故②正確；處^左=a+2b—2b—a=0W0,故③f昔誤.

【答案】C

2a+[3b-c)=(3a—2a)+d一1人

3.【解析】3a+/+c+(c+c)=a

4

一；b+2c.故選A.

【答案】A

4.【解析】設(shè)點(diǎn)《為平行四邊形力四的旗邊中點(diǎn)，點(diǎn)廠為力〃邊中點(diǎn),

則3包一28=衣+帝=瓦=電

【答案】血或助

5.【證明】*：Ai)=AC+Cb=AB+BC+Cb=(a-\-2b)+(-4a-/?)+(-5a-

3加=一8》-26=2(—43—6)=2擊六功與初線.

又力〃與及：不重合，二克線AD//BC.

6.2.4向量的數(shù)量積

第1課時(shí)向量的數(shù)量積的物理背景和數(shù)量積

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

L.埋解并掌握平面向量的數(shù)量積的定義、投影向量；

2.會(huì)求平面向量的數(shù)量積、投影向量；

3.熟記平面向量數(shù)量積的性質(zhì)；

4.能運(yùn)用數(shù)量積的性質(zhì)解決問(wèn)題；

【教學(xué)重點(diǎn)】：平面向量數(shù)量積的定義及投影向量；

【教學(xué)難點(diǎn)】：平面向量數(shù)量積的定義的理解和對(duì)數(shù)量積的應(yīng)用。

【知識(shí)梳理】

1.向量的夾角的定義：

已知兩個(gè)非零向量房濟(jì)，0是平面上的任意一點(diǎn)，作次=3為=3,則

AAOB=e

(0<6><^-)叫做向量而物的o

顯然，當(dāng)夕=0U寸，a和B；當(dāng)6="時(shí)，。和5o

2.向量的數(shù)量積的定義

已知兩個(gè)非零向量a與b,它們的夾角為我們把數(shù)量叫做a

與力的(或),記作,即.

規(guī)定零向量與任一向量的數(shù)量積為.

3.投影向量的定義：

CAiBID

如圖⑴設(shè)不是兩個(gè)零向量，Q=［無(wú)=工我們考慮如下的變換:過(guò)AB的

起點(diǎn)A和終點(diǎn)B,分別作CD所在直線的垂線,垂足分別為AbB?得到麗，我們稱

上述變換為向量Z在向量B投影(project).,麗叫做向量力在向量B上

的o

如圖(2),我們可以在平面內(nèi)任取一點(diǎn)0,作曲=項(xiàng)而=九過(guò)點(diǎn)M作直線

0N的垂線，垂足為M,則函就是向量［在向量［上的o

4.向量的數(shù)量積的性質(zhì)

設(shè)a與b都是非零向量，。為a與6的夾角.

⑴aJ_Zx=>.

(2)當(dāng)a與。同向時(shí)，a?b=；

當(dāng)a與6反向時(shí)，a-b=.

(3)a?a=或a=\a?a=.

(4)a?bW.

【學(xué)習(xí)過(guò)程】

一、探索新知

思考1：一個(gè)物體在力F的作用下產(chǎn)生的位移s,那么力F所做的功應(yīng)當(dāng)

怎樣計(jì)算？

思考2：功是一個(gè)矢量還是標(biāo)量？它的大小曰那些量確定?

L向量的夾角的定義:

8）

已知兩個(gè)非零向量房歷，。是平面上的任意一點(diǎn)，作豆=2而=3,則

ZAOB=0

（0<夕<叫做向量［和E的o

顯然，當(dāng)。=0時(shí)，Z和B；當(dāng)。="時(shí)，房而o

如果房歷的夾角是。=工，我們就說(shuō)房歷垂直，記作3_1,九

2

思考3：如果我們將公式中的力與位移類比推廣到兩個(gè)一般向量，其結(jié)果乂

該如何表述？

2.數(shù)量積的定義：

已知兩個(gè)非零向量"和九它們的夾角為仇我們把數(shù)量|3|向cos。叫做向量

病而的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作〃即〃.Z=|a|M|cos，。

規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為。

說(shuō)明：（1）兩向量的數(shù)量積是一個(gè)數(shù)量，而不是向量，符號(hào)由夾角決定.

（2）33中間的在向量運(yùn)算中不能省略掉，也不能換成“x”；

（3）運(yùn)用數(shù)量積公式時(shí)，一定注意兩向量的夾角范圍是［0°,180°］0

思考4.向量的數(shù)量積是一個(gè)數(shù)量，那么它什么時(shí)候?yàn)檎裁磿r(shí)候?yàn)樨?fù)？

結(jié)論：數(shù)量積符號(hào)由cos。的符號(hào)所決定。

例1.已知|1|=5,向=4,加歷的夾角，=與，求）3。

4.投影向量的定義:

M

CA,B,D

⑵

())

如圖⑴設(shè)￡3是兩個(gè)零向量，Q=［無(wú)=工我們考慮如下的變換:過(guò)AB的

起點(diǎn)A和終點(diǎn)B,分別作CD所在直線的垂線,垂足分別為由,B?得到片片，我們稱

上述變換為向量Z在向量B投影(project).,麗叫做向量力在向量了上

的。

如圖(2),我們可以在平面內(nèi)任取一點(diǎn)0,作OM=a,ON=Z?,過(guò)點(diǎn)M作直線

0N的垂線，垂足為M,則函就是向量［在向量B上的o

探究1：如圖，設(shè)與l方向相同的單位向量為［與B的夾角為。，那么畫

與6,4。之間有怎樣的關(guān)系？

IN

探究2：兩個(gè)非零向量相互平行或垂直時(shí)，投影向量具有特殊性，你能得出

向量的數(shù)量積的特殊性質(zhì)嗎？

牛刀小試：

1.己知在AA8O+?，而=3元=夜當(dāng)7B<0或=3=0時(shí)，試判斷AABC的形

狀。

【達(dá)標(biāo)檢測(cè)】

1.在△力比'中，￡C=5,力。=8,Zr=60°,則反'?訝=()

A.20B.-20C.2073D.-2073

2.設(shè)e”段是兩個(gè)平行的單位向量.則下面的結(jié)果正確的是（）

A.8?e?=lB.a?會(huì)=—1

C.|e?e/=lD.|a?e.|<l

3.在△//、中，AB=a,BC=b,且b-a=0,則△月6。是（）

A.銳角三角形B.鈍角三角形

C.直角三角形D.無(wú)法確定

4.已知為單位向量，且J"的夾角。為45。，求向量"在[上

的投影向量。

參考答案：

思考1.W=IHIS|COS。

思考2.標(biāo)量，大小由力、位移及它們的夾角確定。

思考3.功是力與位移的大小及其夾角余弦的乘積；兩個(gè)向量的大小及其夾

角余弦的乘積。

思考4.當(dāng)0°<90°時(shí)，3/為正；

當(dāng)90°<0^180°時(shí)，5$為負(fù)；

當(dāng)0=90。時(shí)，為零。

例1.

?a?b=|b|c?5。

=?5X4Xcos

-5X4X（—1）

—-10.

例2.

雙：由a?I>CON。?弗

囚為0W[O?江所以。一竽

探究1.設(shè)函=/i人

當(dāng)。力校角(圖6.2-2】。))時(shí).函與，方向相久?:函|=|o|8s仇所以

OMi=|OMi'e=a\ctyiOti

當(dāng)0為直角(圖6.2-21(2])時(shí)?A=0.所以

OM1=0=|a|cnsye(

當(dāng)6為飩角《陽(yáng)&2?21(3AN，麗與。方向相反，所以

A=一|OVfJ=一|a|cosZMaWi

=—|a|cos(x—tf)=|acos0,

BP一

QVf?=|a|cos。c.

當(dāng)6=0時(shí)，A-|oh所以

QWt=|a|e=|flcos0r?

當(dāng)&時(shí).A=-|a|,所以

OW|=—|a|r=|?,cosxe.

綜上可得，對(duì)于任意的8￡[0,m，都有西=|3Icos應(yīng)。

探究2.設(shè)是非零向量，它們的夾角是凡Z是與右方向相同的單位向量,

則：(1)a-e=e-a=\a\cosO,

(2)ao1=0

(3)當(dāng)向量Z3共線同向時(shí),a-b^a\\b\；

當(dāng)向量Z3共線反向時(shí),ab=-\a\\b\.特別地,

—?—?—?—?/—?—?

々?4=|4|2或|〃|二、"4o

(4)\a-b\^a\\b\

牛刀小試：當(dāng)時(shí)，A4BC為鈍角三角形；當(dāng)7$=0時(shí)，A/WC為直角

三角形。

達(dá)標(biāo)檢測(cè)

1.【解析】BC*CA=\BC\|S4|cos120°=5X8xf-|U-20.

【答案】B

2.【解析】8?包=|e||e21cosa>=±l.

【答案】C

3.【解析】在△力比'中，因?yàn)閎-a=0,所以故△力%為直角三角

形.

【答案】C

4.【解析】向量Z在"上的投影向量為

—―/—

Ia|cos^=6cos45（?=3v2e。

6.2.4向量的數(shù)量積

第2課時(shí)向量的向量積

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1.掌握數(shù)量積的運(yùn)算律；

2.利用數(shù)量積的運(yùn)算律進(jìn)行化簡(jiǎn)、求值；

【教學(xué)重點(diǎn)】：數(shù)量積的運(yùn)算律；

【教學(xué)難點(diǎn)】：利用數(shù)量積的運(yùn)算律化簡(jiǎn)、求值。

【知識(shí)梳理】

L向量數(shù)量積的運(yùn)算律

⑴a?6=（交換律）.

⑵（4a