《模n剩余類環(huán)的若干性質(zhì)及其應(yīng)用研究》3300字【論文】

[6].證明:設(shè),其中的模2剩余類用表示,假設(shè)存在一個整數(shù)根.而或者,則滿足,由此可知,有矛盾;如果,那么存在,由此可知,有矛盾.綜上,假設(shè)不成立,即無整數(shù)根.例3.4試著求出多項(xiàng)式在域中的所有根.解:將代入可知:,,,因此可知,在域中無根.例3.5求出上的所有不可約多項(xiàng)式.解:首先,將中的元素記為.這樣一來,因?yàn)橹械脑?因此上的全部二次不可約多項(xiàng)式可表示為:,同時又由于二次多項(xiàng)式是不可約的,當(dāng)且僅當(dāng)在中無根,從而可得知,上的全部二次不可約多項(xiàng)式為:,,.例3.6對于模18的剩余類環(huán),求的一切子環(huán).解:由于,1、2、3、6、9、18為18的正因數(shù).所以,的子群分別是:;;;;;.那么可得,的六個子環(huán)為,,,,,.例3.7針對環(huán),請?jiān)囍赋鏊娜靠赡嬖捌淞阋蜃?、子環(huán).解:由于中的可逆元,滿足,所以可知中的全部可逆元為:,,,.又由于不是可逆元就是零因子,則的全部零因子為:,,.同時又因?yàn)槭茄h(huán)環(huán),那么對來說,其子加群就是子環(huán)（也是理想）,故可知的全部子環(huán)有個,分別為:,,,.例3.8求模60的剩余類環(huán)的全部理想、最大理想.解:對于,其子加群和理想是一回事.由此可知,的全部理想,即為由元素,,,,,,,,生成的理想.又容易得知,的全部最大理想是由元素,,(2、3、5為60的所有互異素因子)生成的理想,即,,.與此同時,也是一個最大理想.例3.9設(shè)為環(huán)上的2階全陣環(huán),它是一個16階(有單位元、有零因子、不可換且特征為2)的有限環(huán),證明:以下三個都是其子環(huán).,,;并且,但同與不同構(gòu).證明:容易得知、與對于方陣的加法與乘法都是封閉的,因此它們都是全陣環(huán)的子環(huán),其次易知,,,.是到的一個同構(gòu)映射,因此.又因?yàn)橹性氐碾A是2(對乘法),但中無2階元素,因此,但同與不同構(gòu).例3.10求證:若,,為環(huán)的理想,與都和互質(zhì),則也與互質(zhì).(如果環(huán)的理想、,滿足,則、互質(zhì))證明:因?yàn)?,則有,,使得,等式兩邊分別相乘得:.又由于,,為環(huán)的理想,則,則,可知,容易知道是的理想,那么對于任意的,都有,則,即與互質(zhì).證畢例3.11假設(shè)是模剩余類域上的任一多項(xiàng)式,證明:.證明:設(shè).因?yàn)榈奶卣鳛?多項(xiàng)式環(huán)的特征也為,并且對任一,有,因此即.

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