2024-2025學(xué)年湖北省新高考聯(lián)考協(xié)作體高二（下）3月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年湖北省新高考聯(lián)考協(xié)作體高二（下）3月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知{an}是等差數(shù)列，a4=20，aA.0 B.5 C.10 D.152.在等比數(shù)列{an}中，a4=1，aA.3 B.±3 C.3 D.3.棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，點(diǎn)A.0 B.1 C.2 D.4.已知圓M：x2+y2+2x=0，圓N：x2+y2?4x?21=0，點(diǎn)P在圓N上運(yùn)動(dòng)，直線PAA.8 B.7 C.63 D.5.已知函數(shù)f(x)=2x3+3(a+2)x2+12ax+1在x=?2A.a<?2 B.a>?2 C.a>2 D.a<26.已知f(x)=3f(2?x)+2x2?lnx，則曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為A.3x+2y?1=0 B.3x?4y+7=0 C.3x+2y+1=0 D.3x?4y?7=07.F1，F(xiàn)2是雙曲線C：y2a2?x2b2=1(a>0,b>0)的上、下焦點(diǎn)，過F2的直線與C的上、下兩支分別交于AA.2 B.4 C.213 8.已知數(shù)列{an}，{bn}滿足an=3n+1，bn=5n?2，這兩個(gè)數(shù)列的項(xiàng)組成一個(gè)集合，集合中的數(shù)按從小到大的順序排列組成數(shù)列{cA.551 B.671 C.755 D.869二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.在棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，E、F、G分別為BC、CC1、A.A1G⊥EF

B.三棱錐P?AEF的體積為定值

C.平面AEF截正方體所得的截面面積為9

D.存在實(shí)數(shù)λ、μ使得10.已知橢圓x24+y2=1，斜率為k且不經(jīng)過原點(diǎn)O的直線l與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，P為橢圓的左頂點(diǎn)，MA.若直線OM斜率為k0，則k0?k=?1

B.若點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,12)，則直線l的方程為x+2y?2=0

C.若直線l的方程為y=x?3，則11.古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家用沙粒和小石子來研究數(shù)，他們根據(jù)沙?；蛐∈铀帕械男螤睿褦?shù)分成許多類，如圖中第一行圖形中黑色小點(diǎn)個(gè)數(shù)：1，3，6，10，…稱為三角形數(shù)；第二行圖形中黑色小點(diǎn)個(gè)數(shù)：1，4，9，16，…稱為正方形數(shù).記三角形數(shù)構(gòu)成數(shù)列{an}，正方形數(shù)構(gòu)成數(shù)列{bA.1a1+1a2+1a3+?+1an=2nn+1

B.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.在棱長為22的正四面體ABCD中，M，N分別是AB，CD的中點(diǎn)，則|MN|=______．13.已知圓(x?1)2+(y?2)2=9，直線l：x+y+b=0，圓上至少有三個(gè)點(diǎn)到直線l的距離等于14.已知函數(shù)f(x)=xlnx，若關(guān)于x的方程[f(x)]2+af(x)+a?1=0僅有2四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知函數(shù)f(x)=12x2?(a+1)x+alnx(a>0)．

(1)若a=e，求f(x)在(0,2]上的最大值．

16.(本小題15分)

已知在數(shù)列{an}中，An為其前n項(xiàng)和，若an>0，且4An=(an+1)2，n∈N?，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn，且有Sn?bn=17.(本小題15分)

如圖，在三棱錐P?ABC中，△ABC是以AC為斜邊的等腰直角三角形，PA=PB=PC=AC=2，O為AC的中點(diǎn)．

(1)證明：平面PAC⊥平面ABC；

(2)若點(diǎn)M滿足CM=λCB(0<λ<1)，且PC與平面PAM所成角的正弦值為34，求平面PAM18.(本小題17分)

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C上的動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)F(0,14)的距離與直線y=?14的距離相等.直線l過點(diǎn)M(0,12)交曲線C于A，B兩點(diǎn)．

(1)求曲線C的方程；

(2)若AM=12MB，求直線AB的方程；

(3)19.(本小題17分)

意大利畫家達(dá)?芬奇提出：固定項(xiàng)鏈的兩端，使其在重力的作用下自然下垂，那么項(xiàng)鏈所形成的曲線是什么？這就是著名的“懸鏈線問題”其原理往往運(yùn)用于懸索橋、架空電纜、雙曲拱橋、拱壩等工程.通過適當(dāng)建立坐標(biāo)系，懸鏈線可表示為雙曲余弦函數(shù)c?(x)=ex+e?x2的圖象，現(xiàn)定義雙曲正弦函數(shù)s?(x)=ex?e?x2，他們之間具有類似于三角函數(shù)的性質(zhì).(已知cosx≥1?12x2)

(1)證明：①倍元關(guān)系：s?(2x)=2s?(x)c?(x)；②平方關(guān)系：c參考答案1.A

2.B

3.C

4.C

5.D

6.D

7.B

8.C

9.BD

10.BC

11.ACD

12.2

13.[?3?214.{1?e}∪(1,2)∪(2,+∞)

15.解：(1)因?yàn)閒(x)=12x2?(a+1)x+alnx(a>0)的定義域?yàn)?0,+∞)，

f′(x)=x?(a+1)+ax=(x?a)(x?1)x，

當(dāng)a=e時(shí)，則f(x)=12x2?(e+1)x+elnx，f′(x)=(x?e)(x?1)x，

當(dāng)0<x<1時(shí)，f′(x)>0，即函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，

當(dāng)1<x≤2時(shí)，f′(x)<0，即函數(shù)f(x)在(1,2)上單調(diào)遞減，

所以，當(dāng)x∈(0,2]時(shí)，f(x)max=f(1)=?e?12．

(2)f′(x)=(x?a)(x?1)x，

①當(dāng)0<a<1時(shí)，

令f′(x)>0，解得0<x<a或x>1，令f′(x)<0，解得a<x<1，

所以，函數(shù)f(x)的增區(qū)間為(0,a)、(1,+∞)，減區(qū)間為(a,1)；

②當(dāng)a=1時(shí)，f′(x)=(x?1)2x≥0對任意的x∈(0,+∞)恒成立，

所以函數(shù)f(x)的增區(qū)間為(0,+∞)，無減區(qū)間；

③當(dāng)a>1時(shí)，

令f′(x)>0，解得0<x<1或x>a，令f′(x)<0，解得1<x<a，

所以，函數(shù)f(x)的增區(qū)間為(0,1)、(a,+∞)，減區(qū)間為(1,a)．

綜上所述，當(dāng)0<a<1時(shí)，函數(shù)f(x)的增區(qū)間為(0,a)、(1,+∞)，減區(qū)間為(a,1)；

當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)f(x)的增區(qū)間為(0,+∞)，無減區(qū)間；

當(dāng)a>1時(shí)，函數(shù)f(x)的增區(qū)間為(0,1)、(a,+∞)，減區(qū)間為(1,a)．

16.解：(1)由4An=(an+1)2(n∈N?)，

當(dāng)n=1時(shí)，4a1=(a1+1)2，解得a1=1．

當(dāng)n≥2時(shí)，4An?1=(an?1+1)2，

兩式相減可得：4an=(an+1)2?(an?1+1)2，

即an2?an?12?2an?2an?1=0，化為：(an+an?1)(an?an?1?2)=0，

對任意的n∈N?，an>0，所以，an?an?1?2=0，即an?an?1=2，

所以數(shù)列{an}是等差數(shù)列，首項(xiàng)為1，公差為2，則an=1+2(n?1)=2n?1．

當(dāng)n≥2時(shí)，Sn?bn=Sn?1?bn+1，即Sn?(Sn?Sn?1)=Sn?1?(Sn+1?Sn)，可得Sn2=Sn+1Sn?1，

因?yàn)镾1=b1=1，S2=b1+b2=2，

所以數(shù)列{Sn}是以1為首項(xiàng)，S2S1=2為公比的等比數(shù)列，

所以Sn=1?2n?1=2n?1．

(2)證明：因?yàn)閏n=anSn+1=2n?12n，則Tn=12+322+523+?+2n?12n，12Tn18.解：(1)∵曲線C上的動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)F(0,14)的距離與直線y=?14的距離相等．

∴曲線C是以點(diǎn)F為焦點(diǎn)，以直線y=?14為準(zhǔn)線的拋物線，故曲線C的方程為y=x2．

(2)若直線AB的斜率不存在時(shí)，直線AB與拋物線C只有一個(gè)公共點(diǎn)，不合乎題意，

設(shè)直線AB的方程為y=kx+12，

聯(lián)立方程組y=kx+12y=x2，消去y整理得x2?kx?12=0，則Δ=k2+2>0，

設(shè)點(diǎn)A(x1,y1)、B(x2,y2)，

則x1x2=?12，x1+x2=k，

由AM=12MB得(?x1,12?y1)=12(x2,y219.解：(1)證明：將雙曲余弦函數(shù)c?(x)=ex+e?x2的圖象，

雙曲正弦函數(shù)s?(x)=ex?e?x2，代入方程，

①2s?(x)c?(x)=2ex?e?x2?ex+e?x2=e2x?e?2x2=s?(2x)；

②c?2(x)?s?2(x)=[ex+e?x2]2?[ex?e?x2]2=e2x+2+e?2x4?e2x?2+e?2x4=1．