2025年高考數(shù)學(xué)必刷題分類：第15講、單調(diào)性問題（學(xué)生版）

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第15講單調(diào)性問題

知識(shí)梳理

知識(shí)點(diǎn)一：?jiǎn)握{(diào)性基礎(chǔ)問題

1、函數(shù)的單調(diào)性

函數(shù)單調(diào)性的判定方法：設(shè)函數(shù)yf(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果f(x)0，則yf(x)

為增函數(shù)；如果f(x)0，則yf(x)為減函數(shù)．

2、已知函數(shù)的單調(diào)性問題

①若f(x)在某個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞增，則在該區(qū)間上有f(x)0恒成立（但不恒等于0）；

反之，要滿足f(x)0，才能得出f(x)在某個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞增；

②若f(x)在某個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞減，則在該區(qū)間上有f(x)0恒成立（但不恒等于0）；

反之，要滿足f(x)0，才能得出f(x)在某個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞減．

知識(shí)點(diǎn)二：討論單調(diào)區(qū)間問題

類型一：不含參數(shù)單調(diào)性討論

（1）求導(dǎo)化簡(jiǎn)定義域（化簡(jiǎn)應(yīng)先通分，盡可能因式分解；定義域需要注意是否是連續(xù)

的區(qū)間）；

（2）變號(hào)保留定號(hào)去（變號(hào)部分：導(dǎo)函數(shù)中未知正負(fù)，需要單獨(dú)討論的部分．定號(hào)部

分：已知恒正或恒負(fù)，無需單獨(dú)討論的部分）；

（3）求根作圖得結(jié)論（如能直接求出導(dǎo)函數(shù)等于0的根，并能做出導(dǎo)函數(shù)與x軸位置

關(guān)系圖，則導(dǎo)函數(shù)正負(fù)區(qū)間段已知，可直接得出結(jié)論）；

（4）未得結(jié)論斷正負(fù)（若不能通過第三步直接得出結(jié)論，則先觀察導(dǎo)函數(shù)整體的正負(fù)）；

（5）正負(fù)未知看零點(diǎn)（若導(dǎo)函數(shù)正負(fù)難判斷，則觀察導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)）；

（6）一階復(fù)雜求二階（找到零點(diǎn)后仍難確定正負(fù)區(qū)間段，或一階導(dǎo)函數(shù)無法觀察出零

點(diǎn)，則求二階導(dǎo)）；

求二階導(dǎo)往往需要構(gòu)造新函數(shù)，令一階導(dǎo)函數(shù)或一階導(dǎo)函數(shù)中變號(hào)部分為新函數(shù)，對(duì)新

函數(shù)再求導(dǎo)．

（7）借助二階定區(qū)間（通過二階導(dǎo)正負(fù)判斷一階導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而判斷一階導(dǎo)函

數(shù)正負(fù)區(qū)間段）；

類型二：含參數(shù)單調(diào)性討論

（1）求導(dǎo)化簡(jiǎn)定義域（化簡(jiǎn)應(yīng)先通分，然后能因式分解要進(jìn)行因式分解，定義域需要

注意是否是一個(gè)連續(xù)的區(qū)間）；

（2）變號(hào)保留定號(hào)去（變號(hào)部分：導(dǎo)函數(shù)中未知正負(fù)，需要單獨(dú)討論的部分．定號(hào)部

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分：已知恒正或恒負(fù)，無需單獨(dú)討論的部分）；

（3）恒正恒負(fù)先討論（變號(hào)部分因?yàn)閰?shù)的取值恒正恒負(fù)）；然后再求有效根；

（4）根的分布來定參（此處需要從兩方面考慮：根是否在定義域內(nèi)和多根之間的大小

關(guān)系）；

（5）導(dǎo)數(shù)圖像定區(qū)間；

【解題方法總結(jié)】

1、求可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟

（1）確定函數(shù)f(x)的定義域；

（2）求f(x)，令f(x)0，解此方程，求出它在定義域內(nèi)的一切實(shí)數(shù)；

（3）把函數(shù)f(x)的間斷點(diǎn)（即f(x)的無定義點(diǎn)）的橫坐標(biāo)和f(x)0的各實(shí)根按由

小到大的順序排列起來，然后用這些點(diǎn)把函數(shù)f(x)的定義域分成若干個(gè)小區(qū)間；

（4）確定f(x)在各小區(qū)間內(nèi)的符號(hào)，根據(jù)f(x)的符號(hào)判斷函數(shù)f(x)在每個(gè)相應(yīng)小區(qū)

間內(nèi)的增減性．

注：①使f(x)0的離散點(diǎn)不影響函數(shù)的單調(diào)性，即當(dāng)f(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)離散點(diǎn)處為

零，在其余點(diǎn)處均為正（或負(fù)）時(shí)，f(x)在這個(gè)區(qū)間上仍舊是單調(diào)遞增（或遞減）的．例

如，在(,)上，f(x)x3，當(dāng)x0時(shí)，f(x)0；當(dāng)x0時(shí)，f(x)0，而顯然f(x)x3

在(,)上是單調(diào)遞增函數(shù)．

②若函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a,b)上單調(diào)遞增，則f(x)0（f(x)不恒為0），反之不成

立．因?yàn)閒(x)0，即f(x)0或f(x)0，當(dāng)f(x)0時(shí)，函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a,b)上

單調(diào)遞增．當(dāng)f(x)0時(shí)，f(x)在這個(gè)區(qū)間為常值函數(shù)；同理，若函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a,b)

上單調(diào)遞減，則f(x)0（f(x)不恒為0），反之不成立．這說明在一個(gè)區(qū)間上函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

大于零，是這個(gè)函數(shù)在該區(qū)間上單調(diào)遞增的充分不必要條件．于是有如下結(jié)論：

f(x)0f(x)單調(diào)遞增；f(x)單調(diào)遞增f(x)0；

f(x)0f(x)單調(diào)遞減；f(x)單調(diào)遞減f(x)0．

必考題型全歸納

題型一：利用導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系確定原函數(shù)圖像

【例1】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)fx是函數(shù)fx的導(dǎo)函數(shù)，yfx的圖象如圖

所示，則yfx的圖象最有可能的是（）

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A．B．

C．D．

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1】（多選題）（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽且導(dǎo)函數(shù)

為f'(x)，如圖是函數(shù)yxf'(x)的圖像，則下列說法正確的是

A．函數(shù)f(x)的增區(qū)間是(2,0),(2,)

B．函數(shù)f(x)的增區(qū)間是,2,2,

C．x2是函數(shù)的極小值點(diǎn)

D．x2是函數(shù)的極小值點(diǎn)

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2】（2024·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)yxfx的圖象如圖所示（其

中fx是函數(shù)fx的導(dǎo)函數(shù)），下面四個(gè)圖象中可能是yfx圖象的是（）

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A．B．

C．D．

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3】（2024·陜西西安·校聯(lián)考一模）已知定義在[3,4]上的函數(shù)fx的大致圖像

如圖所示，f(x)是fx的導(dǎo)函數(shù)，則不等式xfx0的解集為（）

5

A．(2,1)1,B．(3,2)

2

5

C．(1,0)1,D．(3,4)

2

【解題方法總結(jié)】

原函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)值的符號(hào)的關(guān)系，原函數(shù)f(x)單調(diào)遞增導(dǎo)函數(shù)

f(x)0（導(dǎo)函數(shù)等于0，只在離散點(diǎn)成立，其余點(diǎn)滿足f(x)0）；原函數(shù)單調(diào)遞減導(dǎo)

函數(shù)（導(dǎo)函數(shù)等于，只在離散點(diǎn)成立，其余點(diǎn)滿足）．

f(x)00f(x0)0

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題型二：求單調(diào)區(qū)間

x22

【例2】（2024·江西鷹潭·高三貴溪市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考階段練習(xí)）函數(shù)ylnx的單調(diào)遞

x

增區(qū)間為（）

A．(0,2)B．(0,1)C．(2,)D．(1,)

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)yxlnx（）

A．嚴(yán)格增函數(shù)

11

B．在0,上是嚴(yán)格增函數(shù)，在,上是嚴(yán)格減函數(shù)

ee

C．嚴(yán)格減函數(shù)

11

D．在0,上是嚴(yán)格減函數(shù)，在,上是嚴(yán)格增函數(shù)

ee

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練5】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)fxln4x21的單調(diào)遞增區(qū)間（）

1111

A．,B．,C．,D．0,

2222

b

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練6】（2024·高三課時(shí)練習(xí)）函數(shù)fxax（a、b為正數(shù)）的嚴(yán)格減區(qū)間是（）．

x

bbb

A．,B．,0與0,

aaa

bbbb

C．,0與0,D．,00,

aaaa

【解題方法總結(jié)】

求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的步驟如下：

（1）求f(x)的定義域

（2）求出f(x)．

（3）令f(x)0，求出其全部根，把全部的根在x軸上標(biāo)出，穿針引線．

（4）在定義域內(nèi)，令f(x)0，解出x的取值范圍，得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；令f(x)0，

解出x的取值范圍，得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間．若一個(gè)函數(shù)具有相同單調(diào)性的區(qū)間不只一個(gè)，

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則這些單調(diào)區(qū)間不能用“”、“或”連接，而應(yīng)用“和”、“，”隔開．

題型三：已知含量參函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)或不單調(diào)或存在單調(diào)區(qū)間，求參數(shù)范圍

x21

【例3】（2024·寧夏銀川·銀川一中校考三模）若函數(shù)f(x)lnx在區(qū)間(m,m)上不

23

單調(diào)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（）

22

A．0mB．m1

33

2

C．m1D．m>1

3

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練7】（2024·陜西西安·統(tǒng)考三模）若函數(shù)fxx2axlnx在區(qū)間1,e上單調(diào)遞

增，則a的取值范圍是（）

22

A．3,B．,3C．3,e1D．3,e1

3

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練8】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若函數(shù)fxlogaaxx(a0且a1)在區(qū)間

0,1內(nèi)單調(diào)遞增，則a的取值范圍是（）

11

A．3,B．1,3C．0,D．,1

33

ππ

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練9】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)f(x)sinxacosx在區(qū)間,上是減

42

函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）

A．a(chǎn)21B．a(chǎn)1C．a(chǎn)12D．a(chǎn)1

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練10】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）三次函數(shù)f(x)mx3x在(,)上是減函數(shù)，

則m的取值范圍是（）

A．m0B．m1C．m0D．m￡1

a

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練11】（2024·青海西寧·高三?？奸_學(xué)考試）已知函數(shù)fxlnx.若對(duì)任意x，

x11

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fx2fx1

x20,2，且x1x2，都有1，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）

x2x1

2727

A．,B．,2C．,D．,8

42

21

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練12】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若函數(shù)fxlnxax2在區(qū)間,2內(nèi)存在

2

單調(diào)遞增區(qū)間，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）

11

A．2,B．,C．2，D．2,

88

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練13】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若函數(shù)f(x)x2xlnx2在其定義域的一個(gè)

子區(qū)間(2k1,2k1)內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）

331313

A．,B．,3C．,3D．,

242224

2

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練14】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)fxlnxxb（bR）在區(qū)間

1

,2上存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是

2

39

A．,B．,C．,3D．,2

24

1a

【例4】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)fxx3x2x1在,0，3,上

32

單調(diào)遞增，在1,2上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）

105

A．,B．,2

32

10105

C．,2D．,

332

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練15】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)fxmx33m1x2m21m0

的單調(diào)遞減區(qū)間是0,4，則m（）

11

A．3B．C．2D．

32

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【解題方法總結(jié)】

（1）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)恒大于等于或恒小于等于

零求解，先分析導(dǎo)函數(shù)的形式及圖像特點(diǎn)，如一次函數(shù)最值落在端點(diǎn)，開口向上的拋物線最

大值落在端點(diǎn)，開口向下的拋物線最小值落在端點(diǎn)等．

（2）已知區(qū)間上函數(shù)不單調(diào)，轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在變號(hào)零點(diǎn)，通常用分離變量法

求解參變量范圍．

（3）已知函數(shù)在區(qū)間上存在單調(diào)遞增或遞減區(qū)間，轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上大于零或小

于零有解．

題型四：不含參數(shù)單調(diào)性討論

1lnx1

【例5】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)fxx0.試判斷函數(shù)fx在

x

0，上單調(diào)性并證明你的結(jié)論；

exa

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練16】（2024·廣東深圳·高三深圳外國(guó)語學(xué)校校考階段練習(xí)）已知fxlnx

x

若a1，討論fx的單調(diào)性；

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練17】（2024·貴州·校聯(lián)考二模）已知函數(shù)fxxlnxex1．

(1)求曲線yfx在點(diǎn)1,f1處的切線方程；

(2)討論fx在0,上的單調(diào)性．

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【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練18】（2024·湖南長(zhǎng)沙·高三長(zhǎng)沙一中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)

π

fxexaxaR，gxexcosx.

2

(1)若fx0，求a的取值范圍；

(2)求函數(shù)gx在0,上的單調(diào)性；

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練19】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)f(x)ln(ex1)lnx．

判斷f(x)的單調(diào)性，并說明理由；

【解題方法總結(jié)】

確定不含參的函數(shù)的單調(diào)性，按照判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟即可，但應(yīng)注意一是不能漏掉

求函數(shù)的定義域，二是函數(shù)的單調(diào)區(qū)間不能用并集，要用“逗號(hào)”或“和”隔開．

題型五：含參數(shù)單調(diào)性討論

情形一：函數(shù)為一次函數(shù)

【例6】（2024·山東聊城·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)f(x)(m1)xmlnxm．

討論f(x)的單調(diào)性；

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練20】（2024·湖北黃岡·黃岡中學(xué)?？级＃┮阎瘮?shù)

fxlnx2a2x23ax1a0.

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討論函數(shù)fx的單調(diào)性；

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練21】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fxlnx1ax1aR.

討論函數(shù)fx的單調(diào)性；

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練22】（2024·福建泉州·泉州五中校考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fxxalnx．

討論fx的單調(diào)性；

情形二：函數(shù)為準(zhǔn)一次函數(shù)

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練23】（2024·云南師大附中高三階段練習(xí)）已知函數(shù)fxxlnxax.

討論fx的單調(diào)性；

1

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練24】（2024·北京·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)f(x)kexx2.

2

(1)當(dāng)k1時(shí)，求曲線yf(x)在x1處的切線方程；

(2)設(shè)g(x)f(x)，討論函數(shù)g(x)的單調(diào)性；

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【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練25】（2024·陜西安康·高三陜西省安康中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)

fxexax1aR.

討論fx的單調(diào)性；

情形三：函數(shù)為二次函數(shù)型

方向1、可因式分解

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練26】（2024·山東濟(jì)寧·嘉祥縣第一中學(xué)統(tǒng)考三模）已知函數(shù)

fxalnxx2a2xa0.

討論函數(shù)fx的單調(diào)性；

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練27】（2024·湖北咸寧·校考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)

111

fxxalnxb，其中a,bR.

x2x22x

討論函數(shù)fx的單調(diào)性；

2x

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練28】（2024·北京海淀·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)fxax4a1x4a3e．

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(1)若曲線yfx在點(diǎn)1,f1處的切線與x軸平行，求a；

(2)求fx的單調(diào)區(qū)間．

1

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練29】（2024·廣西玉林·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fxx23ax2a2lnx，a0.

2

討論fx的單調(diào)區(qū)間；

2a284

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練30】（2024·河南鄭州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知fxlnx2a0.

axx

討論fx的單調(diào)性；

方向2、不可因式分解型

1

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練31】（2024·河南駐馬店·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)fxln1xax2，

2

1sinx

gxaxa0．

x1ex

討論fx的單調(diào)性；

x22axa

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練32】（2024·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)f(x)lnx(aR)．

2x

[在此處鍵入]

[在此處鍵入]

討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

1x2

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練33】（2024·廣東·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fx，aR.

eax

討論fx的單調(diào)性；

1

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練34】（2024·江蘇·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)f(x)x23ax2lnx(aR).

2

討論函數(shù)fx的單調(diào)性；

【解題方法總結(jié)】

1、關(guān)于含參函數(shù)單調(diào)性的討論問題，要根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的情況來作出選擇，通過對(duì)新函數(shù)

零點(diǎn)個(gè)數(shù)的討論，從而得到原函數(shù)對(duì)應(yīng)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，最終判斷原函數(shù)的增減．（注意定義域

的間斷情況）．

2、需要求二階導(dǎo)的題目，往往通過二階導(dǎo)的正負(fù)來判斷一階導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合一

階導(dǎo)函數(shù)端點(diǎn)處的函數(shù)值或零點(diǎn)可判斷一階導(dǎo)函數(shù)正負(fù)區(qū)間段．

3、利用草稿圖像輔助說明．

情形四：函數(shù)為準(zhǔn)二次函數(shù)型

aa

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練35】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)fxxexlnx，x0,，其