高考物理二輪復(fù)習(xí) 專題五 方法專題 第12講 應(yīng)用數(shù)學(xué)知識和方法處理物理問題講義

第12講應(yīng)用數(shù)學(xué)知識和方法處理物理問題

題型1應(yīng)用幾何圖形解決物理問題

1.動(dòng)態(tài)平衡問題的幾何解法

等效圓周角不變法

物體受三個(gè)力平衡：一個(gè)力恒定、另外兩個(gè)力大小、方向都變化，但兩力夾角不變時(shí)可用此

法(如圖).由弦長的變化判斷力的變化，此類題也可用E弦定理求解.

2.與圓有關(guān)的幾何知識

⑴周長:2nr,面積:兀冷

(2)直徑所對的圓周角是直角；

(3)同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于它所對圓心角的一半；

(4)圓的函數(shù)方程：(x—a)2+3—6)2=/是以點(diǎn)(小公為圓心、「為半徑的圓.

m11如圖所示，在半徑44cm的圓形區(qū)域內(nèi)有方向庭直紙面向里的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)

度6=0.1T,圓的直徑如恰好落在x軸上，C為圓心.在原點(diǎn)。處有一粒子源，可向,Y0平

面內(nèi)的各個(gè)方向發(fā)射速度大小均為r=8XlOm/ss比荷'=1X10(/kg的帶負(fù)電粒子，粒子

P1

重力不計(jì).

(1)當(dāng)粒子的初速度方向與X軸夾角為〃時(shí)，恰好能從力點(diǎn)射出，求〃角；

(2)調(diào)整粒子源的出射速度大小為2X10%/s,試用陰影圖畫出粒子在磁場中能到達(dá)的區(qū)域，

并求出該區(qū)域的面積(取工-3).

答案見解析

2

解析(1)設(shè)粒子在磁場中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為n,據(jù)"，解得：n=8cm.分析知，粒

子做圓周運(yùn)動(dòng)的圓心與0、力三點(diǎn)組成等邊三角形，由幾何關(guān)系知：〃=30°

(2)/改變后，粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑：連=2cm,能到達(dá)的陰影區(qū)域如圖所示

S華m=］冗n

Sia形(2?j)2

6

S以=SL—2n?/及

故S用影?22—^3722^15cnf.

題型2應(yīng)用三角函數(shù)分析物理問題

,,Qb

y=<?cos〃+層in0=>\/#+K(f—,---=：fos0+.,—<in。)

7才+6

.ab

令sin°=L'c°s"=B

則有：y=7—+S(sin</>cos^4-cos^sin0}=yja+/j:sin(。+。)

所以當(dāng)。+0=]■時(shí)、y有最大值，且外“=4才+爐.

【例2】(2019?廣東肇慶市一模)如圖a所示，一物體以一定的速度匕沿足夠長的固定斜面向

上運(yùn)動(dòng)，此物體化斜面上的最大位移與斜面傾角的關(guān)系如圖b所示.設(shè)各種條件下，物體與

斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)不變，取g=10m/s2.試求：

⑴物體與斜面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)及物體的初速度大小;

(2)〃為多大時(shí)，x值最??？求出x的最小值.

解析⑴當(dāng)〃為90°時(shí)，由運(yùn)動(dòng)學(xué)知識可得：詔=2劭

設(shè)動(dòng)摩擦因數(shù)為〃，當(dāng)〃=0。時(shí)摩擦力大小為：R=umg

R=ma、

由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式可得：詔=28照

聯(lián)立以上各式解得：〃=手，％=5m/s

O

⑵對于任意角度，根據(jù)動(dòng)能定理可得，物體對應(yīng)的最大位移X滿足的關(guān)系式：

1

-/nvo=/ngxsin〃+以mgxcas0

乙

上式變形可得?X=-----------------=--------------=.---------

m又山J14.X2^sin。+〃cos0）sin〃+〃cos〃/"siM0+。）

〃=tan。，貝ljx的最小值為A,?i?=/h..=o

nnn

對應(yīng)的0---cb==一

2----426----3

題型3應(yīng)用函數(shù)表達(dá)式解決物理問題

二次函數(shù)7=/+&+。（2、byc為常數(shù)且a￥0）,當(dāng)x=一及時(shí)，y有極俏.%（a>0時(shí)，％為

極小值；水0時(shí)，乂為極大值）.

【例3】（2017?全國卷II?17）如圖所示，半圓形光滑軌道固定在水平地面上，半圓的直徑與

地面垂直，一小物塊以速度/從軌道下端滑入軌道，并從軌道上端水平飛出，小物塊落地點(diǎn)

到軌道下端的距離與軌道半徑有關(guān)，此距離最大時(shí)，對應(yīng)的軌道半徑為（重力加速度大小為

g）（）

////

A?砌?辰?啟％

答案B

解析小物塊由最低點(diǎn)到最高點(diǎn)的過程，由機(jī)械能守恒定律得儂/+%〃詔，小物塊做

乙乙

平拋運(yùn)動(dòng)時(shí)，落地點(diǎn)到軌道下端的距離才一H-，

又2r=］也聯(lián)立解得，x=2yl-^r—4r

由數(shù)學(xué)知識可知，當(dāng)片可時(shí)，，最大，故選項(xiàng)BIE確.

題型4數(shù)列和歸納法的應(yīng)用

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)重點(diǎn)，日常生活中的很多實(shí)際問題都可以利用數(shù)列知識進(jìn)行求解，物

理情境中也有很多問題與數(shù)列有關(guān).某一復(fù)雜物理過程中如果同一物理情境重復(fù)出現(xiàn)，往往

會(huì)涉及數(shù)學(xué)歸納法和數(shù)列知識的應(yīng)用.

高中物理涉及的數(shù)列知識主要有等差數(shù)列、等比數(shù)列、通項(xiàng)公式和前〃項(xiàng)和公式的應(yīng)用等.解

題的基本思路分三步：第一步，逐個(gè)分析開始階段的幾人物理過程；第二步，利用數(shù)學(xué)歸納

法尋找變化物理量的通項(xiàng)公式：第三步，應(yīng)用數(shù)列知識分析求解.

【例4】如圖所示，豎直放置的半圓形光滑軌道半徑為凡圓心為。下端與水平軌道在〃點(diǎn)

平滑連接.一質(zhì)量為卬的物塊（可視為質(zhì)點(diǎn)），置于水平就道上的力點(diǎn).已知從4兩點(diǎn)間的距

離為L,物塊與水平軌道間的動(dòng)摩擦因數(shù)為〃，重力加速度為名

⑴若物塊能到達(dá)的最高點(diǎn)是半圓形軌道上與圓心0等高的。點(diǎn)，則物塊在力點(diǎn)水平向左運(yùn)動(dòng)

的初速度應(yīng)為多大？

⑵若對物塊始終施加水平向左的恒力少=彳〃儂，并將其從4點(diǎn)由靜止釋放，且運(yùn)動(dòng)過程始

終不脫離軌道，求物塊第2,3,…）次經(jīng)過〃點(diǎn)時(shí)的速度大小.

答案（1）尖2、+向⑵@y罟

解析（1）設(shè)物塊在月點(diǎn)時(shí)的速度為回，由動(dòng)能定理有：—RmgL—mgR=G一』mv：

解得：匕=,2出uL\昨

⑵設(shè)第2、4、6、…、2〃次經(jīng)過8點(diǎn)時(shí)的速度分別為以內(nèi)、…、以

第2、4、6、…、2〃次離開4點(diǎn)向右滑行的最大距離分別為小%、…、L“,則有：

（F—Pmg）L=^mv^

—儼+〃mg）Zi=O-%后

綜上有：

得：儂=看尸寸在

【拓展訓(xùn)練11(2019?湖南省六校4月聯(lián)考)如圖所示，在光滑水平面上有一質(zhì)量為2018勿的

木板，板上有2018塊質(zhì)量均為力的相同木塊1、2、…、2018.最初木板靜止，各木塊分別以

八2八…、2018P同時(shí)向同一方向運(yùn)動(dòng)，木塊和木板間的動(dòng)摩擦因數(shù)為〃，且木塊間不發(fā)生

碰撞和離開木板的現(xiàn)象.求最終木板的速度大小.

v2v3v2018t/

解析木塊與木板最終一起以速度/運(yùn)動(dòng)，

由動(dòng)量守恒可知〃7(0+2LH??+20180=2X2018〃/；

解得/=翠匕

題型5數(shù)學(xué)不等式的應(yīng)用

對于兩個(gè)大于零的變量石、b,若其和a+人為一定值，則當(dāng)a=。時(shí)，其積劭有極大值；若

其積油為一定值，則當(dāng)a=6時(shí)，其和a+8有極小值.

【例5】為研究靜電除塵，有人設(shè)計(jì)了一個(gè)盒狀容器，容器側(cè)面是絕緣的透明有機(jī)玻璃，它的

上下底面是面積S=0.04n?的金屬板，間距L=0.05m,當(dāng)連接到^=2500V的高壓電源正負(fù)兩

極時(shí)，能在兩金屬板間產(chǎn)生一個(gè)勻強(qiáng)電場，如圖所示.現(xiàn)把一定量均勻分布的煙塵顆粒密閉

在容器內(nèi)，每In?有煙塵顆粒IX10”個(gè)，假設(shè)這些顆粒都處于靜止?fàn)顟B(tài)，每個(gè)顆粒的帶電荷

量“=+1.0義10一氣，質(zhì)量h=2.0X10f'kg,不考慮煙塵顆粒之間的相互作用和空氣阻力，

并忽略煙生顆粒所受的重力.問合上開關(guān)后：

⑴經(jīng)過多長時(shí)間煙塵顆?？梢员蝗课?

(2)除塵過程中電場力對煙塵顆粒共做了多少功？

(3)經(jīng)過多長時(shí)間容器中煙塵顆粒的總動(dòng)能達(dá)到最大?

答案(1)0.02s(2)2.5X10-4J(3)0.014S

解析(1)由題意可知，只要位于上板表面的煙塵能被吸附到下板，煙塵即被認(rèn)為全部吸收.設(shè)

經(jīng)過時(shí)間f煙塵顆?？梢员蝗课?，煙塵所受的電場力

72

,121Z2qb't

L千產(chǎn)F?藍(lán)=FL

得：t=A^L=0.02s.

(2)由于板間煙塵顆粒均勻分布，可以認(rèn)為煙塵的重心位于板間中點(diǎn)位置，因此，除塵過程中

電場力對煙塵所做的總功為：#一9VW/*=2.5Xl()7j.

⑶設(shè)煙塵顆粒下落的距離為％則板內(nèi)煙塵的總動(dòng)能為:

Ei=^mv?AS(￡—x)=*~x?NSlL一6

乙L

當(dāng)時(shí)，區(qū)達(dá)最大

題型6微元法的應(yīng)用

在電磁感應(yīng)中，如導(dǎo)體切割磁感線運(yùn)動(dòng)，產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢為￡=應(yīng)匕感應(yīng)電流/=一丁，受安

培力為尸=夕〃=下/，因?yàn)槭亲兞栴}，所以可以用微元法.

K

【例6】(2019?金麗衢十二校聯(lián)考)如圖所示，空中等間即分布水平方向的條形勻強(qiáng)磁場，豎

直方向磁場區(qū)域足夠長、磁感應(yīng)強(qiáng)度均一樣，每一條形磁場區(qū)域的寬及相鄰條形磁場區(qū)域的

間距均為d現(xiàn)讓一邊長為￡(僅中、質(zhì)最為力、總電阻為〃的勻質(zhì)正方形線框秘像受到瞬時(shí)

的水平?jīng)_量h使線框從左側(cè)磁場邊緣水平?進(jìn)入磁場.(不計(jì)空氣阻力，線框運(yùn)動(dòng)過程中始

終保持與磁場邊緣線平行)

(1)線圈進(jìn)入磁場的全過程中，MV邊相當(dāng)于產(chǎn)生感應(yīng)電流的“電源”，這“電源”的非靜電

力與什么力有關(guān)？

(2)線圈剛穿過第個(gè)磁場區(qū)域后水平速度變?yōu)樾?，求線圈完全處在笫個(gè)磁場中時(shí)的水平

速度大小匕

（3）若￡=0.2m,m=0.1kg,7?=0.1Q,d=0.5m,7o=O.9N,s,且每個(gè)區(qū)域磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)

度8=LOT,求線框從剛進(jìn)入磁場到運(yùn)動(dòng)方向開始豎直向下的過程中已穿過完整條形磁場的

區(qū)域個(gè)數(shù)〃和產(chǎn)生的焦耳熱。

答案（1）洛倫茲力（2）空斗（3）54.05J

解析（1）與洛倫茲力有關(guān)

（2）初速度為：r=—

0m

線框進(jìn)入第一個(gè)磁場區(qū)域過程，水平方向由動(dòng)量定理有：

—EBiL,At=mv—mv（s

即有：BLq=mvQ—mv

線框出第一個(gè)磁場區(qū)域過程，水平方向由動(dòng)量定理有：

—LBiL,At=mv\-mv

即有：BLq=mv—mv\

解以上方程可得：/="斗

（3）線框運(yùn)動(dòng)方向開始豎直向下時(shí)水平方向速度為0.設(shè)線框從剛進(jìn)入磁場到運(yùn)動(dòng)方向開始豎

直向下的過程中已穿過完整條形磁場區(qū)域〃個(gè)，整個(gè)過程由動(dòng)量定理有：2nBLq=mvL。

BI：

q=~

解得：〃=冊=5.625（完整個(gè)數(shù)取5）

%=-=9m/s

m

12

Q=-mvn=^.05J

乙

【拓展訓(xùn)練2】（多選）（2019?安徽合肥市第二次質(zhì)檢）如圖所示，足夠長的光滑平行金屬導(dǎo)軌

與水平面成〃角放置，導(dǎo)軌間距為￡旦電阻不計(jì)，其頂端接有一阻值為〃的電阻，整個(gè)裝置

處于磁感應(yīng)強(qiáng)度為6的勻強(qiáng)磁場中，磁場方向垂直于導(dǎo)軌平面向下.一質(zhì)量為m的金屬棒以

初速度％由導(dǎo)軌底端上滑：經(jīng)一段時(shí)間滑行距離x到達(dá)最高點(diǎn)后，又返回底端.棒與兩導(dǎo)軌

始終垂直且接觸良好，其接入電路中的電阻為人重力加速度為g.下列說法正確的是（）

e

8

A.棒下滑過程的平均速度等于午

RIX

B.棒卜滑過程通過"的電荷量為百

K

棒上滑時(shí)間等于嘴黑等

C.

棒上滑過程中回路產(chǎn)生的焦耳熱等于:初請一儂松打0

D.

答案CD

解析根據(jù)能量守恒得，除最高點(diǎn)外，在任何一個(gè)位置，上滑到此位置的速度大于下滑到此

位置的速度，則上滑的平均速度大于下滑的平均速度，在上滑過程中，物體做加速度逐漸減

小的減速運(yùn)動(dòng)，故上滑的平均速度小于下滑的平均速度小于藍(lán)，故A錯(cuò)誤；根據(jù)感應(yīng)電

A（I）BLx

荷量公式4=加二可知，下滑過程中通過〃的電荷量。=枳，故B錯(cuò)誤；上滑過程，以向上

為正方向，對棒由動(dòng)量定理得：一（建sin0+BiDAf=z?A%兩邊求和得：一E（儂sin〃?△力）

BLx

—L(BiL^rf=E/z?Av,整理得：—mgs\n8?t—BLq=。-mg,又q="+解得t=

*:配方，故c正確；棒上滑到最高點(diǎn)的過程中，由能量守恒定律可得，回路中產(chǎn)生

的總焦耳熱為：0=）加療一mgxsin〃，故D正確.

專題強(qiáng)化練

【基礎(chǔ)題組】

1.如圖所示，在斜面上有四條光滑細(xì)桿，其中力桿豎直放置，如桿與如桿等長，4桿與

斜面垂直放置，每根桿上都套著一個(gè)小滑環(huán)（圖中未畫出），四個(gè)環(huán)分別從。點(diǎn)由靜止移放，

沿。1、OB、0C、?！ɑ叫泵嫔纤玫臅r(shí)間依次為力、以右、幾下列關(guān)系不正確的是（）

A.2]>tzB.t\—(3

C.ti—D.D<—

答案c

解析以為為直徑畫圓建立等時(shí)圓模型,

小滑環(huán)受重力和支持力，由牛頓第二定律得a=鴕。s0（0為桿與豎直方向的夾角）

由圖中的直角三角形可知，小滑環(huán)的位移x=2應(yīng)os0

￡與。無關(guān)，可知從圓上最高點(diǎn)沿任意一條弦滑到底端所用時(shí)間相同，故沿力和滑到底

端的時(shí)間相同，即ti=星仍不是一條完整的弦，時(shí)間最短，即口外必長度超過一條弦,

時(shí)間最長，即似然,選項(xiàng)A、B、D正確，C錯(cuò)誤.

2.如圖所示，將兩個(gè)質(zhì)量均為例帶電荷量分別為+小一q的小球a、b,用兩細(xì)線相連并

懸掛于。點(diǎn),置于沿水平方向的勻強(qiáng)電場中,電場強(qiáng)度為反且々=儂.用力廠拉小球用

使整個(gè)裝置處于平衡狀態(tài)，且兩條細(xì)線在一條直線上，刻￡的大小可能為（）

1

A.3儂B.-乙mg

rn巫

C.mg0.十窗

答案A

解析先分析力的平衡，由于反?=〃冷所以兩線與豎直方向夾角為45°,再分析整體平衡:

兩電場力抵消，轉(zhuǎn)變成典型的三力平衡問題，畫矢量三角形如圖所示，川的最小值禽產(chǎn)

2儂sin45°=y[2mg,則應(yīng)滿足梏隹儂，故A正確.

3.如圖所示，傳送帶通過滑道將長為￡、質(zhì)量為勿的勻質(zhì)物塊以初速度外向右送上水平臺面,

物塊前端在臺面上滑動(dòng)s距離停下來.已知滑道上的摩擦不計(jì)，物塊與臺面間的動(dòng)摩擦因數(shù)

為〃，重力加速度為g,而且s",則物塊的初速度的為（）

A.?2B.*〃gs-ugL

C.D.〃gs+ugL

答案B

解析物塊位移在由0增大到￡的過程中，對臺面的壓力隨位移由0均勻地增加至儂，故整

個(gè)過程的摩擦力的大小隨位移變化的圖象如圖所示，圖中梯形“面積”表示物塊克服摩擦力

所做的功.

由動(dòng)能定理得：J〃mg(s—￡+s)=%/行

可解得%=22ugs—〃弘

【能力題組】

4.如圖甲所示，木板與水平地面間的夾角〃可以隨意改變，當(dāng)"=30°時(shí)，可視為質(zhì)點(diǎn)的

一小物塊恰好能沿著木板勻速下滑.若讓該小物塊從木板的底端以大小恒定的速度歷沿木板

向上運(yùn)動(dòng)(如圖乙)，隨著〃的改變，小物塊沿木板滑行的最大距離s將發(fā)生變化，重力加速

度為名

(1)求小物塊與木板間的動(dòng)摩擦因數(shù)；

⑵當(dāng)〃角滿足什么條件時(shí)，小物塊沿木板上滑的最大距離s最小，并求出此最小值.

答案⑴坐(2)。=60。嚕"

解析(1)由題意知，當(dāng)0=30°時(shí)，對物塊受力分析得相sin〃=

氏=〃歸cos0

聯(lián)立得〃=lan=tan300=坐

(2)小物塊向上運(yùn)動(dòng)，則有

mgsin〃+〃a儂os0=ma

v^=2as

2Xsin0+JJCOS，)

______________________

2g\j\+sin(，+。)

令tana=〃，當(dāng)，+。=90°時(shí)，s最小，此時(shí)有。=60°

打詔小詔

有&in=/,-,=.

2“1+〃4g

5.如圖所示，質(zhì)量為勿的由絕緣材料制成的球與質(zhì)量為J/=19川的金屬球并排懸掛.現(xiàn)將絕

緣球拉至與豎直方向成。=60°的位置自由釋放，下擺后在最低點(diǎn)處與金屬球發(fā)生彈性碰

撞.在平衡位置附近存在垂直于紙面的磁場.已知由于磁場的阻尼作用，金屬球?qū)⒂谠俅闻?/p>

撞前停在最低點(diǎn)處.求經(jīng)過幾次碰撞后絕緣球偏離豎直方向的最大角度將小于45。.

Mm

答案3次

解析設(shè)在第〃次碰撞前絕緣球的速度為％I,碰撞后絕緣球、金屬球的速度分別為匕和工

由于碰撞過程中動(dòng)量守恒、碰撞前后動(dòng)能相等，設(shè)速度向左為正，則

=.〃/,一加匕①

；加味甫②

乙乙乙

由①、②兩式及.a19勿解得

9

%=15Ji③

匕=春心④

第〃次碰撞后絕緣球的動(dòng)能為

￡=%?/=(0.81)”氐⑤

氏為第1次碰撞前的動(dòng)能，即初始能量

絕緣球在%=60°與。=45°處的勢能之比為

Ecos0\

7=—^------六七586@

￡o磔7(1—COS〃0)

式中/為擺長.

根據(jù)⑤式，經(jīng)〃次碰撞后

p

7?=(0.81)"⑦

Co

易算出(0.81)2g0.656,081尸比0.531,因此，經(jīng)過3次碰撞后夕將小于45°.

6.(2019?河南駐馬店市第?學(xué)期期末)如圖所示，間距為￡=0.5m的兩條平行金屬導(dǎo)軌，水

平放置在豎直向下的勻強(qiáng)磁場中，磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度4=0.2T,軌道左側(cè)連接一定值電阻R

=1Q.垂直導(dǎo)軌的導(dǎo)體棒仍在水平外力廠作用下沿導(dǎo)軌運(yùn)動(dòng)，并始終與導(dǎo)軌接觸良好.E=0

時(shí)刻，導(dǎo)體棒從靜止開始做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，力/隨時(shí)間「變化的規(guī)律如圖乙所示.已知導(dǎo)

體棒和導(dǎo)軌間的動(dòng)摩擦因數(shù)為〃=0.5,導(dǎo)體棒和導(dǎo)軌的電阻均不計(jì).取@=10"/,求：

(1)導(dǎo)體棒的加速度大?。?/p>

(2)導(dǎo)體棒的質(zhì)量.

答案(l)5m/s2(2)0.1kg

解析(1)設(shè)導(dǎo)體棒的質(zhì)量為勿，導(dǎo)體棒做勻加速直線運(yùn)動(dòng)的加速度為"某時(shí)刻￡,導(dǎo)體棒

的速度為匕所受的摩擦力為￡,則導(dǎo)體棒產(chǎn)生的電動(dòng)勢：E=BLv

E

回路中的電流1=-

K

導(dǎo)體棒受到的安培力：P安=4〃

由牛頓第二定律：F—F笠-R=ma

由題意v=at

聯(lián)立解得：F=-不t+/na+Ff

K

尸產(chǎn)

根據(jù)題圖乙可知，0?10s內(nèi)圖象的斜率為0.05N/S,即二T-nO.OSN/s,解得a=5m/s2

K

(2)由F-t圖象縱截距可知：ma+F尸1.ON

又Ft=umg

解得2ff=0.1kg.

7.(2019?山東德州市上學(xué)期期末)如圖所示，寬度為￡的光滑固定金屬導(dǎo)軌由水平部分和傾

斜部分組成，水平部分足夠長，傾斜部分與水平面的夾角為30°.導(dǎo)軌水平部分處于豎直向

上的勻強(qiáng)磁場中，傾斜部分處于斜向上與導(dǎo)軌平面垂直的勻強(qiáng)磁場中，兩磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度

大小均為