2025年高考數(shù)學必刷題分類：第27講、多元最值問題（學生版）

第27講多元最值問題

知識梳理

解決多元函數(shù)的最值問題不僅涉及到函數(shù)、導數(shù)、均值不等式等知識，還涉及到消元

法、三角代換法、齊次式等解題技能．

必考題型全歸納

題型一：消元法

例1．（2024·全國·高三專題練習）已知正實數(shù)x，y滿足lnxyexlny，則yex的最大值

為______.

例2．（2024·廣東梅州·高三五華縣水寨中學校考階段練習）已知實數(shù)m,n滿足：

lnt

mem(n1)ln(n1)t(t0)，則的最大值為___________.

m(n1)

例3．（2024·天津和平·高三天津一中?？茧A段練習）對任給實數(shù)xy0,不等式

x22y2cx(yx)恒成立,則實數(shù)c的最大值為__________.

題型二：判別式法

例4．（2024·重慶渝中·高一重慶巴蜀中學?？计谥校┤魓,yR，4x2y2xy1，則當

x______時，xy取得最大值，該最大值為______.

例5．（2024·全國·高三競賽）在ABC中，2cosA3cosB6cosC，則cosC的最大值為

_______________．

axb

例6．（2024·高一課時練習）設非零實數(shù)a，b滿足a2b24，若函數(shù)y存在最大

x21

值M和最小值m，則Mm_________.

1

變式1．（2024·江蘇·高三專題練習）若正實數(shù)x,y滿足(2xy1)2(5y2)(y2)，則x

2y

的最大值為________．

變式2．（2024·全國·高三專題練習）設a,bR，0，若a2b24，且ab的最大值

是5，則___________.

題型三：基本不等式法

xyyz

例7．設x、y、z是不全是0的實數(shù).則三元函數(shù)fx,y,z的最大值是_____.

x2y2z2

例8．（2024·天津和平·高三耀華中學?？茧A段練習）若實數(shù)x,y滿足2x2xyy21，則

x2y

的最大值為________.

5x22xy2y2

abbc

例9．（2024·全國·高三專題練習）已知正數(shù)a,b,c，則的最大值為_________．

2a2b2c2

題型四：輔助角公式法

例10．（2024·江蘇蘇州·高三統(tǒng)考開學考試）設角、均為銳角，則sinsincos

的范圍是______________．

例11．ycos()coscos1的取值范圍是．

題型五：柯西不等式法

例12．（2024·廣西欽州·高二統(tǒng)考期末）已知實數(shù)ai，biR，（i＝1，2…，n），且滿足

222222

a1a2an1，b1b2bn1，則a1b1a2b2anbn最大值為（）

A．1B．2C．n2D．2n

例13．（2024·陜西渭南·高二校考階段練習）已知x，y，z是正實數(shù)，且xyz5，則

x22y2z2的最小值為______.

例14．（2024·江蘇淮安·高二校聯(lián)考期中）已知x2y2z21，a3b6c16，則

222

xaybzc的最小值為______.

變式3．（2024·全國·高三競賽）已知x、y、zR，且sx2y5z10，

tx1y1z1，則s2t2的最小值為.

A．35B．410

C．36D．45

變式4．（2024·全國·高三競賽）設a、b、c、d為實數(shù)，且a2b2c2d240.則

3a2bc4d的最大值等于.

A．2B．0C．2D．22

題型六：權方和不等式法

11

例15．（2024·甘肅·高三校聯(lián)考）已知x>0，y>0，且1，則x+2y的最小值為

2xyy1

____________.

21

例16．已知實數(shù)x,y滿足xy0且xy1，則的最小值是

x3yxy

a2b2

例17．已知a1,b1，則的最小值是．

b1a1

122

變式5．已知x,y0,1，則x2y2的最小值是．

xy

題型七：拉格朗日乘數(shù)法

例18．x0，y0，xyxy17，求x2y3的最小值．

例19．設x,y為實數(shù)，若4x2y2xy1，則2xy的最大值是．

題型八：三角換元法

例20．（2024·山西晉中·高三祁縣中學?？茧A段練習）已知函數(shù)f(x)3x33x3x3x3，

若f(3a2)f(b21)6，則a1b2的最大值是________

例21．（2024·浙江溫州·高一校聯(lián)考競賽）2x2xyy21，則x2xy2y2的最小值為

______.

題型九：構造齊次式

2xyxy

例22．（2024·江蘇·高一專題練習）已知x0，y0，則的最大值是______.

x28y2x22y2

3a1

例23．（2024·河南·高三信陽高中校聯(lián)考階段練習）已知實數(shù)a,b0，若a2b1，則

bab

的最小值為（）

A．12B．23C．63D．8

ab

例24．（2024·天津南開·高三統(tǒng)考期中）已知正實數(shù)a，b，c滿足a22ab9b2c0，則

c

的最大值為____________．

題型十：數(shù)形結合法

例25．（2024·全國·高三專題練習）函數(shù)fxx2axb（a，bR）在區(qū)間[0，c]（c0）

上的最大值為M，則當M取最小值2時，abc_____

xlnx,x0

例26．（2024·江蘇揚州·高三階段練習）已知函數(shù)fx，若x1x2且

2x4e,x0

fx1fx2，則x1x2的最大值為（）

15

A．2eB．2e1C．5eD．e

e2

xlnx,x0

例27．（2024·全國·高三專題練習）已知函數(shù)fx，若x1x2且fx1fx2，

x1,x0

則x1x2的最大值為（）

A．22B．2C．2D．1

x,0x1,

變式6．（2024·江蘇·高三專題練習）已知函數(shù)fx若存在實數(shù)x1，x2滿

ln2x,1x2,

足0x1x22，且fx1fx2，則x2x1的最大值為（）

ee

A．B．1C．1ln2D．2ln4

22

題型十一：向量法

例28．（2024·江蘇南通·高一海安高級中學?？茧A段練習）17世紀法國數(shù)學家費馬在給朋友

的一封信中曾提出一個關于三角形的有趣問題：在三角形所在平面內(nèi)，求一點，使它到三角

形每個頂點的距離之和最小，現(xiàn)已證明：在ABC中，若三個內(nèi)角均小于120，則當點P

滿足DAPB=DAPC=DBPC=120°時，點P到三角形三個頂點的距離之和最小，點P被人

們稱為費馬點．根據(jù)以上知識，已知a為平面內(nèi)任意一個向量，b和c是平面內(nèi)兩個互相垂

直的向量，且|b|2,|c|3，則|ab||ab||ac|的最小值是_____________．

例29．（2024·浙江嘉興·高一統(tǒng)考期末）已知平面向量a，b，c滿足a1，b2，|a|2ab，

b

c(c)0，則|ca|2|cb|2的最小值為________.

2

例30．（2024·湖北武漢·高一湖北省武昌實驗中學校聯(lián)考期末）已知向量a，b滿足

a