分段函數(shù)教案

分段函數(shù)教案?一、教學目標1.知識與技能目標讓學生理解分段函數(shù)的概念，能正確識別分段函數(shù)。會求分段函數(shù)的定義域、值域。能根據(jù)不同的自變量取值范圍，正確計算分段函數(shù)的函數(shù)值。2.過程與方法目標通過實例分析，培養(yǎng)學生觀察、分析、歸納的能力，提高學生從具體到抽象的思維能力。在求解分段函數(shù)問題的過程中，讓學生體會分類討論的數(shù)學思想方法。3.情感態(tài)度與價值觀目標通過對分段函數(shù)的學習，培養(yǎng)學生嚴謹?shù)臄?shù)學態(tài)度和勇于探索的精神。讓學生感受數(shù)學在實際生活中的廣泛應用，提高學生學習數(shù)學的興趣。

二、教學重難點1.教學重點分段函數(shù)的概念和性質(zhì)。分段函數(shù)的定義域、值域的求法以及函數(shù)值的計算。2.教學難點對分段函數(shù)概念的理解，特別是分段區(qū)間端點處函數(shù)值的確定。如何引導學生正確運用分類討論思想解決分段函數(shù)的相關問題。

三、教學方法1.講授法：講解分段函數(shù)的基本概念、性質(zhì)和求解方法，使學生系統(tǒng)地掌握知識。2.討論法：組織學生討論分段函數(shù)的實例，鼓勵學生積極思考、發(fā)表見解，培養(yǎng)學生的合作交流能力和思維能力。3.練習法：通過課堂練習和課后作業(yè)，讓學生鞏固所學知識，提高運用知識解決問題的能力。

四、教學過程

（一）導入新課（5分鐘）通過展示幾個實際生活中的例子，引入分段函數(shù)的概念。例如：1.某停車場的收費標準是：停車不超過2小時，收費5元；超過2小時的部分，每小時加收1.5元（不足1小時按1小時計算）。設停車時間為\(x\)小時，收費為\(y\)元，如何用解析式表示\(y\)與\(x\)的關系？2.為了鼓勵居民節(jié)約用水，某市自來水公司采取分段計費的方法收取水費：每月用水量不超過10噸時，每噸2元；超過10噸的部分，每噸3元。設每月用水量為\(x\)噸，水費為\(y\)元，怎樣用函數(shù)表示\(y\)與\(x\)之間的關系？

讓學生思考并嘗試寫出函數(shù)關系式，然后請幾位同學回答，從而引出本節(jié)課的主題分段函數(shù)。

（二）講解新課（25分鐘）1.分段函數(shù)的概念結(jié)合導入新課中的例子，引導學生分析函數(shù)的特點：對于自變量\(x\)的不同取值范圍，函數(shù)有著不同的對應法則。給出分段函數(shù)的定義：在函數(shù)的定義域內(nèi)，對于自變量\(x\)的不同取值區(qū)間，有著不同的對應法則，這樣的函數(shù)通常叫做分段函數(shù)。強調(diào)分段函數(shù)是一個函數(shù)，而不是幾個函數(shù)，只不過它在定義域的不同區(qū)間上有不同的表達式。2.分段函數(shù)的定義域和值域定義域：分段函數(shù)的定義域是各段函數(shù)定義域的并集。值域：分別求出各段函數(shù)的值域，再取并集得到分段函數(shù)的值域。以導入新課中的第一個例子為例，分析其定義域和值域：定義域：\(x\geq0\)。當\(0\leqx\leq2\)時，\(y=5\)，這一段的值域為\(\{5\}\)；當\(x>2\)時，\(y=5+1.5\times\lceilx2\rceil\)（\(\lceilx2\rceil\)表示不小于\(x2\)的最小整數(shù)），值域為\((5,+\infty)\)。所以該分段函數(shù)的值域為\(\{5\}\cup(5,+\infty)=[5,+\infty)\)。3.分段函數(shù)的函數(shù)值計算給出一個分段函數(shù)的例子：\(f(x)=\begin{cases}x+1,&x<0\\2x,&0\leqx\leq1\\x^21,&x>1\end{cases}\)計算\(f(2)\)：因為\(2<0\)，所以將\(x=2\)代入\(f(x)=x+1\)，得\(f(2)=2+1=1\)。計算\(f(0.5)\)：因為\(0\leq0.5\leq1\)，所以將\(x=0.5\)代入\(f(x)=2x\)，得\(f(0.5)=2\times0.5=1\)。計算\(f(2)\)：因為\(2>1\)，所以將\(x=2\)代入\(f(x)=x^21\)，得\(f(2)=2^21=3\)。強調(diào)計算分段函數(shù)值時，要先確定自變量所在的區(qū)間，然后再代入相應的解析式進行計算。

（三）例題講解（20分鐘）例1：已知函數(shù)\(f(x)=\begin{cases}2x+1,&x\leq1\\x^22x+2,&x>1\end{cases}\)1.求\(f(2)\)的值。2.若\(f(a)=3\)，求\(a\)的值。

解：1.因為\(2\leq1\)，所以將\(x=2\)代入\(f(x)=2x+1\)，得\(f(2)=2\times(2)+1=3\)。2.當\(a\leq1\)時，\(f(a)=2a+1=3\)，解方程\(2a+1=3\)，得\(2a=2\)，\(a=1\)。當\(a>1\)時，\(f(a)=a^22a+2=3\)，即\(a^22a1=0\)，對于一元二次方程\(a^22a1=0\)，其中\(zhòng)(b=2\)，\(c=1\)，根據(jù)求根公式\(a=\frac{b\pm\sqrt{b^24ac}}{2a}\)，可得\(a=\frac{2\pm\sqrt{(2)^24\times1\times(1)}}{2\times1}=1\pm\sqrt{2}\)。因為\(a>1\)，所以\(a=1+\sqrt{2}\)。綜上，\(a\)的值為\(1\)或\(1+\sqrt{2}\)。

例2：某商場對顧客實行優(yōu)惠，規(guī)定：如一次購物不超過200元，則不予折扣；如一次購物超過200元但不超過500元的，按標價給予九折優(yōu)惠；如一次購物超過500元的，其中500元按第2條給予優(yōu)惠，超過500元的部分則給予八折優(yōu)惠。某人兩次去購物，分別付款168元和423元，如果他只去一次購買同樣的商品，則應付款多少元？

解：因為\(200\times0.9=180\)元，\(168<180\)，所以第一次購物未享受優(yōu)惠，商品標價即為168元。因為\(500\times0.9=450\)元，\(423<450\)，所以第二次購物享受了九折優(yōu)惠，商品標價為\(423\div0.9=470\)元。兩次購物商品總標價為\(168+470=638\)元。應付款為\(500\times0.9+(638500)\times0.8=450+110.4=560.4\)元。

通過這兩個例題，進一步鞏固分段函數(shù)的概念和應用，讓學生掌握如何根據(jù)分段函數(shù)的條件進行計算和求解實際問題。

（四）課堂練習（15分鐘）1.已知函數(shù)\(f(x)=\begin{cases}x^2,&x<0\\2x,&x\geq0\end{cases}\)，求\(f(1)\)，\(f(0)\)，\(f(2)\)的值。2.已知函數(shù)\(f(x)=\begin{cases}3x1,&x<1\\2x^2,&x\geq1\end{cases}\)，若\(f(a)=5\)，求\(a\)的值。3.某城市出租車收費標準為：起步價10元（3千米以內(nèi)），3千米到5千米每千米1.2元，5千米以上每千米1.8元。若某人乘坐了\(x\)千米（\(x>5\)）的路程，寫出他應付車費\(y\)元與\(x\)千米的函數(shù)關系式，并求當\(x=8\)時的車費。

讓學生在練習本上完成，然后請幾位同學上臺板演，教師進行巡視指導，及時糾正學生出現(xiàn)的問題。通過課堂練習，及時反饋學生對知識的掌握情況，強化學生對分段函數(shù)的理解和應用能力。

（五）課堂小結(jié)（5分鐘）1.與學生一起回顧本節(jié)課所學內(nèi)容：分段函數(shù)的概念：在定義域內(nèi)，對于自變量\(x\)的不同取值區(qū)間，有不同的對應法則。分段函數(shù)的定義域、值域求法：定義域是各段定義域的并集，值域是各段值域的并集。分段函數(shù)函數(shù)值的計算方法：先確定自變量所在區(qū)間，再代入相應解析式計算。2.強調(diào)分類討論思想在解決分段函數(shù)問題中的重要性，提醒學生在計算和解題過程中要仔細分析，避免出錯。

（六）布置作業(yè)（5分鐘）1.書面作業(yè)：教材課后習題第[X]題，第[X]題，第[X]題。2.拓展作業(yè)：已知函數(shù)\(f(x)=\begin{cases}x+2,&x\leq1\\x^2,&1<x<2\\2x,&x\geq2\end{cases}\)，求\(f(x)\)的定義域和值域，并畫出函數(shù)圖象。某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品的成本\(C\)（單位：萬元）與年產(chǎn)量\(x\)（單位：千件）之間的關系為\(C(x)=\begin{cases}10x+200,&0<x\leq20\\100010x,&20<x\leq100\end{cases}\)，若每件產(chǎn)品的售價為30萬元，求該工廠年利潤\(L(x)\)（單位：萬元）與年產(chǎn)量\(x\)之間的函數(shù)關系式，并求年產(chǎn)量為多少時，年利潤最大？最大年利潤是多少？

通過書面作業(yè)鞏固本節(jié)課所學的基礎知識，拓展作業(yè)則進一步加深學生對分段函數(shù)的理解和應用，培養(yǎng)學生的綜合運用能力和創(chuàng)新思維能力。

五、教學反思在本節(jié)課的教學過程中，通過實例引入分段函數(shù)的概念，讓學生更容易理解和接受。在講解分段函數(shù)的定義域、值域和函數(shù)值計算時，結(jié)合具體例子進行詳細講解，使學生能夠較好地掌握相關知識和方法。