河北省滄州市滄州五校2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試題

滄州五校2025年3月月考數(shù)學(xué)一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設(shè)是非零向量，是非零實數(shù)，下列結(jié)論正確的是()A.與的方向相反 B.C.與的方向相同 D.【答案】C【解析】詳解】由于,所以,因此與方向相同.選C2.已知和是兩個不共線的向量，若，，，且，，三點共線，則實數(shù)的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)三點共線可得，列出方程組即可得解.【詳解】因為，且，，三點共線，所以存在實數(shù)，使得，即，則，解得.故選：B3.已知向量滿足，且，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用兩個向量的垂直關(guān)系以及數(shù)量積的運算化簡可得，再代入投影向量的公式即可.【詳解】因為，所以，所以，設(shè)的夾角為，所以在上的投影向量為.故選：B.4.在中，，則（）A.5 B.3或5 C.4 D.2或4【答案】B【解析】【分析】利用余弦定理求解即可.【詳解】由余弦定理，得，即，即，解得或5，經(jīng)檢驗，均滿足題意.故選：B.5.在中，為邊上一點，，且的面積為，則（）A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由面積公式求出，即可得到為等腰三角形，則，在中由正弦定理求出，即可求出，最后由利用兩角差的正弦公式計算可得.【詳解】因為，解得，所以為等腰三角形，則，在中由正弦定理可得，即，解得，因為，所以為銳角，所以，所以.故選：A6.設(shè)為單位向量，，當，夾角為時，在上的投影向量為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由投影向量的定義，代入已知數(shù)據(jù)計算即可.【詳解】由題意，在上的投影向量為．故選：D．7.在銳角三角形ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若，且，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合條件由余弦定理可得，再由，結(jié)合正切函數(shù)的和差角公式以及基本不等式代入計算可得，即可得到結(jié)果.【詳解】因為，且，則，由余弦定理可得，所以，即，由正弦定理可得，其中，則，所以，又，化簡可得，且為銳角三角形，則，所以，即，解得或（舍），所以，當且僅當時，等號成立，則的最大值為.故選：B【點睛】關(guān)鍵點睛：本題主要考查了余弦定理，正切函數(shù)的和差角公式以及基本不等式求最值問題，難度較大，解答本題的關(guān)鍵在于由余弦定理得到，然后結(jié)合基本不等式代入計算，即可求解.8.向量，（），函數(shù)的兩個相鄰的零點間的距離為，若（）是函數(shù)的一個零點，則的值為A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先根據(jù)函數(shù)的兩個相鄰的零點間的距離為求出的值，再根據(jù)（）是函數(shù)的一個零點得到再求的值.【詳解】=，.因為函數(shù)的兩個相鄰的零點間的距離為，所以所以.令,則因為，所以所以=.故選：A．二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.9.八卦是中國文化的基本哲學(xué)概念，如圖是八卦模型圖，其平面圖形記為圖中的正八邊形，其中，則給出下列結(jié)論（）A. B.C.在向量上的投影為 D.【答案】AB【解析】【分析】正八邊形中，每個邊所對的角都是，中心到各頂點的距離為1，然后再由數(shù)量積的運算逐一分析四個選項得答案．【詳解】解：圖中的正八邊形，其中，對于A：，故A正確．對于B：，故B正確．對于C：在向量上的投影，，故C錯誤．對于D：，，但對應(yīng)向量的夾角不相等，所以不成立．故D錯誤．故選：AB．10.下列說法正確的是（）A.在中，若，則為銳角三角形B.若，則在方向上的投影向量為C.若，且與共線，則D.設(shè)是所在平面內(nèi)一點，且則【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)向量數(shù)量積為負，確定其夾角為鈍角，從而判斷；求向量投影判斷；用反證法判斷；用向量加法幾何意義判斷．【詳解】解：對于，因為，所以，于是，所以為鈍角三角形，所以錯；對于，因為，則在方向上的投影向量為，所以對；對于，假設(shè)對，則，從而，于是，所以與不共線，所以與與共線矛盾，所以錯；對于，取中點，連接、，延長到，使，連接、，則四邊形為平行四邊形，于是，又因為，所以，所以、、共線，且，所以，所以對．故選：．11.下列說法中錯誤的為（）A.已知，，且與的夾角為銳角，則實數(shù)的取值范圍是B.向量不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底C.若，則在方向上投影的數(shù)量為D.三個不共線的向量，滿足，則是的內(nèi)心【答案】AC【解析】【分析】對于A，由向量的交角為銳角的等價條件為數(shù)量積大于0，且兩向量不共線，計算即可；對于B，由，可知，不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底；對于C，利用向量投影的定義即可判斷；對于D，由，得，根據(jù)全等三角形得，同理可得，即點到三邊的距離相等，進而得出點是的內(nèi)心.【詳解】解：對于A：，與的夾角為銳角，可得，且與不共線，，即有，且，解得且，則實數(shù)的取值范圍是且，故A錯誤；對于B：向量，即共線，故不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底，故B正確；對于C：若，則在方向上的投影的數(shù)量為，故C錯誤；對于D：過分別作、、的垂線，垂足分別為、、，如圖，三個不共線的向量，滿足，，即，即，易得≌，則，同理可得，即點到三邊的距離相等，則是的內(nèi)心，故D正確．故選：AC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，，若，，且，則__________【答案】13【解析】【分析】把平方再開方，結(jié)合題中條件計算即可.【詳解】90°,，又||＝12，||＝5則，故答案為：13.已知海島在海島的北偏東的方向上，且兩島的直線距離為.一艘海盜船以的速度沿著北偏東方向從海島出發(fā)，同時海警船以的速度從海島進行追趕，經(jīng)過小時后兩船相遇，則海警船的航行方向是北偏東_______.【答案】【解析】【分析】設(shè)海警船的航行方向是北偏東，根據(jù)條件，利用正弦定理得到，即可求解.【詳解】設(shè)海警船的航行方向是北偏東，由題知，，，在中，由正弦定理得到，得到，又，所以，得到，故答案為：.14.某熱愛飛鏢的小朋友用紙片折出如圖所示的十字飛鏢ABCDEFGH，該十字飛鏢由四個全等的三角形和一個正方形組成．在△ABC中，，，BC＝4，邊DE上有4個不同的點，，，，且，記，則______.【答案】96【解析】【分析】延長交于點，利用三角形等面積法求出，根據(jù)向量數(shù)量積運算求出即可【詳解】延長交于點，如圖，因為所以因為,所以所以.

在中，，所以

設(shè)邊上的高為，，

解得，即，故答案為:四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知向量，．（1）若，求在上的投影向量的模；（2）若，向量，求與夾角的余弦值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先表示出，即可求出在上的投影向量的模；（2）根據(jù)求出x，即可求出與夾角的余弦值.【小問1詳解】當時，.因為，所以在上的投影向量的模為．小問2詳解】因為向量，且，所以，解得：.即，.所以.16.如圖，已知D，E，F(xiàn)分別為的三邊，，的中點，求證：．【答案】證明見解析【解析】【分析】利用向量加法的三角形法則，在圖形中尋找回路，即可證明．【詳解】由題意知，，，由題意可知，．．17.在中，已知，，.（1）求；（2）若D為BC上一點，且，求的面積.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)首先由余弦定理求得邊長的值為，然后由余弦定理可得，最后由同角三角函數(shù)基本關(guān)系可得；(2)由題意可得，則，據(jù)此即可求得的面積.【小問1詳解】由余弦定理可得：，則，，.【小問2詳解】由三角形面積公式可得，則.18.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c．（1）若a=3c，b=，cosB=，求c的值；（2）若，求的值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)由題意結(jié)合余弦定理得到關(guān)于c的方程，解方程可得邊長c的值；(2)由題意結(jié)合正弦定理和同角三角函數(shù)基本關(guān)系首先求得的值，然后由誘導(dǎo)公式可得的值.【詳解】（1）因為，由余弦定理，得，即.所以.（2）因為，由正弦定理，得，所以.從而，即，故.因為，所以，從而.因此.點睛】本題主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函數(shù)關(guān)系、誘導(dǎo)公式等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力.19.如圖，設(shè)是平面內(nèi)相交成角的兩條射線，分別為同向的單位向量，定義平面坐標系為仿射坐標系.在仿射坐標系中，若，記.（1）在仿射坐標系中.①若，求；②若，且，的夾角為，求；（2）如圖所示，在仿射坐標系中，B，C分別在x軸，y軸正半軸上，，E，F(xiàn)分別為BD，BC中點，求的最大值.【答案】（1）①；②（2）【解析】【分析】（1）①由題意，，將其兩邊平方，再開方即可得到；②由表示出和，再由已知用表示出，因為與的夾角為，然后由，即可得到；（2）由題意，設(shè)出坐標，表示出，由，求出的表達式，在中依據(jù)余弦定