語文試題練習(xí)題教案學(xué)案課件高中數(shù)學(xué)校本教程系列(一)

高中數(shù)學(xué)校本教程系列（一）

數(shù)學(xué)與科學(xué)決策

（高一年選用）

課程目標(biāo)

通過介紹數(shù)學(xué)在航海、企業(yè)決策、國計(jì)民生的宏觀控制

等方面的應(yīng)用，使學(xué)生感受數(shù)學(xué)與日常生活及其他學(xué)科的聯(lián)

系，體驗(yàn)數(shù)學(xué)在解決實(shí)際問題中的作用、感受數(shù)學(xué)的應(yīng)用價

值，擴(kuò)展學(xué)生的視野，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，促進(jìn)學(xué)生

逐步形成和發(fā)展數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，提高學(xué)生的實(shí)踐能力。

目錄

第一講

線性規(guī)劃與最優(yōu)化楊福海------2

第二講

生活中的數(shù)學(xué)劉順林——12

第三講

讓數(shù)學(xué)幫你理財(cái)蔡啟明-----19

第四講

把握或然，你會更聰明江祥榮--------23

第五講

奇妙數(shù)列——數(shù)列在生活中的應(yīng)用陳志強(qiáng)------27

第六講

順?biāo)浦?，克“敵”致勝……例談反證法的應(yīng)用楊瑞華一一34

第七講

不等式在解決實(shí)際問題中的應(yīng)用盧介成-------41

第一講線性規(guī)劃與最優(yōu)化

廈門六中數(shù)學(xué)教研組楊福海

第一課時

什么是線性規(guī)劃方法？

線性規(guī)劃方法是在第二次世界大戰(zhàn)中發(fā)展起來的一種重要的數(shù)量方法，線性規(guī)劃

方法是企業(yè)進(jìn)行總產(chǎn)量計(jì)劃時常用的一種定量方法。線性規(guī)劃是運(yùn)籌學(xué)的一個最重要

的分支，理論上最完善，實(shí)際應(yīng)用得最廣泛。主要用于研究有限資源的最佳分配問題，

即如何對有限的資源作出最佳方式地調(diào)配和最有利地使用，以便最充分地發(fā)揮資源的

效能去獲取最佳的經(jīng)濟(jì)效益。由于有成熟的計(jì)算機(jī)應(yīng)用軟件的支持，采用線性規(guī)劃模

型安排生產(chǎn)計(jì)劃，并不是一件困難的事情。在總體計(jì)劃中，用線性規(guī)劃模型解決問題

的思路是，在有限的生產(chǎn)資源和市場需求條件約束下，求利潤最大的總產(chǎn)量計(jì)劃。該

方法的最大優(yōu)點(diǎn)是可以處理多品種問題。

線性規(guī)劃模型的適用性

線性規(guī)劃模型用在原材料單一、生產(chǎn)過程穩(wěn)定不變、分解型生產(chǎn)類型的企業(yè)是十

分有效的，如石油化工廠等。對于產(chǎn)品結(jié)構(gòu)簡單、工藝路線短、或者零件加工企業(yè)，

有較大的應(yīng)用價值。需要注意的是，對于機(jī)電類企業(yè)用線性規(guī)劃模型只適用于作年度

的總生產(chǎn)計(jì)劃，而不宜用來做月度計(jì)劃。這主要與工件在設(shè)備上的排序有關(guān)，計(jì)劃期

太短，很難安排過來。

三：線性規(guī)劃模型的結(jié)構(gòu)

企業(yè)是一個復(fù)雜的系統(tǒng)，要研究它必須將其抽象出來形成模型。如果將系統(tǒng)內(nèi)部因素

的相互關(guān)系和它們活動的規(guī)律用數(shù)學(xué)的形式描述出來，就稱之為數(shù)學(xué)模型。線性規(guī)劃的模型

決定于它的定義，線性規(guī)劃的定義是：求一組變量的值，在滿足一組約束條件下，求得目標(biāo)

函數(shù)的最優(yōu)解。

根據(jù)這個定義，就可以確定線性規(guī)劃模型的基本結(jié)構(gòu)。

(1)變量變量又叫未知數(shù)，它是實(shí)際系統(tǒng)的未知因素，也是決策系統(tǒng)中的可控因素，

一般稱為決策變量，常引用英文字母加下標(biāo)來表示，如Xi，X2,X3,Xmn等。

(2)目標(biāo)函數(shù)將實(shí)際系統(tǒng)的目標(biāo)，用數(shù)學(xué)形式表現(xiàn)出來，就稱為目標(biāo)函數(shù)，線性規(guī)劃

的目標(biāo)函數(shù)是求系統(tǒng)目標(biāo)的數(shù)值，即極大值，如產(chǎn)值極大值、利潤極大值或者極小

值，如成本極小值、費(fèi)用極小值、損耗極小值等等。

(3)約束條件約束條件是指實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)目標(biāo)的限制因素。它涉及到企業(yè)內(nèi)部條件和外部

環(huán)境的各個方面，如原材料供應(yīng)、設(shè)備能力、計(jì)劃指標(biāo)、產(chǎn)品質(zhì)量要求和市場銷售

狀態(tài)等等，這些因素都對模型的變量起約束作用，故稱其為約束條件。

約束條件的數(shù)學(xué)表示形式為三種，即N、=、＜?線性規(guī)劃的變量應(yīng)為正值，因?yàn)樽兞?/p>

在實(shí)際問題中所代表的均為實(shí)物，所以不能為負(fù)。在經(jīng)濟(jì)管理中，線性規(guī)劃使用較多的是下

述兒個方面的問題：

(1)投資問題一確定有限投資額的最優(yōu)分配，使得收益最大或者見效快。

(2)計(jì)劃安排問題一確定生產(chǎn)的品種和數(shù)量，使得產(chǎn)值或利潤最大，如資源配制問題。

(3)任務(wù)分配問題一分配不同的工作給各個對象(勞動力或機(jī)床)，使產(chǎn)量最多、效率最

高，如生產(chǎn)安排問題。

(4)下料問題一如何下料，使得邊角料損失最小。

(5)運(yùn)輸問題一在物資調(diào)運(yùn)過程中，確定最經(jīng)濟(jì)的調(diào)運(yùn)方案。

(6)庫存問題一如何確定最佳庫存量，做到即保證生產(chǎn)又節(jié)約資金等等。

2

應(yīng)用線性規(guī)劃建立數(shù)學(xué)模型的三步驟：

(1)明確問題，確定問題，列出約束條件。

(2)收集資料，建立模型。

(3)模型求解(最優(yōu)解)，進(jìn)行優(yōu)化后分析。

其中，最困難的是建立模型，而建立模型的關(guān)鍵是明確問題、確定目標(biāo)，在建立模型

過程中花時間、花精力最大的是收集資料。

四：運(yùn)用線性規(guī)劃模型進(jìn)行總生產(chǎn)計(jì)劃時的問題

1、線性規(guī)劃模型考慮的因素可能不全面，實(shí)際中有些情況沒有被考慮到，這就

使得線性規(guī)劃模型過于理想化；

2、實(shí)際運(yùn)用線性規(guī)劃模型時，雖然一些因素或約束條件被考慮到了，但是由于

這些因素或約束條件不易量化或求得(如進(jìn)行總生產(chǎn)計(jì)劃常需考慮到的能源單耗就不

易求得)時，線性規(guī)劃模型的運(yùn)用和有效性因而受到了一定的限制；

3、對一些基礎(chǔ)管理不善的企業(yè)而言，模型中的單位產(chǎn)品資源消耗系數(shù)a很難得

到；

4、目標(biāo)函數(shù)中的產(chǎn)為成本系數(shù)C實(shí)際上是個變量，他隨計(jì)劃的數(shù)量結(jié)構(gòu)和品種

結(jié)構(gòu)而變。這些問題給機(jī)械行業(yè)應(yīng)用線性規(guī)劃模型帶來許多困難，如處理不好，求得

的結(jié)果的可靠性會很低的。

第二課時

數(shù)學(xué)建模一線性規(guī)劃模型

一：問題的提出

在生產(chǎn)管理和經(jīng)營活動中經(jīng)常提出一類問題，即如何合理地利用有限的人力、物力、財(cái)

力等資源，以便得到最好的經(jīng)濟(jì)效果。

例1若需在長為4000mm的圓鋼上，截出長為698mm和518mm兩種毛坯，問怎樣截取才能

使殘料最少？

初步分析可以先考慮兩種“極端”的情況：

(1)全部截出長為698mm的甲件，-共可截出EQF(4000,698)?5件，殘料長為510mm。

(2)全部截出長為518mm的乙件，一共可截出EQF(4000,518)?7件，殘料長為374mm。

由此可以想到，若將x個甲件和y個乙件搭配起來下料，是否可能使殘料減少？把截取條

件數(shù)學(xué)化地表示出來就是：

698x+518yW4000

x,y都是非負(fù)整數(shù)

目標(biāo)是使：z=EQF(698x+518y,4000)(材料利用率)盡可能地接近或等于1。(盡可

能地大)

該問題可用數(shù)學(xué)模型表示為：

3

目標(biāo)函數(shù)maxz=EQF(698x+518y,4000)

l滿足約束條件：698x+518yW4000,(1)

x,y都是非負(fù)整數(shù).(2)

例2某工廠在計(jì)劃期內(nèi)要安排生產(chǎn)I、II兩種產(chǎn)品，已知生產(chǎn)單位產(chǎn)品所需的設(shè)備臺

數(shù)及A、B兩種原料的消耗，如下表所示。

III

設(shè)備

128臺數(shù)

原材料A

4016kg

原材料B

0412kg

該工廠每生產(chǎn)一件產(chǎn)品I可獲利2元，每生產(chǎn)一件產(chǎn)品II可獲利3元，問應(yīng)如何安排生

產(chǎn)計(jì)劃使工廠獲利最多？

這問題可以用以下的數(shù)學(xué)模型來描述：設(shè)Xi,X2分別表示在計(jì)劃期內(nèi)產(chǎn)品I、II的產(chǎn)量。

因?yàn)樵O(shè)備的有效臺數(shù)為8,這是一個限制產(chǎn)量的條件，所以在確定I、II的產(chǎn)量時，要考

慮不超過設(shè)備的有效臺數(shù)，即可用不等式表示為：

x1+2x2W8.

同理，因原材料A、B的限量，可以得到以下不等式：

4x?W16

4xzW12.

該工廠的目標(biāo)是在不超過所有資源限量的條件下，如何確定產(chǎn)量XI、Xz以得到最大的利潤。

若用z表示利潤，這時z=2xi+3X2。綜上所述，該計(jì)劃問題可用數(shù)學(xué)模型表示為：

目標(biāo)函數(shù)：maxz=2x1+3x2

滿足約束條件：Xi+2xzW8

4

4xiW16

4x2W12.

X1,X2>0

該模型的特征是：

（1）有一組決策變量（XI,X2,xn）表示某一方案；這組決策變量的值就代表一個具體

方案。一般這些變量取值是非負(fù)的。

（2）存在一定的約束條件，這些約束條件可用一組線性等式（不等式）來表示。

（3）有一個要求達(dá)到的目標(biāo)，它可用決策變量的線性函數(shù)（稱為目標(biāo)函數(shù)）來表示。按問

題的不同，要求實(shí)現(xiàn)目標(biāo)函數(shù)最大化或最小化。

滿足以上三個條件的數(shù)學(xué)模型稱為線性規(guī)劃模型。其一般形式為：

目標(biāo)函數(shù)：max（min）=cixi+c2x2+…+c?x?

auxi+aJ2x2+….+ai3x?2bi

a2）xi+az2X2+,,,.+a23X*2b2

滿足約束條件：……

a*x?+a?2X2+?,,,+aMX2b

XI,X2,…，Xn>0

二：問題的解決窮舉法

以例1為例介紹窮舉法。

先根據(jù)（1）求出X所有可能的取值為：0、1、2、3、4、5,再由（1）把相應(yīng)y的最

大值求出，對應(yīng)為7、6、5、3、2、0,依此計(jì)算住z值如下表：

X012345

y765320

Z90.65%95.15%99.65%91.20%95.70%87.25%

由表可知，在一根圓鋼上截取2個甲件和5個乙件，可以得到最高的材料利用率

99.65%。

5

第三課時

線性規(guī)劃的應(yīng)用實(shí)例

例1某工廠甲、乙兩種產(chǎn)品，每件甲產(chǎn)品要耗鋼材2kg、煤2kg、產(chǎn)值為120元；每件乙產(chǎn)

品要耗鋼材3kg,煤1kg,產(chǎn)值為100元?，F(xiàn)鋼廠有鋼材600kg,煤400kg,試確定甲、乙兩

種產(chǎn)品各生產(chǎn)多少件，才能使該廠的總產(chǎn)值最大？

解設(shè)甲、乙兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量分別為Xi、X2,則總產(chǎn)值是Xi、X2的函數(shù)

f（Xi，X2）=120X,+100X2

資源的多少是約束條件：

由于鋼的限制，應(yīng)滿足2X|+3X2^600；由于煤的限制，應(yīng)滿足2X|+X2*00。

綜合上述表達(dá)式，得數(shù)學(xué)模型為

求最大值（目標(biāo)函數(shù)）：f（X,,X2）=120X|+100X2

2XI+3X2?600

2X1+X2<400

Xt>0,X2>0

X|,X2為決策變量，解得X05O件,X20OO件

fmax=（120x150+100x100）7^=280007E

故當(dāng)甲產(chǎn)品生產(chǎn)150件、乙產(chǎn)品生產(chǎn)100件時，產(chǎn)值最大，為28000元。

例2某工廠在計(jì)劃期內(nèi)要安排甲、乙兩種產(chǎn)品。這些產(chǎn)品分別需要在A、B、C、D四種不

同設(shè)備上加工。按工藝規(guī)定，產(chǎn)品甲和乙在各設(shè)備上所需加工臺數(shù)列表于表1-1中。已知設(shè)

備在計(jì)劃期內(nèi)的有效臺時數(shù)分別是12、8、16和12（一臺設(shè)備工作lh稱為一臺時），該工廠

每生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品可得利潤20元，每生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品可得利潤30元。問應(yīng)如何安排生產(chǎn)計(jì)

劃，才能得到最多利潤？

解1）建立數(shù)學(xué)模型

設(shè)X,>X2分別表示甲、乙產(chǎn)品的產(chǎn)量，則利潤是f（X”X2）=20X1+30X2，求最

大值。

設(shè)備的有效利用臺時為約束條件：

A：2X,+2X2<12

B：X|+2X2<8

6

C：4X1W16

D：4XE2

X,>0,X2>0

2）求解未知數(shù)

Xi*、X2<3,但由式⑴、式（2）得X|*、X2<2,所以取XI*、X,<2故

fmax=（20x4+30x2）元=140元

3）結(jié)論：在計(jì)劃期內(nèi)，安排生產(chǎn)甲產(chǎn)品4件、乙產(chǎn)品2件，可得到最多的利潤（140元）。

例3某工廠為維修全廠某類設(shè)備制造備件，需由一批5.5m長的相同直徑的圓鋼截取

3.1m、2.1m、1.2m的胚料。每臺設(shè)備所需的件數(shù)如表1-2所示。用5.5m長的圓鋼截取上述

三種規(guī)格的零件時，有下列五種截取方法可供選擇，如表1—2所示。問當(dāng)設(shè)備總數(shù)為100

臺時，采取何種方案可使5.5m的圓鋼用料最省？

表1-2每臺設(shè)備所需的件數(shù)

規(guī)格/m每臺設(shè)備所需件數(shù)

3.11

2.12

1.24

表1-3五種截取方法

方案截取3.1的根數(shù)截取2.1的根數(shù)截取1.2的根數(shù)所剩料頭

11100.3

21020

30210.1

40121

50040.7

假設(shè)：按第一方案截取的5.5m長的圓鋼數(shù)為X,

按第二方案截取的5.5m長的圓鋼數(shù)為X2

按第三方案截取的5.5m長的圓鋼數(shù)為X3

按第四方案截取的5.5m長的圓鋼數(shù)為X4

7

按第五方案截取的5.5m長的圓鋼數(shù)為X5

據(jù)此表1-4：

方案3.1m的根數(shù)2.1m的根數(shù)1.2M的根數(shù)

1XiXi0

2X：02發(fā)

302X：x3

40X2X

5004X5

因?yàn)樵O(shè)備總臺數(shù)為100臺，所以按各方案截取的零件數(shù)必須滿足下列約束條件：

X1+X2=100

X2+2X3+X4=200

2X2+X3+2X4+4X5=400

X,,X2,X3,X4,X5>0

目標(biāo)函數(shù)為frnin=Xi+X2+X3+X4+X5

通過計(jì)算機(jī)運(yùn)算得最優(yōu)解為X|=0、X2=100>X3=100.X4=0、X5=25,故最優(yōu)值（最

省方案）為fmin=225根

對于只有兩變量的線性規(guī)劃問題，可以用圖解法求最優(yōu)解，其特點(diǎn)是過程清楚、圖形清晰。

例4設(shè)有一線性規(guī)劃問題表達(dá)式（包括目標(biāo)函數(shù)、約束條件）如下

fmax=50X,+40X2

Xi+X2<450(1)

2X1+X2<800(2)

X1+3X2W900(3)

X1(X2>0(4)

以Xi，X2為坐標(biāo)，當(dāng)式⑴為等式，即XI+X2=450時，在Xi,X2坐標(biāo)系，它是一條

直線，但式⑴不是等式，而是Xi+XzW?O,即在式（1）表示的約束條件中給定的不僅是在直

線上的所有點(diǎn)，而是在直線X|+X2=450左下部一個廣大的區(qū)域（包括直線在內(nèi)的陰影線部

分）,見圖1-1,例如X|=0、X2=0,Xi=-5、X2=0,X|=3、X2=-3等等,都是滿足式⑴的點(diǎn)。

8

同理，也可以在XI,X2坐標(biāo)系中畫出式(2)、(3)、(4)所決定的4條直線，連同式(1),

共5條直線，如圖1-2所示。

由圖1-2所示的5條直線所圍成的一個凸多邊形，就是約束條件給定的區(qū)域，其中所

有的點(diǎn)都滿足約束條件的要求。實(shí)際上，它表示一個由凸多邊形內(nèi)無數(shù)多個點(diǎn)所組成的集合,

稱為凸集。那么，怎樣從無窮多中求出使目標(biāo)函數(shù)值最大的點(diǎn)呢？

圖1-1某線性規(guī)劃問題

圖1-2某線性規(guī)劃問題中的約束條件

解由于目標(biāo)函數(shù)f=50X|+40X2，在f為一定值時也是一條直線，其斜率為-40/50。當(dāng)

f為不同值時，在X”X2坐標(biāo)系中實(shí)際上是一系列的平行線，則盡管在每一條直線上X”

9

X2取不同的值，f總是某一定值。例如圖1-3中的直線I,當(dāng)X1=0、X2=0時；當(dāng)X1=4、X2

=-5時40；因此稱直線I為f的某一等直線（此處為零）。

中，

八

/=4<M?

圖1-3目標(biāo)函數(shù)f的等值線

由于直線I是等直線，而且斜率相等，它們又是一系列平行線，因此只要畫出其中任

意的一條線，將它們平移到某個與凸集相交的極限位置，所得的交點(diǎn)就是既滿足約束條件（在

凸集范圍內(nèi)），又使f值為最大的現(xiàn)代戰(zhàn)爭最優(yōu)解。如下圖1-4中的點(diǎn)，X|=350,X2=100,

421500。

（JSO.too）a

同行質(zhì)點(diǎn)

圖1?4某線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解

10

上面介紹的圖解法雖然簡單直觀，但只有在變量為兩個的情況下才能實(shí)現(xiàn)；當(dāng)變量數(shù)增

多時，圖解法就無法滿足了。這時，就要用解析計(jì)算的方法一單純形法來求解。單純形法的

基本思路是：根據(jù)問題的標(biāo)準(zhǔn)型（等價的把不等式改為等式），從可行域中一個基本可行解（頂

點(diǎn)）開始轉(zhuǎn)換到另一個可行解（頂點(diǎn)）。這種過程叫“迭代”，每迭代一次都使目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最

大值時，問題就得到了最優(yōu)解。

在實(shí)際應(yīng)用中，即使有了單純形的解法，仍不能應(yīng)付復(fù)雜情況的求解，如以一個有77

個變量,9個約束條件的線性規(guī)劃問題為例，用單純形法進(jìn)行手工計(jì)算約需120工作小時，這

樣大的計(jì)算量必須借助于計(jì)算機(jī)來完成（該題用計(jì)算機(jī)求解僅需12min）?

練習(xí)：1.某廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，生產(chǎn)甲種產(chǎn)品每件要消耗煤9噸，電力4千瓦，使用

勞動力3個，獲利70元；生產(chǎn)乙種產(chǎn)品每件要消耗煤4噸，電力5千瓦，使用勞動力10

個，獲利120元。有一個生產(chǎn)日，這個廠可動用的煤是360噸，電力是200千瓦，勞動力是

300個，問應(yīng)該如何安排甲、乙兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)，才能使工廠在當(dāng)日的獲利最大，并問該廠

當(dāng)日的最大獲利是多少？（甲20件，乙24件，獲利4280元）

2.電視臺為某個廣告公司特約播放兩套片集。其中片集甲播映時間為20分鐘，廣告時間為

1分鐘，收視觀眾為60萬，片集乙播映時間為10分鐘，廣告時間為1分鐘，收視觀眾為20

萬。廣告公司規(guī)定每周至少有6分鐘廣告，而電視分每周只能為該公司提供不多于80分鐘

的節(jié)目時間。電視臺每周應(yīng)播映兩套片集各多少次，才能獲得最高的收視率？

3.預(yù)測2012年奧運(yùn)會男子鉛球的成績。

屆次成績（米）屆次成績（米）屆次成績（米）

714.811517.412121.05

814.9551618.572221.35

915.871719.682321.26

1016.0051820.332422.47

1116.201920.542521.70

1417.122021.1826?

4.預(yù)測2010年我國進(jìn)出口總額。

年份進(jìn)出口總額年份進(jìn)出口總額年份進(jìn)出口總額

1981119876.8199319.6

19823.919887.9199424

19834198911.2199528.1

19845199011.5199629

19856199113.5

19866199216.62010?

II

第二講生活中的數(shù)學(xué)

廈門六中數(shù)學(xué)教研組劉順林

第一課時電冰箱溫控器的調(diào)節(jié)

——如何使電冰箱使用時間更長

中國自從1978年改革開放之后，人民生活水平日益提高，許多家庭都購買了電冰箱等

家用電器。但是也有許多家庭并不了解電冰箱的工作原理，更不了解電冰箱溫控器的工作原

理及其調(diào)節(jié)方法。人民生活水平固然提高了許多，但是現(xiàn)在也并不是都十分富裕。不正確的

使用電冰箱勢必會縮短其使用壽命，帶來了不必要的麻煩，同時也浪費(fèi)了自然資源和財(cái)力。

有一次，我們家中的一臺電冰箱工作了很長時間，卻一直不停機(jī)。我們嚇了一跳，以為

電冰箱壞了。我們給維修單位打電話咨詢，但是上上下下仔細(xì)查看了整個電冰箱后，才發(fā)現(xiàn)

只是溫控器調(diào)節(jié)的不正確。這使我們認(rèn)識到了冰箱溫控器對于電冰箱的重要性。因此，我們

來研究一下電冰箱溫控器的正確使用方法，即如何使電冰箱的使用壽命更長。

問題：如何正確調(diào)節(jié)電冰箱溫控器，使電冰箱使用壽命更長。

電冰箱制冷是靠中溫低壓的液態(tài)制冷劑進(jìn)入蒸發(fā)器吸收熱量汽化為低溫低壓的氣態(tài)制

冷劑，達(dá)到蒸發(fā)器周圍降溫使冰箱內(nèi)部冷卻的目的。壓縮機(jī)、冷凝器、干燥過濾器、毛細(xì)管

則是幫助并保證在蒸發(fā)器中已使用過的制冷劑回復(fù)到中溫低壓的液體，能再一次送回蒸發(fā)器

吸熱汽化，實(shí)現(xiàn)單向連續(xù)循環(huán)制冷。蒸發(fā)器是電冰箱中唯一制冷的器件。壓縮機(jī)把蒸發(fā)器出

來的低溫低壓的汽態(tài)制冷劑經(jīng)回氣管由壓縮機(jī)吸入氣缸，被壓縮為高溫高壓的氣態(tài)進(jìn)入冷凝

器，把蒸發(fā)器中吸收的熱量和壓縮機(jī)在壓縮做功時轉(zhuǎn)換的熱量，利用制冷劑與周圍介質(zhì)之間

有較大的溫差，通過冷凝器全部散發(fā)到空氣中。制冷劑在冷凝器中因放熱而被液化。這高壓

中溫液態(tài)制冷劑經(jīng)干燥過濾器吸收其中的水分，濾除其中的雜質(zhì)，進(jìn)入毛細(xì)管節(jié)流降壓，使

高壓液態(tài)制冷劑降為低壓而能回到蒸發(fā)器重復(fù)使用。電冰箱就是這樣由各種制冷劑作工質(zhì)，

在封閉系統(tǒng)中作單向連續(xù)循環(huán)，把冰箱內(nèi)熱量不斷的轉(zhuǎn)移到箱外而達(dá)到制冷目的。

電冰箱壓縮機(jī)是開開停停間歇工作的。電冰箱達(dá)到箱內(nèi)的設(shè)定溫度是通過溫度控制器控

制壓縮機(jī)的開、停機(jī)來完成的。壓縮機(jī)運(yùn)轉(zhuǎn)時間長，即制冷時間長，則箱內(nèi)溫低：反之箱溫

就高。溫度控制器二個觸點(diǎn)串聯(lián)在壓縮機(jī)電路中，當(dāng)箱內(nèi)溫度低到某一設(shè)定溫度時則溫控器

觸點(diǎn)跳開，壓縮機(jī)停轉(zhuǎn)，暫停制

冷，隨后箱內(nèi)溫度逐漸提高，在

箱內(nèi)溫度高到另一設(shè)定溫度時則

溫控器觸點(diǎn)閉合，壓縮機(jī)又運(yùn)轉(zhuǎn)

制冷……如此循環(huán)。使箱內(nèi)溫度

保持在一定范圍內(nèi)。

電冰箱溫控器中的感溫包感

受蒸發(fā)器的溫度，當(dāng)溫度升高或

降低時，感溫元件中感溫劑膨脹

或收縮，使非剛性元件感溫腔（波

紋管或膜盒）推進(jìn)或退縮，從而

（壓縮）

改變感溫元件與彈簧片之間的作用力通過溫控器中機(jī)械傳力放大，使感溫腔微小形變產(chǎn)生的

微小位移放大，控制電觸點(diǎn)，使其閉合或斷開電路。溫控器指向的數(shù)字，并不表示確切的溫

度，而是表示控制溫度高低的程度趨向，數(shù)字小表示控制在較高溫度，數(shù)字大則表示控制在

較低溫度。

我們認(rèn)為，壓縮機(jī)的使用壽命在很大程度上決定了電冰箱的使用壽命。而影響壓縮機(jī)工

作時間的因素主要有：外界溫度、溫控器檔位、冷凍室食品量、開關(guān)冰箱門習(xí)慣。當(dāng)電冰箱

工作穩(wěn)定后，冷凍室食品量對其影響十分微小，但不可以忽略不計(jì)、無論是在寒冷的冬季，

還是在炎熱的夏季，冰箱中的食品都是在不斷的吸熱和放熱。當(dāng)冰箱內(nèi)冷汽散失時，食品吸

熱；當(dāng)電冰箱制冷吸熱時，食品放熱。這在夏季時最為明顯：當(dāng)電冰箱停機(jī)時，冰箱內(nèi)食品

越多其停機(jī)時間越長，因?yàn)槿绻僭O(shè)食品的平均比熱容不變，那么根據(jù)物理學(xué)關(guān)于熱能的公

式Q=MXCXAT可知食品量與停機(jī)時間成反比。其中Q為食品熱量變化，C為食品平均

比熱，AT食品溫度變化量。因此，冰箱內(nèi)食品量的多少也是十分重要的。實(shí)際上，外界溫

度隨季節(jié)變化而變化，溫控器檔位靠人工調(diào)節(jié)，冰箱內(nèi)的食品量和如何開關(guān)門對于一個家庭

來講變化不會很大，因?yàn)橐呀?jīng)形成了習(xí)慣。但是，使用時如果壓縮機(jī)長時間連續(xù)工作，壓縮

機(jī)溫度就會升高，就會造成熱沖擊。過多的熱沖擊會縮短壓縮機(jī)的使用壽命。因此，我們只

要調(diào)節(jié)溫控器檔位，使電冰箱冷凍室溫度不低于某?溫度，而且壓縮機(jī)在非長時間連續(xù)工作

的條件下（不超過一個小時），工作時間與工作、停機(jī)的時間和的比值最?。ㄈ绻ぷ?0分

鐘，停機(jī)10分鐘，則比值為0.5）,即壓縮機(jī)的使用壽命更長，就可以使電冰箱的使用壽命

更長。同時，電冰箱的耗電量也降低了。這樣，一臺電冰箱在使用過程中既省電，又可以延

長使用壽命，當(dāng)然十分經(jīng)濟(jì)。通過電冰箱生產(chǎn)廠家的電話咨詢，專業(yè)技術(shù)人員肯定了我們的

上述看法。于是我們就此進(jìn)行了一些實(shí)驗(yàn)，并通過電話咨詢得到了一些準(zhǔn)確的數(shù)據(jù)。

在北京等中國北方城市，冬季的供暖由市區(qū)縣的各供暖單位負(fù)責(zé)保證。政府規(guī)定，冬季

居民室內(nèi)的溫度不得低于16攝氏度。北京市的供暖單位現(xiàn)在一般能夠保證這個溫度在18

攝氏度左右，最高溫可達(dá)20攝氏度，最低溫絕不低于16攝氏度。因此，可以認(rèn)為我國北方

冬季家庭室內(nèi)溫度在18攝氏度左右。又因?yàn)?，我國北方春秋季?jié)家庭室內(nèi)溫度也在18攝氏

度左右，偏冷的地區(qū)依然有曖汽等供暖，甚至常年不斷。所以，可以認(rèn)為，我國北方春秋冬

三季的家庭室內(nèi)溫度均在18攝氏度左右。就一般家庭而言，熟食一般現(xiàn)吃現(xiàn)買，生食一般

只放幾個星期。電冰箱冷凍室的食品量?般占冷凍室容積的五分之三左右，且?般變化不是

很大。就是說，一般家庭的食品量對冰箱的影響基本相同。

綜上所述，我們理想化的實(shí)驗(yàn)條件是我國北方春秋冬三季?般家庭的電冰箱。在研究這

個問題時可以把食品量和室內(nèi)溫度作為常數(shù)來考慮。由于每次開冰箱門時都會使冰箱內(nèi)食品

吸熱升溫，所以不同人的開門習(xí)慣和速度會影響到冰箱的制冷效果。比如說：老人可能手腳

不是很利落，而且拿一件東西要想一下；年輕人可能一只手開門，另一只手就把東西拿出來

了。為了簡便計(jì)算，我們可以認(rèn)為，在一個家庭中不考慮老人與青年人的分別，只考慮平均

到每個家庭成員的使用效果，那么各個家庭的情況基本相同。結(jié)果是，我們在計(jì)算過程中可

以忽略這一因素的影響。我們想利用家用電冰箱來進(jìn)行?次實(shí)驗(yàn)。于是我們選用了長嶺阿里

斯頓——BCD208型電冰箱，在保持室溫為18攝氏度且食品量始終占冷凍室有效容積五

分之三不變的情況下，測定了?些數(shù)據(jù)。這種電冰箱屬于中等檔次的家用電器，制冷效果屬

于一般水平。目前許多家庭使用的電冰箱的制冷效果和保溫能力都與其相差無幾。這些滿足

了本論文前面交代的實(shí)驗(yàn)條件，可以作為該條件下的一個例子，來解決這個問題。于是我們

開始了實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)進(jìn)行了一個多星期，每組數(shù)據(jù)（既一個檔位）間間隔二個小時，讓電冰箱

進(jìn)行調(diào)節(jié)，以保證數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性。

13

這臺冰箱的溫控器旋鈕有六個檔位，分別是從零到五。第零檔為停機(jī)檔，既電冰箱壓縮

機(jī)停止工作，不會啟動；第五檔為速凍檔，即壓縮機(jī)一直啟動，不會停機(jī)。因此，我們不能

選第零檔，因?yàn)楸洳粫评洌徊荒苓x第五檔，因?yàn)楸涑掷m(xù)工作，即浪費(fèi)電能，又會造成

熱沖擊，還有可能凍壞食品。我們設(shè)工作時間與工作、停機(jī)的時間和的比值為y,設(shè)電冰

箱溫控器檔位為xo則自變量x的取值范圍為（0,5）o在平面直角坐標(biāo)系中描點(diǎn)作圖，

為了便于計(jì)算，且不影響結(jié)果的正確，我們在計(jì)算時把原y值擴(kuò)大了100倍。這樣可以方便

計(jì)算，也能方便作圖。觀察散點(diǎn)的分布，我們認(rèn)為這些點(diǎn)極有可能是在一條拋物線上，因此

設(shè)y關(guān)于x的函數(shù)為^=f（x）=ax2+bx+c。我們在后面附有實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)列表和用繪圖工具

《幾何畫板》作出的函數(shù)圖象。其中，表格包含五組數(shù)據(jù)，在測定時每組數(shù)據(jù)之間至少間隔

兩個小時，因?yàn)殡姳湫枰s一個小時來調(diào)整。函數(shù)圖象有一個大致的輪廓。圖中的空心圓

點(diǎn)表示描點(diǎn)，實(shí)心圓點(diǎn)表示當(dāng)x為4.5時函數(shù)圖象上的點(diǎn)。

我們分別以三組數(shù)據(jù)為一組，把五組數(shù)據(jù)分成了十組。設(shè)五組數(shù)據(jù)對應(yīng)函數(shù)圖象上的點(diǎn)

從左至右依次為A、B、C、D、E,則將五組數(shù)據(jù)分組為：ABC、ABD、ABE、ACD……BDE、CDE。

每組可分別解出一個函數(shù)，但都有一定誤差。其中，凡是包含數(shù)據(jù)組E的組誤差都十分大,

且不太正常。我們認(rèn)為是由于壓縮機(jī)升溫且冷凝器溫度升高散熱變慢，導(dǎo)致電冰箱工作異常。

這種可能性十分大，屬于正常現(xiàn)象。通過電話咨詢，冰箱廠家的技術(shù)人員肯定了我們的想法,

并告訴我們：目前?些高級的冷凝管可以大大提高散熱效率，但造價頗高，且調(diào)節(jié)溫控器就

可解決問題，沒必要多花錢去生產(chǎn)。于是把數(shù)據(jù)組E舍去，只計(jì)算前四組，又可以分為四

組：ABC、ABD、ACD、BCD。以這四組數(shù)據(jù)分別解出一個函數(shù)，這四組函數(shù)中也存在誤差，但

是應(yīng)該保留數(shù)據(jù)組A存在誤差的那一分組。因?yàn)?，溫控器調(diào)得過低后也會造成冰箱本身的

問題。由于檔位越低，要求達(dá)到的溫度越高（不一定始終在設(shè)定溫度以卜），所以要工作的

時間就比較短，但停機(jī)時間縮短得更多。就是說，冰箱內(nèi)的食品在較長時間內(nèi)放出了熱量，

在較短的時間內(nèi)又吸入了大致相同的熱量。冰箱在這時需要適度調(diào)低要求達(dá)到的溫度。這就

是為什么要注意溫控器的調(diào)節(jié)。就是說，由BCD解得的函數(shù)對于點(diǎn)A、D的誤差屬于合理

誤差。最后，只有BCD這?組的不合理誤差最?。ù藭rA點(diǎn)誤差為-0.36）,最后解得的函數(shù)

即為所求的函數(shù)y=f（x）?

由數(shù)據(jù)組BCD解函數(shù)：

6a+2鰭-我85=>4--35處?。血？-M5*+40?

bL

當(dāng)X=2.574時，函數(shù)有最小值y=35.846；

所以，溫控器旋鈕應(yīng)指在2.574的位置。

可是由于實(shí)驗(yàn)中不可能消除誤差，所以應(yīng)指在2、3之間的?個位置，室溫稍低時就調(diào)

低一點(diǎn)兒，反之就高一點(diǎn)兒，一般家庭不用經(jīng)常調(diào)，溫度差2到3度不會有大影響。但是

不同的電冰箱性能不同，具體的食品量在變化，外界溫度也會上下浮動，每個人每一次開門

造成的影響都不相同，不同品牌電冰箱溫控器控制面板也不相同。所以忽略絕大多數(shù)家庭相

同的因素，只須再考慮不同的電冰箱性能不同、電冰箱溫控器控制面板也不相同。盡管不同

14

的電冰箱性能不同，但是它們的工作原理相同，都是在不斷的吸熱、放熱。就是說，它們在

那個檔位基本上都是最佳的。雖然電冰箱溫控器控制面板不相同，但是內(nèi)部旋轉(zhuǎn)多少角度能

調(diào)節(jié)多少溫度，卻是同樣基本相同的。目前市場上比較多的樣式主要有：“0"至b'5"，“1”

到“7”和“弱”、"中”、“強(qiáng)”。由于我們實(shí)驗(yàn)用的電冰箱配備的是第一種樣式的溫控

器，所以對應(yīng)到其它兩種樣式分別是“3”、“4”檔之間和“中”略偏“弱”。

問題解決了，是在中國北方春秋冬三季，一般家庭家用電冰箱溫控器的調(diào)節(jié)。目的是如

何更經(jīng)濟(jì)的使用好電冰箱。答案就是上一段最后的幾句話。問題雖然很小，而且用的就是解

方程的方法，但卻能培養(yǎng)我們從生活中尋找數(shù)學(xué)問題、運(yùn)用數(shù)學(xué)知識的好習(xí)慣。這對于推行

素質(zhì)教育是一個極佳的方法，它使學(xué)生因?yàn)樽约旱呐d趣而學(xué)習(xí)，知識也就更加牢固。另外，

這個問題可以擴(kuò)展到其它方面。如卜水道的清理問題，你必須知道什么時候清理最合理：時

間早了浪費(fèi)物資，晚了又極難工作。當(dāng)然牽扯的量也是相當(dāng)多的。我們相信，通過我們不斷

的學(xué)習(xí)，我們將解決更多的生活中的問題。

第二課時哪種投票制度最合理

Blockvotia的國民議會剛統(tǒng)計(jì)完了對PalmgreasingSlushfund議案的投票情況，總統(tǒng)

FreebiePerks滿臉的不高興。他的私人秘書PenelopePoundpincher施展渾身解數(shù)拼命安

慰他。

“Penny,你曾告訴我6個地區(qū)中有4個地區(qū)（包括最大的那個地區(qū)）支持此議案。那

我們怎么輸了呢？”

“這是由于加權(quán)投票制度的緣故，先生。你知道，每個地區(qū)孝分配了與其人口數(shù)大致

成比例的一定票數(shù)。這是說明詳細(xì)分配情況的一張表（見圖1）?？偟钠睌?shù)為31。因此，任

何一個擁有16張票（即比總票數(shù)的一半多一張票）的聯(lián)盟將能夠左右選舉的結(jié)果。

Sheepshire,Fiddlesex,Slurrey和Porkney群島對議案投了贊成票。我已經(jīng)說過，這

正好是6個地區(qū)中的4個，而且包括了最大的一個。且它們合起來僅有15票，而反對議案

的兩個地區(qū)卻有16票。”

“總統(tǒng)選舉下個月就要進(jìn)行，我不希望這一情況重演。如果我們讓邊界委員會給

Sheepshire加一票，而使Candlewick減一票----"

Penny把頭搖得像撥浪鼓。“我不主張這樣做，先生。Richfolk和Candkewick這兩個

區(qū)都贊成你連任。Sheepshire猶豫不決，而另外三個地區(qū)則反對你連任。Richfolk和

Candlewick可以挫敗另外4個區(qū)組成的聯(lián)盟，但如果你從這兩個區(qū)中任一個區(qū)減去一票的

話，那情況就不同了?！?/p>

這時有人敲門。Porkney群島的代表CharlieHogg沖了進(jìn)來?！翱偨y(tǒng)先生，這場滑稽戲

不能再繼續(xù)演下去了！”

“什么滑稽戲？”

“你所謂的民主投票制度，Porkney群島毫無權(quán)力。

"但你們擁有一票，這是與你們的人口成比例的。Slurrey的人口比你們還多，也只有

一票。你們擁有的權(quán)力實(shí)際上比Slurrey還多?！?/p>

15

“不對。任何投票的結(jié)果都

完全被三個最大的地區(qū)所左右。

這三個地區(qū)至少有兩個將投相同

的票，而它們合起來的票數(shù)至少

同Richfolk和Candlewick（分別

是第二大和第三大的地區(qū)）擁有

的總票數(shù)一樣多。這就有了16票,

居于多數(shù)地位。在任何一次投票

中，即使3個最小的地區(qū)一票也

不投，也會得到相同的結(jié)果！”

“我明白了。但我能把它怎

么樣呢？”

“再給我們一票！這樣至少

3個最小的地區(qū)就可以同

Sheepshire聯(lián)合起來打出一個平

局。如果你再給Slurrey也加一

票，那么我們就可以結(jié)成一個獲

勝的聯(lián)盟了（見圖1）。”

"我明白你的意思。這樣總

票數(shù)就是33"，Penny說?！斑@樣

有17票或17票以上就可以得勝。

圖］BhckvctLi的加男不山，各娼區(qū)的人.小.地圖卜,的表

Fiddlesex,Slurrey,Porkney群

列出了現(xiàn)行的我黑加相和另外兩種可能也

島和Sheepshire結(jié)成聯(lián)盟,能夠

月言肌徂傳班牧力西、?！?/p>

“不錯！三個最小的地區(qū)中的任何一個才能夠改變投票的結(jié)果——它們將擁有力量均

勢！”

這時邊界委員會的聯(lián)絡(luò)官GerryMander走了進(jìn)來。Perks問他："Gerry,邊界委員會

能否重新劃定各區(qū)的邊界，使Slurrey和Porkney群島各多得一票？”

CerryMander搖了搖頭。"Slurrey區(qū)還可想點(diǎn)辦法。但Porkney是群島就不好辦了?！?/p>

Hogg咆哮起來：“我的選民們會不高興的。”

總統(tǒng)嘰咕著說：“是會不高興。不過，正如你說的那樣，這沒有什么用，因?yàn)槟愕牡貐^(qū)

毫無權(quán)力。我看你最好不要發(fā)出無法兌現(xiàn)的威脅，Hogg。"

“單是三個選區(qū)就可以把你趕下臺，這種情況也不會使你感到舒服。你必定能夠想點(diǎn)

什么辦法?！?/p>

“我可以再給Sheepshire兩票。能辦到嗎，Gerry?"

“沒問題。區(qū)界沿著Wastedump河彎彎曲曲地延伸。我們很容易把它改合理一些。

“但是給最大的地區(qū)再加兒票不可能幫助最小的地區(qū)獲得一份權(quán)力呀！"Hogg傷心地叫

道。

Perks說：“恰恰相反，如果Sheepshire再多兩票的話，你就會得到一份權(quán)力（見圖1

的右圖）?！?/p>

“不錯”，Penny邊說邊看著這些數(shù)字，”這同一個聯(lián)盟共擁有33票中的17票；依然是

最小的三個地區(qū)中的每一個都可以聲稱自己掌握著力量均勢?！?/p>

“這真是妙極了"，Hogg說，“你給了Sheepshire更多的權(quán)力，其中部分權(quán)力卻鬼使神

差般地影響到我們

16

“不，Hogg。我們并沒有給Sheepshire更多的權(quán)力——我們只是給他們更多的選票”,

Penny吸了一口氣說，“正如你說的那樣，權(quán)力和選票并不是一回事?！?/p>

“怎么會是這樣？"Perks問道，“如果權(quán)力不是選票，那它是什么？我需要知道這一

點(diǎn)。權(quán)力贏得選舉?！?/p>

"我認(rèn)為你需要Banzhaf權(quán)力指數(shù),先生"，Penny說，"JohnF.Banzhaf是喬治敦大

學(xué)的?位法律專家。1965年他提出了在加權(quán)投票體制中衡量代表所擁有的權(quán)力的一種方法。

他的設(shè)想是，一位代表可以通過加入一個看來要輸?shù)舻穆?lián)盟使其轉(zhuǎn)敗為勝?；蛘弑硹壱粋€看

來要獲勝的聯(lián)盟使其轉(zhuǎn)勝為敗而顯示其權(quán)力?！?/p>

“這不是同一回事嗎？”

“是同一回事，先生。如果你加入一個聯(lián)盟，你同時也就背棄了由其他所有人組成的

另個聯(lián)盟。所以我們只需要考慮一種情況就夠了——比如說考慮建立個獲勝的聯(lián)盟。假

定某一位代表在聯(lián)盟中起著關(guān)鍵性的作用：有了她則聯(lián)盟贏得投票，失去她則聯(lián)盟輸?shù)敉镀薄?/p>

任何一位代表的Banzhaf權(quán)力指數(shù)就是她在其中恰好起著這樣一種作用的聯(lián)盟的數(shù)目?！?/p>

“我們原先的投票體制是一個（16；10,9,7,3,1,1）體制。獲得多數(shù)所需的票數(shù)

為16票。各人代表的加權(quán)為10,9,7,3,1和1。Porkney僅能在恰好有16票的聯(lián)盟中起

著關(guān)鍵作用。如果這種聯(lián)盟有更多選票，那么Porkney是否背棄它對投票結(jié)果不會有任何影

響。如果其票數(shù)少于16票，則它就不是一個獲勝聯(lián)盟了。但是Porkney所屬的任何?個聯(lián)

盟其選票總數(shù)均不等于16票，因此Porkney的權(quán)力指數(shù)為零。按照總統(tǒng)提出的新方案，我

們將有一個（17；12,9,7,3,1,1）投票體制。Porkney在其所屬的任何一個恰好有17

票的聯(lián)盟中起著關(guān)鍵作用。這種聯(lián)盟正好有一個，即由Sheepshire,Fiddlesex,Slurrey和

Porkney組成的聯(lián)盟。因此，Porkney的權(quán)力指數(shù)為2。”

"那么Sheepshire的權(quán)力指數(shù)為多少？“Perks問。

“Sheepshire有12票，因此它在它加入的任何一個擁有17票到28票（即17—1+12

票），的聯(lián)盟中起著關(guān)鍵作用。你可以通過試錯法列出這些聯(lián)盟（見圖2）。這種聯(lián)盟共有18

個，因此Sheepshire的權(quán)力指數(shù)為18?！?/p>

Hogg叫了起來：“Sheepshire的人口是我們的人口的12倍，可他們的權(quán)力卻只有我們

的權(quán)力的9倍?！?/p>

Gerry問道：“有沒有比試錯法更好的計(jì)算權(quán)力指

數(shù)的方法呢？”

Penny說：“嗯，對于大的投票體系，最好的辦法

是使用計(jì)算機(jī)。不過，對于小的投票體系（比如我們這

一個），有一種巧妙的圖解法。假定此體系是（3；2,1,

1）,這就是說，有三位投票人：A,B和C。A有兩票，

B和C各有一票，且3票構(gòu)成多數(shù)?！?/p>

“首先畫出一個顯示出所有可能的聯(lián)盟的點(diǎn)陣

圖；如果這些聯(lián)盟僅相關(guān)一個成員，則把它們用一條邊

聯(lián)接起來。在每條邊上標(biāo)以非兩個聯(lián)盟所共有的那個成

員。然后標(biāo)出每一條關(guān)鍵的邊——也說是總票數(shù)從低于

多數(shù)票變成等于多數(shù)票或高于多數(shù)票的那些邊。任何?

位成員的權(quán)力指數(shù)就是其上標(biāo)有它的名字的那些邊的

數(shù)目。在這個例子中，A出現(xiàn)在3條關(guān)鍵邊上，因此它

的權(quán)力指數(shù)為3；B和C則各出現(xiàn)在一條關(guān)鍵邊上，因

此其權(quán)力指數(shù)均為1。這個點(diǎn)陣圖是個立方體。對于更

大的系統(tǒng)，你也可以畫出點(diǎn)陣圖，但是看起來就有點(diǎn)零

圖3一個有三位成員的投票體制的點(diǎn)陣圖（上）和

一個有四位成員的投票體制的點(diǎn)陣圖（下）

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亂了。不過四個成員的點(diǎn)陣圖還是有點(diǎn)漂亮的（見圖3）?！?/p>

Hogg說：“我希望的是每個成員擁有的權(quán)力指數(shù)大致同其人口成比例?！?/p>

“這可不那么容易辦到"，Penny

說，“讓我向你說明紐約州湯普金斯縣議

會1982年是如何做到這一點(diǎn)的。權(quán)力指

數(shù)幾乎正好與人口成比例（見圖2）?！?/p>

“我們也可試試看"，Hogg提議

說?！盎蛟S可以吧”，總統(tǒng)慢條斯理地說,

“你對美國總統(tǒng)的權(quán)力指數(shù)作過研究總票數(shù)

嗎，Penny?”

圖2在上面這種投票體制中,Sheepshire的權(quán)力指數(shù)為18,

“是的，先生。美國總統(tǒng)的權(quán)力

這說明它在其中起著關(guān)鍵作用的聯(lián)盟共有18個。理想的情

指數(shù)為一位參議員的權(quán)力指數(shù)的40倍，

況是，所有各地區(qū)的權(quán)力指數(shù)應(yīng)當(dāng)差不多相等，正如紐約州

為一位眾議員的權(quán)力指數(shù)的175倍。”

的湯普金斯縣1982年的情形那樣

“這聽起來很不錯。”“不過美國

立法機(jī)構(gòu)作為一個總體，其權(quán)力大約為總統(tǒng)的權(quán)力的兩倍半?！?/p>

FreebiePerks盯著她有片刻，然后無所畏紐約州湯普金斯縣議會（1982年）

懼地正視著Hogg說：“我想我自治地區(qū)人口權(quán)重權(quán)力指數(shù)權(quán)力指數(shù)/人口

們會堅(jiān)持現(xiàn)行的制度?！?/p>

LANSING8.3174044.7470.571

DRYDENEAST7.6043334.4020.579

ENFI