廣東省廣州市2025屆高三下學期綜合測試（一）數(shù)學試卷 含解析

2025年廣州市普通高中畢業(yè)班綜合測試（一）數(shù)學本試卷共5頁，19小題，滿分150分.考試用時120分鐘.注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號和座位號填寫在答題卡上.用2B鉛筆在答題卡的相應位置填涂考生號.2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案.答案不能答在試卷上.3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)的相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答無效.4．考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.若復數(shù)滿足，則的虛部為（）A. B.1 C. D.i【答案】B【解析】【分析】先求出，結(jié)合虛部的概念可得答案.【詳解】因為，所以，所以的虛部為1.故選：B2.已知集合，若，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出集合結(jié)合數(shù)軸推斷取值范圍.【詳解】，因，則，則實數(shù)的取值范圍是.故選：D.3.在平行四邊形中，點是邊上的點，，點是線段的中點，若，則（）A. B.1 C. D.【答案】C【解析】【分析】由，及即可求解.【詳解】因為點是線段的中點，所以，又，所以，所以，故選：C4.已知球的表面積為，一圓臺的上、下底面圓周都在球的球面上，且下底面過球心，母線與下底面所成角為，則該圓臺的側(cè)面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設出球的半徑，求出圓臺上下底面的半徑，圓臺的母線，由圓臺的側(cè)面展圖形是扇環(huán)，利用圓臺的側(cè)面積公式可求圓臺的側(cè)面積.【詳解】作出示意圖如圖所示：設球的半徑為，由題意可得，所以是等邊三角形，所以，所以，因為球的表面積為，所以，解得，所以，所以，所以圓臺的側(cè)面積為.故選：B.5.已知點在雙曲線上，且點到兩條漸近線的距離之積等于，則的離心率為（）A.3 B.2 C. D.【答案】D【解析】【分析】設，將點坐標代入雙曲線方程中可得.求出點坐標代入雙曲線的兩條漸近線的距離之積，結(jié)合化簡可得的其次方程，即可求解離心率.【詳解】設.∵點在雙曲線上，，即.又雙曲線的兩條漸近線分別為和，點到雙曲線的兩條漸近線的距離之積為：，，即.又，，，.故選：D.6.已知實數(shù)滿足，則下列不等式可能成立的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】設指數(shù)函數(shù)，在同一坐標系中作出三個函數(shù)的圖象，結(jié)合函數(shù)圖象即可求解.【詳解】設函數(shù)，作出函數(shù)圖象如下，設，對A，當時，直線與函數(shù)的圖象交點的橫坐標為，由函數(shù)圖象可知，，A錯誤；對C，當時，直線與函數(shù)的圖象交點的橫坐標為，由函數(shù)圖象可知，，C錯誤；因為，所以，設，作出函數(shù)的圖象如下，對B，當時，直線與函數(shù)的圖象交點的橫坐標為，由函數(shù)圖象可知，，B正確；對D，當時，直線與函數(shù)的圖象交點的橫坐標為，由函數(shù)圖象可知，，D錯誤；故選:B.7.已知，曲線與相鄰的三個交點構(gòu)成一個直角三角形，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設曲線與相鄰的三個交點為，根據(jù)兩角差的余弦公式，輔助角公式及正弦函數(shù)的性質(zhì)求解出交點坐標，再根據(jù)勾股定理列出方程求解即可．【詳解】設曲線與相鄰的三個交點為，，解得，不妨取，則，所以，則，由題意得為直角三角形，所以，即，解得，故選：A．8.定義域為的偶函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，若關(guān)于的不等式的解集為，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由為偶函數(shù)可得，轉(zhuǎn)化題設不等式為，結(jié)合單調(diào)性分析易得的解集為，的解集為，再結(jié)合題意可得5為方程的根，進而得到，進而結(jié)合基本不等式求解即可.【詳解】因為為偶函數(shù)，所以，則，由，得，又因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，則時，，當時，，則當時，，當時，，所以的解集為，的解集為，由于不等式的解集為，當時，不等式為，此時解集為，不符合題意；當時，不等式解集為，不等式解集為，要使不等式的解集為，則，即；當時，不等式解集為，不等式解集為，此時不等式的解集不為；綜上所述，，則，當且僅當，即，時等號成立，即的最小值為.故選：C二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.某位射擊運動員的兩組訓練數(shù)據(jù)如下：第一組：10，7，7，8，8，9，7；第二組：10，5，5，8，9，9，10．則（）A.兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相等B.第一組數(shù)據(jù)的方差大于第二組數(shù)據(jù)的方差C.兩組數(shù)據(jù)的極差相等D.第一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)小于第二組數(shù)據(jù)的中位數(shù)【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)題意，由平均數(shù)，方差，極差以及中位數(shù)定義，代入計算，即可判斷.【詳解】第一組數(shù)據(jù)從小到大排序為：，其平均數(shù)為，其方差為，其極差為，其中位數(shù)為：；第二組數(shù)據(jù)從小到大排序為：，其平均數(shù)為，其方差，其極差為，其中位數(shù)為：所以AD正確，BC錯誤；故選：AD.10.已知函數(shù)在處取得極大值，的導函數(shù)為，則（）A.B.當時，C.D.當且時，【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)極值的定義可得，進而求出可判斷A；結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性判斷B；代式計算判斷C；由，可得，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得，進而得到，再驗證可得，進而判斷D.【詳解】由，則，則函數(shù)的定義域為，則，，則，因為函數(shù)在處取得極大值，所以，即，此時，則，令，得或；令，得，所以函數(shù)在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則函數(shù)在處取得極大值，符合題意，即，故A正確；由上述可知函數(shù)在上單調(diào)遞減，當時，，則，故B錯誤；由，則，，所以，故C正確；因為，，則，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，所以，又，則，故D正確.故選：ACD11.如圖，半徑為1的動圓沿著圓外側(cè)無滑動地滾動一周，圓上的點形成的外旋輪線，因其形狀像心形又稱心臟線．已知運動開始時點與點重合．以下說法正確的有（）A.曲線上存在到原點的距離超過的點B.點在曲線上C.曲線與直線有兩個交點D.【答案】BCD【解析】【分析】先根據(jù)幾何性質(zhì)求解動點的軌跡方程，A項，由兩點間距離公式及三角函數(shù)有界性可得；B項，由點，利用參數(shù)方程解方程組可得；C項，聯(lián)立直線與參數(shù)方程，結(jié)合三角函數(shù)圖象可得交點個數(shù)；D項，由，利用均值不等式可得.【詳解】設與切于點，則始終關(guān)于點對稱.所以當切點繞逆時針轉(zhuǎn)動弧度時，致使點繞圓心也轉(zhuǎn)了弧度，，如圖，連接，，延長與軸交于點，過作軸于點，，，，則，即曲線的參數(shù)方程為，為參數(shù)，.對于A，，上不存在到原點的距離超過的點，A錯；對于B，若在上，則，由①解得或0，驗證知僅當時，代入②符合，在曲線上，故B正確；對于C，由，將曲線的參數(shù)方程代入得，即，，如下圖，分別作出與的大致圖象，可知兩函數(shù)圖象共有兩個交點，故C正確；對于D，，，，故D正確；故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知，則_______．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用誘導公式及逆用和角的正弦公式求解.【詳解】由，得，則，所以.故答案為：.13.將這9個數(shù)字填在的方格表中，要求每一行從左到右、每一列從上到下的數(shù)字依次變?。魧?填在如圖所示的位置上，則填寫方格表的方法共有_______種．【答案】12【解析】【分析】確定1，9的位置，再確定2，3的位置，最后確定余下4個數(shù)的位置，列式計算即可.【詳解】由每一行從左到右、每一列從上到下的數(shù)字依次變小，得在左上角，在右下角，如圖，排在位置，有種方法，從余下的4個數(shù)字中任取2個按從左到右由大到小排在位置，有種方法，最后兩個數(shù)字從上到下由大到小排在位置，有1種方法，所以填寫方格表的方法共有（種）.故答案為：1214.在正三棱錐中，，點在內(nèi)部運動（包括邊界），點到棱的距離分別記為，且，則點運動路徑的長度為_______．【答案】【解析】【分析】分析可知，結(jié)合正三棱錐可得在底面內(nèi)的投影為底面的中心，且，做輔助線結(jié)合長方體的性質(zhì)可得，即可知點的軌跡是以點為圓心，半徑的圓的一部分即可求解.【詳解】由題意可知：，則，可知，因為三棱錐為正三棱錐，則點在底面內(nèi)的投影為底面的中心，取中點，則，，設點在平面、平面和平面內(nèi)的投影分別為、和，根據(jù)正三棱錐的結(jié)構(gòu)特征，可以以為鄰邊作長方體，則平面，平面，則，即，同理可知：，由長方體的性質(zhì)可知：，可得，即，又因為平面，平面，則，可得，可知點在以點為圓心，半徑的圓上，因為，可知與圓相交，設圓與交于兩點，則，可知為等邊三角形，則，結(jié)合對稱性可知點運動路徑的長度為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.在中，內(nèi)角的對邊分別為，已知．（1）求證：；（2）若，求的面積．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理以及和差角公式即可證明.（2）根據(jù)正弦定理求得，再根據(jù)余弦定理求出，利用面積公式求出的面積.【小問1詳解】因為，根據(jù)正弦定理得：又，所以，所以，即，所以，或（舍），所以.【小問2詳解】根據(jù)正弦定理得，即，有余弦定理，得，解得或，當時，，，，則，，而，矛盾，舍去，故，所以的面積為16.如圖，在四棱錐中，底面為矩形，，側(cè)面是等邊三角形，三棱錐的體積為，點是棱的中點．（1）求證：平面平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【小問1詳解】因為底面為矩形，，所以，設三棱錐的高為，又三棱錐的體積為，所以，所以，又側(cè)面是等邊三角形，且，取的中點，連接，可得，從而為三棱錐的高，所以平面，又平面，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面；【小問2詳解】取的中點，連接，則，故由（1）可以為坐標原點，所在直線為坐標軸建立如圖所示的空間直角標系，則，則，設平面的一個法向量為，則，令，則，所以平面的一個法向量為，又平面的一個法向量為，設平面與平面夾角為所以，所以平面與平面夾角的余弦值為．17.個人相互傳球，傳球規(guī)則如下：若球由甲手中傳出，則甲傳給乙；否則，傳球者等可能地將球傳給另外的個人中的任何一個．第一次傳球由甲手中傳出，第次傳球后，球在甲手中的概率記為，球在乙手中的概率記為．（1）求；（2）求；（3）比較與的大小，并說明理由．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）列出5人傳球三次的樹狀圖，根據(jù)概率乘法公式和加法公式得解；（2）由題意知，，根據(jù)數(shù)列的構(gòu)造法求通項公式；（3）由題意知，作差法比大小.【小問1詳解】由題意知，，所以；【小問2詳解】由題意知，，所以，所以，則；【小問3詳解】由題意知，則，所以，（當時取等號）所以.18.已知動點到點的距離等于它到直線的距離，記動點的軌跡為曲線．（1）求的方程；（2）為坐標原點，過點且斜率存在的直線與相交于兩點，直線與直線相交于點，過點且與相切的直線交軸于點．（i）證明：直線；（ii）滿足四邊形的面積為12的直線共有多少條？說明理由．【答案】（1）（2）（i）證明見解析；（ii）有2條，理由見解析【解析】【分析】（1）由拋物線得定義即可求解；（2）（i）由題可知，直線的斜率存在且不為0，故設直線的方程為，設直線與相交于兩點，不妨設，由直線方程與拋物線方程聯(lián)立，求得，求出直線的斜率，即可證明；（ii）由（i）得出四邊形為平行四邊形，根據(jù)四邊形的面積為12列出關(guān)于的方程，根據(jù)導數(shù)判斷方程解的個數(shù)即可．【小問1詳解】由拋物線的定義得動點的軌跡為以為焦點，直線為準線的拋物線，所以，即．【小問2詳解】（i）證明：由題可知，直線的斜率存在且不為0，故設直線的方程為，則直線的斜率為，設直線與相交于兩點，不妨設，由得，，則，由得，，則點處的斜率為，則點處的切線方程為，令，得，即點，直線的方程為，令，得，即，所以直線的斜率，所以，即直線．（ii）連接，由（i）得，，所以，又因為，所以軸，即四邊形為平行四邊形，由得，，若四邊形的面積為12，則，整理得，令，則，設，則，所以在單調(diào)遞增，又，所以存在，使得，所以上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，所以有2個零點，即有2個根，所以四邊形的面積為12的直線共有2條．19.已知且，集合，其中．若存在函數(shù)，其圖象在區(qū)間上是一段連續(xù)曲線，且，則稱是的變換函數(shù)，集合是的子集．例如，設，此時函數(shù)是的變換函數(shù)，是的子集．（1）判斷集合是否是的子集？說明理由；（2）判斷是否為集合的變換函數(shù)？說明理由；（3）若，則，試問是否存在函數(shù)，使得集合是的子集？若存在，求的解析式；若不存在，說明理由．【答案】（1）集合是的子集，理由見詳解；（2）不是集合的變換函數(shù)，理由見詳解；（3）存在，.【解析】【分析】（1）由題中新定義及已知集合構(gòu)造一個滿足定義的函數(shù)即可；（2）分析得到函數(shù)的單調(diào)性，用假設法進行