長山初中《圓》的導(dǎo)學(xué)案

長山初中2013-2014學(xué)年度九年級上期數(shù)學(xué)導(dǎo)學(xué)案活動3.已知：如圖2,OA,OB為。的半徑，C、。分別為。4、的中點,

求證：（1）ZA=ZB;⑵AE=BE

主備人：曹永富審核：九年級數(shù)學(xué)組

第1課時24.1.1圓

［學(xué)習(xí)目標(biāo)］（學(xué)什么?。┗顒?.如圖，AB為。。的直徑，CD是。0中不過圓心的任意一條弦，求證：AB>CDo

1.理解圓的兩種定義，理解并掌握弦、直徑、弧、優(yōu)弧、劣弧、半圓、等圓、等弧等基本概念,

能夠從圖形中識別；（學(xué)習(xí)重點）

2.理解“直徑與弦”、“半圓與弧”、“等弧與長度相等的弧”等模糊概念；（學(xué)習(xí)難點）

3.能應(yīng)用圓的有關(guān)概念解決問題.

［學(xué)法指導(dǎo)］（怎么學(xué)!）［課堂小結(jié)］

通過生活中圓形物體的感性認識，并自己動手操作畫圖，理解圓的定義，通過閱讀教材理解圓1.圓的兩種定義：⑴；

的相關(guān)概念并在圖中識別，澄清相關(guān)概念，并能用相關(guān)概念來解決問題.（2）.

［學(xué)習(xí)流程］2.什么是弦、直徑、弧、半圓、優(yōu)弧、劣弧、等圓、等弧?

一、導(dǎo)學(xué)自習(xí)（教材P78-79）3.同圓或等圓的半徑有什么性質(zhì)？

（一）知識鏈接［當(dāng)堂達標(biāo)］

1.自己回憶一下，小學(xué)學(xué)習(xí)過圓的哪些知識？1.教材P80練習(xí)1、2題

2.下列說法正確的有（）

2.結(jié)合教材圖24.1-1,說說生活中有哪些物體是圓形的？并思考圓有什么特征？

①半徑相等的兩個圓是等圓；②半徑相等的兩個半圓是等??；

（二）自主學(xué)習(xí)

③過圓心的線段是直徑；④分別在兩個等圓上的兩條弧是等弧.

1.理解圓的定義：（閱讀教材圖24.1-2和圖24.1-3,并自己動手畫圓）（圖3）

A.1個B.2個C.3個D.4個

（1）描述性定義:o

3.如圖3,點A、。、D以及點B、O、C分別在一條直線上，則圓中有__條弦.

從圓的定義中歸納：①圓上各點到定點（圓心O）的距離都等于；

4.O的半徑為3c則。中最長的弦長為

②到定點的距離等于定長的點都在.

5.如圖4,在AABC中，NACB=9（RNA=40。,以C為圓心，為半徑的圓交45于點O,求

（2）集合性定義:o

NACD的度數(shù).

（3）圓的表示方法：以。點為圓心的圓記作,讀作.

（4）要確定一個圓，需要兩個基本條件，一個是,另一個是,其中確定圓的位置,

確定圓的大小.

2.圓的相關(guān)概念：（1）弦、直徑；（2）弧及其表示方法；（3）等圓、等弧。

如圖1,弦有線段,直徑是,最長的弦是,優(yōu)弧有;

劣弧有____________________。BX""X

二、研習(xí)展評/Kp、

［拓展訓(xùn)練］

活動L判斷下列說法是否正確，為什么？U

已知：如圖5,AB是。O的直徑，CD是。O的弦，AB,CD的延長線交于E,若AB=2DEfZE=18°,

（1）直徑是弦.（）（2）弦是直徑.（）求NC及NAOC的度數(shù).

（3）半圓是弧.（）（4）弧是半圓.（）（圖1）

（5）等弧的長度相等.（）（6）長度相等的兩條弧是等弧.（）

活動2.。。的半徑為2on,弦AB所對的劣弧為圓周長的工，則NA0B=_______,AB=______

6

（圖5）

［課后作業(yè)］［學(xué)習(xí)目標(biāo)］（學(xué)什么?。?/p>

1.以點O為圓心作圓，可以作（）1.理解圓的軸對稱性;

A.1個B.2個C.3個D.無數(shù)個2.掌握垂徑定理及其推論，能用垂徑定理及其推論進行有關(guān)的計算和證明.

2.一個點到圓的最小距離為4cm,最大距離為9cm,則該圓的直徑是)［學(xué)法指導(dǎo)］（怎么學(xué)!）

A.2.5cm或6.5cmB.2.5cmC.6.5cmD.5cm或］3cm本節(jié)課的學(xué)習(xí)重點是“垂徑定理”及其應(yīng)用，學(xué)習(xí)難點是垂徑定理的題設(shè)和結(jié)論以及垂徑定理

3.確定一個圓的條件為（）的證明；學(xué)習(xí)中通過動手操作、觀察、猜想、歸納、驗證得出相關(guān)結(jié)論，并加以應(yīng)用.

A.圓心B.半徑C.圓心和半徑D.以上都不對.［學(xué)習(xí)流程］

4.已知：如圖，四邊形ABCD是矩形，對角線AC、BD交于點O.一、導(dǎo)學(xué)自習(xí)（教材P80-81）

求證：點A、B、C、。在以O(shè)為圓心的圓上.1.閱讀教材P80有關(guān)“趙州橋”問題，思考能用學(xué)習(xí)過的知識解決嗎？

2.閱讀教材p80“探究”內(nèi)容，自己動手操作，發(fā)現(xiàn)了什么？由此你能得到什么結(jié)論？

歸納：圓是對稱圖形，都是它的對稱軸；

3.閱讀教材p80“思考”內(nèi)容，自己動手操作：

按下面的步驟做一做：（如圖1）

5.如圖，菱形MCD中，點、E、尸、G、〃分別為各邊的中點.

第一步，在一張紙上任意畫一個O,沿圓周將圓剪下，作。的一條弦A3；

求證：點E、F、G、”四點在同一個圓上.

第二步，作直徑CO,使CDJ_AB,垂足為/

第三步，將。沿著直徑折疊./,\

你發(fā)現(xiàn)了什么？

歸納：（1）圖］是—對稱圖形，對稱軸是

（2）相等的線段有________________,相等的弧有______________________.,/1、

二研習(xí)展評%）

6.如圖，在。O中，AC.3。為直徑，求證：AB//CD活動1：（1）如圖2,怎樣證明“自主學(xué)習(xí)3”得到的第（2）個結(jié)論.’

疊合法證明：/IA

D

7.如圖，04、08為。O的半徑，C、。為04、08上兩點，＞AC=BD（圖2）

求證：AD=BC

（2）垂徑定理：垂直于弦的直徑____弦，并且_____________的兩條弧.

定理的幾何語言：如圖2CD是直徑（或CO經(jīng)過圓心），且CD_LAB

（3）推論：.

活動2：垂徑定理的應(yīng)用

如圖3,已知在。中，弦的長為8cm，圓心。到A3的距離（弦心距）為3cm,求0

的半徑.（分析：可連結(jié)Q4,作OCJ_AB于C）

給O

［學(xué)后反思］

（圖3）

小結(jié)：（1）輔助線的常用作法：連半徑，過圓心向弦作垂線段。

第2課時24.1.2垂直于弦的直徑（2）如圖4,根據(jù)垂徑定理和勾股定理，“半弦、半徑、弦心距”構(gòu)成

(4)

直角三角形，則八d、。的關(guān)系為,知道其中任意兩個量，

可求出第三個量.

［課堂小結(jié)］

1.垂徑定理是,定理有兩個條件，三個結(jié)論。問題2：把圓中直徑AB向下平移，變成非直徑的弦AB,如圖2,是否仍有AC=BD呢？

2.定理可推廣為：在五個條件①過圓心，②垂直于弦，③平分弦，④平分弦所對的優(yōu)?、萜椒窒宜?/p>

對的劣弧中，知推o

［當(dāng)堂達標(biāo)］

1.圓的半徑為5cm,圓心到弦AB的距離為4cm,則AB=cm.

圖2

2.如圖5,AB是。。的直徑，CD為弦,CDJ_A5于則下列結(jié)論中不成立的是（）

A.ZCOE=ZDOEB.CE=DEC.OE=BED.BD=BC問題3：在圓2中連結(jié)OC,0D,將小圓隱去，得圖4,設(shè)OC=OD,求證AC=BD

3.如圖6,CD為。。的直徑，AB±CD^Ef￡>E=8cm,CE=2cm,貝!|cm.

圖4

問題4：在圖2中，連結(jié)OA、0B,將大圓隱去，得圖5,設(shè)A0=B0,求證：AC二BD

［拓展訓(xùn)練］

已知：如圖7,A3是。。的直徑，弦CD交AB于E點,BE=lfAE=5fNAEC=30。，求C。的長.

圖5

6.如圖，已知AB是。0的弦，P是AB上一點，若AB=10,PB=4,0P=5,求。0的半徑的

長。

［課后作業(yè)］

1、。。的半徑是5,P是圓內(nèi)一點，且0P=3,過點P最短弦、最長弦的長為.

2、如右圖2所示，已知AB為。0的直徑，且AB_LCD,垂足為M,CD=8,AM=2,

貝lj0M=.

［學(xué)后反思］

3、?0的半徑為5,弦AB的長為6,則AB的弦心距長為.

4、已知一段弧AB,請作出弧AB所在圓的圓心。

第4課時24.1.3弧、弦、圓心角

5、問題1：如圖1,AB是兩個以。為圓心的同心圓中大圓的直徑,AB交小圓交于C、

D兩點，求證：AOBD［學(xué)習(xí)目標(biāo)］（學(xué)什么?。?/p>

1.理解圓心角的概念，掌握圓的旋轉(zhuǎn)不變性（中心對稱性）；

圖1

2.掌握圓心角、弧、弦之間的相等關(guān)系定理及推論，并初步學(xué)會運用這些關(guān)系進行有關(guān)的計算和

證明.

［學(xué)法指導(dǎo)］（怎么學(xué)?。?/p>

本節(jié)課的學(xué)習(xí)重點是理解并掌握圓心角、弧、弦之間關(guān)系定理并利用其解決相關(guān)問題，學(xué)習(xí)難活動3：如圖4,在。。中，AB=AGZAC5=60°,求證：NA05=NAO仁N3.

點是圓心角、弧、弦之間關(guān)系定理中的“在同圓或等圓”條件的理解及定理的證明；學(xué)習(xí)中通過動（分析：根據(jù)圓心角、弧、弦之間關(guān)系定理，欲證NAO5=ZAOC=ZB,可先證什么？）

手操作、觀察、比較、猜想、推理、歸納等活動，發(fā)展推理能力以及概括問題的能力。

證明:

［學(xué)習(xí)流程］

一、導(dǎo)學(xué)自習(xí)（教材P82-83）

（一）知識鏈接

1.是中心對稱圖形.（自己敘述）

2.要證明兩條弧相等，到目前為止有哪兩種方法？（1）（2）［課堂小結(jié)］

（二）自主學(xué)習(xí)

1.圓心角、弧、弦關(guān)系定理：在同圓或等圓中，兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，它

1.頂角在的角叫做圓心角.

們所對應(yīng)的也相等.此結(jié)論是證明圓心角相等、弧相等、弦相等常用的依據(jù).

2.圓既是軸對稱圖形，又是對稱圖形，它的對稱中心是.實際上，圓繞其圓心旋轉(zhuǎn)

2.定理使用要注意“同圓或等圓”這個前提。

任意角度都能夠與原來的圖形重合，因此，圓還是對稱圖形.

［當(dāng)堂達標(biāo)］

二、研習(xí)展評

1.在同圓或等圓中，如果Cl,那么A3與CO的關(guān)系是（）

活動1：（1）閱讀教材P82“探究”內(nèi)容，動手操作：（可以把重合的兩個圓看成同圓）

A.AB>ClB.AB=ClC.AB<ClD.無法確定

①在兩張透明紙上，作兩個半徑相等的。0和。0',沿圓周分別將兩圓剪下；

2.下列命題中，真命題是（）

②在。0和。0，上分別作相等的圓心角NAO6和NAO3',如圖1所示，圓心固定.

A.相等的弦所對的圓心角相等B.相等的弦所對的弧相等

注意：在畫NAO6與NAO3'時，要使03相對于Q4的方向與06相對于OA的方向一致，否則

C.相等的弧所對的弦相等D.相等的圓心角所對的弧相等

當(dāng)Q4與OA'重合時，與08不能重合.

3.如圖5,是。。的直徑，是BE上的三等分點，ZAOE=60°,

③將其中的一個圓旋轉(zhuǎn)一個角度.使得Q4與。A重合.則NCO/是（）

A.40°B.60°C.80°D.120°

4.教材p83練習(xí)第2題（做在書上）

5.已知，如圖6,在。0中，弦AD=B（,你能用多種方法證明A3=C1嗎？

（圖1）

通過上面的做一做，你能發(fā)現(xiàn)哪些等量關(guān)系？同學(xué)們互相交流一下，說一說你的理由.

（2）猜想等量關(guān)系：,.

（3）（利用圓的旋轉(zhuǎn)不變性）驗證：

［拓展訓(xùn)練］

已知：如圖7,A3為。。的直徑，C,。為。。上的兩點，且C為AQ的

（4）歸納圓心角、弧、弦之間關(guān)系定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧，所對

中點，若Nb4D=20°,

的弦o求NACO的度數(shù).

（5）推

論：。

活動2：下面的說法正確嗎？若不正確，指出錯誤原因.［課后作業(yè)］

（1）如圖2,小雨說：“因為和所對的圓心角都是N0,所以有A?=A3."

［學(xué)后反思］

⑵如圖3,小華說：“因為CJ,所以A3所對的48等于CO所對的CAC

（圖3）

（圖2）

一、導(dǎo)學(xué)自習(xí)（教材P84-85）

※［課外探究］

1.閱讀教材P84“思考”并認真讀圖，如圖1,視角NAOB叫做角，

1.在。。中，M為A3的中點，則下列結(jié)論正確的是（）.而視角NACB、NADB和NAEB不同于視角NAOB這一類的角，我們把

NACB、NADB和NAEB這一類的角叫做______.■

A.AB>2AMB.AB=2AMC.AB<2AMD.Ab與2AM的大小不能確定2.頂點在,并且兩邊都與圓的角叫做圓周角.4C）K大

2.如圖8,在。。中，A3為直徑，弦。交A3于尸，且OQPC,試猜想AO與。?之間的關(guān)系,

圓周角定義的兩個特征：（1）頂點都在______；（2）兩邊都與圓_______.,

自己完成“當(dāng)堂達標(biāo)”的第題。渤=落

并證明你的猜想.3.1

4.視角NAO3和NACB有什么關(guān)系？視角NADB和NA成和視角NAC5相同嗎？曲孰^研究

M同?。ˋB）所對的圓心角（NA06）與圓周角（NACB）、同弧所對的圓周角（ZACB、ZADB、

ZAEB等）之間的大小關(guān)系.

二、研習(xí)展評

活動L（1）閱讀教材P84“探究”內(nèi)容，動手量一量（如圖2）：

（圖8）

問題1：同?。ɑ3）所對的圓心角NAO5與圓周角NACN的大小關(guān)系是怎樣的？

3.如圖9,。。中，直徑A3=15cm,有一條長為9cm的動弦C0在前深上滑動（點C與A,點。與問題2：同?。ɑ8）所對的圓周角NACB與圓周角NAZM的大小關(guān)系是怎樣的？

3不重合），CF_LCD交Ab于后DELCD交AB于E.

（2）規(guī)律：同弧所對的圓周角的度數(shù),并且它的度數(shù)恰好等于這條弧所對的圓心角的度數(shù)

⑴求證：AE=BF；

的.

（2）在動弦CO滑動的過程中，四邊形CDE廠的面積是否為定值?若是定值，請給出證明并求這個

活動2：（1）同學(xué)們在下面圖3的。。中任取篇所對的圓周角，并思考圓心與圓周角有哪幾種位置關(guān)

定值；若不是，請說明理由.

系？

（圖9）

（2）實際上，圓心與圓周角存在三種位置關(guān)系：圓心在圓周角的一邊上；圓心在圓周角的內(nèi)部；圓

心在圓周角的外部.（如圖4）

第5課時24.1.4圓周角（1）

［學(xué)習(xí)目標(biāo)］（學(xué)什么！）

1.理解圓周角的定義，了解與圓心角的關(guān)系，會在具體情景中辨別圓周角.

2.掌握圓周角定理及推論，并會運用這些知識進行簡單的計算和證明.

［學(xué)法指導(dǎo)］（怎么學(xué)!）

本節(jié)課的學(xué)習(xí)重點是理解并掌握圓周角定理及推論，學(xué)習(xí)難點是圓周角定理的證明中采用的分

類思想及由“一般到特殊”的數(shù)學(xué)思想方法；學(xué)習(xí)中經(jīng)歷操作、觀察、猜想、分析、交流、論證等

數(shù)學(xué)活動，體驗圓周角定理的探索過程，培養(yǎng)合情推理能力，發(fā)展自己的邏輯思維能力、推理論證②當(dāng)圓心在圓周角內(nèi)部（或在圓周角外部）時，能不能作輔助線將問題轉(zhuǎn)化成圓心在圓周角一邊上

能力和用幾何語言表達的能力.的情況，從而運用前面的結(jié)論，得出這時圓周角仍然等于相應(yīng)的圓心角的結(jié)論.

［學(xué)習(xí)流程］證明：作出過0的直徑（自己完成）

※［課外探究］

（4）同弧所對的圓周角等于這條弧所對的圓心角的一半.其實，等弧的情況下該命題也是成立的，1.如圖9,△A5C的三個頂點在。O上，ZA=50°,ZABC=60°,30是。。的直徑，5。交AC

命題“同弧或等弧所對的圓周角相等”也是正確的，想一想為什么？于點￡,連結(jié)OC,求NAE3的度數(shù).

（5）圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角,都等于這條弧所對的圓心角2.已知：如圖10,Ab是。。的直徑，CD為弦,且Ab_LC0于E,尸為DC延長線上一點，連結(jié)Ab

的.交。。于M.求證：ZAMD=ZFMC.

（6）由圓周角定理和圓心角、弧、弦之間關(guān)系，可以證明：（學(xué)生自己完成）

推論L在同圓或等圓中，如果兩個圓周角相等，它們所對的弧一定.

說明：注意圓周角定理及推論1不能丟掉“同圓或等圓”這個前提.

活動3：（小組討論）由圖5,結(jié)合圓周角定理思考

問題L半圓（或直徑）所對的圓周角是多少度？

問題2：90°的圓周角所對的弦是什么？

推論2：半圓（或直徑）所對的圓周角是；的圓周角所對的弦是直徑.

說明：推論2為在圓中確定直角、成垂直關(guān)系創(chuàng)造了條件.

［課堂小結(jié)］

談?wù)劚竟?jié)課的體會：知識、思想、方法、收獲、……

［當(dāng)堂達標(biāo)］

1.在下列與圓有關(guān)的角中，哪些是圓周角？哪些不是，為什么？

(圖5)第6課時24.L4圓周角（2）

［學(xué)習(xí)目標(biāo)］（學(xué)什么?。?/p>

1.理解圓內(nèi)接多邊形和多邊形的外接圓的概念，掌握圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，并會用此性質(zhì)進行

(1)(2)(3)(4)(5)有關(guān)的計算和證明；

2.教材p86練習(xí)1、2題（直接做在書上）2.進一步掌握圓周角定理及推論，并會綜合運用知識進行有關(guān)的計算和證明，培養(yǎng)分析問題、解

3.如圖6,點A、B、C、D在。O上，若NC=60。，則ND=____,ZAOB=_決問題的能力.

4.如圖7,等邊△ABC的頂點都在。O上，點D是。O上一點，則NBDC三

3.理解并掌握“如果三角形一條邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個三角形是直角三角形”

這個直角三角形的判定方法.

［學(xué)法指導(dǎo)］（怎么學(xué)!）

本節(jié)課的學(xué)習(xí)重點是理解圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)并能熟練運用圓周角定理及推論進行有關(guān)的計算

和證明，學(xué)習(xí)難點是綜合運用知識進行有關(guān)的計算和證明時，培養(yǎng)自己的邏輯思維能力及分析問題、

解決問題的能力；學(xué)習(xí)中注重培養(yǎng)自己的邏輯思維能力、分析問題和解決問題的能力.

［學(xué)習(xí)流程］

一、導(dǎo)學(xué)自習(xí)（教材P85-86）

［拓展訓(xùn)練］