多模態(tài)信號處理基礎(chǔ) 課件 第4章 頻率響應(yīng)與采樣定理

連續(xù)系統(tǒng)的頻率響應(yīng)其基本信號為ej

t。下面分析基本和一般信號作用與LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)。傅里葉分析是將任意信號分解為無窮多項不同頻率的虛指數(shù)函數(shù)之和。對周期信號：對非周期信號：連續(xù)系統(tǒng)的頻率響應(yīng)設(shè)LTI連續(xù)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為h(t)，當(dāng)激勵是角頻率ω的基本信號ej

t時，其響應(yīng)為：1．基本信號ej

t作用于LTI系統(tǒng)的響應(yīng)而上式積分正好是h(t)的傅里葉變換，記為H(j

)，稱為系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)。y(t)=H(j

)ej

t，H(j

)反映了響應(yīng)y(t)的幅度和相位隨頻率變化情況。連續(xù)系統(tǒng)的頻率響應(yīng)2.一般信號f(t)作用于LTI系統(tǒng)的響應(yīng)ej

tH(j

)ej

tF(j

)ej

td

F(j

)H(j

)ej

td

‖f(t)y(t)=FT

–1[F(j

)H(j

)]Y(j

)=F(j

)H(j

)‖齊次性可加性連續(xù)系統(tǒng)的頻率響應(yīng)頻率響應(yīng)H(j

)定義為系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的傅里葉變換Y(j

)與激勵f(t)的傅里葉變換F(j

)之比，即：3.頻率響應(yīng)的定義

H(j

)

稱為幅頻特性（或幅頻響應(yīng)）；θ(j)稱為相頻特性（或相頻響應(yīng)）。

H(j

)

是

的偶函數(shù)，θ(

)是

的奇函數(shù)。時、頻分析對應(yīng)關(guān)系?

??h(t)H(

)f(t)y(t)=f(t)

h(t)F(j

)Y(

)=F(

)H(

)連續(xù)系統(tǒng)的頻率響應(yīng)4.頻率響應(yīng)圖形表示幅頻特性例1求圖所示RC電路的頻率響應(yīng)。+-uruc+-CiR+-UrUc+-I(jω)RjωC1頻域等效電路相頻特性

連續(xù)系統(tǒng)的頻率響應(yīng)頻率響應(yīng)圖形表示ω1H00.2H0.4H0.6H0.8H12345TTTTT|H(jω)|ω0-80-60-40-200θ(ω)12345TTTTT幅度-頻率特性曲線相位-頻率特性曲線T=RC連續(xù)系統(tǒng)的頻率響應(yīng)

例2：設(shè)系統(tǒng)頻率響應(yīng)，輸入f(t)=2

(t)時，求輸出y(t)

。解:輸入f(t)的傅氏變換F(jω)=2因此輸出傅氏變換：所以輸出:

頻域響應(yīng)求法及系統(tǒng)頻域分析1.頻率響應(yīng)H(j

)的求法1)H(j

)=F[h(t)]2）H(j

)=Y(j

)/F(j

) a.由微分方程求，對微分方程兩邊取傅里葉變換。 b.由電路直接求出。頻域響應(yīng)求法及系統(tǒng)頻域分析例1：

已知某連續(xù)LTI系統(tǒng)的沖激響應(yīng)是，求該系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。解：由頻率響應(yīng)和沖激響應(yīng)之間的關(guān)系，直接對求傅里葉變換可得：幅頻響應(yīng)（幅頻特性）相頻響應(yīng)（相頻特性）頻域響應(yīng)求法及系統(tǒng)頻域分析例2：某系統(tǒng)的微分方程為y′(t)+2y(t)=f(t)，求：1）系統(tǒng)頻率響應(yīng)，2）f(t)=e-tε(t)時的響應(yīng)y(t)。解：1)微分方程兩邊取傅里葉變換j

Y(j

)+2Y(j

)=F(j

)2）f(t)=e-tε(t)←→y(t)=(e-t

–e-2t

)ε(t)故頻率響應(yīng)為：頻域響應(yīng)求法及系統(tǒng)頻域分析例3：如圖電路，R=1Ω，C=1F，以uC(t)為輸出，求h(t)。若uS(t)=2cos(t)，求穩(wěn)態(tài)響應(yīng)uC(t)=？解：畫電路頻域模型h(t)=e-t

ε(t)

由于R+_

C+_

R+_

+_

頻域響應(yīng)求法及系統(tǒng)頻域分析2.系統(tǒng)的頻域分析例4：如下圖所示系統(tǒng)，已知，，求系統(tǒng)的輸出y(t).分析：利用Y(j

)=H(j

)F(j

)及頻域卷積定理求出各乘法器輸出信號的傅里葉變換，然后上下兩路相加就可得出輸出傅里葉變換形式，然后求傅里葉逆變換即可。

++頻域響應(yīng)求法及系統(tǒng)頻域分析解：（1）先求輸入的傅里葉變換由對稱性可得：由尺度變換可得：圖中下路乘法器的輸入信號傅氏變換為：頻域響應(yīng)求法及系統(tǒng)頻域分析(2)利用頻域卷積定理求出系統(tǒng)中上下兩路乘法器的輸出傅氏變換：

上路乘法器的輸出傅氏變換頻域響應(yīng)求法及系統(tǒng)頻域分析下路乘法器的輸出傅氏變換頻域響應(yīng)求法及系統(tǒng)頻域分析（3）加法器輸出的傅里葉變換-6-5-4-3-2-101234561(a)

+

-6-5-4-3-2-101234561+

-6-5-4-3-2-101234561-

圖[a+b+c]-6-5-4-3-2-101234562

(d)(b)(c)頻域響應(yīng)求法及系統(tǒng)頻域分析（4）求加法器輸出的傅里葉逆變換可求出輸出信號。頻域響應(yīng)求法及系統(tǒng)頻域分析THEEND無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)系統(tǒng)對于信號的作用大體可分為兩類：信號的傳輸濾波傳輸要求信號盡量不失真，而濾波則濾去或削弱不需要有的成分，必然伴隨著失真。1.定義信號無失真?zhèn)鬏斒侵赶到y(tǒng)的輸出信號與輸入信號相比，只有幅度的大小和出現(xiàn)時間的先后不同，而沒有波形上的變化。即:輸入信號為f(t)，經(jīng)過無失真?zhèn)鬏敽?，輸出信號?yīng)為y(t)=Kf(t–td)其頻譜關(guān)系為無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)2.無失真?zhèn)鬏敆l件上述是信號無失真?zhèn)鬏數(shù)睦硐霔l件。當(dāng)傳輸有限帶寬的信號是，只要在信號占有頻帶范圍內(nèi)，系統(tǒng)的幅頻、相頻特性滿足以上條件即可。

k

系統(tǒng)要實現(xiàn)無失真?zhèn)鬏?，對系統(tǒng)h(t)，H(j

)的要求是

(a)對h(t)的要求：h(t)=K

(t–td)(b)對H(j

)的要求：H(j

)=Y(j

)/F(j

)=Ke-j

td即

H(j

)

=K,θ(

)=–

td

無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)例1：某系統(tǒng)的幅頻特性|H(jω)|和相頻特性如圖(a)(b)所示，則下列信號通過該系統(tǒng)時，不產(chǎn)生失真的是:(A)f(t)=cos(t)+cos(8t)(B)f(t)=sin(2t)+sin(4t)(C)f(t)=sin(2t)sin(4t)(D)f(t)=cos2(4t)分析：題A信號頻率成分題B信號頻率成分題C信號頻率成分題D信號頻率成分

無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)相位特性為什么與頻率成正比關(guān)系？只有相位與頻率成正比，方能保證各諧波有相同的延遲時間，在延遲后各次諧波疊加方能不失真。延遲時間td

是相位特性的斜率：群時延或稱群延時在滿足信號傳輸不產(chǎn)生相位失真的情況下，系統(tǒng)的群時延特性應(yīng)為常數(shù)。θ(

)=–

td

無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)延遲2延遲3/20sintt0sin2tt0sint+sin2tt輸入0sin(t-2)t0sin(2t-3)t0sin(t-2)+sin(2t-3)t輸出無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)例2已知某LTI系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為：1）求系統(tǒng)的幅頻特性|H(jω)|和相頻特性θ(j),并判斷系統(tǒng)是否為無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)；2）當(dāng)輸入，求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。

無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)2）由頻率特性可知：輸入與輸出信號波形

0

-2-1012圖中的實線表示系統(tǒng)的輸入信；虛線為系統(tǒng)輸出信號?？梢钥闯?，輸出信號相對于輸入信號產(chǎn)生了失真。輸出信號的失真是由于系統(tǒng)的非線性相位引的。

無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)3.失真的有關(guān)概念線性系統(tǒng)引起的信號失真由兩方面的因素造成●幅度失真：各頻率分量幅度產(chǎn)生不同程度的衰減；●相位失真：各頻率分量產(chǎn)生的相移不與頻率成正比，使響應(yīng)的各頻率分量在時間軸上的相對位置產(chǎn)生變化。線性系統(tǒng)的失真——幅度，相位變化，不產(chǎn)生新的頻率成分；非線性系統(tǒng)產(chǎn)生非線性失真——產(chǎn)生新的頻率成分。

對系統(tǒng)的不同用途有不同的要求：●無失真?zhèn)鬏?；●利用失?/p>

波形變換。無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)THEEND理想低通濾波器1.理想低通濾波器的特性具有如右圖所示幅頻、相頻特性的系統(tǒng)稱為理想低通濾波器。

c稱為截止角頻率?！竦牡皖l段內(nèi)，傳輸信號無失真。幅頻特性相頻特性

1

理想低通濾波器的頻率響應(yīng)可寫為：理想低通濾波器2.理想低通的沖激響應(yīng)可見，它實際上是不可實現(xiàn)的非因果系統(tǒng)。因為gτ(t)輸入

(1)

理想低通濾波器3.理想低通的階躍響應(yīng)經(jīng)推導(dǎo)，可得正弦積分理想低通濾波器（1）上升時間：輸出由最小值到最大值所經(jīng)歷的時間，記作（2）有明顯失真，只要

c<∞，則必有振蕩，其過沖比穩(wěn)態(tài)值高約9%。這一由頻率截斷效應(yīng)引起的振蕩現(xiàn)象稱為吉布斯現(xiàn)象。gmax=0.5+Si(π)/π=1.0895系統(tǒng)的延遲時間

理想低通濾波器結(jié)論：對輸入信號有延時作用；對高頻的濾波作用；非因果性（因理想濾波器所致）。不同截止頻率理想低通濾波器的階躍響應(yīng)：

0510150.51

t

0510150.51

t(a)(b)理想低通濾波器4.一種可實現(xiàn)的低通理想低通濾波器在物理上是不可實現(xiàn)的，近似理想低通濾波器的實例如下：+__+

0

t

0

0

理想低通濾波器實際低通濾波器的輸入、輸出波形：

10+__+

0

(a)(b)(c)理想低通濾波器5.物理可實現(xiàn)系統(tǒng)的條件時域特性角度：一個物理可實現(xiàn)的系統(tǒng)，其沖激響應(yīng)在t<0時必須為0，即h(t)=0,t<0；即響應(yīng)不應(yīng)在激勵作用之前出現(xiàn)。頻域特性角度：佩利（Paley)和維納（Wiener)證明了物理可實現(xiàn)的幅頻特性必須滿足：并且稱為佩利-維納準(zhǔn)則。（必要條件）

從該準(zhǔn)則可看出，對于物理可實現(xiàn)系統(tǒng)，其幅頻特性可在某些孤立頻率點上為0，但不能在某個有限頻帶內(nèi)為0。

理想低通濾波器THEEND采樣定理取樣定理論述了在一定條件下，一個連續(xù)信號完全可以用離散樣本值表示。這些樣本值包含了該連續(xù)信號的全部信息，利用這些樣本值可以恢復(fù)原信號。取樣定理在連續(xù)信號與離散信號之間架起了一座橋梁。為其互為轉(zhuǎn)換提供了理論依據(jù)。采樣定理取樣是對信號進行數(shù)字處理的第一個環(huán)節(jié)。需要解決的問題：1．信號的取樣f(t)fs(t)s(t)f(k)y(k)y(t)A/D量化編碼數(shù)字濾波器D/A連續(xù)信號脈沖序列Fs(jω)與F(jω)的關(guān)系由fs(t)能否恢復(fù)f(t)?采樣定理沖激采樣f(t)fs(t)

連續(xù)信號取樣信號取樣脈沖

f(t)←→F(jω)(–ωm<ω<ωm)

fs(t)←→Fs

(jω)

s(t)←→S(jω)采樣定理TS取樣間隔，ωS

取樣角頻率ωS

≥2ωm，頻譜不混疊

低通濾波F(jω)01ωωm-ωmS(ω)0ωωs-ωs(ωs)Fs(jω)01/Tsωωm-ωmωs-ωs時域×=f(t)0ts(t)0t-TsTs2Ts(1)fs(t)0t-TsTs2Ts頻域*=×采樣定理2.時域取樣定理一個頻譜在區(qū)間（-

m，

m)以外為0的帶限信號f(t)，可唯一地由其在均勻間隔Ts[Ts≤1/(2fm)]上的樣點值f(kTs)確定。f(t)0tωF（ω）10-ωmωmtfS(t)0TS…………0FS(ω)ωωmωs-ωsTS1ωsωm采樣定理上述定理表明：為了能夠從采樣信號中恢復(fù)原信號，必須滿足兩個條件：

f(t)必須是帶限信號；取樣頻率不