第2課時 矩形的判定

第十八章平行四邊形18.2.1矩形第2課時矩形的判定講授新課當(dāng)堂練習(xí)課堂小結(jié)新課導(dǎo)入目錄新課導(dǎo)入教學(xué)目標(biāo)教學(xué)重點(diǎn)1.經(jīng)歷矩形判定定理的猜想與證明過程，理解并掌握矩形的判定定理．（重點(diǎn)）2.能應(yīng)用矩形的判定解決簡單的證明題和計算題.(難點(diǎn))學(xué)習(xí)目標(biāo)復(fù)習(xí)引入問題1

矩形的定義是什么？有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形.問題2

矩形有哪些性質(zhì)？矩形邊：角：對角線：對邊平行且相等四個角都是直角對角線互相平分且相等新課導(dǎo)入思考

工人師傅在做門窗或矩形零件時，如何確保圖形是矩形呢？現(xiàn)在師傅帶了兩種工具（卷尺和量角器），他說用這兩種工具的任意一種就可以解決問題，這是為什么呢？這節(jié)課我們一起探討矩形的判定吧.講授新課典例精講歸納總結(jié)對角線相等的平行四邊形是矩形一類比平行四邊形的定義也是判定平行四邊形的一種方法，那么矩形的定義也是判定矩形的一種方法.問題1

除了定義以外，判定矩形的方法還有沒有呢？矩形是特殊的平行四邊形.類似地，那我們研究矩形的性質(zhì)的逆命題是否成立.講授新課問題2

上節(jié)課我們已經(jīng)知道“矩形的對角線相等”，反過來，小明猜想對角線相等的四邊形是矩形，你覺得對嗎？我猜想：對角線相等的平行四邊形是矩形.不對，等腰梯形的對角線也相等.不對，矩形是特殊的平行四邊形，所以它的對角線不僅相等且平分.思考你能證明這一猜想嗎？已知：如圖,在□ABCD中,AC

,

DB是它的兩條對角線,

AC=DB.求證：□ABCD是矩形.證明：∵AB=DC,BC=CB,AC=DB,∴△ABC≌△DCB

,∴∠ABC=∠DCB.∵AB∥CD,∴∠ABC+∠DCB=180°,∴∠ABC=90°,∴□

ABCD是矩形（矩形的定義）.ABCD證一證矩形的判定定理：對角線相等的平行四邊形是矩形.要點(diǎn)歸納幾何語言描述：在平行四邊形ABCD中，∵AC=BD，∴平行四邊形ABCD是矩形.ABCD思考數(shù)學(xué)來源于生活，事實(shí)上工人師傅為了檢驗(yàn)兩組對邊相等的四邊形窗框是否成矩形，一種方法是量一量這個四邊形的兩條對角線長度，如果對角線長相等，則窗框一定是矩形，你現(xiàn)在知道為什么了嗎？對角線相等的平行四邊形是矩形.

例1如圖，在□ABCD中，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，且OA=OD，∠OAD=50°．求∠OAB的度數(shù)．

A

B

C

D

O解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA=OC=AC，OB=OD=BD.又∵OA=OD，∴AC=BD，∴四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD=90°.又∵∠OAD=50°，∴∠OAB=40°.典例精析例2

如圖,矩形ABCD的對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，E、F、G、H分別是AO、BO、CO、DO上的一點(diǎn),且AE=BF=CG=DH.求證:四邊形EFGH是矩形.BCDEFGHOA證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AC=BD（矩形的對角線相等)，AO=BO=CO=DO（矩形的對角線互相平分），∵AE=BF=CG=DH，∴OE=OF=OG=OH，∴四邊形EFGH是平行四邊形，∵EO+OG=FO+OH，

即EG=FH，∴四邊形EFGH是矩形.練一練1.如圖，在□ABCD中，AC和BD相交于點(diǎn)O，則下面條件能判定□ABCD是矩形的是（）A．AC=BDB．AC=BCC．AD=BCD．AB=ADA2.如圖，□ABCD中,∠1=∠2中.此時四邊形ABCD是矩形嗎？為什么？ABCDO12解：四邊形ABCD是矩形.理由如下：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AO=CO,DO=BO.又∵∠1=∠2，∴AO=BO，∴AC=BD，∴四邊形ABCD是矩形.有三個角是直角的四邊形是矩形二問題1

上節(jié)課我們研究了矩形的四個角，知道它們都是直角，它的逆命題是什么？成立嗎？逆命題：四個角是直角的四邊形是矩形.成立問題2

至少有幾個角是直角的四邊形是矩形？ABDC(有一個角是直角)ABDC(有二個角是直角)ABDC(有三個角是直角)猜測：有三個角是直角的四邊形是矩形.已知：如圖,在四邊形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°.求證：四邊形ABCD是矩形.證明:∵∠A=∠B=∠C=90°,∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°，∴AD∥BC,AB∥CD.∴四邊形ABCD是平行四邊形，∴四邊形ABCD是矩形.ABCD證一證矩形的判定定理：有三個角是直角的四邊形是矩形.要點(diǎn)歸納幾何語言描述：在四邊形ABCD中，∵

∠A=∠B=∠C=90°,∴四邊形ABCD是矩形.ABCD思考一個木匠要制作矩形的踏板．他在一個對邊平行的長木板上分別沿與長邊垂直的方向鋸了兩次，就能得到矩形踏板．為什么？有三個角是直角的四邊形是矩形.例3

如圖，□

ABCD的四個內(nèi)角的平分線分別相交于E、F、G、H，求證：四邊形

EFGH為矩形．證明：在□

ABCD中，AD∥BC,∴∠DAB+∠ABC=180°.∵AE與BG分別為∠DAB、∠ABC的平分線,ABDCHEFG∴四邊形EFGH是矩形．同理可證∠AED=∠EHG=90°,∴∠AFB=90°，∴∠GFE=90°.∴∠BAE+∠ABF=∠DAB+∠ABC=90°.例4

如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足為D，AN是△ABC外角∠CAM的平分線，CE⊥AN，垂足為E，求證：四邊形ADCE為矩形．證明：在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，∴∠BAD＝∠DAC，即∠DAC＝∠BAC.又∵AN是△ABC外角∠CAM的平分線，∴∠MAE＝∠CAE＝∠CAM,∴∠DAE＝∠DAC＋∠CAE＝(∠BAC＋∠CAM)＝90°.又∵AD⊥BC，CE⊥AN，∴∠ADC＝∠CEA＝90°,∴四邊形ADCE為矩形．練一練在判斷“一個四邊形門框是否為矩形”的數(shù)學(xué)活動課上，一個合作學(xué)習(xí)小組的4位同學(xué)分別擬定了如下的方案，其中正確的是（）A．測量對角線是否相等B．測量兩組對邊是否分別相等C．測量一組對角是否都為直角D．測量其中三個角是否都為直角D當(dāng)堂練習(xí)當(dāng)堂反饋即學(xué)即用1.如圖，要使?ABCD成為矩形，需添加的條件是()

A．AB＝BC

B．AC⊥BDC．∠ABC＝90°D．∠1＝∠2

2.如圖,直線EF∥MN,PQ交EF、MN于A、C兩點(diǎn),AB、CB、CD、AD分別是∠EAC、∠MCA、∠ACN、∠CAF的平分線,則四邊形ABCD是（）

A.梯形B.平行四邊形C.矩形D.不能確定CDEFMNQPABCC第2題圖第3題圖當(dāng)堂練習(xí)3．如圖，是一個平行四邊形的活動框架，對角線是兩根橡皮筋，若改變框架的形狀，則∠α也隨之變化，兩條對角線長度也在發(fā)生改變．當(dāng)∠α＝

度時，兩條對角線長度相等．904.如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，AB=5，BC=12，AC=13．求證：四邊形ABCD是矩形．證明：四邊形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，∴∠ADC=90°.又∵△ABC中，AB=5，BC=12，AC=13，滿足132=52+122，即∴△ABC是直角三角形，且∠B=90°，∴四邊形ABCD是矩形．ABCD5.如圖，平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，延長OA到N，使ON＝OB，再延長OC至M，使CM＝AN.求證：四邊形NDMB為矩形．證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AO＝OC，OD＝OB.∵AN＝CM，ON＝OB，∴ON＝OM＝OD＝OB，∴四邊形NDMB為平行四邊形，MN＝BD，∴平行四邊形NDMB為矩形．6.如圖，△ABC中，AB＝AC，AD是BC邊上的高，AE是△BAC的外角平分線，DE∥AB交AE于點(diǎn)E，求證：四邊形ADCE是矩形．證明：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠B＝∠ACB，BD＝DC.∵AE是∠BAC的外角平分線，∴∠FAE＝∠EAC.∵∠B＋∠ACB＝∠FAE＋∠EAC，∴∠B＝∠ACB＝∠FAE＝∠EAC，

∴AE∥CD.又∵DE∥AB，∴四邊形AEDB是平行四邊形，∴AE平行且等于BD.又∵BD＝DC，∴AE平行且等于DC，故四邊形ADCE是平行四邊形.又∵∠ADC＝90°，∴平行四邊形ADCE是矩形．7.如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝24cm，BC＝26cm，動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AD方向向點(diǎn)D以1cm/s的速度運(yùn)動，動點(diǎn)Q從點(diǎn)C開始沿著CB方向向點(diǎn)B以3cm/s的速度運(yùn)動．點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A和點(diǎn)C同時出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時，另一點(diǎn)隨之停止運(yùn)動．(1)經(jīng)過多長時間，四邊形PQCD是平行四邊形？解：設(shè)經(jīng)過xs，四邊形PQCD為平行四邊形，即PD＝CQ，所以24－x＝3x，解得x＝6.